LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

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Esperanza Zúñiga Luna
hace 7 años
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1 LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Elipse: lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. d(x,f) + d(x,f ) = k

2 LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Hipérbol: lugr geométrico de los puntos del plno cuy diferenci de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. d(x,f) d(x,f ) = k

3 LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Prábol: lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto, llmdo foco, y de un rect llmd directriz. d(x,f) = d(x,d)

4 ESTUDIO DE LA ELIPSE Elipse: lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. ELEMENTOS DE LA ELIPSE Centro de l elipse: O Semieje myor: Semieje menor: b Semidistnci focl: c Focos: F(c,0), F(-c,0) Vértices: A(,0), A (-,0), B(0,b), B (0,-b) Constnte: k =, porque d(a,f) + d(a,f ) = k, luego k =

5 RELACIONES EN LA ELIPSE: ) = b + c El vértice B cumple: d(b,f) + d(b,f ) = k Como k = y d(b,f) = d(b,f ) d(b,f) = d(b,f ) =, b y c formn un triángulo rectángulo, luego = b + c ) Excentricidd: exc c = L excentricidd de un elipse es un número comprendido entre 0 y.

6 Cunto más seprdos están los focos, myor es l excentricidd y más se lej l elipse de l circunferenci. = 5, c = 4 exc = 4/5 = 0 67 = 5, c = 9 exc = 9/5 = 0 6 = 5, c = exc = /5 = 0 8 Cómo será un elipse de excentricidd cero? Es un circunferenci

7 ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE: Ecución de l elipse centrd en el origen de coordends y cuyos ejes son los ejes de coordends. Culquier punto X(x,y) de l elipse cumple: d(x,f) + d(x,f ) = k Como k =, d(x,f) + d(x,f ) = k, (x c) (y 0) (x c) (y 0)

8 (x c) (y 0) (x c) (y 0), x cx c y x cx c y, x cx c y x cx c y, x cx c y x cx c y, x cx c y 4 4 x cx c y x cx c y, x cx c y 4 4 x cx c y x cx c y, cx 4 4 x cx c y cx, 4 x cx c y 4 4cx, Simplificndo por 4, x cx c y cx, elevndo l cudrdo, x cx c y cx, 4 x cx c y cx c x, 4 x cx c y cx c x, x cx 4 c y cx c x, 4 x c y c x, 4 x c x y c, scndo fctor común x en el er miembro y en el º, se obtiene x c y c, como = b + c, c = b, luego b x y b, dividiendo por b, se obtiene

9 b x y b, dividiendo por b, se obtiene: b x y b, b b b b x b y b b, es decir, b x y b

10 EJEMPLO : Escribir l ecución de l elipse centrd en el origen de focos (,0) y (-,0) y constnte 6. L ecución de un elipse centrd en el origen de coordends es de l form: K =, luego = 6, = 3 = b + c, b = c, b = 9 4 = 5 x y 9 5 x y b EJEMPLO : Escribir l ecución de l elipse centrd en el origen, de excentricidd 0 8 y semieje myor 0. Represéntl. L ecución de un elipse centrd en el origen de coordends es de l form: x y b c c Conocemos = 0, como exc =, 0 = 0 8, c = 8; = b + c,b = c, b = 00 64, b = 36, b = 6. x y 00 36

11 REPRESENTACIÓN DE x y Ejes de coordends.- Centro de l elipse 3.- Semiejes 4.- Vértices de l elipse 5.- Dibujr l elipse

12 ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CON LOS FOCOS EN EL EJE Y: FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y x y b y x b

13 ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN DE COORDENADAS FOCOS SOBRE EL EJE X FOCOS SOBRE EL EJE Y (x ) (y ) (y ) (x ) b b

14 EJEMPLO: Hll los elementos notbles y l excentricidd de l siguiente elipse y represéntl. y x 36 6 Centro: O(0,0) Focos sobre el eje Y Semiejes: : 6, b = 4 = b + c, c = b = 36 6 = 0, c = 0 = 4 47 Vértices: A(0,6), A (0,-6), B(4,0), B (-4,0) Focos: F(0,4 47), F (0,-4 47)

15 EJEMPLO: Hll los elementos notbles y l excentricidd de l siguiente elipse y represéntl. (x ) 4 y Centro: C(,0) Focos sobre el eje X Semiejes: =, b = = b + c, c = b = 4 = 3, c = 3 = 73 Vértices: A(4,0), A (0,0), B(,), B (,-) Focos: F( 73,0), F (0 7,0) exc = c

16 EJEMPLO: Hll los elementos notbles y l excentricidd de l siguiente elipse y represéntl. (x ) (y ) 5 6 Centro: C(-,) Focos sobre prlelo l eje X Semiejes: = 5, b = 4 = b + c, c = b = 5 6 = 9, c = 3 Vértices: A(4,0), A (0,0), B(,), B (,-) Focos: F( 73,0), F (0 7,0) exc = c

17 EJEMPLO: Hll los elementos notbles y l excentricidd de l elipse 4x + y = 4 y represéntl. Dividiendo l ecución por 4 obtenemos: y x 4 y, x 4 Centro: C(0,0) Focos sobre el eje Y Semiejes: =, b = = b + c, c = b = 4 = 3, c = 3 = 73 Vértices: A(0,), A (0,-), B(,0), B (-,0) Focos: F(0, 73), F (0,- 73) exc = c

18 EJEMPLO: Hll los elementos notbles y l excentricidd de l elipse 4x + 9y 8x + 36y + 4 = 0 y represéntl. Si nos fijmos en los términos que contienen x podemos escribir: (x ) = 4x 8x + 4 (3y + 6) = 9y + 36y + 36 luego 4x + 9y 8x + 36y + 4 = (x ) + (3y + 6) 36 por tnto l ecución de l elipse se puede escribir: (x ) + (3y + 6) 36 = 0 (x ) + (3y + 6) = 36 Si en el primer binomio se extre fctor común y en el segundo 3, se obtiene: [(x )] +[3(y + )] 36 = 0, 4(x ) +9(y + ) = 36 dividiendo por 36 4(x ) 9(y ) (x ) (y ) 9 4

19 (x ) (y ) 9 4 Focos sobre un eje prlelo l eje X Centro: C(,-) Semiejes: = 3, b = = b + c, c = b = 9 4 = 5, c = 5 = 4 Vértices: A(5,-), A (-,-), B(,0), B (,-4) Focos: F(4 4,-), F (-0 4,-) exc = c 5 0 8

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