FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES

Transcripción

1 FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES [Versión preliminar] Pr. Isabel Arratia Z.

2 En esta unidad estudiarems uncines cn dmini cn valres en el cnjunt de ls númers reales. Ejempls de tales uncines sn las siguientes: R D R n (, ) g(, ) ln( ) h(, ) sen w (,, z ) 3 e z 4 Ejercici: Determine el dmini de las uncines deinidas precedentemente. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales

3 Si : D R R, el gráic de es un cnjunt de punts de 3 R : 3 Gr() {(,, z) R / (,) D z (,)} El gráic de, crrespnde a la supericie S en el 3 espaci R. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 3

4 Pr ejempl, el gráic de la unción (, ) k, k R es el plan de ecuación z k que se muestra en la igura 1. El gráic de la unción g(, ) es el plan de ecuación z (igura ). igura 3. Figura 3. Figura 1 Figura Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 4

5 Las gráicas siguientes crrespnden a la supericie deinida pr (, ), realizadas cn cmputadra cn calculadra ClassPad 300. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 5

6 Dibujar la supericie crrespndiente a la gráica de z (, ) n es un asunt ácil. Pr esta razón surge la idea de representar la supericie mediante un mapa de cntrn. Cada plan hrizntal z c, intersecta la supericie en una curva; la prección de esa curva sbre el plan XY se llama curva de nivel una clección de tales curvas cnstituen un mapa de cntrn. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 6

7 Si es una unción de 3 variables C > 0 es una cnstante, la gráica de (,, z) C es una supericie de nivel de la unción. Pr ejempl, las supericies de nivel de la unción (,, z) 4 z tienen la rma 4 z C, es decir sn elipsides. Una supericie cuadrática es la gráica crrespndiente a A B Cz D Ez Fz G H Iz J 0 que pr traslación rtación puede epresarse: A B Cz J 0 A B Cz J 0. Ejempls de tales supericies sn ls elipsides, hiperblides de una hja de ds hjas, cns, parablides elíptics, parablides hiperbólics ls cilindrs. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 7

8 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 8 Elipside Hiperblide Parablide 1 c z b a 1 c z b a b a z

9 Hiperblide ds hjas z 1 Parablide z b c hiperbólic a b a Cilindr a b 1 Cilindr parabólic a Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 9

10 Límites cntinuidad Cncepts previs a la deinición de límite de una unción: Si 0 ( 1,...., n ) n, el cnjunt B(, δ) R { P R n / P - < δ } se llama bla vecindad abierta de centr 0 El cnjunt B (, δ) B( perrada centrada en. radi se llama vecindad abierta n n Sea A R ; el punt R es un punt de acumulación de A si ε > * * 0, B (, ε), δ) - { A δ>0 } δ. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 10

11 Deinición: Sea n R : A R una unción, punt de acumulación de A L un númer real. Se dice que el límite de en es L, se anta R n si ε > 0, δ > 0 tal lim () L que 0 < < δ () - L < ε Para el cas n, est signiica que si está en la bla abierta centrada en de radi, entnces () está en el interval abiert de etrems L ε Observacines: δ L ε. (1) Ls límites de uncines de varias variables tienen, en l que respecta a sumas, prducts, cucientes, las mismas prpiedades que ls límites de uncines de una variable. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 11

12 () Cnsiderems la unción (,) estudiems su límite en (0, 0). Si ns aprimams a (0, 0) pr el eje X, (, ) (, 0) 1 la unción (, ) tiende a 1. Si ns aprimams a (0, 0) pr el eje Y, (, ) (0, ) -1 la unción (, ) tiende a -1. En este cas, lim (,) (0,0) (,) n eiste. En general, si (, ) tiende a L 1 cuand (, ) se aprima a (a, b) pr una traectria C 1 (, ) tiende a L cuand (, ) se aprima a (a, b) pr una traectria C L 1 L, entnces n (,) (a,b) eiste. lim (,) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 1

13 3) En alguns cass, es ácil recncer que un límite n eiste. Pr ejempl, la unción (,) 1 crece indeinidamente cuand (, ) se aprima a (0,0) a l larg de cualquier lim traectria; lueg (,) (0,0) (,) n eiste. 4) Sin embarg, a veces, esta situación n es tan clara. Pr ejempl, lim n eiste. Eectivamente, la (,) (0,0) unción (,) tiende a 0 cuand (, ) se aprima a (0, 0) pr el eje X, pr el eje Y, pr la parábla. Per si (, ) se aprima a (0, 0) pr la recta, la unción (, ) tiende a ½. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 13

14 Si ds camins distints llevan al mism númer L n se puede cncluir que el límite es L. Para cncluir que un límite eiste ha que demstrar que tds ls camins psibles llevan al mism valr L. A veces, bservar la gráica de la unción cn una calculadra cmputadra hace cnjeturar que el límite eiste. En td cas ha que demstrar esta cnjetura. 4 Pr ejempl, demstrems que lim 0. (,) (0,0) es decir, ε>0 δ>0 Dad debems encntrar tal que 0 < (, ) (0,0) < δ 0< < δ Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales <ε 0 < ε

15 Per, Pr l tant, dad ε>0 basta escger 4 para que se cumpla la implicación requerida. 4 δ ε < 4δ Ejercici: Calcule, si eisten, ls siguientes límites. lim (, ) (0,0 ) 4 4 lim (,,z) (,3,0) Ejercici: Use crdenadas plares para calcular, lim (, ) (0,0 ) sen ( ) lim ( z e (, ) (0,0) 3 ln( 3 )) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 15

16 Deinición: Sea :D una unción, (a, b) un punt del dmini D. Se dice que es lim cntinua en (a, b) si. (,) (a,b) R (,) R (a,b) La unción es cntinua en su dmini D si es cntinua en cada punt de D. La deinición de cntinuidad ns dice que si (, ) cambia levemente, (,) también sure un cambi leve. En cnsecuencia, si una supericie es la gráica de una unción cntinua, esta supericie n tiene ni agujers ni rupturas. De las prpiedades de ls límites sigue que la suma, prduct cuciente de uncines cntinuas resultan ser uncines cntinuas en sus dminis. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 16

17 Cm vims antes, lim n eiste; lueg (, ) (0,0 ) (,) tiene una discntinuidad n evitable en (0, 0). Si es cntinua en (a, b) g es una :D R R unción real cntinua en (a, b), entnces la cmpuesta g es cntinua en (a, b). Pr ejempl, la unción (,) e es cntinua en R, pues es la cmpuesta de la unción plinómica (, ) cn la unción epnencial () e. Ls cncepts de límite cntinuidad estudiads para uncines de ds variables se etienden de manera natural a uncines de tres variables. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 17

18 Derivadas parciales Sea z (, ) unción de ds variables. Si se cnsidera a cm cnstante, entnces se cnvierte en una unción de una variable ; su derivada se llama derivada parcial de cn respect a de denta: z De manera análga se deine la derivada parcial de cn respect a : z z z Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 18

19 Pr l tant, sn las uncines deinidas pr: (, ) (, ) lim h 0 lim h 0 ( h, ) - (, ) h (, h) - (, ) h Ejercici: Calcule las derivadas parciales de: 1. (, ). (, ) sen( - ) 3. z e 4. (, ) 5. z 4 - e 3 ln( ) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 19

20 Interpretación gemétrica de la derivada parcial Cnsiderems la supericie cua ecuación es z (, ). El plan intersecta esta supericie en una curva plana el valr (, ) lim h 0 ( h, ) h - (, ) representa la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punt P(,, (, ). Análgamente, el plan curva plana (, ) lim h 0 (, intersecta la supericie en una es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punt P(,, (, ). Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 0 h) h - (, )

21 P C Derivada parcial cn respect a P C Derivada parcial cn respect a Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 1

22 Ejempl: Cnsiderems la supericie dada pr (, ) La derivada parcial prprcina las pendientes de las rectas tangentes a la curva intersección de la supericie cn plans en la dirección. 5 8 Análgamente, ns entrega las pendientes de las rectas tangentes a la curva que resulta de intersectar la supericie plans en la dirección. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales

23 Las derivadas parciales para uncines de más de ds variables se deinen de manera similar: Si u ( 1,.., n ) es una unción de n variables, u i lim h 0 ( 1,..., i h,...., h n ) - ( 1,...., Es la derivada parcial de cn respect a la variable i denta también D i Ejercici: Calcule las derivadas parciales de: (, (, w,, e z) z) z i z ln( e sen( z ) u u u z i e z i z ) z e n ) que se 4. Demuestre que 0 si u (-)(-z)(z-) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 3

24 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 4 Derivadas parciales de rden superir Se llama derivada parcial de segund rden de una unción a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer rden. Si z (, ) es una unción de ds variables ha 4 derivadas parciales de segund rden: z z z z z pr dentada ) ( z pr dentada ) ( z pr dentada ) ( z pr dentada ) (

25 Ejercici: Calcule las derivadas parciales de d. rden de : 1. (, ). (, ) e 5 e 3. z sen cs Ejercici: Si z ln(), demuestre que 3 z z - z Terema: (Schwarz Clairaut) Si z (, ) es una unción tal que las derivadas parciales de segund rden sn cntinuas en un disc abiert D, entnces en D. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 5

26 Este terema también es aplicable cuand la unción tiene tres más variables siempre que las derivadas parciales de segund rden sean cntinuas. Y si tdas las derivadas parciales de tercer rden sn cntinuas, el rden de derivación en sus derivadas parciales de tercer rden es irrelevante. Ejercici: Veriique que si (,, z) e - sen(z). Ejercici: Veriique que a) La unción u e sen k es una slución de la ecuación de cnducción de calr u a u. b) La unción u sen( at) ln( at) es una slución de la ecuación de nda -a k u t t t a t u Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 6

27 Plans tangentes: Supngams que una supericie S tiene ecuación z (, ), cn unción cuas derivadas parciales sn cntinuas. Si P( 0, 0, z 0 ) es un punt sbre S, el plan tangente a S en P es el rmad pr tdas las rectas tangentes en P a las curvas que están sbre S que pasan pr P; es el plan que más aprima a S cerca de P. Una ecuación de este plan tangente es: z - z (, )( ) (, )( ) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 7

28 Ejempl: La ecuación del plan tangente a la supericie dada pr z 4 en el punt P(, 1, 8) es z 8 z (, 1) ( ) z (, 1) ( 1) es decir, z 8 4( ) 8( 1) bien, 4 8 z 8 Si la supericie S está deinida de manera implícita pr la ecuación F(,, z) 0, entnces la ecuación del plan tangente en un punt P( 0, 0, z 0 ) de la supericie S es, F (P)( ) F (P)( ) Fz (P)(z z) 0 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 8

29 Dierenciabilidad Recrdems que para uncines de una variable (), ( ) () : increment de d ' () d : dierencial de d 0 cuand 0 d ε, dnde ε 0 cuand 0 Y para uncines de una variable (), la dierenciabilidad de en signiica la eistencia de () que equivale a que la gráica de tiene una tangente n vertical en (, ()): (a) (a) ( a) es la recta tangente en (a, (a)). Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 9

30 Para una unción de variables z (, ) parece natural que la dierenciabilidad crrespnda a la eistencia de un plan tangente. Est requiere más que la sla eistencia de las derivadas parciales, puest que ellas relejan el cmprtamient de únicamente en ds direccines. Sea z (, ) unción de variables; entnces z dz (, ) (, ) (, )d (, ) : : increment dierencial de z de z Si tmams d a dz (a, b)( a) d b, entnces (a, b)( b) Cmparems esta ecuación cn la ecuación del plan tangente a la supericie z (, ) en P(a, b. (a, b)), baj la supsición que las derivadas parciales sn cntinuas: z (a,b) (a, b)( a) (a, b)( b) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 30

31 Pr l tant pdems cncluir que dz representa el cambi de altura del plan tangente, en tant z representa el cambi en la altura de la supericie z (, ) cuand (, ) cambia de (a, b) a ( a, b ). Deinición: La unción z (, ) es dierenciable en (a, b) si puede epresarse en la rma: z (a,b) (a,b) ε η, dnde ε η sn uncines de que tienden a cer cuand (, ) (0, 0). Est es, z dzε η, es decir, z En cnsecuencia, (1) La unción es dierenciable en (a, b) si la dierencial dz es una buena aprimación de z. dz z Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 31

32 () Si las derivadas parciales eisten cerca de (a, b) sn cntinuas en (a, b), entnces es dierenciable en (a, b) el plan tangente es una buena aprimación a la gráica de cerca de (a, b). Observacines: 1) Si es dierenciable en ( 0, 0 ), es cntinua en ( 0, 0 ). ) Si es dierenciable en ( 0, 0 ), eisten en ( 0, 0 ). 3) El recíprc de ) es als, est es, el que eistan en ( 0, 0 ) n implica que sea dierenciable en ( 0, 0 ). 4) Si eisten sn cntinuas en ( 0, 0 ), entnces es dierenciable en ( 0, 0 ). 5) La dierencial la dierenciabilidad pueden deinirse de manera análga para uncines de más de ds variables: Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 3

33 w w Si w (,, z), dw d ttal de w. Y w (, es el increment de w., z w d dz es la dierencial z z) (,,z) Aplicacines Aprimación pr dierenciales Sea z 5 ; determinems la dierencial dz cmparems ls valres de z dz si (, ) cambia de (1, ) a ( 1.05, 1.99). dz 10 d d, d 0.05, d dz (10)(1)(0.05) ()()(-0.01) 0.46 z (1.05, 1.99) (1, ) dz Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 33

34 Prblema: Se miden las dimensines de una caja rectangular cn una cta de errr de ± 0,1mm. Las medidas, en centímetrs, sn 50, 0, 15. Mediante la dierencial estime el errr al calcular el vlumen de la caja V Vlumen V(,, z) z dv z d z d dz Aquí, d d dz 0,01 cm. dv (15)(0)( ± 0,01) (50)(0)( ± 0,01) (50)(15)( ± 0,01) ( )( ± 0,01) ± 0,5 cm 3 El errr en las medidas puede llevar a un errr de ± 0,5 cm 3 el vlumen. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 34 ± en

35 La Regla de la cadena Terema 1: Sean g(t), h(t) uncines derivables en t z (, ) dierenciable en (g(t), h(t)). Entnces z (g(t), h(t)) es derivable en t se tiene que dz dt z d dt z d dt Ejempl: Calculems dz si z 3, t, t. dt 3 7 dz dt ( ) (3 )(t) 3t En este cas pdems bservar que z 3 (t) (t ) 3 4t 8 dz dt 7 que eectivamente 3 t. Per n es cmún hacer este prcedimient aún cuand z es, inalmente, una unción de t. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 35

36 El terema anterir se etiende a uncines de más variables. Pr ejempl, si w z, cst, sent, z t, dw dt w d w d dt dt - sen t cs t t w z sent cs dz dt 3 t cs t t cst Terema : Sean g(s, t), h(s, t) uncines cuas primeras derivadas parciales eisten en (s, t) z (, ) unción dierenciable en (g(s, t), h(s, t)). Entnces z z eisten s t están dadas pr z z z s s s z z z t t t Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 36

37 Terema 3 (cas general): Sea u unción derivable de las n variables 1,., n, en dnde cada k es una unción de m variables t 1,., t m, tales que las derivadas parciales k eisten, para td k 1,., n i 1,., m. Entnces para cada i 1,., n se tiene que Ejercicis: u 1 u u.... ti 1 ti t i u w 1) Determine si w e z, s t, s t, z t. t ) Si w z r cs θsenφ, rsen θsenφ, z rcs φ determine w θ r, θπ, φπ/ n t n i t i Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 37

38 3) Si w (r s, s t, t r), demuestre que w w w 0. r s t 4) Si z (, ) es de clase C (es decir, z tiene derivadas de segund rden cntinuas) r s, rs, determine z z. r r 5) La presión P (en KPa/seg), el vlumen V (en lts.) la temperatura T (en Kelvins) de un ml de un gas ideal están relacinads mediante la ecuación PV 8,31 T. Calcule la tasa en la que la presión cambia cuand la temperatura es de 300 K se incrementa a una tasa de 0,1 K/seg el vlumen es de 100 lts se incrementa a una tasa de 0, lts/seg. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 38

39 Dierenciación de uncines implícitas Supngams que F(, ) 0 deine implícitamente a cm unción derivable de (es decir, () F(, ()) 0). Si F es dierenciable, la Regla de la cadena ns prprcina una d manera de btener puest que, d F d F d 0 d d d F de dnde sigue que siempre que F (, ) 0 d F Observación: El supner que F(, ) 0 deine implícitamente a cm unción derivable de n es una trivialidad; eisten teremas que entregan las cndicines baj las cuales esta supsición es válida. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 39

40 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 40 Si F(,, z) 0 deine implícitamente a z cm unción dierenciable de e, cn F unción dierenciable, entnces, z F F z z z F F z z F F F 0 0 siempre que 0,z) (, F z Análgamente se btiene, si z F F z 0,z) (, F z Ejercici: Calcule a) si ln() z z 3 b) si 1 z sen() 0 z z

41 Derivadas direccinales Vectr gradiente Sea z (, ) unción de ds variables. Las derivadas parciales representan las tasas de cambi de z en las direccines de de, es decir, en las direccines de ls vectres unitaris i (1, 0) j (0, 1). Si se quiere determinar la tasa de cambi de z en (, ) en la dirección de un vectr unitari u (a, b), cnsiderams el punt P(,, z ) sbre la supericie S dada pr z (, ). El plan vertical que pasa pr P en la dirección u cruza a S en una curva C; la pendiente de la recta tangente a C en P es la tasa de cambi que se busca se llama derivada direccinal de en la dirección u. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 41

42 Derivada direccinal en P en la dirección u Derivada direccinal u Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 4

43 Deinición: La derivada direccinal de la unción de varias variables en el punt P en la dirección del vectr unitari u es: D u (P) lim h siempre que este límite eista. 0 (P hu) h - (P) Si la unción tiene ds variables, el punt P es P(, ) el vectr unitari es u (a, b), D u (P) lim h 0 Además, bserve que, ( ha, h hb) - ( D i (P) (P ) D j(p), (P ) El siguiente Terema ns prprcina una manera de calcular la derivada direccinal sin tener que usar el límite: ) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 43

44 Terema: Si z (, ) es unción dierenciable de de, entnces tiene derivada direccinal en la dirección de cualquier vectr unitari u (a, b) se tiene que: D u (, ) (, ) a (, En eect, deinams la unción g pr g(h) ( ha), hb); entnces g(h) g(0) ( ha, hb)-(, ) g' (0) lim lim Du ( h h h 0 h 0 Pr tra parte, si ha, hb, entnces g(h) (, ) g ' (h ) g'(0) ) d d (, ) a dh dh D (, ) (, ) a u b ( (,, ) ) b b, ) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 44

45 Observación: Si el vectr unitari u rma un ángul cn el eje psitiv X, entnces pdems escribir se tiene, D Ejercicis: u (, (cs ) (, ) csϑ (, ) senϑ ϑ ϑ, senϑ) 1. Cnsidere (, ) 4 3. Determine la derivada direccinal de en P(, -1) en la dirección del vectr v 4i 3j.. Calcule la derivada direccinal D u (P) si (, ) u es el vectr unitari u (cs π, sen π ). Cuál es el valr 4 4 de D u (P) si P (1, )? π 3. Determine D v g(p) si g(,, z) sen z, P(1,, ) v es el vectr v i j k. u Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 45

46 Deinición: Sea unción de varias variables cuas derivadas parciales eisten. El gradiente de, dentad pr, es la unción vectrial deinida pr (P) Pr ejempl, si es la unción gradiente de es (, (P),..., (P ) ) 1 n (, el gradiente de en ( π, 0) es ( π,0) (0, π 1). Si g(,, z) ln( z) cuál es el gradiente de g? (e ) e sen, e cs sen, el cs ) Ejercici: (P) 1. Encuentre si. Determine si (,, z ) e (, ) e sen z P(1, π 4 ). Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 46

47 Observacines: (1) El gradiente es un peradr lineal, es decir, ( Además, g) ( g) g g g ( α) α, ( g ) α R g g () Cn el gradiente pdems rermular la derivada direccinal: (P) (P ) u D u (3) En muchs prblemas interesa cncer en qué dirección la unción crece más rápidamente; esta dirección se llama dirección de máima pendiente está dada pr el gradiente: Terema: Sea unción dierenciable. El valr máim de la derivada direccinal D u (P) es (P) se presenta cuand u tiene la misma dirección de (P). g Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 47

48 Ejercici: 1. Si es la unción (, ) e sen, determine la dirección de máim crecimient de en el punt P( 6 la máima razón de cambi en esa dirección?, 0). Cuál es. Determine la dirección de máim crecimient de la unción (,,z) 4z en el punt P(, -1, 1) el máim valr de la derivada D u (P). 3. Demuestre que una unción dierenciable decrece más rápidamente en P en la dirección puesta al vectr gradiente. 4. La temperatura en el punt P(, ) de una lámina metálica está dada pr (, ). Determine la dirección de máim crecimient de la temperatura en el punt P(3, 4). 5π Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 48

49 Plan tangente recta nrmal a una supericie de nivel 3 Si : D R R, ls cnjunts S k {(,, z) / (,, z) k} sn las supericies de nivel de la unción, es decir, P(,,z) Sk (,,z) Sea S una supericie de nivel de, P(,, z ) S C una curva sbre S que pasa pr el punt P. Sabems que C puede ser descrita pr una unción vectrial r(t) ((t), (t), z(t)). Cm C está en S, ((t), (t), z(t)) k, para td t parámetr real k cnstante. Si,, z sn uncines dierenciables de t es dierenciable, la Regla de la cadena asegura que, k Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 49

50 d dt d dt,, r '(t) 0 (P) r '(t) z 0 d dt dz dt, 0 d dt, d dt si P r(t ) 0 Est demuestra que El vectr gradiente en P es perpendicular r'(t ) al vectr tangente a cualquier curva que esté sbre S que pase pr P. Si (P) 0, el plan tangente a S en P(,, z ) es el plan que pasa pr P es nrmal al vectr (P); su ecuación es: (P)( ) (P)( ) z (P)(z z ) 0 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 50

51 La recta nrmal a la supericie S en P es la recta que pasa pr P es perpendicular al plan tangente, es decir, tiene vectr directr (P). Observación: Si z (, ) es una unción de ds variables, la supericie crrespndiente a la gráica de pdems interpretarla cm S, supericie de nivel cn k 0 de la unción F(,, z) (, ) z. La ecuación del plan tangente a S en P(,, (, )) es (, )( ) (, ) (z z) 0 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 51

52 Ejercicis: 1. Graique la curva de nivel del parablide z que pasa pr P(, 1). Determine el vectr z(p) su punt inicial en P. graíquel cn. Determine las ecuacines del plan tangente de la recta nrmal a la supericie P(1, 0, 1). - 4z 4 en el punt 3. Encuentre las ecuacines de ls plans tangentes a la supericie 4 6z 0. 3z - z 4 1 que sean paralels al plan Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 5

53 Etrems de uncines reales de varias variables Sea unción real cn dmini D R. Se dice que tiene alcanza máim lcal ( relativ) en el punt ( ) (), V () ( ) lcal de. n D. El númer es un valr máim tiene alcanza mínim lcal ( relativ) en el punt ( ) (), V () ( ) lcal de. D. El númer es un valr mínim si si Ls valres etrems de sn ls valres máims mínims lcales de. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 53

54 Ls punts crítics de en el dmini abiert D sn punts de ds tips: Punts estacinaris: ls que veriican (p) 0 Punts singulares: en este cas, ( p algún i, es decir, n es dierenciable en p. i i ) ( p ) 0, i p D n eiste, para Dónde se alcanzan ls valres etrems de? Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 54

55 Terema: Si alcanza un valr etrem en p, entnces p debe ser un punt crític de. Pr l tant, si p n es un punt crític de, entnces n alcanza un valr etrem en p. Demstrems el terema para el cas z (, ) unción de ds variables. Supngams que tiene un valr etrem en p deinams la unción g pr g() (, b). (a, b) Entnces g tiene un valr etrem en a; lueg g (a) 0 bien g (a) n eiste. Per g (a) (a, b); lueg (a, b) 0 bien (a, b) n eiste. De manera análga cn g() (a, ) se btiene (a, b) 0 (a, b) n eiste. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 55

56 Gráicamente, si (a, b) 0 (a, b) la ecuación del plan tangente se reduce a z z 0, es decir, si la gráica de tiene un plan tangente en un etrem lcal, este debe ser hrizntal. Observación: N tds ls punts crítics riginan valres etrems. Pr ejempl, la unción (,) tiene un únic punt crític P(0, 0), per (0, 0) 0 n es un valr etrem de puest que en una vecindad de 0, la unción tma valres psitivs valres negativs. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 56

57 p D ε> 0 Deinición: Un punt se llama punt silla si dad, la vecindad V ε (p ) cntiene punts P tales que (p ) > (P) punts Q tales que (p ) < (Q). Punt silla Punt silla Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 57

58 Cndicines suicientes para valres etrems Supngams que tiene derivadas parciales de segund rden cntinuas en una vecindad de p que (p) 0. Cas z (, ) unción de ds variables: Dentems pr D al determinante de la matriz Hessiana de la unción (Hessian), est es, D> 0 D> 0 D< 0 D 0 D p (p (p (p (p ) ) ) ) < > 0 0 (p (p ) ) es un punt silla n ha cnclusión (p ) (p ) (p alcanza máim lcal en p alcanza máim lcal en p ) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 58

59 Observe que si D > 0, (p ) (p ) tienen el mism sign. Cas z (, ) unción de ds variables: Calculams ls determinantes, D 1, D D 3 z z z z zz Si D 1 (p ), D (p D alcanza mínim lcal en p. ) Si D1 (p) < 0, D(p) > 0 D3(p) < alcanza máim lcal en p. En cualquier tr cas n ha cnclusión. 3 (p ) sn psitivs, la unción 0, la unción Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 59

60 Ejercici: Determine ls valres etrems punts silla de (, ) - (, ) (, ) e (, ) e -( 3 (, ) 4 3 (,, z) 4 6 cs 3 1 ( ) 48 9 z Ejercici: Determine la distancia mínima entre el rigen la supericie z 4. 1 ) Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 60

61 Valres etrems cndicinads Multiplicadres de Lagrange En muchas situacines de la vida real, ls prblemas de ptimización están sujets a restriccines. Alguns de ests prblemas es psible reslverls a través del métd de ls Multiplicadres de Lagrange: Supngams que querems maimizar minimizar la unción n dierenciable : D R R restringida al cnjunt de nivel n n S { R / g() 0} cn g : D R R unción dierenciable. Si g(p) 0, p S restringuida a S tiene un máim mínim lcal en p, entnces eiste un númer λ tal que (p) λ g(p). El punt p es un etrem cndicinad de el númer λ se llama Multiplicadr de Lagrange. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 61

62 El terema precedente permite cnstruir la unción λg, para lueg encntrar sus punts crítics, est es, ls punts p tales que F(p ) 0 equivalente, (p ) λ g(p ), en ls cuales se pdrán encntrarán ls etrems cndicinads de. Cóm determinar el tip de etrem cndicinad? H H (p (p ) ) 0 0 p n es Si ls punts crítics de la unción de Lagrange F sn ds, una simple evaluación ns indica que un es máim el tr mínim. En trs cass se recurre a cnsideracines gemétricas. En general, se emplea el Hessian de la unción F, per ls criteris mencinads antes cambian. En particular, si es una unción de ds variables H F (p ) es el Hessian, entnces H (p ) > 0 p es máim cndicinad F F F < mínim Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 6 ha cnclusión F cndicinad

63 Buscar ls etrems de z (, ) cuand el punt (, ) está en la curva de nivel g(, ) k signiica encntrar el mar ( menr) valr de C tal que (, ) C intersecte a g(, ) k. Est curre cuand estas curvas sól se tcan en el punt P(, ), sea cuand tienen una recta tangente cmún, en cu cas las rectas nrmales en P cinciden, en cnsecuencia, (P) λ g(p), algún λ R g(, ) k Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 63

64 Ejempl: Encntrar ls valres etrems de la unción (, ) sbre la elipse 4 4 En este cas la restricción es (, ) λ g(, ) g(, ) 0 g(, ) - - λ Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales λ 4 Así, se encuentran ls psibles valres etrems de : P 1 (, 0), P (-, 0), P 3 (0, 1) P 4 (0, -1) se resuelve: slve({-*0.5*z*, **z*, 0.5*^^1}, {,,z}); La evaluación (P 1 ) -4, (P ) -4, (P 3 ) 1 (P 4 ) 1, ns lleva a cncluir que el valr máim de es 1 que se alcanza en P 3 en P 4. Y el valr mínim de es -4 que se alcanza en ls punts P 1 P.

65 El primer gráic muestran las curvas de nivel de la supericie 3 (,) 3 intersectadas cn la elipse 1. El gráic siguiente muestra dnde se alcanzan ls etrems de cn la cndición que (, ) esté en la elipse. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 65

66 Ejercici: Determine el mínim de cn la cndición 1. (,) 3 Prblema: Una línea aérea n permitirá el transprte de bults de lngitud de perímetr superir a 108 cms. Determine la lngitud L el radi r de un paquete cilíndric transprtable cn vlumen máim. Prblema: Un abricante estima una unción de prducción (, ) dnde es el númer de unidades de trabaj, a US$150 la unidad e es el númer de unidades de capital, a US$50 pr unidad. El cst ttal de trabaj capital se limita a US$ Determine el nivel de prducción máim de este abricante. 1 4 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 66

67 La imprtancia del Multiplicadr de Lagrange Supngams que M es el valr máim ( mínim) de (, ) sujet a la restricción g(, ) k. El multiplicadr de Lagrange razón de cambi de M cn respect a k, es decir, λ dm. dk λ es la Ls ecnmistas llaman al multiplicadr de Lagrange que se btiene en una unción de prducción prductividad marginal del diner. En el últim prblema, λ 1 ( 50) 4 (50) 4 0,334 l que signiica que pr cada dólar adicinal gastad en la prducción, pueden prducirse 0, 334 unidades adicinales del prduct. 1 1 Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 67

68 Generalización del Métd de ls Multiplicadres de Lagrange El métd es general en el sentid que si ha más restriccines cndicines él también es aplicable. Pr ejempl, si se quiere maimizar minimizar la unción sujet a las restriccines g 1 (X) 0,......, g t (X) 0, ls psibles etrems cndicinads P surgen de reslver: (P) λ1 g1 (P)... λt g g1(p) 0,... gt (P) 0 t (P) Ejercici: Determine el máim el mínim de la unción (,, z) sbre la curva intersección del plan z 1 cn el cilindr z 4. Cálcul III - Funcines reales de varias variables reales 68