LAS MAREAS Y LA VELOCIDAD DE LA GRAVEDAD

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1 LAS MAREAS Y LA VELOCIDAD DE LA GRAVEDAD Por Alfonso León Guillén Gómez aguillen@gmx.net Derechos reservados Santafé de Bogotá, septiembre de 1993 REGISTRO ABSTRACTO 1 INTRODUCCION 2 MARCO TEORICO 3 LAS MAREAS CAUSADAS POR EL SOL GRAFICO 1. Fuerzas generadoras de las mareas. GRAFICO 2. Doble abultamiento del océano GRAFICO 3. Componentes horizontales CONTENIDO 4 EL COMPORTAMIENTO DE LAS MAREAS SEGUN LOS EFECTOS ASTRONOMICOS DE LOS MOVIMIENTOS DEL SOL-LUNA-TIERRA. 4.1 Efecto semidiurno. 4.2 Efecto anomalístico GRAFICO 4. Orbita de la Luna alrededor de la Tierra GRAFICO 5. Orbita de la Tierra alrededor del Sol. 4.3 Efectos de sicigias y cuadratura. GRAFICO 6. Plenilunio

2 GRAFICO 7. Novilunio GRAFICO 8. El Sol y la Luna en cuadratura GRAFICO 9. El Sol y la Luna en posiciones intermedias 4.4 Efectos de declinación. GRAFICO 10. Inclinación del eje terrestre GRAFICO 11. Presesión del eje terrestre GRAFICO 12. Cambios en la desigualdad diurna 5 LAS MAREAS TERRESTRES. GRAFICO 13. Marea lunar semidiurna M2. 6 EL EXPERIMENTO. 6.1 Armónicas principales de las mareas. GRAFICO 14. Variaciones de la gravedad al aumentar la latitud. GRAFICO 15. Variación de las componentes norte-sur con la latitud. GRAFICO 16. Variación de las componentes este-oeste con la latitud. 6.2 Medición de los componentes de las armónicas. 6.3 Efectos principales de las armónicas. 6.4 Variación del efecto semianual solar. GRAFICO 17. Variaciones de L2 durante los períodos T1 y T2 6.5 Retardo en la propagación de la variación de la gravedad 6.6 Experimentos para medir el retardo K0. GRAFICO 18. Gravímetro de Hartley GRAFICO 19. Péndulo horizontal GRAFICO 20. Colocación de los dos péndulos GRAFICO 21. Variación de L2 en el perihelio y en ahelio con la latitud TABLA 1. Calendario en que pueden realizarse las observaciones GRAFICO 22. Registro de la fuerza generatriz de L2 según el gravímetro 6.7 Fórmula para medir la velocidad de la gravitación. 6.8 otra alternativa. GRAFICO 23. Pleamar y bajamar semimensual GRAFICO 24. Variación de la componente horizontal de Msf con la latitud GRAFICO 25. Variación de la componente vertical de Msf con la latitud GRAFICO 26. Variaciones de Msf durante los períodos T1, T2, T3 y T4 GRAFICO 27. Variación en el día de la fuerza generatriz de Msf según el componente horizontal durante las sicigias y cuadraturas. 7 REFERENCIAS

3 REGISTRO Esta obra bajo el nombre de PROPUESTA PARA LA REALIZACION DE UN EXPERIMENTO QUE SIRVA PARA MEDIR LA VELOCIDAD DE PROPAGACION DE LA GRAVITACION fue registrada en la Unidad Administrativa Especial, Dirección Nacional del Derecho de autor, Oficina de Registro, en Bogotá, Colombia, el 29 de septiembre de Dicho registro aparece en el libro 10, tomo 25, partida 494. La aventura del descubrimiento de América es repetida con cada nueva idea. Es muy difícil que las ideas muevan al mundo, pero la aventura de las ideas es moverlo. Una nueva idea busca paso, ésta es la de medir la velocidad la velocidad de la propagación de la gravedad, durante el espectáculo de la danza del Sol y los planetas. En ese momento, la magia de la tecnología podrá hacer la revelación del burlador natural, Y agarrarlo en el acto en que el Sol y la Tierra se unen, y el Sol causa las mareas sobre nosotros. El retardo, entre el acto de unión y las mareas, es la clave de la solución. El autor. ABSTRACTO En el desarrollo de la hipótesis formulada, en 1969, por el autor de la existencia de velocidades mayores que c (velocidad de la fotón en el vacío cuántico), una de las cuales sería la velocidad del gravitón virtual, desde luego desde el enfoque de una teoría sobre la gravedad cuántica, se propone realizar un experimento para medirla con base en las mareas que se producen en la Tierra, por la acción gravitatoria Sol-Luna, usando una técnica marco de la que se deberá obtener una técnica perfeccionada. 1 INTRODUCCION Hoy día, los físicos y astrónomos tienen la posibilidad de realizar una de las mediciones más espectaculares, como es la velocidad con que la gravedad se propaga, tanto por introducir una importante referencia experimental a la teoría sobre la gravedad que sin ella busca refugio en la especulación [1] como por permitir, crucialmente, confrontar la teoría de la Relatividad, respecto a su explicación, del fenómeno, de la constancia de la velocidad de la luz, en relación a cualquier sistema de referencia, y que, de acuerdo a esa teoría, no deberán existir velocidades mayores que la de la luz, ya que se rompería con la ley de la causalidad al poderse enviar mensajes hacía el pasado[2]. En el contexto de la anterior teoría, la mayoría de los físicos estiman que la velocidad de propagación de la gravitación es igual que la de la luz, o sea, en el vacío de 300 mil km/s [3], pero, también, existe la posibilidad que sea mayor, como se colige de la formulación que hiciera, el propio, Albert Einstein, de la dependencia de velocidad de la luz del campo gravitatorio, que actúe sobre ésta y que, al decir del físico M. Abraham, es la quiebra de la teoría de la Relatividad Especial, con su hipótesis de la constancia de la velocidad de la luz. En la novísima teoría de la gravedad cuántica se espera que en las distancias de Planck, regiones de diez a la menos treinta centímetro, aparezcan velocidades mayores que la de la luz [4].

4 Por otra parte, en astronomía, tanto en la teoría del Universo estacionario [5] como en la estimación de la velocidad con que se separan algunos quasares y las radiofuentes que los acompañan [6], se ha considerado la posibilidad de la existencia de velocidades mayores que la velocidad de la luz aunque posteriormente han sido descartadas. En el año de 1969 propuse que la velocidad de la gravedad es mayor que la velocidad de la luz, basándome en el libro El Cosmos y sus siete estados, Moscú, 1967, de los físicos rusos M, Vasiliev y K. Staniukovich quienes publicaron que la gravedad podía ser un estado más de la materia que se manifiesta bajo los aspectos del gravitón-onda gravitatorio del campo gravitatorio, capaz de transmutarse en el campo electromagnético o en cualquiera otro estado material y en el papel que público en 1968 el científico ruso Andrei Saharov en el cual dijo que la gravedad podía provenir de cambios que la presencia de la materia en el Universo provoca en el punto cero de la energía del vacío y, en consecuencia, que la gravitación podría ser un fenómeno puramente cuántico [7] y en otra interpretación del fenómeno de la independencia de la velocidad de la luz, respecto a los sistemas inerciales de referencia donde la misma se mida, el cual concebí como la situación general de las velocidades límites, que corresponden a puntos de cambio en las formas de existencia de la sustancia y la energía, es decir, entre los diferentes estados materiales; en estos puntos, la transformación de las velocidades de móviles, entre diferente sistemas de referencia, no corresponde a la transformación de Galilei, sino a transformaciones del tipo de la de Lorentz [8], ya que en tales "mundos", referidos a los diferentes estados, existen velocidades limites para la comunicación de señales, como son las velocidades propias de cada estado o forma material, las que juegan igual papel a la velocidad de la luz en nuestro universo [9]. En esta obra se presenta una propuesta para medir, experimentalmente, la velocidad de la gravitación o, por lo menos, compararla con la de la luz, basada en las mareas que el Sol causa en la Tierra. La presentación que se hace de la teoría, que posibilita la realización del experimento, es siempre en términos de simplificaciones, acerca de cómo ocurren los fenómenos que son tratados, pero, válida como aproximación a una teoría científica. 2 MARCO TEORICO El desarrollo de la solución propuesta aquí, tiene como marco las premisas siguientes: - Existencia del fenómeno natural de las mareas provocado por la acción de la gravedad de la Luna y del Sol [10] - Posibilidad de estudiar tal fenómeno bajo condiciones de variabilidad de la acción de la gravedad. - La suposición que la gravedad posee una velocidad de propagación [11].

5 - La posibilidad de medir el retardo con que se comunica la variación de la gravedad al fenómeno de las mareas. 3 LAS MAREAS CAUSADAS POR EL SOL La atracción gravitatoria de la Luna, el Sol y la Tierra da por resultado las fuerzas que ocasionan las mareas. Estas fuerzas son la diferencia entre las fuerzas gravitatorias ejercidas por el Sol y la Luna sobre la Tierra y las fuerzas centrípetas que en la Tierra se originan en sus movimientos orbítales respecto a estos astros (ver gráfico 1).

6 GRAFICO 1. Fuerzas generadoras de las mareas. El efecto sobre la superficie del océano es el que asuma una configuración de doble abultamiento, uno en dirección a la Luna y el otro abultamiento en oposición a ésta (ver gráfico 2 ), que corresponde a un campo gravitatorio eficaz, el cual consiste en el campo gravitatorio Luna-Sol-Tierra más la modificación por los efectos dinámicos de translación de la Tierra antes referidos [12], y por la rotación alrededor de su propio eje, estos movimientos producen efectos de inercia, tales como la fuerza de Coriolis, si intervienen aceleraciones, que son comunicados a las masas de agua [13].

7 GRAFICO 2. Doble abultamiento del océano La componente horizontal (ver gráfico 3), de la fuerza resultante, es la única fuerza que produce las mareas al, provocar el desplazamiento horizontal de agua que es la ola de marea la cual tiene el mismo periodo de esta fuerza resultante [14] y su valor máximo es sólo la nueve millonésima parte de la fuerza gravitatoria terrestre [15]. El efecto de la componente vertical es cambiar, muy ligeramente, la magnitud de la gravedad terrestre.

8 GRAFICO 3. Componentes horizontales El fenómeno de las mareas es básicamente el movimiento de un fluido sometido a un campo gravitatorio y a los diferentes movimientos astronómicos que, además, está modificado por el tamaño y forma de las cuencas oceánicas, así como, por su profundidad, fricciones [16] y los fenómenos atmosféricos. El efecto de las fuerzas gravitatorias de los otros astros en las mareas es despreciable, aún el efecto de Venus, que aunque alcanza a producir mareas muy tenues [17], sólo llega a representar, aproximadamente, el de la fuerza ejercida por la Luna, en la fase de Venus Nuevo, cuando más próximo se encuentra a la Tierra. La influencia principal, en el fenómeno de las mareas, es la de la Luna debido a su cercanía a nuestro planeta. Sin embargo, no es la mejor opción para medir la velocidad de la gravitación ya que si es igual a la velocidad de la luz sólo gastará un poco más de un segundo en recorrer los kilómetros que, en promedio, existen entre la Tierra y la Luna. El experimento adecuado, para medir la velocidad de la gravitación, debe basarse en el efecto del Sol en las mareas ya que es un poco menos de la mitad del de la Luna, aproximadamente.46 de la fuerza ejercida por ésta [18] y, en cambio, se encuentra a 150 millones de kilómetros de la Tierra, demorando su luz, aproximadamente, 8 minutos y 31 segundos en llegarnos. El efecto del sol en las mareas se encuentra siempre mezclado con el efecto de la Luna, ya que la fuerza gravitatoria ejercida por dos cuerpos sobre un tercero, en cualquier punto, es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas individualmente por los dos primeros [19]. Tal hipótesis se basa en la ausencia de observaciones de efectos que permitan pensar, que se pueda producir algún tipo de captura de la gravedad de un astro por otro [20]. Los efectos principales del Sol en las mareas son conocidos como S2, efecto solar semidiurno que posee una periodicidad de 12 horas, y K1, efecto luni-solar diurno con periodicidad de 23 horas, 56 minutos 4 segundos (día sideral) [21].

9 4 EL COMPORTAMIENTO DE LAS MAREAS SEGUN LOS EFECTOS ASTRONOMICOS DE LOS MOVIMIENTOS DEL SOL-LUNA- TIERRA. 4.1 Efecto semidiurno. Como consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra, alrededor de su propio eje, un mismo punto sobre el Ecuador pasará primero a través de un abultamiento de agua y después a través del otro (ver gráfico 2), y se producirán dos mareas por día, de magnitud más o menos igual, que alcanzarán la altura máxima, ya que pasa por la parte más alta de cada abultamiento. En cambio, un punto algo más al norte o al sur del Ecuador atravesará Sólo una parte del abultamiento, que tendrá una amplitud menor en la altura de la marea [22]. 4.2 Efecto anomalístico La órbita elíptica de la Luna alrededor de la Tierra produce una variación del efecto gravitatorio como resultado cambio de la distancia entre el perigeo que es, aproximadamente, de 357 mil kilómetros y el apogeo, cuando su distancia es cercana a 407 mil kilómetros (ver gráfico 4). El periodo desde un perigeo hasta el siguiente, conocido como mes anomalístico, es de días [23].

10 GRAFICO 4. Orbita de la Luna alrededor de la Tierra Igualmente, la parte de las fuerzas generadoras de las mareas producidas por el Sol varía ya que es afectada por la órbita elíptica de la Tierra alrededor de éste (ver gráfico 5). La periodicidad correspondiente es llamada año anomalístico, ligeramente mayor que el año sideral, porque la línea que une la Tierra y el Sol, en el perigeo, avanza alrededor de la órbita de la Tierra 11 segundos de arco por año como promedio. El año anomalístico es de días [24].

11 GRAFICO 5. Orbita de la Tierra alrededor del Sol. 4.3 Efectos de sicigias y cuadratura. La fuerzas que producen las mareas, también, varían a causa de efectos de sicigias y cuadratura, los cuales son producidos por la variación de las posiciones relativas entre el Sol y la Luna, lo que ocurre con una periodicidad, aproximada, de 15 días [25] y son conocidos como el resultado de la acción combinada de las mareas lunares y solares [26].

12 Las mareas vivas o de sicigias se producen con intervalos de 15 días durante el plenilunio (oposición) y el novilunio (conjunción), cuando el Sol, la Luna y la Tierra están en l1nea recta (ver gráficos 6 y 7) y las fuerzas generadoras de las mareas alcanzan un máximo, lo cual causa mareas más altas a las dos altas que ocurren diariamente [27], siendo especialmente observables en la Bahía de Fundv al este del Canadá [28]. En dichas fases la Luna aparece cuando el Sol lo hace, o sea, a las 6 a.m. tiempo local y esta en el meridiano del observador al medio día y se oculta, aproximadamente, a las 6 p.m. [29]. En realidad, debido a efectos todavía no considerados las mareas de sicigias están algo retrasadas con respecto a los momentos de conjunción y oposición [30] GRAFICO 6. Plenilunio

13 GRAFICO 7. Novilunio También, cada 15 días el Sol y la Luna están en cuadratura (ver gráfico 8) y debido a que las fuerzas generadoras de las mareas operan en ángulos rectos entre sí, o sea, que están 90 grados fuera de fase, se producen las mareas muertas o de cuadratura en las cuales la amplitud de las mareas es mínima [31]. GRAFICO 8. El Sol y la Luna en cuadratura

14 Cuando la Luna está en posición intermedia entre la cuadratura y la conjunción u oposición, las crestas de la marea se forma detrás o adelante de la Luna (ver gráfico 9), lo cual ocasiona que en la Tierra se vea antes o después del pasaje de la Luna la marea alta. Estas son llamadas mareas retrasadas [32]. GRAFICO 9. El Sol y la Luna en posiciones intermedias 4.4 Efectos de declinación. Las fuerzas que producen las mareas, también, varían a causa de las declinaciones de los planos definidos por las trayectorias de la Tierra al moverse alrededor del Sol, el plano de la órbita, de la Luna en torno a la Tierra y el plano ecuatorial terrestre. Estos son tres planos diferentes en el espacio. El eje de la Tierra tiene una inclinación tal que el plano ecuatorial forma un ángulo de 23.5 grados con el plano de la órbita terrestre. Además, el plano de la órbita de la Luna forma un ángulo de 5 grados con la órbita de la Tierra [33]. El eje terrestre conserva una dirección constante en el espacio, inclinada en un ángulo de 23.5 grados respecto de una línea trazada perpendicularmente al plano de la órbita terrestre. El plano ecuatorial terrestre pasa a través del Sol en las posiciones de los equinoccios de primavera y otoño (21 de marzo y 21 de septiembre). Pero, en las posiciones del solsticio de verano (21 de Junio) su inclinación es de 23.5 grados de latitud norte y en el solsticio de invierno (21 de diciembre) su inclinación es de 23.5 grados de latitud sur (ver gráfico 10). Por lo tanto, la línea de los centros de las fuerzas de las mareas solares varía 47 grados sobre la superficie terrestre a medida que transcurre el año [34].

15 GRAFICO 10. Inclinación del eje terrestre Por su parte, el eje del plano de la Luna se mueve 10 grados entre el norte y el sur, respecto al plano ecuatorial terrestre, durante el mes de manera similar a como lo hace el Sol durante el año [35]. Existen otros dos efectos de declinación aunque se producen en lapsos más extensos. Uno de ellos es la retrogadaci6n de los nodos lunares el cual se debe a que la intersección del plano de la órbita lunar con el plano de la órbita terrestre gira con un periodo de 18.6 años, lo que ocasiona dos fases: en una la declinación de la Luna alcanza 28.5 grados y en la otra 18.5 grados (23.5 grados más o menos 5 grados). Estas fases suceden cada 9.3 años. El efecto en la fuerza generadora de la marea lunar es que, en la primera fase, varia 57 grados al norte y al sur sobre la superficie terrestre durante el mes. En la segunda fase, 9.3 años después, la variación mensual norte-sur es sólo de 37 grados [36]. El otro efecto de declinación es el de la presesión de equinoccios ver gráfico (11) que se debe al cambio lentísimo de la dirección del eje de rotación de la Tierra, el cual traza un cono cuyo ángulo mide 23.5 grados y demora años en dar una revolución completa (37).

16 GRAFICO 11. Presesión del eje terrestre Las consecuencias de las declinaciones son las que dos mareas sucesivas no tengan la misma amplitud, lo que es llamado desigualdad diurna. Tanto el Sol como la Luna contribuyen, a esta desigualdad, al desplazarse desde el Ecuador hacia los hemisferios norte y sur. La máxima amplitud semidiurna de la marea se producirá cuando la Luna esté en el Ecuador, la mínima cuando la Luna tenga la máxima declinación (ver gráfico 12). Esta variación se llama para la Luna marea lunar quincenal, ya que la oscilación de la declinación se cumple en un mes trópico de días (un mes trópico es el tiempo entre dos pasajes sucesivos de la Luna a través del plano ecuatorial terrestre) y el periodo de declinación de la marea es la mitad, o sea días. Para el Sol, el efecto correspondiente es la marea solar semianual [38]. GRAFICO 12. Cambios en la desigualdad diurna

17 5 LAS MAREAS TERRESTRES. La marea, desde la perspectiva de sus causas astronómicas, está integrada por la combinación de un cierto número de ondas parciales o armónicas de la marea, clasificadas como forzadas, por estar constantemente sometidas a las fuerzas astronómicas que las generan [39]. Estas fuerzas están relacionadas, como fue visto anteriormente, con: - Cambios en la distancia del Sol y la Luna - Cambios en la posición relativa del Sol y la Luna - Cambios en la declinación del Sol y la Luna Existen otras ondas de periodicidad fija aunque su contribución es pequeña y puede ser omitida [40) La determinación de esas ondas y su comportamiento en el tiempo se puede calcular con gran precisión. Sin embargo, la marea ni cuando se produce ni su amplitud generalmente coinciden con la predicción basada en sus causas astronómicas. Esto es debido a que es necesario agregar las condiciones dinámicas reales propias del movimiento de un fluido, modificado por la topología oceánica, por: la fricción, por efectos geostróficos originados por la rotación de la Tierra y por los fenómenos atmosféricos. No obstante, para una localidad dada la hora de la marea alta debida a una marea parcial determinada se producirá en un número definido e invariable de horas antes o después del pasaje de la Luna. Además el grado de ascenso o descenso será siempre el mismo. Por lo tanto la marea puede predecirse para cualquier instante, basándose en dos constantes: el grado de ascenso y descenso y el intervalo entre el pasaje de la Luna y la pleamar. El obtener éstas constantes depende del lugar de observación durante un largo tiempo, y se debe registrar la marea real allí quizás 20 años a fin de que las mareas de periodo largo queden incluidas y los cambios al azar debidos, por ejemplo, a efectos meteorológicos se puedan promediar y eliminar. La marea real se obtendrá, para cada lugar, sumando las mareas parciales que la componen [41]. El problema de predicción se simplifica si se considera el fenómeno de las mareas terrestres o mareas sólidas, las cuales son más sencillas, ya que las partículas que forman la Tierra sólo pueden vibrar como una esfera y la teoría de tales vibraciones es conocida desde hace mucho tiempo y se sabe que el periodo fundamental de oscilación es de alrededor de 54 minutos, lo cual elimina las resonancias y las complicaciones que traen, dado que los periodos de las fuerzas astronómicas generadoras de las mareas son mucho mayores [42]. Por lo tanto, la teoría astronómica de las mareas, llamada teoría del equilibrio, es más adecuada a las mareas terrestres que a las oceánicas. Aunque, no plenamente suficiente ya que en las terrestres, también, existen algunos factores de distorsión tales corno la fluctuación este-oeste solar diurna debida a un calentamiento diferencial de la Tierra por el Sol que provoca una expansión-contracción y la inclinación de la corteza causada por las variaciones del peso del agua que parecen relacionadas con las mareas oceánicas en las costas y sitios aledaños, en especial si éstos están ubicados a lo largo de fallas geológicas como sucede en gran parte del territorio del Japón [43].

18 Las mareas terrestres se manifiestan en la variación en la intensidad de la gravedad y en la dirección de la vertical, fenómeno plenamente establecido y acerca del cual no hay duda alguna [44]. También, es esperable que se produzca una deformación real de la Tierra como consecuencia de las tensiones a que es sometida. El efecto de la marea terrestre si la Tierra fuera completamente rígida correspondería sólo a las fuerzas de la marea, que pueden predecirse por medio de la teoría del equilibrio [45]. Sin embargo, la Tierra posee algún nivel de elasticidad que introduce incertidumbre en la medición. Las mareas terrestres se han estudiado principalmente en Estados Unidos, Japón, Rusia y Alemania. En Hesse, Alemania, en la mina Reichenberg el análisis, de los datos del experimento, realizado allí, reveló ocho de las mareas parciales en periodo corto; las relaciones de amplitud y fase concuerdan con las predicciones teóricas [46]. En otro experimento llevado a cabo en Marburgo, Alemania, se midió los cambios en magnitud y dirección de la marea lunar semidiurna, usando dos péndulos horizontales colocados en ángulo recto, que pueden medir cambios infinitesimales en la vertical. El gráfico 13 muestra el registro de tales cambios a medida que transcurre el tiempo GRAFICO 13. Marea lunar semidiurna M2. La elipse exterior es una representación de 105 valores calculados a partir de la teoria para una Tierra rígida, es decir, con base sólo en las armónicas de origen astronómico. Los valores experimentales representados en el elipse interior son en todas partes menores, lo cual indica cierto grado de elasticidad de la Tierra. Los números que aparecen en las elipses representan horas lunares. Como puede observarse existe una diferencia de cerca de media hora entre el valor experimental y la predicción teórica.

19 Tanto la diferencia de fase como la deflexión pueden variar bastante con el lugar. Tampoco los ejes de las elipses coinciden siempre tan bien como aquí [47]. Los diversos experimentos realizados, en el mundo acerca de las mareas tanto oceánicas como terrestres, nunca han tenido el propósito de medir la velocidad con que se propaga la gravitación, sino que han buscado arrojar mayores conocimientos acerca de las mareas, fundamentalmente con la finalidad de predicción. También, algunos de los relativos a las mareas sólidas han satisfecho objetivos de geofísicos y geólogos al allegar información acerca de la configuración en el interior de la Tierra, así como acerca de su elasticidad. 6 EL EXPERIMENTO. 6.1 Armónicas principales de las mareas. Las mareas se estudian, mediante una técnica matemática, descomponiéndolas en sus armónicas que, como se vio, son movimientos simples debidos a causas astronómicas distintas y a otros fenómenos, que permiten, una vez conocidas estas armónicas, reconstruir las mareas para cualquier fecha y hora [48]. Según la teoría del equilibrio las armónicas fundamentales de periodo corto, son las cuatro siguientes: - M2, periodo lunar semidiurno de 12 horas, 25 minutos, 14 segundos. - 01, periodo lunar diurno de 25 horas, 49 minutos, 10 segundos. - s2, periodo solar semidiurno de 12 horas. - K1, periodo lunisolar diurno de 23 horas, 56 minutos, 4 segundos (día sideral). Considerando, únicamente, los efectos astronómicos se pueden calcular las amplitudes de todas las anteriores armónicas para cualquier latitud. Los componentes verticales varían con la latitud como se muestra en el gráfico 14. Las fuerzas diurnas de la marea no tienen componente vertical en el Ecuador mientras las semidiurnas alcanzan allí el máximo. Como puede concluirse, para estudiar las periodicidades lo óptimo es realizar las observaciones para las armónicas diurnas, O1 y K1, a 45 grados de latitud y para las semidiurnas, M2 y S2 cerca del Ecuador [49].

20 GRAFICO 14. Variaciones de la gravedad al aumentar la latitud. Las componentes horizontales difieren en sus efectos norte-sur y este-oeste. El gráfico 15 muestra las variaciones de las componentes horizontales norte-sur con la latitud. Las fuerzas diurnas de la marea tienen sus máximos negativos y positivos en el Ecuador y en los polos; las semidiurnas son cero [50]. GRAFICO 15. Variación de las componentes norte-sur con la latitud.

21 El gráfico 16 muestra las variaciones de los componentes horizontales este-oeste con la latitud. Otra vez las dos periodicidades son opuestas. Me es la armónica principal en todas las latitudes, excepto en las altas [51]. GRAFICO 16. Variación de las componentes este-oeste con la latitud. 6.2 Medición de los componentes de las armónicas. Las variaciones de las componentes verticales se miden con el gravímetro. El efecto máximo de la armónica M2, en el Ecuador, corresponde a una aceleración de la gravedad de 7.3 por 10 a los menos 5 centímetros por segundo al cuadrado [52]. Las variaciones de los componentes horizontales se miden con un instrumento como el péndulo horizontal que sirve para establecer inclinaciones, o sea, variaciones en la dirección de la plomada. El valor máximo para los componentes norte-sur es el de la armónica K1 y representa una inclinación de alrededor de + o segundo. Para el componente este-oeste, la de M2 alcanza un máximo de segundo. Si se usan dos péndulos, en ángulos rectos entre S1, los efectos debidos a los componentes norte-sur y este-oeste pueden detectarse y medirse [53]. 6.3 Efectos principales de las armónicas. Los efectos principales que pueden ejercer las fuerzas de la marea sobre la parte sólida de la Tierra son dos: - Un cambio en la magnitud efectiva de la fuerza gravitatoria terrestre, que puede traducirse en un desplazamiento vertical de la superficie de la Tierra.

22 Una variación en la dirección aparente de la fuerza gravitatoria terrestre, que también puede producir deformación. Algunas de las consecuencias físicas observables son: - Reducción de la amplitud de las mareas oceánicas por la protuberancia en el fondo del mar causado por las mareas sólidas. - Desviaciones periódicas en las lecturas del gravímetro. - Inclinación de la corteza terrestre con respecto a la vertical y distorsiones elásticas de la corteza, medibles con el péndulo horizontal. Estas pueden tomar la forma de tensiones y expansiones y contracciones de su volumen [54]. 6.4 Variación del efecto semianual solar. Una de las armónicas de periodo largo es la semianual solar que es consecuencia de la órbita elíptica de la Tierra alrededor del Sol (ver gráfico 5), la cual se representa por L2 y sus valores extremos corresponden al perihelio, cuando la Tierra se acerca a millones de kilómetros al Sol (31 de diciembre) y al ahelio cuando esta más distante, a unos millones de kilómetros (1 de julio) [55]. La periodicidad es el año anomalístico durante el cual la fuerza gravitatoria del Sol, generadora de la marea L2, varia y puede tener efectos observables, ya que los cambios en la distancia afectan las fuerzas de las mareas según la ley de la inversa del cubo [56]. El cambio producido en la aceleración de la gravedad, entre el perihe1io y el ahe1io en el Ecuador, es de 3 millonésimas de centímetros por segundo al cuadrado, o sea, 24.3 veces menor a la causada por el componente vertical de la armónica M2, que como se recordará, es la que tiene el efecto máximo. No obstante, el efecto tan ínfimo de la variación provocada por el componente vertical de la armónica L2, en la aceleración de la gravedad, puede ser medida por el gravímetro dada la extraordinaria sensibilidad de éste, el cual hacia 1988 permitía registrar variaciones del campo gravitatorio terrestre de, por lo menos, una parte en mil millones, es decir, de 10 a la menos 9 partes de g (980 centímetros por segundo al cuadrado) [57]. La variabilidad, debida a la excentricidad de la órbita terrestre, de la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol, sobre la Tierra se puede trazar en un mapa [58], durante donde se representarán los dos periodos siguientes: - T1 en la cual durante el lapso comprendido entre el 1 de julio (ahelio) y el 31 de Diciembre (perihelio) la distancia de la Tierra al Sol disminuye en 5 millones de kilómetros y, por lo tanto, la fuerza generadora de la marea L2 se incrementa continuamente hasta alcanzar, para el componente vertical en la latitud del

23 Ecuador, su máximo valor el que es aproximadamente, 3.3 por 10 a la menos 5 centímetro por segundo al cuadrado y, también, el máximo valor para el componente horizontal, que en la latitud de 45 grados es de 2.5 por 10 a la menos 5 centímetro por segundo al cuadrado. - T2 en la que durante el lapso comprendido entre el 31 de diciembre (perihelio) y el 1 de julio (ahelio) la distancia de la Tierra al Sol aumenta en 5 millones de kilómetros y la fuerza generadora de la marea L2 disminuye continuamente hasta alcanzar sus mínimos valores los cuales, aproximadamente, son: para el componente vertical, en la latitud del Ecuador, 3 por 10 a la menos 5 centímetro por segundo al cuadrado y para el componente horizontal, en la latitud de 45 grados, de 2.3 por 10 a la menos 5 centímetro al cuadrado. En la fase T1 aumenta +3, en la vertical, y +2, en la horizontal, millonésimas de centímetro por segundo al cuadrado mientras que en la fase T2 disminuye dichas cantidades. Los anteriores datos fueron calculados con base en las fórmulas siguientes: - Fuerza por unidad de masa según la vertical = G Mr * (cos ^ 2 z -1) / d^3 - Fuerza por unidad de masa según la horizontal = G ( -3Mr) sen 2Z / 2d^3 Donde: G es la constante de gravitación. M es la masa del astro que causa la fuerza generatriz de la marea d es la distancia de su centro a la Tierra. Z es la distancia cenital geocéntrica. r es la distancia de la unidad de masa al centro de la Tierra. [59] En el gráfico 17 se muestra la variación de la gravedad terrestre, en el Ecuador, y de la fuerza, propiamente, de la marea, a 45 grados de latitud, durante los periodos T1 y T2.

24 GRAFICO 17. Variaciones de L2 durante los períodos T1 y T2 6.5 Retardo en la propagación de la variación de la gravedad Es ampliamente admitido y comprobado que la onda de marea no se produce instantáneamente, hecho consistente físicamente en la diferencia de fase entre las fuerzas generadoras de las mareas y las armónicas, que en las fórmulas de predicción de las mareas se representa por el valor de retardo K [60] y que fue indicado antes, cuando se presentó el experimento realizado en Marburqo acerca de la marea lunar semidiurna M2 (ver gráfico 13), donde hay una diferencia de fase de media hora. El retardo K se debe a las estructuras de la Tierra y de los océanos y su valor varia con el lugar, como consecuencia de las diferencias de tales estructuras. Sin embargo, se omite e ignora la existencia del otro tipo de retardo que es el atribuible a la velocidad de propagación de la gravedad, el que llamaré KO, no significativo en las armónicas de periodicidad corta, que son las que han sido estudiadas especialmente, pero si en la marea solar semianual, L2, ya que la fuerza generatriz, de esta marea, tiene que recorrer los 150 millones de kilómetros, que en promedio, existen entre el Sol y la Tierra. El retardo, K0, tiene que, también, manifestarse como una diferencia de fase en tiempo entre la fase predicha teóricamente con base en la órbita terrestre alrededor del Sol y la fase experimentalmente obtenida para la armónica L2. Tal diferencia es el lapso que demora en transmitirse la variación de la gravedad, causada por el cambio de distancia entre el perihelio y el ahelio, y la cual deberá corresponder a, aproximadamente, 8 minutos y 31 segundos que es el tiempo que la gravedad del Sol demoraría en llegarnos si esta se propaga con una velocidad igual que la de la luz, según la creencia de la mayoría de los físicos. Si, en cambio, como lo han hecho los estudiosos teóricos y experimentales de las mareas se ignora K0, que es lo mismo que suponerlo con valor cerrado a cero, la gravedad se propagaría entre el Sol y la Tierra cuasi instantáneamente como lo creían los físicos prerelativistas. Está es la clave, que existe en las mareas de origen solar, para encontrar la velocidad de la gravedad, y que hasta el momento ha permanecido oculta.

25 6.6 Experimentos para medir el retardo K0. Se puede realizar un experimento del tipo del de Marburgo, aunque para registrar las variaciones de la fuerza generatriz de la marea solar terrestre de periodicidad semianual L2. La razón de elegir la armónica L2 terrestre y no la oceánica es que ésta tiene un comportamiento más próximo al predicho por la teoría del equilibrio. Tales variaciones se pueden observar y registrar durante los periodos T1 Y T2, aunque, sólo durante los instantes en los cuales se producen las variaciones en la fuerza generatriz de la marea que los instrumentos de medición actuales, gravímetro y péndulo horizontal pueden registrar. Esto excluye las opciones de realizar experimentos basados en observaciones de lapso, exactamente como el de Marburqo ya que estas observaciones tienen que ser puntuales y restringidas únicamente a dichos momentos. Los experimentos para medir las variaciones en la componente vertical de L2, que se miden con el gravímetro (ver gráfico 18), se deberán efectuar en estaciones situadas sobre el Ecuador. Si se opta por el componente horizontal de L2, que se mide con dos péndulos, colocados en ángulo recto (ver gráficos 19 y 20), los experimentos se deberán llevar a cabo en estaciones situadas a 45 grados de latitud. Esto con el objetivo de contar con los valores máximos que alcanzan dichos componentes (ver gráfico 21). GRAFICO 18. Gravímetro de Hartley

26 GRAFICO 19. Péndulo horizontal

27 GRAFICO 20. Colocación de los dos péndulos GRAFICO 21. Variación de L2 en el perihelio y en ahelio con la latitud Para llevar a cabo los experimentos, de acuerdo al estado del arte y la tecnología que hubo a la altura de 1988, se cuenta con gravímetros que permiten registrar variaciones del campo gravitatorio de 10 a la menos 9 partes de g y con péndulos que registran inclinaciones de la vertical de segundos [61].

28 Para seleccionar las observaciones, que se tomarán registran en los experimentos, se deberá construir el calendario de los momentos en que se pueden efectuar las observaciones acerca de las variaciones de la fuerza generatriz de la armónica, según la capacidad de medición. Para ello, se deberá efectuar el cálculo exacto de las posiciones, de la Tierra de acuerdo a su órbita elíptica alrededor del Sol, discriminadas en unidades de día, hora, minuto y segundo, de aquellos momentos en los que ocurren las variaciones que pueden medirse. En la Tabla 1, se presenta un ejemplo de un calendario, expresado en días, de los momentos en que se producen las variaciones que son medibles de la componente vertical de la armónica L2, con base un en cálculo grueso de las fechas en que ocurren dichas variaciones. TABLA 1. Calendario en que pueden realizarse las observaciones 30 agosto 30 octubre 31 diciembre 1 marzo 30 abril 1 julio 30 a a a a a a En la fila superior, de la tabla, aparecen las fechas. En la segunda fila los valores de la fuerza por unidad de masa según la vertical de la fuerza generatriz de L2, expresada en millonésimas de centímetro por segundo al cuadrado. Y en la fila inferior el valor de la variación, la cual es de una millonésima de centímetro por segundo al cuadrado que, en los términos de la fuerza de gravedad terrestre, representa una mil millonésima parte de ésta, valor que es, precisamente, el mínimo valor que puede detectar el gravímetro. Al registrar una observación el instrumento de medición deberá encontrarse operando en la estación con una suficiente antelación tal que cubra el periodo dentro del cual ocurre la variación. En el ejemplo, si la observación seleccionada es la del 30 de agosto el gravímetro deberá estar en la estación desde el 1 de julio. Es conveniente observar que en los lapsos entre los momentos en que son efectuadas las observaciones, en el instrumento de medición se mantiene constante el valor de la componente, de la fuerza generatriz de L2, sujeta al experimento (ver gráfico 22). Así, en el ejemplo entre el 1 de julio y el 30 de agosto el gravímetro registra el valor de 30 millonésimas de centímetro por segundo al cuadrado. Sólo pasará al valor de 31 millonésimas hasta cuando se complete la variación de una millonésima, lo que ocurre el mismo 30 de agosto.

29 GRAFICO 22. Registro de la fuerza generatriz de L2 según el gravímetro El experimento se deberá realizar con base en varias observaciones tomadas en diversos años, a fin de eliminar, mediante promedios, los efectos espurios. Previo, a la realización de un experimento se deberá conocer para los lugares, donde se ubiquen las estaciones, los valores del retardo K, debido a la estructura terrestre del lugar. Es decir, se deberán preferir aquellos sitios para los cuales existe una estimación de K; de lo contrario, adicionalmente y con anterioridad, se requerirá realizar experimentos del tipo M2 para calcular K. 6.7 Fórmula para medir la velocidad de la gravitación. Se podrá aplicar el procedimiento siguiente: - Estimar los valores del componente, vertical u horizontal de la armónica L2, elegido de acuerdo con el experimento que se vaya a realizar, bajo el supuesto de que la Tierra es totalmente rígida, es decir, según la teoría del equilibrio que sólo tiene en cuenta las causas astronómicas de las mareas. Tal estimación se deberá hacer durante los períodos T1 o T2, para aquellos momentos que, de acuerdo al calendario, se hayan seleccionado para observar. En el ejemplo de la Tabla 1, los valores del componente vertical son los siguientes; 30 agosto 30 octubre 31 diciembre 1 marzo 30 abril 1 de julio

30 - Registrar las fechas, de las observaciones que intervienen en el experimento, en que los valores esperados se produjeron especificados en horas, minutos y segundos. En el ejemplo, la fecha será el 30 de agosto a las 15 horas, 38 minutos, 31 segundos, bajo el supuesto de que en un gravímetro, colocado en una estación experimental en Marburgo, se registró, en tal momento, el valor esperado, para el 30 de agosto, de las 31 millonésimas de centímetro por segundo al cuadrado, del componente vertical de la fuerza generatriz de L2. - Calcular la diferencia horaria entre la fecha experimental y la de la predicción teórica, según el calendario, para cada una de las observaciones realizadas. Por ejemplo, bajo el supuesto de que en el calendario el valor de las 31 millonésimas de centímetro por segundo al cuadrado, del componente vertical de L2, se espera que ocurra el 30 de agosto a las 15 horas, o minutos la diferencia horaria es 38 minutos y 31 segundos. - Estimar el retardo K0 restando K de la diferencia horaria obtenida en el paso anterior. En el ejemplo, K0 vale 8 minutos y 31 segundos, ya que, en Marburgo, K es igual a 30 minutos, según el experimento llevado a cabo allí con M2. - Calcular la velocidad de propagación de la gravedad obteniendo el cociente de la distancia entre la Tierra y el Sol dividida entre K0. En el ejemplo, esa velocidad es igual a la de la luz. 6.8 otra alternativa. Sin lugar a dudas, otra opción para estimar la velocidad de propagación de la gravedad es la de establecer, experimentalmente, la evolución de la armónica lunisolar sinódica de periodo semimensual, Msf, correspondiente a las mareas de sicigias y cuadratura, que durante el mes ocurren, y resultan de los cambios en la posición relativa entre la Luna y el Sol (ver gráficos 6 a 8) Si en un lugar determinado la Luna pasa por el meridiano a mediodía ocupará, en Luna nueva, la posición relativa k0 y las pleamares serán en c0 y c4 que coinciden con las producidas por el Sol, lo mismo sucederá cuando la Luna este en k4, Luna llena, éstas son las mareas de sicigias, que son las dos más altas que ocurren durante el mes lunar. Lo contrario ocurre cuando la Luna se encuentra en k2, primer cuarto, o k6, último cuarto, entonces, las crestas de la onda lunar se forman en c2 o c6 y los senos en c0 o c4, exactamente lo opuesto de lo que ocurre con la onda solar, por consiguiente, se producen las mareas de cuadratura que son las dos bajamares más intensas del mes lunar (gráfico 23).

31 GRAFICO 23. Pleamar y bajamar semimensual Los valores extremos de Msf se producen entre la pleamar de sicigia, valor máximo, cuando es igual a la suma de los efectos de los dos astros, ósea, de las armónicas M2, lunar principal, y S2, solar principal, y la bajamar de cuadratura, valor mínimo, cuando es igual la resta de S2 menos M2. Por consiguiente, la fuerza generatriz de la armónica Msf varia, entre el pleamar y el bajamar en la componente vertical, unos 14.4 por 10 a la menos 5 de centímetro por segundo al cuadrado, y en la horizontal, unos 10.8 por 10 a la menos 5 de centímetro por segundo al cuadrado. También, los valores de Msf son máximos en el Ecuador para el componente vertical y a 45 grados de latitud para la horizontal (ver gráficos 24 y 25).

32 GRAFICO 24. Variación de la componente horizontal de Msf con la latitud GRAFICO 25. Variación de la componente vertical de Msf con la latitud La evolución completa durante el mes de Msf presenta cuatro periodos el primero, T1, es la pleamar de Luna nueva. El segundo, T2, ocurre una semana luego y es la bajamar de primer cuarto. El tercero, T3, ocurre una semana después y es la pleamar de Luna llena. El cuarto, T4, ocurre en la última semana y es la bajamar del último cuarto (ver gráfico 26). Por consecuencia, el lapso mínimo para observar el efecto de la variación de Msf es de una semana.

33 GRAFICO 26. Variaciones de Msf durante los períodos T1, T2, T3 y T4 Es importante advertir que la fuerza generatriz de Msf tiene durante las sicigias o las cuadraturas otro tipo de variación, el cual es de periodo diario y lo causa el movimiento de la Tierra alrededor de su propio eje (ver gráfico 27). Tal variación no interesa el experimento de medir la velocidad de la gravedad, ya que las distancias en las que ocurre son despreciables por estar confinadas a sólo 12.7 mil kilómetros que es la longitud del diámetro de la Tierra. Pero es muy importante tenerlo en cuenta a fin de determinar que los valores esperados de los momentos en que ocurre Msf, válidos para llevar a cabo el experimento verdadero, deberán coincidir cuando la Luna pasa, exactamente, por el meridiano del observador.

34 GRAFICO 27. Variación en el día de la fuerza generatriz de Msf según el componente horizontal durante las sicigias y cuadraturas. Debido a que la variación semanal de Msf representa, aproximadamente, una diezmillonésima parte de la fuerza de gravedad se puede fácilmente medir y, por lo tanto, constituye una buena opción para realizar un experimento del tipo M2 de Marburgo. Pero, tiene la desventaja que la diferencia de fase entre el trazado teórico y el experimental, causado por el retardo K0, será sólo un poco más de un segundo que es el tiempo que demora la gravedad lunar en arribar a la Tierra, si ésta se propaga con la velocidad de la luz. 7 REFERENCIAS Los gráficos, excepto el 5, 17 Y 21 a 27, fueron tomados de Clancy Edward, Las mareas pulso de la Tierra. Los gráficos 23 y 27 provienen de la Enciclopedia General del mar. Volumen 5. [1] De Witt Bryce S. Gravedad cuántica. No. 89. Páqina 58. (1984). [2] De Witt Bryce S. Gravedad cuántica. No. 89. Página 59. (1984). [3] Tipler Paul. Física tomo l. Página 424. (1990). [4] De Witt Bryce S. Gravedad cuántica. No. 89. Página 67. (1984). [5] Kippenhahn Rudolf. Luz del confín del Universo. Páqinas 170 y 171. (1987). [6] Kippenhahn Rudolf. Luz del confin del Universo. Páginas 235 y 236. (1987). [7] De Witt Bryce S. Gravedad cuántica. No. 89. Página 65. (1984).

35 [8] Guerra Mario. Física. Tomo 1. Página 638. (1984). [9] Guillén Alfonso. Velocidades mayores que la de la luz. Semanario Dominical de "El Siglo". ( ). [10] Beiser Arthur, Krauskopf Konrad. El Universo de las Ciencias Físicas. Página 499. (1990). [11] Hawking Stephen. Historia del Tiempo. Página 50. (1988). [12] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 33. (1988). [13] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 74 a 76. (1988). [14] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 76. (1988). [15] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 34 y 36. (1988). [16] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 76. (1988). [17] Couper Heather~ Dixon Douglas, Fuller Dud1ey y otros. El Universo. [18] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 36. (1988). [19] Tipler Paul. Física tomo l. Página 422. (1990). [20] Tipler Paul. Física tomo 1. P6gina 422. (1990). [21] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 204. (1988). [22] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 46 y 47. (1988). [23] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 48. (1988). [24] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 49. (1988). [25] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 58. (1988). [26] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 52. (1988). [27] Beiser Arthur, Krauskopf Konrad. El Universo de las Ciencias Fisicas. Página 52. (1990). [28] Beiser Arthur, Krauskopf Konrad. El Universo de las Ciencias Físicas. Página 43. (1990). [29] Beiser Arthur, Krauskopf Konrad. El Universo de las Ciencias Físicas. Página 501. (1990). [30] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 53. (1988). [31] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 53 y 54. (1988). [32] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 55. (1988). [33] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 59. (1981). [34] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 60. (1988). [35] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 61. (1988). [36] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 61. (1988). [37] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 64. (1988). [38] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqinas 65 a 70. (1988). [39] Enciclopedia General del mar. Volumen 5. Páqina 888. (1989). [40] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra.- Página 71. (1988).

36 [41] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 100 a 103. (1988). [42] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 208. (1988). [43] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 213 a 215. (1988). [44] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. página 203. (1988). [45] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 217. (1988). [46] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 222. (1988). [47] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqina 213. (1988). [48] Enciclopedia General del mar. Volumen 5. Página 895. (1988). [49] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. página 205.(1988). [50] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. página 205.(1988). [51] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 206. (1988). [52] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. páginas 204 Y 207. (1988). [53] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 207 Y 211. (1988). [54] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páginas 207 Y 208. (1988). [55] Enciclopedia General del mar. Volumen 5. Página 885. [56] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra.- Página 49. (1988). [57] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Página 49. (1988). [58] Tipler Paul. Física tomo 1. página 424. (1990). [59] Gibrat Robert. La energía de las mareas. Páginas 31 y 32.(1973). [60] Enciclopedia General del mar. Volumen 5. Página 886. [61] Clancy Edward. Las mareas pulso de la Tierra. Páqinas 49 y 216.