Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1

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1 Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones de Modelos de LP 25 de julio de Descripción del Método ualquier problema de Programación Lineal de sólo 2 variables puede ser resuelto gráficamente. La idea general es dibujar en un sistema de ejes ortogonales las variables de decisión y representar gráficamente las restricciones del problema en dicho plano. Para ilustrar la técnica, consideremos el ejemplo de la mueblería estudiado previamente: Ejemplo sujeto a (st) Max z = (Función Objetivo) Restricción de terminaciones + 80 Restricción de carpintería 40 (c) Restricción de demanda máxima 0 (d) Restricción de signo 0 (e) Restricción de signo (.).. Región Factible El conjunto de todos los puntos (, ) que satisfacen todas las restricciones de (.) conforman la región factible para el problema. Para graficar la región factible, trazamos en primer lugar dos ejes ortogonales (uno para cada variable) en el plano. continuación se representan las rectas correspondientes a cada restricción como si el signo de desigualdad correspondiera a una igualdad. omo cada recta divide al plano en 2 regiones, debemos identificar cuál lado es el que satisface la desigualdad. Para ello basta evaluar un punto que no pertenezca a la recta y determinar si cumple o no la restricción, en general se identifica la región que satisface la restricción con unas flechas perpendiculares a la recta. Representadas todas las restricciones e identificadas las zonas que satisfacen cada una de ellas se busca aquella área que satisfaga simultáneamente todas las restricciones: está será la región factible del problema (usualmente se achura). El procedimiento descrito se ilustra en la Figura. para el modelo asociado al problema de la mueblería (.). Nótese que interesa sólo el primer cuadrante ya que las restricciones de signo obligan a que las variables sean positivas.

2 00 80 E (c) D B Figura.: Región Factible Luego, la región factible queda definida por el polígono BDE. ualquier punto de la frontera o interior al polígono satisface todas las restricciones y por lo tanto es una combinación factible..2. álculo del Óptimo Una vez identificada la región factible del problema, se debe determinar el punto de dicha región que maximiza o minimiza la función objetivo. En el ejemplo (.), se debe determinar el punto que maximiza: z = (.2) Para encontrar el óptimo, debemos graficar las líneas de igual valor de z, es decir las rectas de isobeneficio. En un problema de minimización se habla de las rectas de isocosto. modo de ejemplo, se muestran en la Figura.2 las líneas de isobeneficio z = 80 y z = 20 en línea segmentada. Evidentemente, en todo problema de programación lineal las líneas de isobeneficio son rectas paralelas, por lo tanto para determinar el óptimo basta encontrar la mayor recta de isobeneficio (o la menor recta de isocosto si se está minimizando) que intersecta a la región factible. En el ejemplo, la mayor recta de isobeneficio corresponde a la línea de z = 80 que se muestra en la Figura.2, la que intersecta a la región factible en el punto G, es decir: = 20 y = 60, punto que corresponde al óptimo del problema..3. Restricciones ctivas y No ctivas Una vez obtenida la solución óptima de un LP, se puede introducir la siguiente clasificación respecto de las restricciones del problema: Definición Una restricción es activa si el lado izquierdo y derecho de la desigualdad son iguales cuando el valor óptimo de las variables es substituido en las expresiones. 2

3 05 90 E D z = 200 z = 80 B Figura.2: Líneas de Isobeneficio En el ejemplo, las restricciones y son activas. Definición 2 Una restricción no es activa si el lado izquierdo y derecho de la desigualdad no son iguales cuando el valor óptimo de las variables es substituido en las expresiones. En el ejemplo, como = 20 en el óptimo, la restricción (c) es no activa pues 20 es menor que Regiones onvexas y Extremos El problema de la mueblería corresponde a un ejemplo de región factible convexa. Definición 3 Una región S es convexa si toda línea recta que une cualquier par de puntos de la región está completamente contenida en S. La Figura.3 y muestra ejemplos de regiones convexas. En la misma figura, las regiones (c) y (d) no son convexas. En el caso de regiones convexas, ciertos puntos (Puntos Extremos) son de (c) (d) gran interés para LP. Figura.3: Regiones onvexas y No onvexas Definición 4 Para cualquier región convexa S, un punto P es un punto extremo si cada línea completamente contenida en S y que contiene a P tiene a P como punto final del segmento. 3

4 Por ejemplo, en la Figura.3 cada punto del contorno del círculo es un punto extremo. En la Figura.3 los cuatro vértices del rectángulo son puntos extremos. Frecuentemente, los puntos extremos se denominan esquinas, ya que en el caso de polígonos, todos sus vértices corresponden a puntos extremos. En el problema de la mueblería, la región factible es convexa. Esto no es un accidente y se puede demostrar que la región factible de un LP siempre es convexa. En el ejemplo, de la Figura. se observa que los puntos, B,, D y E son puntos extremos y se puede demostrar que la región factible de un LP siempre posee un número finito de puntos extremos. demás, se puede observar que la solución óptima del ejemplo (punto D) corresponde a un punto extremo. En general, se puede demostrar que cualquier LP que tenga solución óptima debe tener como óptimo un punto extremo. Este resultado es muy importante, pues reduce el problema de determinar el óptimo de un LP a un conjunto finito de puntos de la región factible, en otras palabras, el óptimo (si existe) pertenece al conjunto de puntos extremos. El resulto anterior es válido cualquiera que sea el tamaño del LP (no sólo para el caso en dos variables) y será fundamental para desarrollar el algoritmo general de solución de un LP (SIMPLEX). 2. Problemas de Minimización Para ver algunas consideraciones especiales en el caso de minimización tomemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2 Una distribuidora de vehículos vende autos y camionetas. Para ampliar el mercado de posibles clientes ha decidido iniciar una ambiciosa campaña publicitaria por televisión. La estrategia consiste en adquirir minutos de avisos comerciales en dos tipos de programas: teleseries y juegos de fútbol. Se espera que cada minuto de publicidad en horario de teleseries sea visto por al menos 700 mil mujeres y 200 mil varones. ada minuto de publicidad en horario de fútbol debería ser visto por al menos 200 mil mujeres y varones. ada minuto en horario de teleseries cuesta 5 millones de pesos y en horario de fútbol cuesta 0 millones de pesos. La distribuidora desea que al menos 2,8 millones de mujeres y 2,4 millones de varones vean los avisos comerciales. Empleando LP determine cómo deben ser contratos los minutos de publicidad para satisfacer los requerimientos de la distribuidora a costo mínimo. Si entrar en mayores detalles, designando como y la cantidad de minutos de publicidad contratados en horario de teleseries y fútbol respectivamente, el modelo queda: st Min z = (Función Objetivo) Mujeres Varones 0 0 (2.) La función objetivo se ha escrito en término de millones y las restricciones se han referido a cientos de miles personas para simplificar el modelo. Para resolver el problema se representan las restricciones un plano formado por dos ejes ortogonales (uno por variable), al igual que el caso anterior. La Figura 2. muestra las restricciones, la región factible y algunas líneas de isocosto. En este caso, al igual que el anterior, la región factible B es convexa, pero en este caso la región 4

5 z=60 z=32 2 B Figura 2.: Problema de la Distribuidora de Vehículos contiene puntos en los cuales al menos una de las dos variables puede hacerse arbitrariamente grande. En estos casos se habla de región factible no acotada. Debido a que se desea minimizar el costo, interesa la línea de isocosto de menor valor que intercepte la región factible. Ello ocurre con la línea de isocosto que pasa por el punto B, el cuál se determina calculando la intersección de las dos restricciones del problema ( = 3,6 y =,4). El valor de la función objetivo para este caso es z = 320, es decir, 320 millones de pesos. Otra forma de obtener el óptimo es evaluando en los puntos extremos de la región factible, es decir, evaluando la función objetivo en, B y, para luego escoger el menor valor. Debido a que la solución óptima se encuentra sobre las rectas y, ambas restricciones son activas. 3. asos Especiales Los problemas estudiados anteriormente poseen una única solución, sin embargo existen varias situaciones especiales:. lgunos LP pueden tener un número infinito de soluciones óptimas (alternativos o múltiples óptimos). 2. lgunos LP pueden no tener soluciones factible (LP no factibles). 3. lgunos LP pueden ser no acotados: existen puntos en la región factible que pueden tener un valor arbitrariamente grande de la función objetivo (caso de maximización). 3.. Óptimos lternativos o Múltiples Ejemplo 3 Una armaduría fabrica autos y camionetas. ada vehículo pasa por una etapa de ensamblaje y por otra de pintado. Si en el taller de pintura sólo se pintan camionetas, se puede terminar 40 camionetas al día. Si en el taller de pintura sólo se pintan autos, se pueden terminar 60 autos al día. Si en el taller de ensamblaje sólo se trabaja con camionetas, se pueden producir 50 camionetas al día. Similarmente, si en el taller de ensamblaje sólo se trabaja con autos, se puede terminar hasta 50 5

6 autos al día. El beneficio neto de cada camioneta es 3 millones, mientras que el de cada auto es de 2 millones. Emplee LP para determinar la producción diaria que maximiza la utilidad de la compañía. Escogiendo como y el número diario de camionetas y autos producidos al día, respectivamente, el modelo de LP que resuelve el problema queda: st Max z = (Función Objetivo) Pintura Ensamblaje, 0 La función objetivo se ha escrito en millones por simplicidad. Siguiendo el procedimiento descrito previamente, la representación gráfica del problema se ilustra en la Figura 3.. (3.) z=20 z=60 z=00 B 0 0 D Figura 3.: Problema de la rmaduría de Vehículos En este caso, la región factible es la definida por el polígono BD. Siguiendo el procedimiento descrito, se debe evaluar la función objetivo en los puntos extremos de la región, en este caso se encuentra que el mayor valor z se obtiene en el punto, pero también en el punto B donde también z = 20. nalizando con mayor cuidado la situación, se observa que el segmento de recta de entre los puntos y B es paralela a las líneas de isocosto, por lo tanto la evaluación de la función objetivo sobre cualquier punto de (c) entre y B entregará el mismo resultado. Luego, en este caso existen infinitos óptimos alternativos. Otra forma de chequear la situación consiste en reemplazar la ecuación de la recta en la expresión de la función objetivo: de : = 40 ( 60 reemplazando en z: z = 3 40 ( 60 ) + 2x2 = 20 En la práctica, cuando el tomador de decisiones encuentra que existen múltiples óptimos, debe recurrir a criterios secundarios para seleccionar un determinado óptimo. En la Figura 3. el segmento grueso entre los puntos y B ilustra el conjunto (infinito) de óptimos del problema. 6 ) (3.2)

7 3.2. LP No Factibles Supongamos que al problema del Ejemplo 3 incorporamos la restricción de producir al menos 30 camionetas y al menos 20 autos. Luego, el modelo de LP queda: st Max z = (Función Objetivo) Pintura Ensamblaje 30 (c) amionetas 20 (d) utos, 0 De acuerdo a la técnica descrita, se construye la Figura 3.2 (3.3) (c) 20 (d) Figura 3.2: Problema de la rmaduría de Vehículos - aso No Factible partir de la Figura 3.2 se observa claramente que no existen puntos que satisfagan todas las restricciones simultáneamente, por lo tanto la región factible es vacía y el problema es No Factible. El problema es No Factible debido a que producir 30 camionetas ó 20 autos requiere mayor tiempo de taller de pintura del disponible LP No cotados En el caso de maximización, un LP No cotado ocurre cuando es posible encontrar puntos en la región factible con valores de la función objetivo z arbitrariamente grandes. Evidentemente, en un LP bien formulado no deberían existir soluciones óptimas arbitrariamente grandes, pues en la práctica no tiene sentido hablar de utilidades o ingresos ilimitados. En un problema de minimización, un LP No cotado ocurre cuando es posible encontrar puntos en la región factible con valores de la función objetivo z arbitrariamente pequeños. Para ilustrar dicha situación consideremos: 7

8 Ejemplo 4 sujeto a (st) Max z = 2 (Función Objetivo) 2 + 6, 0 (3.4) De acuerdo al procedimiento descrito, se construye la Figura z=4 z=6 2 B Figura 3.3: Ejemplo 4 En este caso, la región factible queda definida por el polígono no acotado B. En la figura se muestra dos líneas de isobeneficio que ilustran como va creciendo el beneficio en la medida que las rectas se trazan más a la derecha de la figura. En este caso, el punto no es un vértice de la región y sólo ilustra el último punto de mayor beneficio dentro de la escala de ejes representada. Luego, en la medida que se desplaza a la derecha, el punto se aleja del orígen y la función objetivo crece tan arbitrariamente como se desplace el punto. Esto se debe a que las rectas de isobeneficio tienen mayor pendiente que la restriccioń. Finalmente, la función objetivo no está acotada y el problema no tiene sentido. Si bien en esta sección se han mostrado problemas con un único óptimo, múltiples óptimos, no factibles y no acotados sólo para el caso de dos variables, los conceptos se extienden a problemas de más variables que serán estudiados más adelante. Si el LP se ha formulado con una función objetivo y restricciones adecuadas para un conjunto de variables de decisión, no es difícil encontrar una solución óptima. Los problemas de resolución más frecuentes aparecen cuando no se ha seleccionado las variables de decisión correctas. 8

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