Desarrollaremos la noción de pendiente y las diferentes formas de ecuaciones de rectas.

Transcripción

1 Matemáticas

2 1 Sesión No. 4 Nombre: La ecuación de la recta y su gráfica. Contextualización El sistema de coordenadas es uno de los conceptos que aprenderemos en esta sesión, aprenderemos a identificar los elementos que lo forman, además trabajaremos una de las ecuaciones y graficas mayormente utilizadas como lo es la ecuación de la recta. Desarrollaremos la noción de pendiente y las diferentes formas de ecuaciones de rectas. Veremos cómo los Modelos matemáticos y funciones son de gran aplicación en la vida cotidiana, en los negocios y en las áreas como lo es la producción.

3 2 Introducción al Tema En matemáticas es muy útil el uso de los sistemas de coordenadas cartesianas ya que al reconocer este gráfico y como está formado es más fácil la graficación de las distintas ecuaciones que se tienen. La ecuación de recta es la gráfica más simple que podemos realizar en el sistema de coordenadas cartesianas, ya que conociendo el valor de la pendiente y de la intersección con el eje y podemos realizar esta gráfica. Extraído de: solo para fines educativos.

4 3 Explicación El sistema de coordenadas cartesianas Está diseñado por dos líneas perpendiculares que se cruzan en un punto llamado origen. Una de las líneas se acostumbra representarla en posición horizontal y le llamamos eje X o eje de las abscisas; a la otra línea, vertical, se le llama eje Y o eje de las ordenadas, y ambas forman los dos ejes de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. Extraído de: solo para fines educativos. La ecuación de la recta Pendiente de una recta. Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada por rectas. Una característica de las rectas es su inclinación, en la siguiente figura se ilustra las diferentes inclinaciones que pueden tener las rectas:

5 4 Extraído de: solo para fines educativos. Formula de la pendiente (m) calculada a través de dos puntos: m = y x 2 2 y1 x 1 En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente: Pendiente cero: Recta horizontal Pendiente indefinida: Recta vertical Pendiente positiva: Recta que crece de izquierda a derecha. Pendiente negativa: Recta que decrece de izquierda a derecha.

6 5 Ecuaciones de recta. Si conocemos un punto y la pendiente de una recta podemos encontrar la ecuación con la ayuda de la siguiente forma de recta: y y = m( x ) 1 1 x A esta forma se le llama punto-pendiente que pasa por el punto (x 1,y 1 ) con pendiente m. Ejemplo: Encuentra la ecuación de recta que pasa por el punto (1, -3) y m = 2 y y 1 = m( x x ) 1 y ( 3) = (2)( x 1) y + 3 = 2x 2 Que puede reescribirse como: y -2x + 5 = 0. A esta forma se le llama ecuación general de recta. Ecuación de recta a través de la forma pendiente-ordenada al origen se calcula a través de m y b en: y = mx +b Ejemplo: encuentra una ecuación de recta con m = 4 e intersección en y en -3 La forma a utilizar es: y= mx + b, sustituyendo los valores de m y b tenemos que: y = -4x -3 Modelos matemáticos y funciones Muchas situaciones pueden ser descritas utilizando rectas, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo de Niveles de producción Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y B, que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x

7 6 y y denotan el número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuación: 4x + 2y = 100 donde x, y 0. Por lo tanto, los niveles de producción de A y B están relacionados linealmente. Resolviendo para y se obtiene y= -2x +50 (forma pendiente-ordenada al origen) de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de producción B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de A, se requerirán 4 libras más de material, resultando 4/2 = 2 unidades menos de B por lo tanto cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente a y disminuye en 2 unidades. La grafica que representa esta función de producción es la siguiente:

8 7 Conclusión El sistema de coordenadas cartesianas fue inventado por René Descartes ya que fue el primer matemático que pensó en dar solución a los problemas geométricos por medio del algebra. La orientación de una recta está caracterizada por su pendiente m. m = y x 2 2 y1 x 1 Donde (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) son dos puntos diferentes sobre la recta. En la rectas dependiendo la orientación de la pendiente es la forma de grafica que se representa, pueden ser ascendentes de izquierda a derecha o descendientes, también pueden ser horizontales o verticales. Las ecuaciones de recta son utilizadas como modelos matemáticos en áreas de producción o economía a través de las funciones de oferta y demanda. En la siguiente sesión se aplicaran los conceptos de función y las funciones lineales y cuadráticas.

9 8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Sistema de coordenadas cartesianas. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de: Formas de la ecuación de recta. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de: Ecuación de la recta. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de: Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

10 9 Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las ecuaciones de la recta resuelve los siguientes problemas: 1.- Determina la ecuación de la recta en la forma que se te pide: a) Pendiente- ordenada al origen que pasa por (-3,2) y tiene intersección en y=1 b) Forma general de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (3,6) c) Forma general de la recta que pasa por (5,4) y tiene pendiente de -2 Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma.

11 10 Bibliografía Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.