(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0. Calcula las coordenadas de los demás vértices del cuadrado.

Transcripción

1 Eamen de geometría analítica del plano y funciones 3/6/0 Ejercicio. El punto A ( 6,) es un vértice de un cuadrado inscrito en la circunferencia de ecuación y y = 0. Calcula las coordenadas de los demás vértices del cuadrado. a y b = R, desarrollando : (, ) (,3) (, ) Ecuación de una circunferencia de centro a b = 0 = 4, = = 0 by = 6, b = 3 Así el centro de la circunferencia es O y a by a b R a a y y O es el punto medio de A y C y C (,5) (,) y radio R 6 y (,3 ) =, Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares : calculamos s que es perpendicular a la recta r y pasa por O O,3 y 3 s s = s y = 0 v = Ahora obtenemos los puntos B y D como intersección de la recta s con la circunferencia. y = 0 y = y 4 6y 7 = 0 ( ) 4 6( ) 7 = 0 = 0 B 0, = = 0 = 4 D 4,7 Ejercicio. Observando la gráfica de la función f ( ), analiza las características de la función f. [] Matemáticas I

2 Eamen de geometría analítica del plano y funciones 3/6/0 0 (, 3) (,0) (,4) 0 ( 3, ) ( 0, ) ( 4, ) Cuando f > f es creciente y eso ocurre en los intervalos Cuando f < f es decreciente y eso ocurre en los intervalos f = 0 en los puntos = 3, =, = 0, = y = 4 en esos puntos la recta tangente a f es horizontal por tanto pueden ser puntos de máimo o de mínimo para la función f (, 3) ( 3, ) = 3 = = Como en f es creciente y en es decreciente en hay un máimo para la función f. De igual modo en 0 y 4 habrá máimos de la función f. Como en ( 3, ) f ( ) es decreciente y en (,0) es creciente en = hay un mínimo = para la función f. De igual modo en habrá otro mínimo de la función f. ( ). En los puntos,4 ; = ;, ; 3,3 f ( ) tendrá tangente horizontal su derivada en esos puntos es cero, es decir la segunda derivada de f se anula en esos puntos f = 0 y sin embargo f ( ) 0 en,4 ; = ;, ; 3,3 f ( ) presenta puntos de infleión ( cambios de curvatura) no de silla. Ejercicio 3. Sean los vectores u = (, ) y u = ( 3,) { e, e }, y v un vector de coordenadas v = (,3) en la base { } Calcula el módulo del vector v. Encuentra las coordenadas, en la base { u, u }, cuyas coordenadas están epresadas en la base canónica u, u., de un vector w que sea perpendicular a v. Como u y u están epresados en la base canónica ( ortonormal) e, e, el cálculo de sus módulos { } y producto escalar queda simplificado : u = (, y) u = u u = ( e ye ) ( e ye ) = ( e e ) y ( e e ) y ( e e ) = y u = (, y) u v = ( e ye ) ( e y e ) = ( e e ) ( y y)( e e ) yy ( e e ) = yy v = (, y ) u =, u = = 5 u = ( 3,) u = ( ) 3 = 0 u u = 3 ( ) = v = (,3 ) en la base { u, u} que no es ortonormal, con lo que : v = v v v = u 3u u 3u = 4 u u u u 9 u u = = 98 = 7 [] Matemáticas I

3 Eamen de geometría analítica del plano y funciones 3/6/0 También podemos epresar el vector v en la base canónica { e, e} v = (,3 ) en la base { u, u} v = u 3u = ( e e ) 3( 3e e ) = 7e 7e entonces v = en la base e e v = = = { } 7,7, Ahora buscamos w en la base { u, u}, tal que w v w v = 0 ( habrá infinitos vectores) w = u yu w v = ( u yu ) ( u 3u ) = ( u u ) ( 3 y)( u u ) 3y ( u u ) w v = 0 ( 3 y) 30y 0 ( 3 y) 30y = 0 7 8y = 0 = 4y con lo que el vector w tendrá la primera coordenada cuádruplo de la segunda y, por ejemplo, para y = w = 4, en la base u, u con w v. { } Ejercicio 4. La recta de ecuación y punto =. Calcula a y b. = 7 es tangente a la gráfica de la función ( ) con lo que debe cumplirse que f 3 f = a b en el 3 La recta y = 7 y la función f = a b son tangentes en = ese punto es común para ambas funciones. En la recta si = y = 5, luego el punto de tangencia es P, 5 = 5 Por otra parte, la pendiente de la recta tangente a f en = es f =. f = a b 3 f = 5 a b = 5 a b = 8 a = 7 3 y f ( ) = 7 5 f = 3 a b = a b = b = 5 Ejercicio 5. Obtén la función derivada de las siguientes funciones: 5 y = 5 ( 3) y = 0 ( 3) a) y = b) y = y ( ) ( ) 4 y = = c) y = tg 5 5 y = ( tg 5) 5 y = 5 ( tg 5 ) / también y = cos 5 d ) y = ( 3) ln ( 3) y = ( 3) ln ( 3) ( 3) y = ( 3) ln ( 3) 3 [3] Matemáticas I

4 Eamen de geometría analítica del plano y funciones 3/6/0 Ejercicio 6. Un triángulo ABC tiene sus lados sobre las rectas r 3 y = 0, s y 0 = 0 y t 3 y 5 = 0. Calcula el área y el perímetro del triángulo. Calculamos los vértices del triángulo : y 0 = 0 y 0 = 0 A = s r A(, 4 ) / B = s t B ( 0,5) 3 y = 0 3 y 5 = 0 3 y 5 = 0 8 C = t r C, 3 3 y 0 = 3 Tomamos como base el lado AB. AB =, medida de la base = AB = = 5 8 ( 3 ) medida de la altura = d ( C, s) = = 3 = AB d ( C, s) Área del triángulo = = = u Perímetro del triángulo = AB AC BC = 5 = u Ejercicio 7. Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máimos y mínimos de la función f = e > 0 < 0 = = = En los puntos donde f f es creciente En los puntos donde f f es decreciente En los puntos donde f 0 f puede tener máimos, mínimos o puntos de silla. f e f e e [4] Matemáticas I

5 Eamen de geometría analítica del plano y funciones 3/6/0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = f e e e > 0 > 0 > 0 Resolvemos ahora la inecuación e e (, ) (, 0) 0 ( 0, ) 0 0 ( ) ր 0 ց 0 ր ( ) = Entonces f es creciente en, 0, y en = la función tiene un máimo. f es decreciente en,0 y en 0 la función tiene un mínimo. Ejercicio 8. Estudia las discontinuidades de la función f ( ) = y su comportamiento cuando. 4 3 f es cociente de dos funciones continuas ( polinómicas) por tanto será una función continua salvo en los puntos que se anule el denominador. = 4 3 = 0 = = 3 = 3 Analizamos las discontinuidades : f es discontinua en los puntos y lim ( )( 3) 0 ( ) en f y f discontinuidad de tipo infinito =, ( ) lim = lim ( )( 3) 0 9 lim ( )( 3) 0 en f y f discontinuidad de tipo infinito 3 = 3, ( 3) lim = 3 9 lim 3 ( )( ) [5] Matemáticas I

6 Eamen de geometría analítica del plano y funciones 3/6/0 lim f ( ) = lim =. lim lim indet = = y = es una asíntota horizontal de la función f [6] Matemáticas I