ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

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1 ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II El objetivo de estas notas es recoger una serie de herramientas algebraicas que se utilizarán a lo largo de la asignatura. Expondremos las diferentes secciones en el orden en el que serán necesarias conforme avancemos en la exposición. Comenzaremos repasando algunas nociones y resultados básicos sobre grupos. 1. Grupos y homomorfismos Recordemos que un grupo es un conjunto no vacío G con una operación G G G que es asociativa, tiene neutro y tiene inversos. Denotaremos de forma multiplicativa la operación de G. Así, el resultado de aplicar la operación sobre un par (x, y) con x, y G se escribirá x y. Que la operación sea asociativa significa que (x y) z = x (y z), para cada x, y, z G. Que haya neutro significa que existe un elemento (único) e G tal que x e = e x = x, para cada x G. Que haya inversos quiere decir que para cada x G existe un elemento (único) x 1 G tal que x x 1 = x 1 x = e. Es fácil comprobar que (x y) 1 = y 1 x 1, para cada x, y G. Se dice que un grupo G es abeliano cuando la operación es conmutativa, es decir, x y = y x, para cada x, y G. k Sea G un grupo y x G. Dado k N denotamos x k {}}{ := x... x. Si k Z y k < 0 denotamos x k := (x 1 ) k. Por último, establecemos que x 0 := e. Ejercicio 1 (Producto directo). Sea {G i } i=1,...,n una familia finita de grupos. Probar que el producto cartesiano G := G 1... G n es un grupo cuando se define la operación entre elementos componente a componente. Este grupo se llama producto directo de la familia {G i } i=1,...,n. Demostrar que G es abeliano si y sólo si lo es cada G i. Ejemplo 1.1. Denotaremos por Z al grupo de los números enteros con la suma usual. Tomando G i = Z para cada i = 1,..., n tenemos el producto directo Z n con la operación que se realiza sumando componente a componente. Este grupo es abeliano. Un homomorfismo (de grupos) es una aplicación f : G G entre dos grupos G y G de forma que f(x y) = f(x) f(y), para cada x, y G. Las siguientes propiedades de un homomorfismo son fáciles de comprobar: (i) f(x 1... x n ) = f(x 1 )... f(x n ), para cada x 1,..., x n G, (ii) f(e) = e, donde e y e son los neutros de G y G, respectivamente, (iii) f(x k ) = f(x) k, para cada x G y cada k Z. Ejemplo 1.2. Si G y G son dos grupos siempre tenemos el homomorfismo trivial G G, que aplica cada x G en el elemento neutro e G. Ejemplo 1.3. Si G es un grupo, la aplicación identidad I G : G G es un homomorfismo. Ejemplo 1.4. Si f : G G y g : G G son homomorfismos, entonces la composición g f : G G también lo es.

2 2 CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II Un homomorfismo f : G G es un monomorfismo (resp. epimorfismo) si la aplicación f es inyectiva (resp. sobreyectiva). Un isomorfismo es un homomorfismo f : G G en el que f es biyectiva (es decir, f es a la vez monomorfismo y epimorfismo). En tal caso decimos que G es isomorfo a G y escribimos G = G. Es fácil probar que la composición de isomorfismos es un isomorfismo, que el homomorfismo identidad I G es un isomorfismo, y que el inverso de un isomorfismo es un isomorfismo. Ejemplo 1.5 (Isomorfismos de conjugación). Sea G un grupo y x G. Entonces, la aplicación φ x : G G dada por φ x (y) := x y x 1 es un isomorfismo. Además, se cumplen las igualdades φ x y = φ x φ y, φ e = I G y (φ x ) 1 = φ x 1, para cada x, y G. Ejercicio 2. Sean f : G G y g : G G homomorfismos tales que g f : G G es un isomorfismo. Probar que f es un monomorfismo y g es un epimorfismo. Si f : G G es un homomorfismo, se llama núcleo de f al conjunto Ker(f) := f 1 (e ) = {x G / f(x) = e }. Es sencillo ver que f es un monomorfismo si y sólo si Ker(f) = {e}. La imagen de f es el conjunto Im(f) := f(g) = {f(x) / x G}. Es obvio que f es un epimorfismo si y sólo si Im(f) = G. 2. Subgrupos Sea G un grupo. Recordemos que un subgrupo de G es un subconjunto no vacío H G que es un grupo con la operación de G. Esto lo denotamos H G y equivale a lo siguiente: si x, y H, entonces x y 1 H. Si H G entonces la inclusión i H : H G es un monomorfismo. Ejemplo 2.1. Todo grupo G tiene al menos los subgrupos triviales H = {e} y H = G. Ejemplo 2.2. Sea f : G G un homomorfismo. Si H G, entonces f(h) G. En particular, Im(f) G. Además, si H G, entonces f 1 (H ) G. En particular, Ker(f) G. Ejemplo 2.3. Los subgrupos de Z son exactamente todos los subconjuntos de la forma nz := {n m / m Z}, con n Z. Sea G un grupo. Es fácil comprobar que si {H i } i I es una familia con H i G para cada i I, entonces i I H i G (el mayor subgrupo de G contenido en todos los H i ). Si A G es un subconjunto cualquiera, el subgrupo generado por A se define como: A := H. A H G Diremos que A es un conjunto de generadores de A. Cuando A = se tiene que A = {e}. Es obvio que A es el menor subgrupo de G que contiene a A. Se puede dar una descripción explícita de A cuando A mediante la igualdad: (2.1) A = {x k 1 1 xk xkm m / m N, x i A, k i Z, i = 1,..., m}, lo que justifica la terminología subgrupo generado por A. Cuando A = {x} entonces A = x = {x k / k Z}, que es el subgrupo cíclico de G generado por a. Diremos que G es un grupo cíclico si existe x G tal que G = x. Por ejemplo Z es un grupo cíclico generado por ±1.

3 ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 3 Nota 2.4. Para probar la igualdad (2.1) vemos primero que, si denotamos por H al conjunto de la derecha, entonces H es un subgrupo de G con A H. Esto implica que A H. La otra inclusión es inmediata al ser A G y A A. Ejercicio 3. Sea f : G G un homomorfismo y A G. Demostrar que se cumple la igualdad f(a) = f ( A ). 3. Subgrupos normales y grupos cociente Dado un grupo G y un subgrupo H G introducimos en G la siguiente relación: x y si x y 1 H, es decir, existe z H tal que y = z x. Esta relación es de equivalencia en G. La clase de equivalencia de x G, llamada clase lateral izquierda asociada a x, está dada por: x = Hx := {z x / z H}. Nótese que e = H. Denotaremos por G/H al cociente G/. El cardinal de G/H se llama índice de H en G. Para introducir una operación en G/H lo natural es definir: x y = x y. Esta ley no depende de representantes cuando H es un subgrupo normal de G, es decir, x z x 1 H, para cada x G y z H. Esto se representa también como xhx 1 H (equivalentemente xhx 1 = H), para cada x G. Cuando H es un subgrupo normal de G escribimos H G. En tal caso G/H se convierte en un grupo, cuyo neutro es e. Nótese que x = e, para cada x H, lo que significa que cada clase de equivalencia de x H produce el neutro en G/H. Además, la proyección p : G G/H dada por p(x) := x es un epimorfismo. Ejemplo 3.1. Todo grupo tiene al menos dos subgrupos normales triviales, que son H = {e} y H = G. Los cocientes asociados son isomorfos a G y {e}, respectivamente. Ejemplo 3.2. En un grupo abeliano todos los subgrupos son normales. Ejemplo 3.3. Si f : G G es un homomorfismo entonces Ker(f) G. Además, la aplicación f : G/Ker(f) Im(f) dada por f(x) = f(x) es un isomorfismo. Por tanto, G/Ker(f) = Im(f) (primer teorema de isomorfía). Ejemplo 3.4. Como Z es abeliano todos sus subgrupos nz son normales. El grupo cociente Z/nZ se denota Z n y es un grupo cíclico de orden n generado por ±1. Ejercicio 4. Sea f : G G un homomorfismo y H G tal que H Ker(f). Entonces, existe un único homomorfismo f : G/H G tal que f p = f. Ejercicio 5. Sea f : G G un isomorfismo y H G. Denotemos H := f(h). Entonces H G y existe un único isomorfismo f : G/H G /H tal que f p = p f. El hecho de que un subgrupo sea normal se puede caracterizar mediante una condición que involucra a su clase de conjugación. Si G es un grupo y H, H G, decimos que H es conjugado con H si existe x G tal que xhx 1 = H. Esto equivale a que φ x (H) = H, donde φ x : G G es el isomorfimo definido en el Ejemplo 1.5. La relación de conjugación es de equivalencia en la familia de todos los subgrupos de G. La clase de equivalencia de H G por esta relación se denota Conj(H) y se llama clase de conjugación de H en G. Evidentemente, viene dada por: Conj(H) = {φ x (H) / x G} = {xhx 1 / x G}. Es claro entonces que H G si y sólo si Conj(H) = {H}. En particular, en un grupo abeliano tenemos Conj(H) = {H}, para cada H G.

4 4 CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II Dado G un grupo y {H i } i I una familia con H i G para cada i I, se cumple que i I H i G (el mayor subgrupo normal de G contenido en todos los H i ). Si A G es un subconjunto cualquiera, el subgrupo normal generado por A se define como: A N := H. A H G Cuando A = tenemos A N = {e}. Algunas propiedades elementales de A N son: (i) A es el menor subgrupo normal de G que contiene a A, N (ii) A A N, con igualdad si y sólo si A G, (iii) si G es abeliano, entonces A = A N, (iv) A N = A N. Se tiene además la siguiente descripción de A N en términos de su conjunto generador: Lema 3.5. Sea G un grupo y A G no vacío. Denotemos B = {x a x 1 / x G, a A}. Entonces A N = B. Como consecuencia: A x 1 m / m N, a i A, x i G, k i Z, i = 1,..., m}, N = {x 1 a k1 1 x x m a km m lo que justifica la terminología de subgrupo normal generado por A. Demostración. Como A N G y A A N, entonces B A N y, por tanto B A N. Para la otra inclusión basta ver que B G con A B. Que A B es obvio, pues A B. Dado b B con b = x a x 1 y z G, se tiene: z b z 1 = z (x a x 1 ) z 1 = (z x) a (z x) 1 B. Esto significa que B es cerrado por conjugación. Veamos a partir de aquí que B G. Sea c B con c = b k bkm m. Dado x G, nótese que: x c x 1 = x b k bkm m x 1 = (x b k1 1 x 1 )... (x b km m x 1 ) = (x b 1 x 1 ) k1... (x b m x 1 ) km, que está en B por ser B cerrado para la conjugación. Finalmente, la descripción explícita de A N en el enunciado se sigue de la descripción de B sin más que tener en cuenta que (x a x 1 ) k = x a k x 1, para cada a A y cada x G. Ejercicio 6. Sea f : G G un epimorfismo y A G. Demostrar que se cumple la igualdad f(a) N = f( A N). Terminaremos este apartado con la noción de normalizador de un subgrupo. Sea G un grupo y H G. Buscamos un subgrupo H G tal que H H. Obviamente el propio H cumple que H H. Nos interesa el mayor subgrupo H G tal que H H. Si este subgrupo existe entonces, por cumplirse H H, tenemos que xhx 1 = H para cada x H. Esto nos lleva a definir el normalizador de H en G como el conjunto dado por: Nor(H) := {x G / φ x (H) = H} = {x G / xhx 1 = H}. Es claro que Nor(H) = G si y sólo si H G. En particular, si G es abeliano, entonces Nor(H) = G para cada H G. El siguiente ejercicio es sencillo a partir de la propia definición de normalizador. Ejercicio 7. Demostrar que Nor(H) G y que H Nor(H). Además, si H G y H H entonces H Nor(H) (es decir, Nor(H) es el subgrupo más grande de G que contiene a H como subgrupo normal).

5 ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 5 Es importante no confundir Nor(H) con H. En general, no es cierto que Nor(H) sea N un subgrupo normal de G, mientras que H sí lo es. N 4. Producto libre de grupos A partir de una familia arbitraria de grupos definiremos otro grupo, que contenga copias isomorfas de cada uno de los grupos y que cumpla una propiedad universal de extensión de homomorfismos. Sea {G i } i I una colección disjunta de grupos (esto significa que G i G j = si i j, aunque puede ocurrir G i = Gj ). Denotamos por e i al neutro de cada G i. Llamamos letra a cada x i I G i. Llamamos palabra a una yuxtaposición finita de letras, es decir, una expresión formal w := x 1 x 2 x n, donde n N {0} y cada x l está en algún G il. El número n es la longitud de w. La palabra vacía 1 es la única con n = 0. Llamamos sílaba a cada palabra con n = 2. Sean w 1 = x 1 x n y w 2 = y 1 y m dos palabras. Diremos que w 1 = w 2 si n = m y x l = y l para cada l = 1,..., n. Ejemplo 4.1. Algunos ejemplos de palabras pueden ser x x x x, e 2 e 10 y x x 1. Si x, y G i con x y, entonces, x y e y x no son sílabas iguales. Dos palabras w 1 = x 1 x 2 x n y w 2 = y 1 y 2 y m pueden operarse por yuxtaposición dando lugar a una nueva palabra w 1 w 2 := x 1 x 2 x n y 1 y 2 y m. Esta operación no produce una estructura de grupo en el conjunto de las palabras. Aunque es asociativa y tiene neutro (la palabra vacía), no tiene inversos. Intuitivamente, la inversa de una palabra w = x 1 x 2 x n x 1 1. Para conseguir esto debemos reducir las palabras de forma que una debería ser x 1 n sílaba x x 1 se transforme en e i y todos los e i se eliminen. Diremos que una palabra w es reducida si w = 1 o w cumple dos reglas: (i) no contiene sílabas x k x k+1 cuyas letras estén en el mismo grupo G i, (ii) ninguna de sus letras es un neutro e i. Ejemplo 4.2. Supongamos dos grupos disjuntos G 1 y G 2. Sean x 1, y 1 G 1 {e 1 } y x 2, y 2 G 2 {e 2 }. Entonces, la palabra x 1 e 1 x 2 y 2 no es reducida, mientras que x 1 y 2 y x 2 y 1 sí lo son. La palabra x 1 (x 2 y 2 ) será reducida si y sólo si x 2 y 2 e 2. Parece claro que toda palabra se puede reducir mediante dos operaciones de reducción: (i) reemplazar las sílabas x k x k+1 con x k, x k+1 G i por la letra x k x k+1, (ii) eliminar todos los e i. Sin embargo, no es sencillo probar la unicidad de la palabra reducida a la que se llega realizando sucesivamente este tipo de transformaciones. Sea W el conjunto de las palabras reducidas. Dadas w 1 = x 1 x 2 x n y w 2 = y 1 y 2 y m en W, su yuxtaposición w 1 w 2 = x 1 x 2 x n y 1 y 2 y m no tiene por qué ser reducida (el posible problema estaría en la sílaba x n y 1 ). Para obtener una única palabra reducida a partir de la anterior realizamos operaciones de reducción como sigue: (i) Si la sílaba x n y 1 no tiene sus letras en el mismo G i, entonces ya se tiene una palabra reducida (por ser w 1 y w 2 reducidas). De lo contrario, sustituimos x n y 1 por x n y 1. (ii) Si x n y 1 e i ya tenemos una palabra reducida (por ser w 1 y w 2 reducidas). En caso contrario eliminamos x n y 1. (iii) Nos fijamos en la sílaba x n 1 y 2 y procedemos igual que arriba. Repitiendo este proceso una cantidad finita de veces se obtiene una única palabra reducida que denotamos w 1 w 2. Así w 1 w 2 se calcula yuxtaponiendo primero y reduciendo después.

6 6 CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II Ejemplo 4.3. Supongamos dos grupos disjuntos G 1 y G 2. Sean x 1, y 1 G 1 {e 1 } y x 2, y 2 G 2 {e 2 }. Es obvio que w 1 = x 1 x 2 x 1 1 W y w 2 = x 1 x 1 2 W. Además w 1 w 2 = x 1 mientras que w 2 w 1 = x 1 x 1 2 x 1 x 2 x 1 1. Así w 1 w 2 w 2 w 1. Es claro que define una operación en W. Nos preguntamos qué propiedades cumple. Lema 4.4. La operación convierte en grupo a W. Demostración. La operación tiene neutro, pues 1 w = w 1 = w, para cada w W. Además, hay inversos: si w = x 1 x 2 x n es reducida, entonces w = x 1 n x 1 2 x 1 1 es reducida y w w = w w = 1. La prueba de la asociatividad es más complicada. Dada una letra x G i, el producto por la izquierda asociado a x es la aplicación L x : W W dada por L x (w) := x w. Usando la asociatividad del grupo G i se prueba que L x y = L x L y si x, y G i. Además, L ei = I W. En particular, cada L x es una biyección en W con inversa L x 1. Si P (W ) = {f : W W biyectiva}, la aplicación L i : G i P (W ) dada por L i (x) := L x está bien definida y es un homomorfismo. En general, definimos L : W P (W ) como L w := L x1... L xn si w = x 1 x n W. Definimos L 1 = I W. Se cumplen estas propiedades: (i) L Gi = L i, para cada i I, (ii) L w1 w 2 = L w1 L w2, para cada w 1, w 2 W, (iii) L es inyectiva: si L w = L w, entonces L w (1) = L w (1) y, por tanto, w = w. Supongamos ahora que w 1, w 2, w 3 W. Si usamos (ii) tenemos: L (w1 w 2) w 3 = L w1 w 2 L w3 = (L w1 L w2 ) L w3 = L w1 (L w2 L w3 ) = L w1 L w2 w 3 = L w1 (w 2 w 3), lo que implica por (iii) que (w 1 w 2 ) w 3 = w 1 (w 2 w 3 ). Definición 4.5. El grupo (W, ) es el producto libre de la familia {G i } i I, denotado i I G i. Nota 4.6. Se debe destacar que i I G i no es en general abeliano aunque cada factor lo sea. Ejercicio 8. Qué es el producto libre asociado a un único grupo? Y G 1 {e 2 }? Ejercicio 9. Demostrar que el producto libre de dos copias disjuntas de Z 2 está formado por yuxtaposiciones finitas y alternadas de los generadores. Veamos que cada grupo G l tiene una copia isomorfa en i I G i. Dado x G l con x e l podemos considerar la palabra reducida w = x en i I G i. Cuando x = e l asociamos w = 1. Esto produce un monomorfismo h l : G l i I G i, cuya imagen es un subgrupo isomorfo a G l (formado por las letras de G l y la palabra vacía). Nótese que, aunque los grupos G l son disjuntos, sus copias isomorfas dentro de i I G i no lo son (todas contienen a 1). La propiedad universal de i I G i establece que una familia de homomorfismos desde los factores G l se extiende de forma única a un homomorfismo sobre el producto libre. Lema 4.7 (Propiedad universal del producto libre). Sea {G i } i I una familia disjunta de grupos y f l : G l G una familia de homomorfismos que llegan a un grupo G. Entonces, existe un único homomorfismo f : i I G i G con f h l = f l para cada l I. Demostración. Probemos la existencia. Sea w = x 1 x 2 x n una palabra cualquiera. Definimos f(w) := f i1 (x 1 ) f i2 (x 2 )... f in (x n ), donde i l I es el único índice tal que x l G il. Definimos f(1) = e (el neutro de G). Claramente (f h l )(x) = f(x) = f l (x) para cada x G l. Veamos que f : i I G i G es un homomorfismo de grupos. Sea w = x 1 x n una palabra. Supongamos que x k = e i. Sea w la palabra obtenida al eliminar x k de w. Por definición

7 ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 7 de f y por ser f i un homomorfismo se tiene que f(w) = f(w ). Así, el valor de f se mantiene al suprimir eventuales elementos neutros en una palabra. Supongamos ahora que en w hay una sílaba x k x k+1 con x k, x k+1 G i. Si w es la palabra obtenida al cambiar x k x k+1 por x k x k+1 entonces f(w) = f(w ) por ser f i un homomorfismo. Por tanto, el valor de f no cambia cuando sustituimos una sílaba x k x k+1 con letras en el mismo G i por la letra x k x k+1. Dadas w 1 = x 1 x n y w 2 = y 1 y m en W, sabemos que w 1 w 2 se obtiene de w 1 w 2 mediante una cantidad finita de operaciones de reducción. Por lo probado antes: f(w 1 w 2 ) = f(x 1 x n y 1 y m ) = f i1 (x 1 )... f in (x n ) f j1 (y 1 )... f jm (y m ) = f(x 1 x n ) f(y 1 y m ) = f(w 1 ) f(w 2 ). Probemos la unicidad. Sea g : i I G i G otro homomorfismo con g h l = f l para cada l I. Dada un palabra reducida w = x 1 x 2 x n, se tiene: Esto concluye la demostración. g(w) = g(x 1 x 2... x n ) = g(x 1 ) g(x 2 )... g(x n ) = f i1 (x 1 ) f i2 (x 2 )... f in (x n ) = f(w). Definición 4.8. En las condiciones del lema previo, diremos que f es el homomorfismo que extiende a la familia de homomorfismos f l : G l G. Nota 4.9. Existen otras formas de asociar a cada familia de grupos {G i } i I otro grupo que contenga copias isomorfas de cada G i y que cumpla una propiedad universal como la anterior. Para una familia finita esto lo satisface el producto directo G 1... G n con la operación definida componente a componente. La diferencia sustancial entre G 1... G n y G 1... G n es que el segundo es abeliano cuando todos los G i lo son, mientras que el primero no lo es. Ejercicio 10. Este ejercicio sirve para comparar el producto libre con el producto directo de familias finitas. Sean {G i } i=1,...,n grupos disjuntos y f i : G i G 1... G n las inclusiones naturales. Por el Lema 4.7 existe un único homomorfismo f : G 1... G n G 1... G n tal que f h i = f i, para cada i = 1,..., n. Describir f y probar que es un epimorfismo. Es un isomorfismo? Si la respuesta en negativa, encontrar algunos elementos de Ker(f). 5. Grupos libres Vamos a particularizar la construcción del producto libre de grupos cuando cada factor es una copia de Z, esto es, G i = Z para cada i I. Definición 5.1. Sea {a} un conjunto con un único elemento. Definimos el conjunto a formado por las potencias formales de a con exponente entero, esto es: a := {a k / k Z}. Operamos dos elementos de a sumando exponentes. El neutro se obtiene para k = 0 y el inverso de a k es a k. El grupo resultante se llama grupo libre de rango uno generado por a. Es obvio que a = Z mediante el isomorfismo a k k. Definición 5.2. Sea {G i } i=1,...,n una familia finita disjunta de grupos, donde G i = a i para cada i = 1,..., n. El producto libre n i=1 G i se denota a 1,..., a n y se llama grupo libre de rango n generado por {a 1,..., a n }. A veces se escribe a 1,..., a n = Z... Z. Ejemplo 5.3. Cómo son los elementos de a, b? Deben ser palabras reducidas cuyas letras están en a o b, es decir, cada letra es una potencia de a o b con exponente no nulo. Algunos ejemplos son a 5 b 7 a 3, a b, b a o b 3 a 2 b.

8 8 CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II Ejemplo 5.4. Cómo son los elementos de a 1,..., a n? Deben ser palabras reducidas cuyas letras están en algún a i. Por tanto: k a1,..., a n = {a i1 i 1 a ki 2 i 2 a kim i m / m N {0}, i l {1,..., n}, k il Z {0}, l = 1,..., m}, donde además cada par de índices consecutivos son distintos. Además, hay que añadir la palabra vacía. Nota 5.5. No es verdad que a 1,..., a n = Z n si n 2. De hecho, el primer grupo no es abeliano mientras que Z n sí lo es. Enseguida analizaremos mejor la relación que hay entre a1,..., a n y Z n. Usando el Lema 4.7 sabemos que cada familia de homomorfismos f i : a i G extiende a un único homomorfismo f : a 1,..., a n G. Nótese que fi está determinado por f i (a i ) al ser un homomorfismo. Esto nos lleva al siguiente corolario, afirmando que para definir un homomorfismo de a 1,..., a n a G basta con dar las imágenes de los generadores (de forma similar a lo que ocurre con las bases y las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales). Corolario 5.6 (Propiedad universal del grupo libre). Sea G un grupo y x 1,..., x n G. Existe un único homomorfismo f : a 1,..., a n G con f(ai ) = x i, para cada i = 1,..., n. Ejemplo 5.7. Sean u 1 = (1, 0) y u 2 = (0, 1) en Z 2. Por el corolario previo, existe un único homomorfismo f : a, b Z 2 con f(a) = u 1 y f(b) = u 2. Es fácil ver que a b a 1 b 1 Ker(f). Llamemos H := a b a 1 b 1 N. Entonces a, b /H es un grupo abeliano y podemos pasar f al cociente definiendo f : a, b /H Z 2 como f(w) = f(w). Así, obtenemos un homomorfismo de grupos que en realidad es un isomorfismo. Para construir el inverso, definimos g : Z 2 a, b /H como g(n, m) = p(a n b m ), donde p : a, b a, b /H es la proyección. Que g es un homomorfismo se debe a que p lo es y a, b /H es abeliano. Finalmente, es fácil comprobar que g es el inverso de f. Ejercicio 11. Sea G = a 1,..., a n /H, donde H es el subgrupo normal generado por todas las palabras w ij = a i a j a 1 i a 1 j con i j. Construir un isomorfismo entre G y Z n. En realidad, todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre (quizás de rango infinito). Si ponemos S = {a 1,..., a n } y tomamos R S, el grupo cociente G := S / R N se denota S; R. Diremos que S; R es una presentación de G. Los elementos de S se llaman generadores y los de R relaciones. Un grupo puede admitir varias presentaciones (por ejemplo a = a, b; b = Z); de hecho, un problema difícil consiste en decidir sin dos presentaciones distintas producen el mismo grupo salvo isomorfismos. También es difícil identificar una presentación dada con un grupo conocido. Ejemplo 5.8. El grupo a; a n es isomorfo a Z n. Para probarlo, basta seguir la idea del Ejemplo 5.7 o aplicar el primer teorema de isomorfía al único homomorfismo f : a Z n con f(a) = 1. Algunas presentaciones sencillas son las siguientes: (i) a, b; a n, b m = Zn Z m, a, b; a n, b m, a b a 1 b 1 = Zn Z m. (ii) a, b; a n = Zn Z, a, b; a n, a b a 1 b 1 = Zn Z. (iii) a, b; b m = Z Zm, a, b; b m, a b a 1 b 1 = Z Zm. (iv) a, b; a b a 1 b 1 = Z 2. (v) a 1,..., a n ; {a i a j a 1 i a 1 j / i j} = Z n. Ejemplo 5.9. Veamos que a; a 2 y b, c; b c b c son dos presentaciones de Z 2. Ya sabemos que la primera lo es. Definamos un isomorfismo entre la primera y la segunda. Sea f : a b, c el único homomorfismo con f(a) = b c. Como f(a 2 ) = b c b c entonces se

9 ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 9 puede pasar f a los cocientes definiendo f(p(w)) = p (f(w)), donde p y p son las proyecciones. Sea ahora g : b, c a el único homomorfismo con g(b) = a y g(c) = 1. Como g(b c b c) = a 2 podemos pasar g a los cocientes definiendo g(p (w )) = p(g(w )). Se comprueba de forma sencilla a través de los generadores que g es el inverso de f. Terminamos este apartado utilizando la propiedad universal para probar que dos grupos libres de rango finito son isomorfos si y solamente si sus rangos coinciden (compárese con el resultado análogo de espacios vectoriales). Corolario a 1,..., a n = a 1,..., a m si y sólo si n = m. Demostración. Llamemos G := a 1,..., a n y G := a 1,..., a m. Probemos primero la implicación de derecha a izquierda. Supongamos que n = m. Por el Corolario 5.6 existe un único homomorfismo f : G G tal que f(a i ) = a i para cada i = 1,..., n. Análogamente, existe un único homomorfismo g : G G tal que g(a i ) = a i para cada i = 1,..., n. Nótese que g f = I G, ya que ambos homomorfismos coinciden sobre los generadores de G. Del mismo modo g f = I G. Así, f es un isomorfismo y G = G. Ahora probaremos la implicación de izquierda a derecha. Lo haremos a través del resultado de álgebra lineal que afirma que si dos espacios vectoriales finitamente generados sobre un mismo cuerpo son isomorfos, entonces tienen la misma dimensión. Veamos cómo podemos asociar a cada grupo libre de rango finito un espacio vectorial finitamente generado sobre Z 2 (el papel de Z 2 lo puede jugar cualquier cuerpo conmutativo). Sea Hom(G, Z 2 ) el conjunto de los homomorfismos ϕ : G Z 2. Dados ϕ 1, ϕ 2, ϕ Hom(G, Z 2 ) y λ Z 2, definimos (ϕ 1 + ϕ 2 )(x) := ϕ 1 (x) + ϕ 2 (x) y (λ ϕ)(x) := λ ϕ(x), para cada x G. Se demuestra fácilmente que ϕ 1 +ϕ 2, λ ϕ Hom(G, Z 2 ), y que estas operaciones convierten a Hom(G, Z 2 ) es un espacio vectorial sobre Z 2. Veamos que dim Z2 Hom(G, Z 2 ) = n. Por el Corolario 5.6, para cada i = 1,..., n, existe un unico homomorfismo ϕ i : G Z 2 tal que ϕ i (a j ) = δ ij. Afirmamos que la familia B := {ϕ 1,..., ϕ n } es una base de Hom(G, Z 2 ). Supongamos que λ 1 ϕ λ n ϕ n = ϕ 0. Aplicando esta igualdad sobre cada a j y utilizando que ϕ i (a j ) = δ ij, concluimos que λ 1 =... = λ n = 0. Así, B es una familia linealmente independiente en Hom(G, Z 2 ). Veamos que es también un sistema de generadores. Sea ϕ : G Z 2 un homomorfismo y llamemos λ i := ϕ(a i ), para cada i = 1,..., n. Entonces ϕ = λ 1 ϕ λ n ϕ n puesto que son homomorfismos de G en Z 2 que coinciden claramente sobre los generadores de G. Supongamos por último que f : G G es un isomorfismo. Definimos F : Hom(G, Z 2 ) Hom(G, Z 2 ) como F (ϕ) := ϕ f. Es fácil probar que F es una aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre Z 2. Por otro lado, si G : Hom(G, Z 2 ) Hom(G, Z 2 ) se define como G(ψ) := ψ f 1 tenemos una aplicación lineal que además es la inversa de F. De aquí deducimos que Hom(G, Z 2 ) y Hom(G, Z 2 ) tienen la misma dimensión como espacios vectoriales sobre Z 2. Así, n = m y se concluye la demostración. Nota Con argumentos similares se puede demostrar que Z n = Z m si y sólo si n = m. La parte clave es la propiedad universal de Z n como grupo abeliano libre: dado un grupo abeliano G, y elementos x 1,..., x n G, existe un único homomorfismo f : Z n G tal que f(u i ) = x i (aquí u i := (0,..., 1,..., 0)). Explícitamente se tiene f(k 1,..., k n ) = k 1 x k n x n. 6. El abelianizado de un grupo En este apartado veremos cómo convertir un grupo no abeliano en otro que sí lo es, de modo que en el proceso no perdamos demasiada información (en el sentido de que si dos grupos son isomorfos sus abelianizados también lo sean).

10 10 CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II Recordemos que un grupo G es abeliano si x y = y x, para cada x, y G. Esto equivale a que x y x 1 y 1 = e, para cada x, y G (como siempre e denota el neutro de G). Sea G un grupo. Dados x, y G se llama conmutador de x e y al elemento de G dado por [x, y] := x y x 1 y 1. Este elemento sirve para medir si x e y conmutan en G, puesto que x y = y x si y sólo si [x, y] = e. Se llama subgrupo conmutador de G al subgrupo generado por todos los conmutadores, esto es: [G, G] := A, con A = {[x, y] / x, y G}. A continuación probaremos que el subgrupo conmutador es un subgrupo normal de G. Lema 6.1. Si G es un grupo, entonces [G, G] G. Demostración. Queremos ver que a [G, G] a 1 [G, G], para cada a G. Tomemos primero un generador [x, y] de [G, G] y a G. Es fácil probar que se cumple la igualdad: a [x, y] a 1 = [a x, y] [y, a], y, por tanto, a [x, y] a 1 [G, G]. Ahora, es muy fácil verificar que: a [x, y] k a 1 = (a [x, y] a 1 ) k, para cada k Z, por lo que a [x, y] k a 1 [G, G]. Finalmente, sea a G y z [G, G]. Pongamos z = [x 1, y 1 ] k1... [x m, y m ] km con m N, x i, y i G y k i Z para cada i = 1,..., m. Entonces, se tiene que: a z a 1 = (a [x 1, y 1 ] k1 a 1 )... (a [x m, y m ] km a 1 ). Como [G, G] G y cada factor está en [G, G], se sigue que a z a 1 [G, G]. El resultado anterior implica que la operación de G se induce sobre G/[G, G] resultando así un grupo cociente. Este grupo se llama abelianizado de G y se denota Ab(G). Obviamente Ab(G) es un grupo abeliano; en efecto, la igualdad x y = y x se cumplirá si y sólo si x y = y x. Y esto equivale a su vez a que [x, y] [G, G], lo cual es obvio. Denotaremos por p : G Ab(G) a la proyección dada por p(x) := x. Ejercicio 12. Demostrar que un grupo G es abeliano si y sólo si [G, G] = {e}. En tal caso, se cumple que Ab(G) = G. Establecemos ahora una propiedad del abelianizado que será de gran utilidad a la hora de calcularlo. Proposición 6.2 (Propiedad universal del abelianizado). Sea f : G G un homomorfismo con G abeliano. Entonces, existe un único homomorfismo f : Ab(G) G tal que f p = f. Demostración. Teniendo en cuenta el Ejercicio 4 bastará comprobar que [G, G] Ker(f). Y como [G, G] = A con A = {[x, y] / x, y G}, es suficiente verificar que A Ker(f). Sean x, y G. Usando que f es un homomorfismo y que G es abeliano, se tiene que: como se quería. f([x, y]) = f(x y x 1 y 1 ) = f(x) f(y) f(x) 1 f(y) 1 = f(x) f(x) 1 f(y) f(y) 1 = e e = e, También es fácil probar que la propiedad del isomorfismo se conserva al abelianizar. Proposición 6.3. Sea f : G G un isomorfismo. Entonces, existe un único isomorfismo f : Ab(G) Ab(G ) tal que f p = p f. Así, si G = G entonces Ab(G) = Ab(G ).

11 ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 11 Demostración. Teniendo en cuenta el Ejercicio 5 basta con ver que f([g, G]) = [G, G ]. Probaremos únicamente la inclusión f([g, G]) [G, G ] (la otra es análoga usando f 1 ). Como [G, G] = A con A = {[x, y] / x, y G} y f( A ) = f(a), es suficiente con verificar que f(a) [G, G ]. Pero esto es sencillo, puesto que si x, y G, entonces: f([x, y]) = f(x y x 1 y 1 ) = f(x) f(y) f(x) 1 f(y) 1 = [f(x), f(y)], que obviamente es un elemento de [G, G ]. El anterior resultado nos da un criterio útil para decidir si dos grupos son isomorfos a partir de sus abelianizados. El resultado es bastante práctico, pues usualmente es más sencillo estudiar si dos grupos son isomorfos cuando estos son abelianos. Corolario 6.4. Sean G y G dos grupos tales que Ab(G) no es isomorfo a Ab(G ). Entonces, G no es isomorfo a G. Veamos ahora cómo se puede usar la Proposición 6.2 para obtener el abelianizado de un grupo libre de rango finito. Ejemplo 6.5. Tomemos un grupo libre a 1,..., a n. Recordemos que todo elemento no trivial de k a 1,..., a n es del tipo a i1 i 1 a ki 2 i 2 a kim i m, donde m N {0}, i l {1,..., n}, k il Z {0}, y cada par de índices consecutivos son distintos. Al abelianizar, los elementos a i conmutan, lo que permite reagrupar las potencias con la misma base. Así, todo elemento de Ab ( ) a 1,..., a n se escribe como a k 1 1 ak2 2 akn n con k i Z, para cada i = 1,..., m. Denotemos por u i al elemento (0,..., 1,..., 0) de Z n. Por la propiedad universal de a1,..., a n existe un único homomorfismo f : a1,..., a n Z n tal que f(a i ) = u i, para cada i = 1,..., m. Y por la propiedad universal de Ab ( ) a 1,..., a n, existe un único homomorfismo f : Ab ( ) a 1,..., a n Z n tal que f p = f. En particular, se tiene que f(a i ) = u i, para cada i = 1,..., m. Veamos que f es un isomorfismo, lo que probaría que: Ab ( a 1,..., a n ) = Z n. Sea u = (k 1,..., k n ) Z n. Entonces, se tiene que: f(a k1 1 akn n ) = k 1 f(a 1 ) k n f(a n ) = k 1 u k n u n = u, de donde f es un epimorfismo. Sea x Ker(f). Si ponemos x = a k1 1 ak2 2 akn n, entonces: (0,..., 0) = f(x) = f(a k1 1 ak2 2 akn n ) = k 1 u k n u n = (k 1,..., k n ), y, por tanto, k i = 0 para cada i = 1,..., m. Así, x = 1 y se concluye. Como todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre y sabemos abelianizar grupos libres, es natural plantarse cómo se puede abelianizar un grupo cociente. Esto nos lleva al siguiente resultado. Proposición 6.6. Sea G un grupo y H G. Entonces: Ab(G/H) = Ab(G)/p(H), donde p : G Ab(G) es la proyección (nótese que p(h) Ab(G)) por ser Ab(G) abeliano. Demostración. Para esta demostración es conveniente realizar diagramas con todos los grupos y homomorfismos que intervienen. Sean q : G G/H, h : G/H Ab(G/H) y j : Ab(G) Ab(G)/p(H) las correspondientes proyecciones a los cocientes. Vamos a construir primero un homomorfismo f : Ab(G/H) Ab(G)/p(H). Es obvio que H Ker(j p). Así, el Ejercicio 4 garantiza la

12 12 CÉSAR ROSALES. TOPOLOGÍA II existencia de un único homomorfismo s : G/H Ab(G)/p(H) tal que s q = j p. Ahora, la propiedad universal de Ab(G/H) nos dice que existe un único f : Ab(G/H) Ab(G)/p(H) tal que f h = s. En particular, tenemos: (6.1) f h q = j p. Seguiremos una idea similar para construir el que luego será f 1. Por la propiedad universal de Ab(G), existe un único homomorfismo t : Ab(G) Ab(G/H) tal que t p = h q. Nótese que p(h) Ker(t), pues t p = h q y q(h) = {e}. Por el Ejercicio 4, existe un único homomorfismo g : Ab(G)/p(H) Ab(G/H) tal que q j = t. En particular, tenemos: (6.2) g j p = h q. Sustituyendo (6.2) en (6.1) y viceversa, llegamos a las igualdades: (f g) (j p) = j p, (g f) (h q) = h q. Utilizando que las aplicaciones j p y h q son sobreyectivas junto con el ejercicio de abajo, se concluye que g = f 1 y se acaba. Ejercicio 13. Sean ϕ : X X y ψ : Y X dos aplicaciones entre conjuntos de forma que ψ es sobreyectiva y ϕ ψ = ψ. Demostrar que ϕ = I X.