APLICACIÓN PARA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 APLICACIÓN PARA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA Autora: Vidal de Cos, María. Director: Rodríguez Gómez, Francisco Javier. Entidad Colaboradora: ICAI - Universidad Pontificia Comillas. RESUMEN DEL PROYECTO El propósito principal del presente Proyecto es el diseño de una aplicación interactiva para el aprendizaje de la Geometría Analítica. Es muy importante que dicha aplicación permita estudiar y representar de una forma gráfica los elementos de la Geometría en dos dimensiones. Con el consiguiente manejo de esta aplicación se logra el estudio de los puntos en coordenadas cartesianas. En primer lugar, se tiene en cuenta la representación de los puntos, el cálculo y representación de la simetría respecto al eje O X, O Y, el origen de coordenadas, al igual que respecto a las distintas bisectrices, y, en último lugar, la distancia entre dos puntos en dos dimensiones. La aplicación también permite trabajar con el punto en coordenadas polares. Se pueden realizar distintas operaciones, bien sea hallar el punto simétrico respecto al eje polar, llevar a cabo el cálculo del giro del eje, y realizar la conversión de los tipos de coordenadas: el paso de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, y a la inversa. Un aspecto importante en la Geometría es el estudio y el cálculo de la recta. Se han diseñado diversas funcionalidades y algoritmos que permiten calcular y representar la recta en sus diferentes modalidades. De todas las posibles características, se ha estudiado la recta que pasa por el origen y, del mismo modo, la que no pasa por el origen de coordenadas. Igualmente, se ha llegado a la deducción y representación de la recta conocidos algunos componentes de la misma. De estos casos se puede destacar la deducción de la misma conocida una ordenada al origen y su pendiente, la intersección y perpendicularidad entre dos rectas, y la recta que pasa por dos puntos conocidos. En este apartado se ha diseñado también el algoritmo para el cálculo de la distancia de un punto a una recta y el caso particular de la ecuación simétrica de la recta, también denominada primera forma normal. Es necesario hacer especial mención, dentro de la Geometría Analítica, al estudio de las cónicas. Por ello, en el presente Proyecto se han preparado diferentes algoritmos para la representación y obtención de la ecuación de la parábola, la elipse y la hipérbola. Para

2 estas tres cónicas, se pueden obtener las respectivas ecuaciones en su forma común y la correspondiente conversión a ecuación general y viceversa. Estas ecuaciones se han estudiado para el caso de representaciones horizontales y verticales, bien sea con centro en el origen o fuera del origen de coordenadas. Como caso específico se ha tratado la circunferencia. El estudio de la misma se ha cubierto con el cálculo de sus ecuaciones y su consiguiente representación en los dos tipos de ecuación que se dan, es decir, el caso de la ecuación común y el caso de la ecuación general. Estas mismas ecuaciones pueden hallarse con los distintos parámetros que la componen: centro, radio, puntos de intersección, rectas tangentes, etcétera. Estos parámetros pueden darse directamente o necesitar realizar diversas deducciones. Todo el diseño de estos algoritmos se ha implementado en Mathematica. Para cada uno de los casos, se ha realizado el desarrollo y resolución. Los resultados de los ejemplos se visualizan de manera numérica y gráfica para su mejor comprensión. Según lo descrito, la metodología que se ha seguido en el actual Proyecto ha sido, en primer lugar, llevar al detalle la teoría matemática de cada apartado de la Geometría que se ha estudiado. A continuación, se ha procedido al diseño del pseudocódigo y, de la misma manera, su posterior codificación y desarrollo en el paquete de cálculo numérico, simbólico y gráfico Mathematica. En última instancia, se han resuelto los problemas planteados. El paquete de desarrollo Mathematica es un sistema de computación numérico y simbólico que incorpora un lenguaje de programación y capacidad de integrar texto, gráficos y cálculo. Por todo esto, se ha elegido este paquete. Los principales objetivos relacionados con este Proyecto son: - Diseñar el procedimiento y funciones que traten y representen los puntos en el plano en coordenadas cartesianas y polares. - Cálculo y representación de la ecuación de una recta en las distintas modalidades de la misma. - Representar gráficamente las distintas ecuaciones de la circunferencia. - Determinación de las ecuaciones de la elipse, la hipérbola y la parábola y su representación en el plano. - Diseño de una aplicación gráfica con una interfaz de usuario que permita tratar analíticamente las curvas en el plano y resuelva, de una manera analítica, los problemas planteados en la Geometría Analítica.

3 - Desarrollo del paquete en Mathematica que contiene una serie de algoritmos numéricos que se emplean en la Geometría Analítica. - Incorporar herramientas computacionales en la ejecución de algoritmos del cálculo numérico. Esto facilita que se lleve a cabo un entendimiento y que se aborden de manera más gráfica los problemas planteados por la Geometría Analítica, que pueden pertenecer igualmente y estar íntimamente relacionados con los conceptos geométricos de la vida cotidiana. - Potenciar el acercamiento a la disciplina matemática estableciendo una estrecha relación entre la Informática y las Matemáticas. En resumen, a este software desarrollado en Mathematica se le ha dado un propósito específicamente didáctico, que ayude al entendimiento de las Matemáticas. Con el estudio y representación de los diferentes componentes de la Geometría Analítica en el plano, se intenta lograr una comprensión más profunda de las estructuras geométricas. Por todo esto, el empleo de esta aplicación está ideado con fines educativos, para los estudios de bachillerato y secundaria.

4 APPLICATION FOR ANALYTICAL GEOMETRY The main purpose of the present project consists of the design of an interactive application able to study and represent different plane geometrical elements graphically. This software manages to study the cartesian coordinate system. It can represent the point, calculation and representation of its symmetry in relation to O X and O Y axis, coordinate origin and bisecting line, and also, the distance between any two points. It can work with polar coordinates as well, the symmetric point in relation to polar axis, axis rotation and different type of coordinate conversion: converting from polar to cartesian and vice versa. The straight line is a very important element to emphasize in Analytical Geometry. This application includes several cases of uses: the line that passes or not through the origin, and different algorithms to deduce and represent the line when some components are known. It calculates the equation of the line knowing ordinate and slope, two points or the perpendicularity between two lines. It can find de distance from a point to a line and the symmetric equation. About the study of the conic sections, there are some algorithms prepared for the representation and calculation of the equation of the parabola, ellipse and hyperbola, with conversion from common to general equations. These equations have been studied for horizontal and vertical representations. The circumference has been treated as an specific case. This study includes calculating and representating it in its two equations, general and common. These types of equations can be calculated using different components of the element as parameters: centre, radius, points of intersection, and more components deduced from the circumference. As it has been described, the methodology carried out on this project has followed the next steps: first of all, detailed analysis of each numerical method studied, design of its pseudocode, and later, programmig and development in the numerical, symbolical and graphical language Mathematica. As a last resort, a wide range of examples and proposed problems have been solved. The principal reason for having chosen Mathematica as the proper programming language, is because it is a language able, as well, to integrate calculation, graphics and text in the same document. The most important objetives in relation to this project are:

5 - Design the procedure and functions that manage and represent the point in the plane in cartesian and polar coordinate systems. - Calculation and representation of the equation of the line in its variety. - Graphical representation of the different equations of circumference. - Calculation of ellipse, parabola and hyperbola equations and their representation into the plane. - Graphical application design with a user interface that allows analytical treatment for curves and solve proposed problems in Analytical Geometry. - Development of a package in the programming language Mathematica that contains several numerical algorithms used in Analytical Geometry. - Incorporation of computer tools in numerical calculation algorithms executation. This provides understanding and the possibility of approaching Analytical Geometrical problems in a more graphical perspective, that can be compared with geometrical concepts in real life. - Intensify the approach to mathematical discipline establishing a narrow relation between Computer Science and Mathematics. To sum up, the purpose of this software is particularly educational, helpful for understanding of Mathematics. With the study and representation of the different components of Analytical Geometry in the plane, it tries to carry out a deeper comprehension of geometrical structures. For all this, the use of this application has been though up for educational aims for secundary school education.

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