INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147

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1 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 17

2 págin 18 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EXPONENTES L ide de los eponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Como es sido, cundo se multiplic un cntidd n por sí mism k veces, o se n n n... n k veces se revi n k, es decir que n n n... n n k veces k Por ejemplo, pr no escriir, se revi 6, que visto l invers signific. Con est noción de que l potencición es un multiplicción revid, es fácil entender por qué, por ejemplo, + 9, es decir que l multiplicr dos cntiddes con l mism se, l regl es que se sumn los eponentes, que 9 Entonces puede firmrse que: Cundo se multiplicn dos cntiddes con l mism se, el producto tiene l mism se con eponente igul l sum de los dos eponentes originles. m n m n + Ejemplo 1:

3 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 19 DIVISIÓN Es fácil entender tmién por qué, l invers, l dividir 7 7-2, es decir que l dividir dos cntiddes con l mism se, l regl es que se restn los eponentes conservndo l mism se, que 7 O ien, si se quiere dividir, por ejemplo, 2 2 Lo nterior puede sintetizr en l siguiente regl:, que Cundo se dividen dos cntiddes con l mism se, el cociente tiene l mism se con eponente igul l rest de los dos eponentes originles conservndo l mism se. m n m n Ejemplo 2: d 7 d d 7 d d 7-1 d 6 Ejemplo :

4 págin 10 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS POTENCIAS DE POTENCIAS ( ) Finlmente es fácil tmién entender, prtir del significdo de un eponente, por qué, por ejemplo,, es decir que l elevr un potenci otr potenci, l regl es que se multiplicn los eponentes, que ( ) 2 8 De l mism form, si hor se quiere elevr 2 ( ) st recurrir de nuevo l definición de potenci pr deducir l mner en que dee efecturse, en este cso elevr l cuo es l revitur de her multiplicdo tres veces por sí mismo. Efectivmente, ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 9 6 Se ve que l mism regl recientemente descrit, que se sumn los eponentes, sigue plicándose, solmente que en form distriutiv sore cd literl. Es decir que: Cundo un cntidd m se elev l potenci n, se multiplicn los eponentes mientrs l se vuelve ser l mism. ( ) n m m n

5 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 11 Ejemplo ( ) 7 ( ) Ejemplo : ( c ) 2 ( ) 2 c c c Ejemplo 6: ( + 7 ) 2 Recordr que un inomio l cudrdo es igul l cudrdo del primer término más el dole producto del primero por el segundo más el cudrdo del segundo término. Entonces ( + ) ( ) + 2 ( ) ( ) + ( ) FRACCIONES Recurriendo nuevmente l significdo de eponente, result sencillo deducir el resultdo de elevr un frcción un cierto eponente, pr lo cul únicmente se requiere recordr que dos frcciones se multiplicn numerdor por numerdor denomindor por denomindor. Así, si se quiere efectur, por ejemplo, 2, se tiene que que no es otr cos que el resultdo de elevr el numerdor l cuo el denomindor l cuo. Es decir que

6 págin 12 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS Pr elevr un frcción l potenci k, se elevn seprdmente tnto el numerdor como el denomindor dich potenci k. k k k Ejemplo 7: 6 ( ) ( )

7 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 1 EJERCICIO 1 Efectur ls siguientes operciones con eponentes: 1) 6 2 2) t 9 t ) q 11 q 10 ) 1 ) ) c 1 c 12 7) 17 8) ) ( ) 2 ( ) ( ) 10) 11) 12) 7 ( c ) 8 ( ) 7 11 ( t ) 1) 1) 1) ( ) 2 ( + ) 2 ( n + m ) 2 16) 11 7 h w 17) k j 18) ( ) 2 ( ) 2 ( + ) 19) 20) r 11 q 8 21) 2 ( ) ( 2d ef ) ( ) 22) 2) 2) ( f h ) 8 ( ) ( c ) 2 9 k 2) 26) 27) ) 29) 0) 2 8 e 11 7 cd 9 deh 1 1) 2) ) 2 1 2m q 9 8

8 págin 1 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EXPONENTES NEGATIVOS Tods ls regls de los eponentes están sds en su propi definición de ser un multiplicción revid. Un cso interesnte es cundo se tiene un cntidd entre sí mism, por ejemplo, 12 12, que plicándole l regl respectiv de restr los eponentes se lleg que como se se que culquier cntidd dividid entre sí mism d 1, eso signific que 0 1. Se puede generlizr fácilmente imginndo que culquier número elevdo l potenci cero es igul 1, que viene de dividir un cntidd entre sí mism, lo que originó un rest de eponentes igules. Culquier cntidd con eponente 0 es igul 1, que se trt de un división de un cntidd entre sí mism. Aún más, si se tiene hor, por ejemplo, 2, plicndo l regl respectiv de restr eponentes se lleg que (A) que es lo mismo que 1 2 (B) Por lo tnto ls epresiones (A) (B) deen de ser igules, esto es que 1 De quí se desprende l siguiente regl Si un cntidd escrit en el numerdor se trsld l denomindor, su eponente cmi de signo. Y l invers, si un cntidd escrit en el denomindor se trsld l numerdor, su eponente cmi de signo.

9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 1 Ejemplo 8: Escriir l siguiente epresión de mner que no prezc con eponentes negtivos. c 2 8 L literl tiene eponente positivo, por lo tnto no dee hcérsele nd, si está en el numerdor dee quedr llí. Lo mismo puede decirse de l literl. En cmio, como l c tiene eponente negtivo dee trsldrse l denomindor pr que l cmir su signo prezc con su eponente positivo; como l tmién tiene eponente negtivo dee trsldrse l numerdor pr que su eponente cmie positivo (ver figur 9), de mner que se otiene figur 9 c c Ejemplo 9: Escriir l siguiente epresión con tods ls cntiddes en el numerdor. d c Tods ls cntiddes del denomindor, tomds un por un (,, c, - 1 ), deen cmir de signo en su eponente l trsldrse l numerdor, en tnto que tods ls numerdor ( -, d 8, - 9 ) deen quedr igules, que no se trsldn. Nótese en el cso del coeficiente, lo mismo que l literl c, que unque inicilmente no tienen eponente escrito, en relidd lo tienen como +1, por eso l trsldrse hci rri precen con eponente menos uno. figur 10 Entonces d c c d 1 NOTA: Un error mu frecuente que comete el lumno en csos como el del ejemplo nterior es que l trsldr el del denomindor l numerdor, en vez de cmir el signo de su eponente - 1, cmi el signo de l cntidd mism -.

10 págin 16 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EJERCICIO 2 Escriir ls siguientes cntiddes ) sin eponentes negtivos; ) sin denomindores (todo en el numerdor): 2 1 d f g 1) 2) ) 1 6 c 2 1 c 1 d ) ) 6) c g ) 8) 9) 1 2 c c c cd 10) 11) 12) 1 d c d g 1) 1) 1) d 2 h ) 17) 18) 2 2 c d

11 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 17 EXPONENTES FRACCIONARIOS En mtemátics frecuentemente se d el hecho llmdo resr su definición, que consiste en que dd l definición de lgun operción, ést lleg psr más llá en virtud de que opercionlmente se otienen tmién resultdos congruentes. Por ejemplo, l multiplicción nce de l necesidd de revir cierts sums. Efectivmente, se se que pr no escriir, por ejemplo, , se revi como 6. En otrs plrs, cundo prece escrito, por ejemplo,, se se de inmedito que en relidd se pretende sumr Se puede definir entonces l multiplicción como un sum revid. Cundo se tiene 2.01 l definición de multiplicción continú vigente, pues signific simplemente que se quiere hcer l sum ; sin emrgo, qué signific l multiplicción ?. Se puede.17 sumr uno punto novent seis veces?. Desde el punto de vist de l definición de multiplicción crece de sentido, pero opercionlmente es congruente con ls multiplicciones que se pegn l propi definición. Así, pues, l multiplicción entre cntiddes ms no en ters es un cso de un operción que res su definición. Otro cso es el de ls funciones trigonométrics, ls que ncen prtir de triángulos rectángulos. Por ejemplo, se descurió que l tener un triángulo rectángulo con un ángulo de 2 0, l dividir el ldo entre el ldo siempre d el mismo vlor sin importr si el triángulo fuese grnde, medino o chico. Ese vlor es el que corresponde tn 2. Los vlores de ls funciones seno, coseno tngente que vienen ddos en tls (hor en l clculdor) ncieron de triángulos rectángulos, es decir, su definición inicil fue dd pr ángulos gudos o lo más el recto. El seno se define como el cteto opuesto entre l hipotenus eso solmente tiene sentido en un triángulo rectángulo. 2 2 figur 11 Sin emrgo, con el tiempo se resó está definición oteniendo vlores pr ls funciones seno, coseno, tngente, etc. pr todos los ángulos mores de 90 grdos. Un estudio más fondo se hrá en el segundo semestre. Entendid l ide de resr su propi definición, el cso que nos ocup es el de l potencición. Tmién con el tiempo fue resd. Se recordó l inicio de este tem que l ide de los eponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Cundo se multiplic un cntidd n por sí mism k veces, se revi n k. Anlizdo desde l propi definición, tiene sentido hlr de como l revición de, o ien de 1. 2 como l revición de 1. 1., pero qué signific 1.2? Desde l propi definición, crece de sentido, pero l resr dich definición, dquiere un sentido un significdo congruente opercionlmente con ls potencis que se pegn l definición.

12 págin 18 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS Como se dijo, l elevr un potenci otr potenci l regl es que se multiplicn los eponentes. De mner que si ( ) l plicrle l operción invers ríz cudrd tmién deerá plicrse l operción invers l eponente, es decir, dividirlo entre dos, esto es que, Por lo tnto, en congruenci con este procedimiento, 2 /2 o ien 7 7 7/ ( ) 2 1 k Visto desde otr óptic opercionl: Si tmién ( ) 2 1, eso implic dos coss, un que por ls regls de los eponentes vists ( k ) 2 k 2 si este eponente vle uno, k 1 l k solmente puede vler 1/2. L otr, que que ms son igules como 1/2 k 1/2, entonces. De donde se deduce l siguiente regl pr eponentes frccionrios: En un eponente frccionrio, el numerdor represent l potenci l que está elevd l se el denomindor el índice del rdicl que lo fect. nm / m n 1/ Ejemplo 10: Escriir con rdicl l epresión.

13 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 19 Como el denomindor es el índice del rdicl, signific que dee escriirse dentro de un ríz curt, mientrs que el numerdor es l potenci de ; de mner que 1/ 1 Ejemplo 11: Escriir con rdicl l epresión /8 Como el denomindor es el índice del rdicl, signific que dee escriirse dentro de un ríz octv, mientrs que el numerdor es l potenci de ; de mner que /8 8 Ejemplo 12: Escriir con rdicl l epresión ( ) /10 El denomindor 10 indic que todo dee ir dentro de un ríz décim el numerdor que dee estr elevdo l cuo, de mner que 10 ( ) ( ) /10 Ejemplo 1: Escriir con eponente frccionrio l epresión 7 El eponente 7 es el numerdor el índice del rdicl es el denomindor, de mner que 7 7/ Ejemplo 1: Escriir con eponente frccionrio l epresión ( ) + El eponente frccionrio dee tener denomindor 6 (que es el índice del rdicl) numerdor (que es el eponente l que está elevdo todo el préntesis), de mner que ( 7 + ) ( 7 + ) /6

14 págin 160 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EJERCICIO Escriir con rdicl ls epresiones que estén con eponente frccionrio; o con eponente frccionrio ls que estén en rdicl 1) 2/ 2) / ) 1/6 ) /2 ) c 7/ 6) ( 2 ) 1/ 7) (6 7 c ) 2/ 8) (d 6 2 ) / 9) (c 2 ) 7/ 10) 7(c 2 ) /8 11) (2 + 2 ) 1/ 12) ( 2 - ) 8/7 1) 2 ( 2 - ) 2/ 1) ( ) 6/7 1) ( + )( - ) 2/9 16) 1/2 + 1/2 17) 1/ - 2/ 18) 1/ / 19) 2/ - /2 20) 1/2-2/ 7 21) 22) 7 2) 2) 2 2) 26) ( + ) ( 2 ) ) 28) ( ) 6 29) + 0) ( ) ( 2 ) 9 1) 2) 2 + ( ) ) 6 + ) 2 + ( ) 11 ( + ) + ( ) ) 6) ( ) + ( + ) 7 ( ) ) 2 8) ) 0) )

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