CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS
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- Alfonso Valdéz Gutiérrez
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1 Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Sea E un R-espacio vectorial de dimensión. Sean E = e 1, e un plano vectorial de E y e 0 un vector de E que no está en E, e 0 / E. Los vectores {e 0, e 1, e } forman una base de E, y si representamos por x 0, x 1, x sus funciones coordenadas, el plano afín H definido por H = e 0 + E tiene por ecuación implícita x 0 = 1. En este sistema de coordenadas la ecuación implícita del plano del infinito E es x 0 = 0. Definición 1. Una cónica de H es una familia C = {λt } λ R, formada por una métrica simétrica T sobre E y todas sus proporcionales. El lugar geométrico definido por la cónica C es la intersección del plano afín H con el conjunto de los vectores de E que son isótropos para la métrica T locus de C = {e E : T e, e = 0} H En coordenadas, el locus de C representa la ecuación de una curva de grado de H. En efecto, si G = g ij es la matriz de un representante T de la cónica C respecto de una base {e 0, e 1, e } de E en la que la ecuación de H es x 0 = 1, se tiene locus de C = { 1, x 1, x H : 1 x 1 x g 00 g 01 g 0 g 10 g 11 g 1 1 x 1 = 0 }, g 0 g 1 g x de donde resulta g 11 x 1 + g x + g 1 x 1 x + g 1 x 1 x + g 01 x 1 + g 0 x + g 00 = 0. Observación 1. La parte cuadrática de esta ecuación, g 11 x 1 + g x + g 1 x 1 x + g 1 x 1 x, se corresponde con la matriz de la restricción de la métrica T al plano del infinito E, T E = g11 g 1 g n1 g Ejemplo 1. H = {1, x, y} R, C = {λt }, G = El locus de C 1 x y x = 0, 1 y es la curva de grado dos del plano XY : x + y + xy 6x + 4y + 1 = 0. 1
2 G. Serrano Sotelo Definición. Una cónica C = {λt } es irreducible o no degenerada si lo es cualquiera de sus métricas representantes. Ejemplo. Las cónicas de ecuaciones a x a + y b 1 = 0, x b a y b 1 = 0, c y px = 0, donde a, b, p R {0} son irreducibles pues las métricas representantes, de matrices a /a 0, b /a 0, c , 0 0 1/b 0 0 1/b 0 0 1/p son no singulares. Definición. Un vector e 0 E define un centro de la cónica C si e 0 / E y T e 0, e = 0 para todo e E. Proposición 1. Si C = {λt } es una cónica irreducible y tiene centro éste es único. Demostración. Sea e 0 E un vector que define un centro de la cónica C. Como T es una métrica irreducible el subespacio ortogonal al hiperplano del infinito, E, es una recta, luego e 0 es un generador de ella pues es ortogonal a E, y como e 0 / E esta recta e 0 corta a H en un único punto, c = e 0 H, que es el centro de la cónica. Corolario 1. Si C = {λt } es una cónica irreducible con centro existe una base {e 0, e 1, e } de E en la que las coordenadas del centro son c = 1, Adj g 10 Adj g 00, Adj g 0 Adj g 00, donde G = g ij es la matriz, respecto de esa base, de una métrica representante de C. Demostración. Respecto de la base {e 0, e 1, e } de E, en la que e 0 es el vector que define el centro, E = e 0, y {e 1, e } una base de E, la ecuación implícita de E es x 0 = 0, luego su subespacio incidente está generado por la forma lineal ω de coordenadas en la base dual ω = 1, 0, 0. Si G = g ij es la matriz de T en esta base se tiene que E = G 1 ω = e 0 con luego el centro es e 0 = Adj g 00 G, Adj g 10 G, Adj g 0, G c = 1, Adj g 10 G, Adj g 0 G, donde Adj g 00 = G es el determinante de la restricción de G a E. Definición 4. Sea C = {λt } una cónica de H. Se llaman rango r e índice i de la cónica a los de cualquiera de las métricas que la representan. Se llaman rango r e índice i de la cónica en el infinito a los de la restricción a E de cualquiera de las métricas que la representan. r = rgt, i = indice T ; r = rgt E, i = indice T E Teorema 1. La condición necesaria y suficiente para que dos cónicas C = {λt } y C = {µt } de H sean afínmente equivalentes es que tengan iguales sus rangos, índices, rangos en el infinito e índices en el infinito, r = r, i = i ; r = r, i = i.
3 Clasificación afín de cónicas Utilizando este teorema obtenemos el siguiente cuadro de: Clasificación afín de cónicas en H R r Irreducibles 1 0 r i \i Par de rectas 1 Hipérbola reales x y = 1 no paralelas Elipse Elipse 0 real imaginaria x + y = 1 x + y = 1 x y = 0 Par de rectas imaginarias no paralelas x + y = Par de rectas Par de rectas Parábola reales imaginarias y = x paralelas paralelas x = 1 x = 1 Recta real doble x = Recta real Conjunto Plano x = 0 vacío afín Problemas resueltos 1. Clasificar afínmente las cónicas siguientes a x xy + y + 4x 6y + 1 = 0 b x + 4xy + 4y x 4y = 0 Solución. a Escribamos la matriz G de la métrica T y la matriz G de su restricción al infinito G = Calculemos el número de raíces nulas r 0, el número de raíces positivas r + y el número de raíces negativas r de la ecuación secular de la métrica T y de la métrica T E px = xi G = x x 11x + 1, r 0 px = 0, r + px =, r px = 1 p x = xi G = x x, r 0 p x = 1, r + p x = 1, r p x = 0 Luego los rangos y los índices de T y de su restricción al infinito son r =, i = 1 ; r = 1, i = 0 Por tanto, es una cónica irreducible sin centro de matriz reducida y ecuación reducida afín y x = 0, esto es, una Parábola.
4 4 G. Serrano Sotelo b 1 G = px = xi G = x x 0x, r 0 px = 1, r + px = 1, r px = 1 p x = xi G = x 5x, r 0 p x = 1, r + p x = 1, r p x = 0 Los rangos y los índices de la métrica T y de su restricción al infinito son r =, i = 1 ; r = 1, i = 0 Es una cónica degenerada con centro, de matriz reducida y ecuación reducida afín x 1 = 0, que representa una Par de rectas reales y paralelas.. Calcular el centro, los ejes principales y la ecuación reducida métrica de la curva de grado dos del plano real de ecuación x + y xy + x 4y + 1 = 0 Solución. Sea G la matriz de una métrica T representante de la cónica en H R y G su restricción al infinito. G = Se tiene xi G = x 7x + 9x + ; xi G = x x 4 r = i = 1 Cónica irreducible con centro: x + y = 1 Elipse real r = i = 0 a Centro de la elipse= 1 8, 5 8 Por el Corolario 1, c = 1, Adj g 10 G, Adj g 0 = 1, 1 G 8, 5 8 b Calculemos una base ortonormal de diagonalización para G. kerg I = 0, 1, 1 ; kerg 4I = 0, 1, 1 {u 1 = 1 0, 1, 1, u = 1 0, 1, 1} es la base buscada. c En la base {c, u 1, u } la matriz de T es T c, c , con T c, c = Luego la ecuación reducida métrica de la elipse es x /16 + ȳ / = 1, donde x y ȳ son las coordenadas asociadas a la base {u 1, u }.
5 Clasificación afín de cónicas 5 d Ecuaciones de la transformación afín efectuada para pasar del sistema de referencia inicial en H, en el que las coordenadas son {x, y}, al sistema de referencia de origen c y ejes las rectas c + u 1, c + u, respecto del que las coordenadas son { x, ȳ}. Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E, esto es B = 1 1 1, 1 1 componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslación de vector c se obtienen las ecuaciones x y x = B + ȳ 1/8 5/8 = x = 1 x + y 4 8 ȳ = 1 x y e Los ejes principales de la elipse son las rectas c + u 1, c + u de ecuaciones respectivas ȳ = 0 x y = 0 ; x = 0 x + y 4 8 = 0 f Las medidas sobre los semiejes, a y b, la excentricidad y los focos F y F de la elipse, respecto del sistema de referencia inicial, son a = ; b = 16 c = a b = = Excentricidad = c a = F =, 0 = F =, 8 8 F =, 0 = F = 1, Calcular el vértice, los ejes principales, la ecuación reducida métrica, el foco y la directriz de la parábola del ejemplo 1 x xy + y + 4x 6y + 1 = 0 Solución. Sean G y G como en el ejemplo anterior. G = Tenemos que encontrar una base {e, v 1, v } en la que la matriz de T es de la forma 0 α 0 α β con α, β 0. El vector e define el vértice de la parábola y {v 1, v } es una base ortonormal de diagonalización para G. a Calculemos v 1 y v. 0 0 xi G = xx Forma diagonal β = 0 ker G x y = 0 v 1 = 1 0, 1, 1 kerg I x + y = 0 v = 1 0, 1, 1
6 6 G. Serrano Sotelo b Vértice de la parábola V = 1 8, 11 8 El vector e que define el vértice está en H, luego sus coordenadas son e = 1, x, y, y verifica las condiciones T e, e = 0, T e, v 1 = α y T e, v = 0. Calculemos x e y resolviendo el sistema determinado por la primera y tercera condiciones } T e, e = 0 x xy + y + 4x 6y + 1 = 0 T e, v = x y = 0 x = 1 8, y = 11 8 c En la base {e, v 1, v } la matriz de T es 0 T e, v 1 0 T e, v 1 0 0, con T e, v 1 = 1, 0 0 = e = 1, 1 8, 11 8 luego la ecuación reducida métrica de la parábola es ȳ = 1 x, donde x y ȳ son las coordenadas asociadas a la base {v 1, v }. d Ecuaciones de la transformación afín efectuada para pasar del sistema de referencia inicial en H, en el que las coordenadas son {x, y}, al sistema de referencia de origen e y ejes las rectas e + v 1, e + v, respecto del que las coordenadas son { x, ȳ}. Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E, esto es B = 1 1 1, 1 1 componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslación de vector e se obtienen las ecuaciones x y x = B + ȳ 1/8 11/8 = x = 1 x + y ȳ = 1 x y e Los ejes principales de la parábola son las rectas e+ v 1, e+ v de ecuaciones respectivas Eje de simetría ȳ = 0 x y = 0 ; x = 0 x + y = 0 f Calculemos por último el foco F y la directriz d de la parábola, respecto de las coordenadas iniciales x e y. Comparando la ecuación reducida métrica ȳ = 1 x con ȳ = p x, resulta que p = 1 y las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz son p/, 0 y x = p/. En las coordenadas iniciales se tiene F = 0 8, 10 8 ; d x + y + 5 = 0 Ejercicios Propuestos 4. Clasificar afínmente las cónicas siguientes: a x + y x + 4y + = 0 b x xy + y + 4x 6y + 1 = 0 c x 5xy + y x + y + 1 = 0 d x + 4xy + 4y x 4y = e x + y + xy + x + 5y = 0 f x + y + xy + x + y + 1 = 0 g x + y xy x y + 1 = 0 h x + 4y + 4xy x 4y + = 0
7 Clasificación afín de cónicas 7 5. Clasificar afínmente según los valores del parámetro λ la familia de cónicas siguiente: x + λ + 1y xy = λ λ Calcular el centro, los ejes principales, la ecuación reducida métrica y la representación gráfica de las curvas de grado dos siguientes: x xy + y + x 4y + 1 = 0, x y + xy 6x + 4y + = 0 7. Demostar que la curva plana de ecuación 4x + y + 4xy + 6x + 1 = 0, es una parábola. Calcular su vértice, eje principal, ecuación reducida métrica y representación gráfica.
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