TEMA 2. Números racionales. Teoría. Matemáticas

Transcripción

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2 1.- Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Las fracciones también pueden ser negativas Otra forma de representar los números racionales consiste en utilizar cifras decimales, por ejemplo 2 se puede escribir 0,4. Cualquier fracción se puede escribir como un número decimal y cualquier número racional decimal se puede escribir en forma de fracción, a esa fracción se le llama fracción generatriz de un número decimal. 1.- Números decimales El redondeo de resultados con decimales Al hacer operaciones con números decimales, muchas veces obtenemos resultados con un gran número de cifras en la parte decimal, lo que dificulta el cálculo. En algunos de estos casos, tendremos que aproximar su valor, es decir, elegir un número lo más cercano posible al valor decimal, pero con menos cifras. El método más frecuente de aproximar valores es el redondeo. Para aproximar números decimales por redondeo, si la unidad decimal posterior a la que queremos redondear es mayor o igual que, aumentamos en una unidad la unidad decimal anterior; si es menor, no se varía. En los dos casos, se prescinde de las cifras de orden de magnitud más pequeño. Por ejemplo: 2,17461 pasa a ser 2,2 por redondeo a las décimas. 2,17461 pasa a ser 2,17 por redondeo a las centésimas. 2,17461 pasa a ser 2,17 por redondeo a las milésimas. 2,17461 pasa a ser 2,1746 por redondeo a las diezmilésimas. Si el resultado de la división es un número con infinitos decimales y vemos que hay una cifra o un grupo de cifras que se repiten, hemos identificado un número decimal periódico. Podemos escribir este tipo de números de forma más sencilla, marcando con un arco el período, es decir, la parte que se repite. Son ejemplos de números periódicos: Los decimales periódicos se clasifican en dos grupos: Puros: toda la parte decimal pertenece al período. Mixtos: la parte decimal tiene cifras que no forman parte del período. 2

3 1.2.- Operaciones con decimales Sumas y restas Podemos sumar y restar números decimales como si fueran enteros, teniendo cuidado de hacerlo siempre con los mismos órdenes de magnitud: unidades con unidades, decenas con decenas, etc. Para ello, los disponemos de manera que las comas decimales queden alineadas en vertical. Por ejemplo: Multiplicación Para multiplicar números decimales, se multiplican como si se tratara de números enteros y en el resultado ponemos la coma decimal tantos lugares desde la izquierda como cifras decimales sumen los dos factores. Por ejemplo: Para multiplicar números decimales en el resultado ponemos la coma decimal en tantas cifras como decimales haya en las cifras. División Cuando el dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero, la división se hace como si se tratara de números naturales, pero en el cociente ponemos una coma al bajar la primera cifra decimal. Veamos, por ejemplo, la división de 23,2 entre 4: Si el divisor es la unidad seguida de ceros (10, 100, 1.000, ), la división es más sencilla: basta con desplazar la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad, añadiendo ceros si es necesario. Por ejemplo: 3

4 7 : 10 = 7, 7 : 100 = 0,7 Si el dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal, suprimimos la coma del divisor y añadimos a la derecha del dividendo tantos ceros como cifras decimales tenía el divisor. Después se hace la división como si fueran números naturales : 1,6 = ( ) : (1,6 10) = : 16 = Si tanto el dividendo como el divisor son números decimales, suprimimos la coma del divisor y desplazamos la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenía el divisor. Luego hacemos la división con divisor entero, poniendo la coma decimal en el cociente al bajar el primer decimal del dividendo, si ha quedado alguno. Veamos, por ejemplo, cómo se aplica este método al dividir 17,48 entre 3,8: 2.- Números racionales 2.1. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número, para comprobarlo multiplicamos en cruz y si el resultado es el mismo, son equivalentes. 3 4 = = 6 4 = 24 Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un número entero distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada. 4

5 = 2 = 3 = También podemos dividimos numerador y denominador por un mismo número, que debe ser divisor común a ambos: = : = : = : Si la fracción resultante no se puede reducir más, se llama IRREDUCIBLE y se dice que es el representante canónico del número racional. Para hallar de forma rápida la fracción irreducible se divide numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos: M.c.d. ( 40 y 700 ) = 2. 2 = = : 0 = Sumas y restas Para SUMAR o RESTAR fracciones, se transforman en otras equivalentes que tengan un denominador común a todas ellas, y se suman entre sí los nuevos numeradores, atendiendo a sus signos. Si en dichas operaciones hay números enteros, se convierten previamente en fracciones = , que es una fracción impropia pues 9 > 7 Como tienen ambas fracciones denominador común, el 7, el resultado es otra fracción con igual denominador y como numerador la suma de numeradores = = = , que es una fracción propia pues 6 < 3

6 Como 7 y son primos entre sí, el denominador común es el producto de denominadores = = = 6 14 = Como el 2 no es una fracción, lo convertimos en fracción dividiéndolo entre la unidad. El denominador común de 7 y 1 es Producto de un número por una fracción Para multiplicar un número por una fracción se multiplica dicho número por el numerador de la fracción, dejando el denominado invariable. 4 6 =.4 6 = que reducida es 6 3 ( 7) 3 14 = ( 7).3 14 = que reducida es inversa de una fracción La inversa de un número a es 1 / a La inversa de una fracción a / b es: b 1 a = 1 b a = b a 2..- División de fracciones Para dividir dos fracciones se multiplica a la primera la inversa de la segunda = =

7 Pues la inversa de 4/6 es 6/4 Jerarquía de las operaciones Son unas normas básicas de operar con números: Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay. Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia fuera. Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay. Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay. Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA. 7