m donde tanto m como n son números naturales. Para referirnos a

Transcripción

1 CAPÍTULO : Fraccioes. Mateáticas º de ESO. INTERPRETACIÓN DE UNA FRACCIÓN.. Itroducció E ua fiesta de culeaños, cuado llega el oeto de reartir la tarta, ua ersoa se ecarga de dividirla e orcioes. Esa ersoa está fraccioado la tarta. Cada orció es ua fracció de tarta. Adeás, coo uie arte y rearte disfruta de la tarta e últio lugar, esa ersoa itetará ue todos los trozos sea rácticaete idéticos, se roodrá dividir la tarta e fraccioes iguales. E uchas situacioes cotidiaas heos de fraccioar. Para elar ua azaa es oral artirla riero or la itad. De esta fora resulta dos itades de azaa. E otras ocasioes os ecotraos co algo ue ya ha sido dividido. E Euroa, u artido de balocesto tiee ua duració de 0 iutos distribuidos e cuatro tieos, llaados cuartos, de 0 iutos cada uo. Cada tieo es ua fracció del artido coleto, cocretaete ua cuarta arte. Alguas fábricas fucioa durate las horas del día. Si cada oerario trabaja ocho horas al día, todo ecaja si fraccioaos el día e tres turos de ocho horas cada uo. Así, cada turo se corresode co la tercera arte de u día coleto, es u tercio de día. Los objetos ateáticos llaados fraccioes erite ue las ersoas se etieda al hablar de trozos, artes o orcioes, tato si se ha troceado e orcioes idéticas coo si so de diferetes taaños... Térios de ua fracció Coeceos co u ejelo. Si dividios u bizcocho e artes iguales, cada orció es ua de las cico artes e las ue heos dividido el bizcocho. Escribireos ara reresetar cada trozo, es decir, cada ua de las cico uitas artes del bizcocho. Si colocaos e ua badeja tres de esas orcioes, sobre la badeja habrá tres uitas artes de bizcocho:. El bizcocho coleto uede reresetarse de la siguiete fora, ya ue está forado or cico uitas artes. E geeral, ua fracció es ua exresió de la fora dode tato coo so úeros aturales. Para referiros a ella direos " artido de "; recibe el obre de uerador y es el deoiador. Para valores bajos del deoiador, disoeos de deoiacioes alterativas:, u edio;, dos tercios;, dos cuartos;, tres uitos;, siete décios 0 A artir del valor del deoiador:, ocho oceavos;, seis veititresavos Ua reguta atural ue surge es la siguiete: es osible, o tiee setido, ue sea ayor el uerador ue el deoiador? La resuesta es afirativa, sí. Vaos a corobarlo e la siguiete circustacia: iagieos ue heos corado dos asteles idéticos, se ha artido cada uo de ellos or la itad y alguie se ha coido ua itad. Cóo exresaos la catidad de asteles ue ueda? Diríaos ue ueda tres itades de astel, es decir, de astel. Cóo odríaos eteder la fracció / (doce sétios)? Suogaos ue disoíaos de varias arajas iguales y ue cada ua de ellas ha sido dividida e siete orcioes iguales. Si desués de coer arte de la fruta solo ueda doce orcioes, etoces tedreos / de araja Las fraccioes cuyo uerador es ayor ue el deoiador recibe el obre de fraccioes iroias. Las fraccioes cuyo uerador es eor ue el deoiador recibe el obre de fraccioes roias. Co lo ue se ha exuesto hasta este oeto, ituios ue las fraccioes está uy ligadas a la acció de dividir. El deoiador de ua fracció señala e cuátas orcioes se ha dividido cada uidad, lo ue os lleva a coocer el taaño de cada orció. Ejelos: /, teeos orcioes, cada ua de ellas de taaño /. So seis oveas artes. Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF

2 , hay trozos de taaño /. So oce uitas artes., hay orcioes de taaño /, siete doceavas artes. Qué rereseta la fracció /? Idica orcioes de taaño / =, es decir orcioes de algo ue o ha sido dividido, co lo cual so uidades: =. Al riciio, e el ejelo del bizcocho, surgió la fracció /. Rereseta orcioes de taaño /, cico uitas artes. Eso es u bizcocho coleto: = A la vista de lo aterior odeos escribir uas rieras roiedades de las fraccioes ue sirve de coexió co los úeros aturales: = ; = Actividades rouestas. E cada ua de las siguietes iágees escribe e tu cuadero la fracció ue rereseta los uesitos de la caja: a) b) c) d). Coia e tu cuadero y divide adecuadaete cada ua de las siguietes figuras ara oder destacar, e cada caso, la fracció idicada: a) b) c) d) g) e) h) f) i) j) k) 0 l) Señala diferetes accioes ue obligue a reartir, o subdividir, cierto objeto, ete o actividad.. Ecuetra situacioes de la vida cotidiaa e las ue aarezca fraccioes. Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF

3 . SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.. Sua y resta de fraccioes co igual deoiador E el coetado ejelo del bizcocho, desués de dividirlo e artes iguales situaos e ua badeja de esas orcioes. De esa aera, sobre la badeja había tres uitas artes de bizcocho:. Coo cada orció es / de bizcocho, al colocar uo a uo cada trozo sobre la badeja lo ue estaos haciedo es añadir, suar:. Cuado alguie coja uo de los trozos de la badeja, e ella uedará ua orció eos de bizcocho: Veos ue resulta secillo suar y restar fraccioes cuado tiee el iso deoiador. Basta realizar la sua, o la diferecia, co los ueradores y ateer el deoiador coú. Ejelos: r r E geeral, Para oder suar fraccioes co diferete deoiador ates debeos saber ué so fraccioes euivaletes. Actividades rouestas. Calcula: a) b) c) d) e) f). Halla: a) b) c) d).. Fraccioes euivaletes Si heos cortado ua era e dos itades y otra e cuatro cuartas artes, veos ue eras =. Cuado solo os uede ua orció de la riera era y ua orció de la seguda era, es decir, ua itad de era ás ua cuarta arte de era, tedreos: era. Pero si artios la itad de era e dos trozos iguales, esa itad de era se covierte e dos cuartas artes de era: y, de esta fora,. Si aalizaos lo aterior, areciaos ue las fraccioes / y / so euivaletes, rereseta la isa roorció. Es lo iso edia era ue dos cuartos de era. Adeás, trasforar ua fracció e otra euivalete os va a eritir suar, o restar, fraccioes co distito deoiador: A artir de ua fracció /, si r es cualuier úero atural etoces la r fracció ( r)/( r) es euivalete a /, r 0 Ejelo: Ua fracció euivalete a / es, or ejelo, 0/, ya ue Actividades rouestas. Obté tres fraccioes euivaletes a cada ua de las ue figura a cotiuació: a) b) c). Decide si las siguietes arejas de fraccioes so o o euivaletes: a) y 0 b) y c) y Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF

4 0.. Sua y resta de fraccioes co distito deoiador Para realizar la sua debereos buscar y ecotrar dos úeros aturales r y s ue os trasfore cada ua de las ateriores fraccioes e otras euivaletes, ( r)/( r) y ( s)/( s), de fora ue las uevas fraccioes tega el iso r s r s r s deoiador, es decir, ue r = s, e cuyo caso r s r r r Coo hay uchas arejas de úeros aturales r y s ue hace osible esa igualdad, buscareos los ás eueños. Puesto ue r es últilo de y s es últilo de, alcazareos r y s a artir del íio coú últilo de y. r s. c..(, ). El valor de r resulta de dividir ese íio coú últilo etre y el de s se obtiee al dividir el íio coú últilo etre. Ejelo:. Los deoiadores so diferetes, y. Su íio coú últilo es. Al dividir etre os da y al hacerlo etre obteeos.. Fialete: Ejelo:. Los deoiadores so diferetes, y. Su íio coú últilo es. Al dividir etre os da y al hacerlo etre obteeos. ; ; Actividades rouestas. Realiza las siguietes suas de fraccioes: a) b) c) d) Calcula: a) b) c) d) 0.. Proiedades de la sua de fraccioes Proiedad coutativa. Nos idica ue o iorta el orde e el ue coloueos los suados: Ejelo: Proiedad asociativa. Nos señala cóo se uede suar tres o ás fraccioes. Basta hacerlo agruádolas de dos e dos: r r r s s s Ejelo: Tabié: Actividades rouestas 0. Halla: a) b) c) d). Calcula: a) b) c) 0 Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF

5 . PRODUCTO Y COCIENTE DE FRACCIONES.. Reducció de ua fracció. Fraccioes irreducibles Ateriorete dijios ue / y / so fraccioes euivaletes. Por la isa razó, otras fraccioes euivaletes so /, /0 y /0 uesto ue ; ;. Ua aera alterativa de destacar estas relacioes cosiste e decir ue las fraccioes / y /0 so reduccioes de la fracció /0, ietras ue / es ua reducció de /0. Podeos ituir ue la fracció / o uede reducirse ás, es ua fracció irreducible. E geeral, si teeos dos fraccioes / y / direos ue / es ua reducció de / si < y el resultado de dividir etre es el iso ue el de etre. Dicho de otro odo, si teeos ua fracció / y d es u úero atural ue divide tato a coo a, si :d = r y :d = s, etoces las fraccioes r/s y / so euivaletes y r/s es ua reducció de /. E r r d este caso: s s d Obtedreos la ayor reducció de ua fracció / al dividir tato coo etre su áxio coú divisor. Ua fracció es irreducible cuado el áxio coú divisor de su uerador y deoiador es. Ejelo: Ua reducció de /0 es /0, ues la obteeos al dividir tato coo 0 etre. Coo el áxio coú divisor de y 0 es, la ayor reducció de la fracció /0 es /. Al ser el áxio coú divisor de y igual a, la fracció / es irreducible, tal y coo era de eserar. Ejelo: E ocasioes, ua fracció se reduce a u úero atural coo, or ejelo, la fracció 0/. Así es, ues el áxio coú divisor de 0 y es igual a, y al dividir 0, el uerador, etre obteeos, y al dividir, el deoiador, tabié etre obteeos el úero : 0/ = / =. Dos fraccioes so euivaletes si se reduce a ua isa fracció irreducible. Por esta razó: Dos fraccioes y so euivaletes si Actividades rouestas. Reduce las siguietes fraccioes a su exresió irreducible: a) b) c) 0 d). Deteria si las siguietes arejas de fraccioes so o o euivaletes: a) y 0 b) y c) y.. Producto de fraccioes Podeos ultilicar u úero atural or ua fracció si razoaos de la siguiete aera: 0 / o / lo leeos coo "dos veces la fracció /". Así: De otra fora, / idica orcioes de taaño /. El roducto / señala dos veces orcioes de taaño /, esto es, = 0 orcioes de taaño /, es decir, 0/. a E geeral, a Cóo odeos eteder el roducto de dos fraccioes abas co uerador igual a uo? Por ejelo, / /: Al ser / = /, / es UNA orció de algo ue se ha dividido e tres artes, de igual aera ue / = / rereseta DOS orcioes de algo ue se ha dividido e tres artes. Aálogaete, / / os auta hacia la itad de ua orció de algo dividido e tres artes, es decir, ua sexta arte, uesto ue riero dividios e tres orcioes y luego cada ua de ellas e dos: Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF

6 Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF E geeral, A la vista de lo aterior: Para ultilicar dos fraccioes ultilicareos sus ueradores etre sí y lo iso hareos co los deoiadores: Justificació: Ejelo: Podeos silificar, reducir, el resultado: Actividades rouestas. Calcula: a) b) c) d) 0. Multilica las siguietes fraccioes y reduce, silifica, el resultado: a) b) c) d) 0.. Proiedades del roducto de fraccioes Proiedad coutativa. Nos idica ue o iorta el orde e el ue coloueos los factores: Ejelo: ; Proiedad asociativa. Nos señala cóo se uede ultilicar tres o ás fraccioes. Basta hacerlo agruádolas de dos e dos: s r s r s r s r Ejelo: Proiedad distributiva de la ultilicació resecto de la sua. Cuado e ua ultilicació uo de los factores viee dado coo la sua de dos fraccioes coo, or ejelo, teeos dos ocioes ara coocer el resultado: a) realizar la sua y, desués, ultilicar ; 0 0 b) distribuir, alicar, la ultilicació a cada uo de los suados y, desués, suar: Corobeos ue obteeos el iso resultado: 0 0 E geeral, la roiedad distributiva de la ultilicació resecto de la sua os dice ue b a b a b a Coviee coetar ue la aterior roiedad distributiva leída e setido cotrario, de derecha a izuierda, es lo ue coúete deoiaos sacar factor coú:

7 Actividades rouestas Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Realiza los roductos idicados: a) b) c). Efectúa las siguietes oeracioes: a) b) c).. Cociete de fraccioes So cuatro las oeracioes básicas de los úeros aturales y eteros, a saber: la sua, la resta o diferecia, el roducto o ultilicació y la divisió. Para las fraccioes ya ha sido establecidas las tres rieras, os falta la divisió. Recordeos cóo odeos eteder la divisió de dos úeros aturales. Por ejelo, la divisió de etre, cuyo resultado es, odeos etederla coo ue si teeos objetos y los agruaos de dos e dos resultará gruos. De esta fora, la divisió de (o de la fracció euivalete /) etre la fracció / os llevará al úero de gruos ue obteeos al reartir uidades e agruacioes foradas or / artes: uidades, a cuátas cuartas artes euivale? Resuesta: a, ya ue =. De esta aera, = / = / si colocaos cuartas artes de tres e tres, cuátas agruacioes teeos? Resuesta:, ues : = Es decir, : :. Observeos ue : E geeral, : Ejelo: : 0 Actividades rouestas. Calcula: a) : b) : c) : d) : e) :. Realiza las siguietes divisioes y reduce, silifica, el resultado: a) : b) : c) : d) :. OTROS ASPECTOS DE LAS FRACCIONES.. Coaració de fraccioes Puesto ue las fraccioes so úeros, es iteresate ue seaos coararlas, ue odaos dictaiar cuál es ayor o cuál es eor. Para averiguarlo odeos trasforarlas e otras fraccioes euivaletes, de aera ue tega el iso deoiador, y, a la vista de los ueradores, ya es uy secillo decidir. Ejelo: Cuál de las siguietes fraccioes es la ayor? / y / Los deoiadores so y. Su íio coú últilo es 0: ; 0 0 Coclusió: / es ayor ue / Ejelo: Ordea las siguietes fraccioes de eor a ayor:,, 0 Los deoiadores so, y 0. Su íio coú últilo es 0 ya ue 0 0 ; 0 ; 0. c..(,,0) Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF

8 Coclusió: 0 Podeos corobar ue si debe culirse ue Actividades rouestas 0. E cada uo de los siguietes ares de fraccioes, idica cuál es la ayor: 0 a) y b) y c) y d) y. Ordea las siguietes fraccioes de eor a ayor:,,,.. Descoosició de ua fracció Cuado teeos ua fracció / iroia, es decir, ua fracció e la ue es ayor el uerador ue el deoiador, odeos descooerla coo la sua de u úero atural ás otra fracció e la ue ya es ayor el deoiador. Para ello basta co dividir el uerador etre el deoiador y teer e cueta tato el resto coo el cociete. La fracció / es iroia al ser ayor su uerador. Al dividir etre obteeos u cociete igual a y u ( ) resto igual a. Por ello: Luego / es igual a ocho uidades ás dos terceras artes. E alguas ocasioes, e lugar de escribir exresió lo ue se deoia úero ixto, ues recoge su arte etera y su arte fraccioada. Hay ue teer cuidado co o cofudirlo co Actividades rouestas. Escribe coo úero ixto las fraccioes: a) ; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 Actividades rouestas ( ) ( ) ( ). Efectúa las siguietes oeracioes: a) b) c) Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF se ota or la.. Fraccioes egativas E este caítulo todos los ejelos de fraccioes ha sido a artir de dos úeros aturales, o eteros ositivos; uo, el uerador, y, otro, el deoiador. Igual ue e otros cursos, desués de estudiar los úeros aturales, se dio aso a los úeros egativos y, co ellos, a los úeros eteros, vaos a itroduciros ahora e las fraccioes egativas. No se ha hecho así desde el riciio del caítulo orue arece coveiete aduirir ates cierta soltura y coociietos sobre fraccioes ositivas. E adelate, ua fracció será ua exresió de la fora / dode tato coo so úeros eteros, y el deoiador,, es distito de cero. Las coocidas reglas de los sigos de los úeros eteros, a la hora de ultilicar o dividir, tabié so válidas ara las fraccioes. Por ello u coveio extedido sobre el asecto de ua fracció cosiste e ue el deoiador sea u úero etero ositivo, es decir, u úero atural. Vaos a exoer ua serie variada de ejelos e los ue aarece fraccioes egativas y alguas de sus roiedades. Ejelos: ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Mateáticas º de ESO.. Razoa si so ciertas o o las siguietes afiracioes: a) Si el deoiador de ua fracció es u úero rio etoces la fracció es irreducible. b) Si el deoiador de ua fracció o es u úero rio etoces la fracció o es irreducible. c) Hay fraccioes irreducibles cuyo deoiador o es u úero rio. d) Cualuier fracció uede ser reducida a ua fracció irreducible.. Aa ha recibido de sus adres euros y su herao eor, Eresto, la tercera arte de lo ue ha ercibido Aa. Qué catidad recibió Eresto?. A ua fiesta de culeaños asiste ersoas. La tarta ya ha sido dividida e seis orcioes iguales cuado, si eserarlo, llega ersoas ás. Describe ué se ha de hacer co la tarta ara ue todas las ersoas coa la isa catidad de tarta.. Si e la fiesta aterior e lugar de llegar reetiaete ersoas se archa, ates de distribuir la tarta ya cortada e orcioes iguales, coeta lo ue se uede hacer co la tarta ara ue las ersoas ue se ha uedado reciba la isa fracció de tarta, y o uede ada de ella.. Ua ersoa disoe de euros y ha decidido ivertir tres cuartas artes de esa catidad e cierto roducto bacario. Cuál es el iorte de lo ivertido?. Ua figura aciza esa ocho kilos y edio. Cuáto esará ua figura y edia?. Dibuja e tu cuadero ara cada caso u rectágulo, ue será la uidad, y colorea e él la fracció corresodiete a: a) b) c) d) e). Exresa ediate ua fracció la arte coloreada de cada figura: a) b) c) d). Calcula: a) de b) 0 de 0 c) de d) de 0. Covierte e fracció los siguietes úeros ixtos: a) b) c) d) e). Pilar ha leído las artes de u libro de 00 hojas. Javier ha leído los del iso libro. Cuátas ágias ha leído cada uo? Cóo so las fraccioes utilizadas?. Decide calculado etalete cuáles de las siguietes fraccioes so euivaletes a : a) b) c) d) e). Si se cogela. el agua aueta su volue e /0. Metes e el cogelador ua botella de u litro y edio, cuáto debes dejar vacío ara ue o exlote?. Escribe e tu cuadero las siguietes oeracioes y luego calcula el resultado: a) b) c) d). E ua obra de teatro ha trabajado los / del aluado de º A, / del de º B y / del de º C. E ué clase ha trabajado ás estudiates? Ordea las clases segú ue haya trabajado ás o eos estudiates.. Coia e tu cuadero y coleta los siguietes ares de fraccioes ara ue resulte euivaletes: a) y b) y 0. Exresa de fora uérica y calcula el resultado: a) U cuarto de tres tercios; b) Dos sétios de la itad; c) La itad de la uita arte. E u alacé uiere evasar tres il litros co botellas de /, cuátas botellas ecesita? 0. Coia e tu cuadero y rellea los lugares vacíos: a) ; b) ; c) ; d) 0. Escribe e fora de fracció irreducible las catidades: a) 0 iutos de ua hora; b) iutos de ua hora; c) eses de u año; d) eses de u año; e) días de ua seaa; f) horas de u día.. Coia e tu cuadero y coleta las siguietes fraccioes de fora ue resulte iroias: 0 0 Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF

10 a) b) c). Fializa las siguietes frases ara dos fraccioes co uerador y deoiador ositivos: a. si tiee el iso uerador etoces es ayor la ue tiee el... deoiador b. si tiee el iso deoiador etoces es ayor la ue tiee el... uerador RESUMEN NOCIÓN DESCRIPCIÓN EJEMPLOS Fracció Exresió de la fora / dode tato, el uerador, coo, el deoiador, so úeros eteros. /, cico sextos 0/, treita dieciueveavos Fraccioes iroias Fraccioes cuyo uerador es ayor ue el deoiador. /, /, /0 Sua de fraccioes co igual deoiador Realizaos la sua, o la diferecia, co los ueradores y ateeos el deoiador coú. Fraccioes euivaletes So fraccioes ue rereseta la isa roorció. 0/ y / Sua y resta de fraccioes co distito deoiador Fracció irreducible Producto de fraccioes Cociete de fraccioes Coaració de fraccioes Trasforaos cada fracció e otra euivalete de aera ue las uevas fraccioes tega el iso deoiador, y las suaos. Cuado el áxio coú divisor de su uerador y deoiador es. 0 0 /, /, 0/ Multilicaos sus ueradores etre sí y lo iso haceos co los deoiadores. Multilicaos la riera fracció or la ue resulta de itercabiar el uerador y el deoiador de la seguda fracció. : Podeos deteriar cuál es la ayor de dos o ás fraccioes reduciedo a coú deoiador. / < / < / / < / < / 0 Fraccioes egativas Podeos exteder la oció de fracció ara ue tato el uerador coo el deoiador ueda ser úeros eteros, distito de cero el deoiador. ( ) ( ) ( ) AUTOEVALUACIÓN DE º de ESO. Señala la fracció ue o sea iroia: a) b) c) d). Idica cuál de las fraccioes siguietes es euivalete : a) b) c) d). La sua + + es: a) b) c) d). El lugar vacío ue falta es: + = = : a) y b) y c) y d) y. Co kilos de azúcar, cuátos azucareros de kg odeos rellear? a) b) c) d). Se sabe ue u refresco co gas al cogelarlo auetará su volue / resecto al ue tiee a teeratura abiete. Para cogelar litros de esa bebida, el evase debe teer ua caacidad al eos de: a), litros, b), litros, c), litros d), litros. Elige la fracció ue sea el resultado de la divisió : : a) / b) / c) / d) /. E cada hoja de u álbu cabe seis fotografías. He lleado ya co fotos hojas y e ueda los / de is fotografías or colocar, e total uiero egar: a) fotos b) fotos c) fotos d) fotos. La cuarta arte de los de 00 euivale a: a) 0 b) 00 c) 0 d) Idica cuál de las siguietes fraccioes es ayor ue : a) Mateáticas. º de ESO. Caítulo : Fraccioes b) c) d) Ilustracioes: Baco de Iágees de INTEF