PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sea f : definida por 3 f ( ) a b c a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de infleión de abscisa recta tangente en el punto de abscisa 0 tenga por ecuación y 5 6. y que la b) Para a 3, b 9 y c 8, calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II. 04. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la derivada primera y segunda de la función: f '( ) 3 a b ; f ''( ) 6 a - Punto de infleión en 3 f '' 0 6 a 0 a - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0 tiene de pendiente 6 f a b b '(0) La función pasa por el punto (0,5) f(0) 5 c 5 b) Calculamos los máimos y los mínimos de la función: f 3 ( ) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( ) ; 3 Creciente:, 3 (, ) Decreciente: 3, Máimo: 3,35 Mínimo:,3, 3 3,, Signo f ' + + Función C D C

3 Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que 3 tenga una capacidad de 5 m. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima. MATEMÁTICAS II. 04. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Función que queremos que sea máimo es: S r r h min 5 b) Relación entre las variables: V r h 5 h r c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable S min r r h r r r r r d) Derivamos e igualamos a cero 50 3 r min S ' r 0 r 3'4 m r r e) Comprobamos que corresponde a un mínimo: 3 3 6r r r(r 50) r 500r S '' min 4 3 r r 3 (3'4) 500(3'4) S''( r 3'4) 0 Mínimo 3 (3'4) 5 Luego, las dimensiones del depósito son: r 3'4 m y h (3' 4) 3'4 m

4 a Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota el logaritmo ln neperiano). MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. ln a a ln a a 0 ln lim lim lim a a lim ln ( ) ln 0 ln ( ) ln 0 Como nos dicen que el límite eiste y es finito, el numerador debe de ser igual a cero para poder seguir aplicando la regla de L Hôpital, luego: a 0 a. Calculamos el límite: ln 0 lim lim lim 0 ( ) ln

5 Considera la función derivable f : e e si 0 definida por f ( ) a b si 0 a) Calcula a y b. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La función es derivable, luego, tiene que ser continua. e e 0 e e lim lim 0 b lim a b b ( e e ) ( e e ) si 0 Calculamos f '( ) 4 a si 0 Calculamos f '(0 ) aplicando L Hôpital: 0 ( e e ) ( e e ) e ( ) e ( ) 0 f '(0 ) lim lim Calculamos f '(0 ) : f '(0 ) =a e ( ) e e ( ) e e e 0 lim lim e e e e 0 lim Como es derivable se cumple que: f '(0 ) f '(0 ) a 0 b) La ecuación de la recta tangente en es y f ( ) f '( ) ( ) e e e f ( ) e ( e e) ( ) ( e e) f '( ) e 4 e Luego la recta tangente en es e e y ( ) y ( ) e e e e

6 Sea f la función definida por f ( ) ln para 0 a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máima b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La pendiente de la recta tangente es máima en el punto de infleión. Luego vamos a calcular los puntos de infleión de esta función. y ' 4 y '' 0 0 ; 3 El valor 0 no está en el dominio, por lo tanto, sólo sirve el valor, es decir, el punto que nos piden es:,. b) La ecuación de la recta normal en el punto, es: Sustituyendo los valores de f () y y f () ( ) f '() f '(), tenemos: y f () ( ) y ( ) y 4 y 5 0 f '()

7 Sea f : la función definida por 3 f ( ) b c d f( ) tiene un máimo relativo en y que lim 4 MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B.. Halla b, c y d sabiendo que f Calculamos la derivada de la función: f '( ) 3 b c - Máimo relativo en f b c b c '( ) 0 3 ( ) ( ) f ( ) b c d b c d lim 4 lim 0 Como nos dicen que el límite eiste y vale 4, el numerador debe de ser igual a cero para poder seguir aplicando la regla de L Hôpital, luego: bcd 0. Calculamos el límite: 3 f ( ) b c d 0 3 b c lim 4 lim lim 3 b c 4 0 Resolvemos el sistema formado por las tres ecuaciones que hemos obtenido: b c 3 b c d b ; c ; d bc Luego, la función es: f 3 ( )

8 tan sen Calcula lim 0 sen MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. tan sen 0 Como lim, le aplicamos la regla de L Hôpital 0 sen 0 cos 3 tan sen 0 cos 0 3cos lim lim cos sen lim lim sen 0 cos cos cos 0 cos sen 3cos sen 3cos 3 cos 3cos 3 lim 3 0

9 Considera la función f : definida por f ( ) e a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La función f ( ) e, no tiene asíntota vertical ya que su dominio es. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal lim lim lim 0 e e e 4 e Por lo tanto, la asíntota horizontal es y 0. Como tiene asíntota horizontal, no puede tener asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3 e e y ' 0 0 ; ; ( e ) e c) (, ) (,0) (0,) (, ) Signo y ' + + Función C D C D Máimo, mínimo (0, 0) Máimo, e e

10 De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm, determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud. MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea mínima: y 6 b) Relación entre las variables: 8 y h y. c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. 4 h y 6 56 d) Derivamos e igualamos a cero: ( 56) ' h Como es una longitud tomamos el valor positivo 4 e) Calculamos la segunda derivada para ver que valor corresponde al máimo ( 56) 4 56 h '' 4 4 ( 56) h''( 4) 0 Mínimo 565 Luego, las dimensiones de los catetos son: 4 cm ; y 4 cm

11 Sea f : la función derivable definida por: el logaritmo neperiano a) Calcula a y b. b) Para a 3 y a si f( ) b donde ln denota ln si b calcula los etremos absolutos de f en el intervalo se obtienen y valores que se alcanzan) MATEMÁTICAS II. 04. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. 0,e (abscisas donde a) Si la función es derivable en, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: Calculamos la función derivada: lim a a b a b a b lim ln b Como es derivable en, se cumple que: si f '( ) b si f '( ) b b f '( ) b Sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos que: a b a 3 b) Como es derivable, los etremos absolutos se encuentran en 0, e y en los puntos donde se anula f '( ). - f '(0) 0 No puede haber máimo o mínimo - f '(0) ; - 0 f(0) 3 - f() ln - e f ( e) e Luego, el mínimo absoluto está en el punto, ln y el máimo absoluto en el punto 0,3

12 cos(3 ) e a Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite. 0 sen( ) MATEMÁTICAS II. 04. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Resolvemos la indeterminación aplicando la regla de L Hôpital cos(3 ) e a 0 3sen3 e a a lim lim 0 sen( ) 0 0 sen cos 0 Como nos dicen que el límite eiste y, es finito, el numerador debe de ser igual a cero para poder seguir aplicando la regla de L Hôpital, luego: a 0 a. Calculamos el límite: cos(3 ) e 0 3sen3 e 0 9 cos 3 e 0 lim lim lim 5 0 sen( ) 0 0 sen cos 0 0 cos cos sen

13 De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima. MATEMÁTICAS II. 04. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Función que queremos que sea mínima: b) Derivamos e igualamos a cero: S min min S 0 ; c) Comprobamos el valor que corresponde a un mínimo. Luego, el número que nos piden es: ( ) min 4 3 S S min ( ) 0 Mínimo 3