FEM-OF: EDP Elíptica de 2 Orden

Transcripción

1 9/02/2008 Capítulo 5: FM-OF: D líptca de 2 Orde Idce: 5..- Operador Dferecal líptco roblema Básco Fucoes Óptmas FM-OF Steklov-ocaré FM-OF Trefftz-Herrera FM-OF etrov-galerk FM-OF para el Caso Smétrco 99

2 5..- Operador Dferecal líptco Operador Dferecal l operador dferecal elíptco geeral para varables depedetes se defe como: dode el operador L u ( x ) ( a u ) + ( bu ) + cu (5..) x j ( ), b b ( x) y ( ) a a x, u vector columa de tamaño y c( x) 0 es u vector columa de tamaño ; y los coefcetes c x so ua matrz smétrca postva-defda de tamaño, respectvamete. ótese que los coefcetes so fucoes totalmete cotuas excepto posblemete a través de. També, ótese que: u ( a u) = aj = j= x x j (5..2) (5..3) = x ( bu ) ( bu) = Operador Dferecal Adjuto l operador dferecal adjuto formal para el caso elíptco es: ótese que: ( ) L w = a w b w + cw (5..4) 00

3 b w = = w (5..5) b x També ótese que s b = 0, etoces el operador dferecal es autoadjuto, es decr: L u = L u = ( a u) + cu (5..6) Fucoal Bleal ( u, La fucoal bleal ( u, : D ( Ω ) D ( ) subdomo Ω, esto es, Ω R se defe de maera putual e cada 2 x Ω se tee que: ( ) (, ) ( ) ( ) u w w L u w a u + bu + cu (5..7) Fucoal Bleal Q ( u, La fucoal bleal ( u, : D ( Ω ) D ( ) subdomo Ω, esto es, Q Ω R se defe de maera putual e cada 2 x Ω se tee que: ( a w b w c ( u, u w u ( ) Q L = + (5..8) Fucoal Bleal D ( u, La fucoal bleal vectoral ( u, : D ( Ω ) D ( ) Ω, esto es, x Ω se tee que: D 2 Ω R se defe de maera putual e (, ) ( ) D u w a u w w u + ubw (5..9) Se sgue que la fucoal bleal real ( u, : D ( ) D ( ) D Ω Ω R es: (, ) ( ) 2 ( ) D u w = a u w w u + ubw (5..0) 0

4 dode es u vector ormal a la frotera de la regó cosderada, ya sea Ω o. De forma equvalete se tee que: dode: ( ) ( ) D u w a u w w u ubw (5..), = + a = a (5..2) b = b (5..3) Fucoales Bleales C ( u, y B ( u, Las fucoales bleales C ( u, : D ( Ω ) D ( Ω) R y B ( u, : D ( Ω ) D ( ) 2 se defe de maera putual e Ω, esto es, x Ω se tee que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Ω R B u, w C u, w D u, w u a w a u w + ubw (5..4) dode la fucoal bleal ( u, B cotee la formacó prescrta e Ω (codcoes de frotera ), metras que la fucoal bleal ( u, Ω. C cotee la formacó o prescrta e artcularmete para u BVJ co codcoes de frotera tpo Drchlet, el valor de la fucó u = u e Ω es coocdo, metras que el valor de la dervada ormal a u es descoocdo. toces: ( u u ( a B (5..5), ( ) ( ) C u w a u bu w (5..6), Fucoal Bleal J ( u, La fucoal bleal ( u, : D ( Ω ) D ( ) es, x se tee que: J Ω R se defe de maera putual e, esto 2 02

5 S J ( u, + R J ( u, J ( u, D [ u], w dode la fucoal bleal ( u, a u w u a w u bw (5..7) [ ] [ ]( ) [ ]( ) S cotee las codcoes de cotudad de ocaré- J Steklov e, metras que la fucoal bleal ( u, cotudad e. toces: J J ( ) [ ] u w a u w, R cotee otras codcoes de J S (5..8) u a w bw ( u [ ]( + ) R (5..9), Fucoal Bleal K ( u, La fucoal bleal ( u, : D ( Ω ) D ( ) es, x se tee que: K Ω R se defe de maera putual e, esto 2 SK ( u, + R K ( u, K ( u, D u, [ w] (5..20) dode la fucoal bleal ( u, metras que la fucoal bleal ( u, e. u a w + u bw a u w (5..2) [ ] [ ] ( )[ ] K S cotee la formacó buscada de la solucó e, R cotee la formacó redudate de la solucó K artcularmete para u BVJ dode la formacó buscada e es el promedo de la solucó u, y la formacó redudate e es el promedo de la dervada ormal, se tee que: K, ( u u[ a w + bw] S (5..22) K ( u, ( a u)[ w] R (5..23) 03

6 Idetdad B J = Q C K Falmete, se euca la sguete detdad que resultará de utldad para trasformar tegrales e a tegrales e cada Ω : ( B J ) u, w u a w + bw dx + a u wdx = w L udx u ( a dx [ ]( ) [ ] = Ω Ω = Ω = { u a w ub w + cuw} dx + [ u] a w+ [ w] a u u[ bw ] dx { } ua w + wa u dx = Ω = u L wdx ( a u bu ) wdx u[ a w + bw ] dx ( a u)[ w] dx = Ω Ω ( ), Q C K u w (5..24) la cual se cumple ( u, D ( ) D ( ) Ω Ω y se obtee a través de tegracó por partes. 2 04

7 J u, w w L udx (5..25) = Ω, ( ) (5..26) Bu w u a w dx J Ru w Ω, [ ] (5..27) S u w a u wdx u a w bw dx [ ]( ), + (5..28) Qu, w Cu w K u L wdx (5..29) = Ω ( ) a u bu wdx (5..30), Ω, [ + ] (5..3) S u w u a w bw dx R u w K, ( )[ ] a u w dx (5..32) Tabla 5..- Fucoales bleales para u BVJ elíptco de 2º orde, co codcoes de frotera tpo Drchlet y dode la formacó buscada es el promedo de la solucó. 05

8 5.2.- roblema Básco l problema geeral se trasformará a uo equvalete que se llamará problema básco. l problema geeral elíptco de 2º orde es el sguete. Sea la ecuacó dferecal parcal leal elíptca de segudo orde: ( ) ( ) L u a u + bu + cu = f Ω e cada Ω (5.2.) sujeta a codcoes de frotera homogéeas tpo Drchlet y a codcoes de saltos prescrtos: u = 0 e Ω (5.2.2) 0 [ u] = j e (5.2.3) [ ] a u j = e (5.2.4) També se debe especfcar que la formacó buscada e la frotera teror es el promedo de la solucó u, esto es, ɵ u u. La solucó del problema geeral se puede escrbr como: u D dode la fucó ( ) u = uc + u (5.2.5) Ω se costruye coveetemete ad hoc- de tal modo que se aula e la frotera exteror Ω, satsface las codcoes de salto e la frotera teror, 06

9 y su promedo es cero e la frotera teror (o sea, que o cotee la formacó buscada), es decr: u = 0 e Ω (5.2.6) 0 [ u ] j = e (5.2.7) [ a u ] j = e (5.2.8) u = 0 e (5.2.9) ótese que (5.2.7) y (5.2.9) sgfca: [ ] ( + ) ( ) u = j & u = 0 u = j & u = j, e (5.2.0) toces, el problema básco asocado al problema geeral elíptco de 2º orde es el sguete. Sea la ecuacó dferecal parcal leal elíptca de segudo orde: L uc ( a uc ) + ( buc ) + cuc = fω L u e cada Ω (5.2.) sujeta a codcoes de frotera homogéeas tpo Drchlet y a codcoes de saltos prescrtos ulos: u = 0 e Ω (5.2.2) C [ u C ] = 0 e (5.2.3) [ a u ] 0 = e (5.2.4) C Lo ateror mplca que la fucó u C es totalmete cotua, tato e su valor como e su dervada ormal a través de la frotera teror. 07

10 l BVJ básco asocado al BVJ geeral elíptco de 2º orde es: L uc ( a uc ) + ( buc ) + cuc = fω L u e cada Ω sujeto a las codcoes de frotera y a las codcoes de saltos prescrtos: u = 0 e Ω C [ u C ] = 0 e [ a u ] 0 = e C dode la fucó u, costruda coveetemete -ad hoc-, satsface las codcoes de frotera y las codcoes de saltos prescrtos del BVJ geeral, además de otras codcoes: u = 0 e Ω 0 [ u ] j = e [ a u ] j = e u = 0 e falmete, la solucó del BVJ geeral es: u = uc + u Tabla BVJ básco asocado al BVJ geeral elíptco de 2º orde. 08

11 5.3- Fucoes Óptmas Fucoes Óptmas de Base l espaco de fucoes óptmas de base de dmesó se defe como: OB B R J (5.3.) ara el BVJ básco auque també para el BVJ geeral elíptco de 2º orde- co codcoes de frotera homogéeas tpo Drchlet e Ω e formacó buscada el promedo de la solucó e, los espacos ulos, B y R J se coforma de la sguete maera: L 2 ( ) L v = 0 w vdx = 0, w D Ω v = 0, e cada Ω = Ω ( ) ( ) Bv = 0 v a wdx = 0, w D Ω v = 0, e Ω Ω 2 (5.3.2) (5.3.3) R v = 0 v a w + bwdx = 0, w D Ω v = 0, e J [ ]( ) 2 ( ) [ ] cosecueca, éstos se defe como: { v D ( ) v 0 e cada } { v D ( ) v 0 e } Ω = Ω B (5.3.4) L (5.3.5) Ω = Ω (5.3.6) 09

12 R J { v D ( ) [ v ] 0 e } Ω = (5.3.7) De esta forma, las fucoes óptmas de base v O satsface la ecuacó B B RJ dferecal homogéea localmete e cada subdomo Ω de la partcó Π, se aula e la frotera exteror Ω y so cotuas a través de la frotera teror. Las fucoes óptmas de base v satsface las codcoes: OB L v = 0 e cada Ω v = 0 e Ω [ v] = 0 e Tabla spaco de fucoes óptmas de base Fucoes Óptmas de eso l espaco de fucoes óptmas de peso de dmesó se defe como: OT Q C R K (5.3.8) ara el BVJ básco auque també para el BVJ geeral elíptco de 2º orde- co codcoes de frotera tpo Drchlet e Ω e formacó buscada el promedo de la solucó e, los espacos ulos Q, C y R K se coforma de la sguete maera: L ( ) L Qw = 0 u wdx = 0, u D Ω w = 0, e cada Ω = Ω (5.3.9) 0

13 ( ) ( ) Cw = 0 a u bu wdx = 0, u D Ω w = 0, e Ω Ω (5.3.0) R w = 0 a u wdx = 0, v D Ω w = 0, e K ( )[ ] ( ) [ ] cosecueca, éstos se defe como: Q { 2 ( ) w 0 e cada } w D Ω = Ω C (5.3.) L (5.3.2) { 2 ( ) 0 e } w D Ω w = Ω (5.3.3) R K { w D 2 ( ) [ w] 0 e } Ω = (5.3.4) De esta forma, las fucoes óptmas de prueba w OT Q C R K satsface la ecuacó dferecal adjuta homogéea localmete e cada subdomo Ω de la partcó Π, se aula e la frotera exteror Ω y so cotuas a través de la frotera teror. Las fucoes óptmas de peso w OT satsface las codcoes: L w = 0 e cada Ω w = 0 e Ω [ w ] = 0 e Tabla spaco de fucoes óptmas de peso.

14 Fucó auxlar u La fucó auxlar u D ( ) Ω se defe como: ( ) B R u = f j (5.3.5) SKu J 0 R = (5.3.6) ara el BVJ geeral elíptco de 2º orde co codcoes de frotera homogéeas tpo Drchlet e Ω e formacó buscada el promedo de la solucó e, lo ateror sgfca que: L ( ) L u = f w u dx = wf dx, w D Ω u = f, e cada Ω Ω 2 Ω = Ω = Ω ( ) ( ) Bu = 0 u a wdx = 0, w D Ω u = 0, e Ω 2 Ω (5.3.7) 0 [ ]( ) ( ) 0 J R 2 ( ) [ ] (5.3.8) Ru = j u a w + bwdx = j a w + bwdx, w D Ω u = j, e S u = 0 u a w + bwdx = 0, w D Ω u = 0, e [ ] ( ) K 2 Ω ótese que (5.3.9) y (5.3.20) sgfca: [ ] ( + ) ( ) (5.3.9) (5.3.20) u = j & u = 0 u = j & u = j, e (5.3.2) artcularmete, para el BVJ básco los problemas locales u cumple co: L u = fω L u, e cada Ω (5.3.22) u = 0, e Ω (5.3.23) 2

15 [ u ] = 0, e (5.3.24) u = 0, e Ω (5.3.25) ero (5.3.24) y (5.3.25) sgfca: u = u = u = (5.3.26) [ ] 0 & 0 0, e La fucó auxlar u D ( ) Ω para el BVJ básco satsface las codcoes: L u = fω L u e cada Ω u = 0 e Ω u = 0 e Tabla Fucó auxlar u para el BVJ básco Idetdad B J = Q C K para Fucoes Óptmas S se cosdera que las fucoes v OB y w OT so fucoes óptmas, esto es que tato L v = 0 e cada Ω, v 0 = e Ω y [ ] v = 0 e, como w = 0 L e cada Ω, [ w ] = 0 e, etoces la detdad (5..24) toma la sguete forma: Ω, w = 0 e ( ) v, J v, [ v] B J w = S w = a wdx = { v v v } = a w b w + c w dx = = Ω [ ] K ( ) (5.3.27) = v a w + bw dx = S v, w = Q C K v, w 3

16 la cual se cumple ( ) co tegrales e cada v, w OB OT. ótese que la expresó ateror relacoa tegrales e Ω. 4

17 5.4.- FM-OF Steklov-ocaré Sea el BVJ básco elíptco descrto e la tabla 5.2. Sea el espaco de fucoes óptmas de base descrto e la tabla 5.3. Sea la fucó auxlar u descrta e la tabla Sea ua base { v, v,..., v } del espaco de fucoes óptmas de base sea la fucó v OB O B de dmesó. Y ua represetacó de la formacó buscada v ɵ O e, e térmos 2 de ua combacó leal de la base { v, v,..., v } de C β β β = vɵ v v O B, esto es: = (5.4.) B toces, los coefcetes { } sstema de ecuacoes: β β = = Ω C, C2,..., C de la combacó leal satsface el sguete β α β α β α { v v v v v v } C a b + c dx = α α α α ( Ω L ) v { v v v } = f u dx u a u b + cu dx = Ω = Ω para α =,2,..., (5.4.2) l cual e su forma matrcal es: AC = B (5.4.3) 5

18 dode los elemetos del vector de cógtas C = C β de tamaño so los coefcetes C β que podera la combacó leal, los elemetos de la matrz de coefcetes A = A αβ de tamaño so: = Ω { v v v v v v } β α β α β α A = a b + c dx αβ (5.4.4) y los elemetos del vector de térmos depedetes B = B α de tamaño so: ( ) v { v v v } α α α α L (5.4.5) B = f u dx u a u b + cu dx α Ω = Ω = Ω Recuérdese que la solucó del BVJ geeral es u v + u + u e cada subdomo Ω. Falmete, para las aplcacoes umércas se reemplaza el espaco de fucoes óptmas exactas O B por el espaco de fucoes óptmas aproxmadas O B B R. J l sstema de ecuacoes co cógtas es A C = B, dode: = Ω { v v v v v v } β α β α β α A = a b + c dx αβ ( L ) v { v v v } α α α α B = f u dx u a u b + cu dx α Ω = Ω = Ω falmete la formacó buscada es v = C v β, y la solucó del BVJ geeral β = β e cada Ω es u v + u + u. Tabla Sstema de ecuacoes para el método FM-OF Steklov-ocaré. 6

19 5.5.- FM-OF Trefftz-Herrera Sea el BVJ básco elíptco descrto e la tabla 5.2. Sea el espaco de fucoes óptmas de peso descrto e la tabla 5.4. Sea la fucó auxlar u descrta e la tabla Sea ua base {,,..., } Y sea la fucó v w w w del espaco de fucoes óptmas de peso ua represetacó de la formacó buscada v ɵ O OT 2 ua combacó leal de la base {,,..., } w w w de vɵ β = O T, esto es: O T de dmesó. T, e térmos de v = C w β (5.5.) β toces, los coefcetes { } sstema de ecuacoes: C β β = = Ω C, C2,..., C de la combacó leal satsface el sguete { } β α β α β α w a w w b w + cw w dx = α α α α ( Ω L ) { } = f u w dx u a w u b w + cu w dx = Ω = Ω para α =,2,..., (5.5.2) l cual e su forma matrcal es: AC = B (5.5.3) 7

20 dode los elemetos del vector de cógtas C = C β de tamaño so los coefcetes C β que podera la combacó leal, los elemetos de la matrz de coefcetes A = A αβ de tamaño so: A αβ = Ω β α β α β α { } (5.5.4) = w a w w b w + cw w dx y los elemetos del vector de térmos depedetes B = B α de tamaño so: ( ) { } α α α α L (5.5.5) B = f u w dx u a w u b w + cu w dx α Ω = Ω = Ω Recuérdese que la solucó del BVJ geeral e cada subdomo Ω requere del procedmeto de terpolacó óptma. Falmete, para las aplcacoes umércas se reemplaza el espaco de fucoes óptmas exactas O T por el espaco de fucoes óptmas aproxmadas O T Q C R. K l sstema de ecuacoes co cógtas es A C = B, dode: A αβ = Ω β α β α β α { } = w a w w b w + cw w dx ( L ) { } α α α α B = f u w dx u a w u b w + cu w dx α Ω = Ω = Ω falmete la formacó buscada es v = C w β β, y la solucó del BVJ geeral β = e cada Ω requere del procedmeto de terpolacó óptma. Tabla Sstema de ecuacoes para el método FM-OF Trefftz-Herrera. 8

21 5.6.- FM-OF etrov-galerk Sea el BVJ básco elíptco descrto e la tabla 5.2. Sea el espaco de fucoes óptmas de base descrto e la tabla 5.3. Sea el espaco de fucoes óptmas de peso descrto e la tabla 5.4. Sea la fucó auxlar u descrta e la tabla Sea ua base { v, v,..., v } del espaco de fucoes óptmas de base Sea la fucó v ua represetacó de la formacó buscada v ɵ O OB 2 ua combacó leal de la base { v, v,..., v } de 2 Y sea ua base {,,..., } C β β β = vɵ v v O B, esto es: O B de dmesó. B, e térmos de = (5.6.) w w w del espaco de fucoes óptmas de peso O T de dmesó. toces, los coefcetes { } sstema de ecuacoes: β β = = Ω C, C2,..., C de la combacó leal satsface el sguete β α β α β α { v v v } C a w b w + c w dx = α α α α ( Ω L ) { } = f u w dx u a w u b w + cu w dx = Ω = Ω para α =,2,..., (5.6.2) l cual e su forma matrcal es: 9

22 AC = B (5.6.3) dode los elemetos del vector de cógtas C = C β de tamaño so los coefcetes C β que podera la combacó leal, los elemetos de la matrz de coefcetes A = A αβ de tamaño so: = Ω { v v v } β α β α β α A = a w b w + c w dx αβ (5.6.4) y los elemetos del vector de térmos depedetes B = B α de tamaño so: ( ) { } α α α α L (5.6.5) B = f u w dx u a w u b w + cu w dx α Ω = Ω = Ω Recuérdese que la solucó del BVJ geeral es u v + u + u e cada subdomo Ω. Falmete, para las aplcacoes umércas se reemplaza los espacos de fucoes óptmas exactas O B y y O T Q C R. K O por los espacos de fucoes óptmas aproxmadas O T B B R J l sstema de ecuacoes co cógtas es A C = B, dode: = Ω { v v v } β α β α β α A = a w b w + c w dx αβ ( L ) { } α α α α B = f u w dx u a w u b w + cu w dx α Ω = Ω = Ω falmete la formacó buscada es v = C v β, y la solucó del BVJ geeral β = β e cada Ω es u v + u + u. Tabla Sstema de ecuacoes para el método FM-OF etrov-galerk. 20

23 5.7.- FM-OF para el Caso Smétrco ara el caso smétrco se tee el operador dferecal es autoadjuto, esto es: L u ( a u) + cu L u (5.7.) y, e cosecueca, las fucoales bleales asocadas cumple co las sguetes gualdades: u, w = Qu, w = w L udx (5.7.2) = Ω ( ) Bu, w = Cu, w = u a w dx Ru J, w = RKu, w = [ u]( a dx SJu, w = SKu, w = a u wdx (5.7.3) Ω (5.7.4) [ ] (5.7.5) or lo tato, el espaco de fucoes óptmas de base O B es gual al espaco de fucoes óptmas de peso O T : O = O (5.7.6) B B RJ Q C RK T y ua propedad mportate para el caso smétrco es que las tres versoes de FM-OF resulta ser las msmas. Además se tee que la sguete fucoal es smétrca: (5.7.7) ( B J ) w = { + } = ( ) v, v a w cv w dx B J w, v = Ω 2

24 y també es postva defda: ( B J ) ww { } (5.7.8), = w a w + cww dx 0 = Ω ya que a es ua matrz smétrca, postva defda y c( x) 0. De esta forma, la matrz de coefcetes del sstema de ecuacoes que se derva aplcado el método FM-OF es smétrca y postva defda. stas propedades so de mucha relevaca, ya que se puede aplcar el Método de Gradete Cojugado (CGM ) para resolver el sstema de ecuacoes. Cojugate Gradet Method 22