Resumen del contenidos 5.(*3.2) sobre el Teorema del coseno y el Teorema del seno

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Eduardo Miranda Belmonte
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1 epública Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Escuela Técnica obinsoniana P.S. S. S. Venezuela Barinas Edo Barinas esumen del contenidos 5.(*3. sobre el Teorema del coseno y el Teorema del seno Observa los siguientes triángulos: Ahora veamos dos teoremas importantes: Teorema del Coseno: En todo triangulo de ángulos α, β y γ y lados opuestos correspondientes abyc,,un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos dos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos a = b + c. bc..cosα b = a + c. ac..cos β c = a + b. ab..cosγ Nos preguntamos Cuando podemos usar la ley del coseno o teorema del coseno para resolver triángulos? Existen dos criterios básicos: º Criterio L.A.L: Lado-Angulo-Lado (Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre estos entonces se puede calcular el lado frente a dicho ángulo º Criterio L.L.L. Lado-Lado-Lado (Cuando se conocen las longitudes de sus tres lados entonces se pueden calcular sus tres ángulos respectivamente Teorema del Seno: En todo triángulo de ángulos α, β y γ y lados opuestos correspondientes abyc,, donde cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto y viceversa. a b c sin α sin β sin γ = = O su recíproco : = = sin α sin β sin γ a b c

2 Y por otro lado, Cuando podemos usar la ley del seno o teorema del seno para resolver triángulos? Existen dos criterios básicos: º Criterio A.LA Angulo-Lado Angulo (Cuando se conoce un lado y sus dos ángulos básales entonces se puede calcular uno de los dos lados que quieras º Criterio L.L.A :Lado-Lado Angulo (Cuando se conocen dos lados y un ángulo correspondiente, puedes calcular uno de los dos ángulos que desees Veamos en resumen lo que queremos decir en la siguiente tabla: ( Criterio L.A.L (conoces un lado y el ángulo entre ellos dos A.LA (Conoces dos ángulos adyacentes al lado conocido L.L.L (Conoces los tres lados L.L.A ( conoces dos lados consecutivos y el ángulo opuesto a uno de ellos Fórmula a = b + c. bc..cosα b = a + c. ac..cos β c = a + b. ab..cosγ a = b = c sin α sin β sin γ b + c a cosα =. bc. a + c b cos β =. ac. a + b c cosγ =. ab. sin α sin β sin γ = = a b c Tu puedes calcular Lado Lado Angulo Angulo *

3 Ejercicios propuestos Calcular el lado indicado en cada triángulo : Calcular el ángulo indicado en cada triángulo, conocidos sus tres lados: 3 Calcula el área y el perímetro de cada triangulo en los ejercicios anteriores utilizado la fórmula de Heron : A = s.( s a.( s b.( s c A es el área del triangulo conocidos sus tres lados a + b + c s = donde s es el semi-perímetro. 3

4 4 Calcula el lado indicado en cada triángulo: 5 En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que α, β y γ son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. esuelve el triángulo en cada caso: a a = 0 cm. b= cm. γ = 35º b a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m. c c = 0 cm. α = 40º β = 70º d a = cm. b = 6 cm β = 43º e γ = 53º β = 75º c = 30,5 cm. f α = 48º β = 68º c = 47, mm. Integremos contenido, viendo algunas aplicaciones: En ciencia y en ingeniería, para determinar complementariamente entidades físicas tales como la velocidad, la aceleración y fuerzas es necesario conocer no solamente la magnitud sino también su dirección 4

5 Si conocen las fuerzas de acción F yf sobre una partícula y el ánguloθ que se forma entre ellas a través de la ley del coseno, obtenemos la fuerza resultante: F = F + F. F. F. cos (80 θ F = F + F. F. F. cos (80 θ Si conocen las velocidades de acción V yv sobre una partícula y el ánguloθ que se forma entre ellas, obtenemos la velocidad real : V = V + V. V. V. cos (80 θ V = V + V. V. V. cos (80 θ Si el ángulo θ = 90º el teorema del coseno se transforma en conocido teorema de Pitágoras Si conocen los desplazamientos de un móvil o partícula XyX y el ánguloθ que se forma entre ellas, obtenemos el desplazamiento real : X = X + X. X. X. cos (80 θ X = X + X. X. X. cos (80 θ 6 Calcular la fuerza, la velocidad y el desplazamiento real o resultante en cada caso : a F = 0 New. F = New. θ = 35º b F = 7New. F = New. θ = 35º c V = 35m/s V = 6m/s θ =60º d V = 70 m/s V = 8m/s θ =90º e X = 60m X = 54m θ =80º f X = 60m X = 54m θ =0º 7 Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 5 km/hr y el otro a 5 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 5

6 8 Dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo de 8,70º y siguiendo trayectorias rectas. Cuando los aviones han recorrido 30Km A que distancia se encuentran? 9 En geometría plana. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor 0 Determina las longitudes de los lados de un paralelogramo si una de sus diagonales mide 7,83 pulgadas y forma con los con los lados ángulos de 7º 5 y 6º 4, respectivamente. En una circunferencia de radio 96,54 pulgadas, Cuánto mide un Angulo del centro que subtiende una cuerda de 40,3 pulgadas? Uno de los lados iguales de un triangulo isósceles mide 6,73 pulgadas y uno de los ángulos básales mide 7º 0. Determine la base y la altura. 3 Determina el área de un paralelogramo cuyos lados miden 33,7 y 5, pulgadas si el ángulo entre ambos mide 67º Tres circunferencias con radio 35cm, 50cm y 65 cm respectivamente son tangentes cada una ala otra. Hallar el ángulo de el triangulo formado por los vértices de el centro de cada circunferencia 5 En cualquier polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r: Se tiene que : 360 π El ángulo central es θ = = n n El ángulo entre dos de sus lados es ϕ = 80º θ y el ϕ ángulo basal interno al triángulo AOB es α = Por tanto aplicando el teorema del coseno Encontramos que la medida de sus lados l vienen dado por : l = r..( cos θ ACalcular el área de un pentágono Y su apotema inscrito en una circunferencia de a rsen. rsen. ϕ = α = radio: 3 cm, B Calcular el área de un hexágono El perímetro P = n.l (donde n es el numero de regular inscrito en una lados y l la longitud de cada lado del polígono circunferencia de radio 4 cm C Calcular el área de un El área del polígono regular inscrito se encuentra : Octágono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 cm Pa. nla.. n. ( r..( cos θ ( rsen. α A = = = 6

7 epública Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Escuela Técnica obinsoniana P.S. S. S. Venezuela Barinas Edo Barinas 7

8 Guía didáctica Nro 0- Objetivo Dadas las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas siguientes determinar las raíces ± o soluciones de cada una: *use la ecuación de segundo grado x =. a a x x + 4 = 0 b x x + 6 = 0 c x x + 7 = 0 b b 4. ac. d x x 6 = 0 e x 8x = f x + = 9 0 g x + 7 = 0 h 5x + = x i 0 = 3x x + j a 7x x 0 + = k x x = l 3x 4x 5 = 0 Al resolver cada una de las ecuaciones anteriores vemos la necesidad de crear un nuevo conjunto numérico los números complejos C, para darle solución **ealiza las operaciones indicadas, luego haya el valor de x a c x + ( x + + ( x + = b x x = x x 4 x x + 3x = d = 3x x + x + x + Calcular las potencias sucesivas de i sabiendo que: 0 i = i i i = = ( = = 3 i i i =. = (. i = i 3809 i 40 7i 6i + 3i i i i 3 Dados los números complejos en forma binomica siguientes represéntalos en el plano complejo o de Argand = 4 + 5i = 3 7i 3 = 6 + 3i 4 = 4 3i 5 = 3 3i 6 = 6 i Cómo podemos calcular la Adición (suma o resta (sustracción de números complejos en forma binómico? Para sumar (restar dos números complejos = a + bi y = c + di ; sumamos 8

9 (restamos su parte real y su parte imaginaria respectivamente así: ± = ( a + bi ± ( c + di = ( a ± c + ( b ± d i e( z Im( z 4 Con los números complejos dados en el problema 3, realiza ahora las operaciones siguientes: ( ( ( ( (

10 . Calcular la norma y el argumento de cada número complejo Dado un número complejo = x + yi = x, y donde x es la parte real, y la parte imaginaria entonces *La norma o modulo, viene dada por: z = x + y θ = α siestaenelicuadrante *El argumento o ángulo viene dado por: y θ = 80 αsiestaeneliic tanα = x θ = 80 + αsiestaeneliiic θ = 360 αsiestaenelivc Todo número complejo en forma binomica = x + yi = x, y se puede escribir en su forma polar o trigonométrica de la siguiente manera: = z cosθ + z sin θ. i = zcisθ x y.3 Escribir el conjugado de cada número complejo dado en forma binomica: = 4 + 5i = 3 7i 3 = 6 + 3i 4 = 4 3i 5 = 3 3i 6 = 6 i El conjugado de cada uno de los números complejos anteriores viene a ser: = 4 5i.4 esolver en forma binomica cada uno de los problemas siguientes: *Para multiplicar dos números complejos = a + bi y = c + di recuerda que:. = [ a + bi].[ c + di] = ac. + adi. + bci. + bdi. = ( ac bd + ( ad + bc i (No es e( z Im( z necesario que te aprendas de memoria la forma anterior, solo recuerda la propiedad distributiva de la multiplicación Para dividir dos números complejos, multiplica por el conjugado del denominador como vez a continuación: = (3. / 6 ( + /

11 .. 9 ( 3 ( 6. 0 (

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