Relación de ejercicios hechos en clase en los últimos días previos al examen de febrero

Transcripción

1 Relción de ejercicios hechos en clse en los últimos dís previos l exmen de ferero De cuerdo con l definición de APND, propón 5 ejemplos de utómt con pil que cepten: - el lenguje Σ * ({f}, Σ, Σ, { ((f,,ε), (f,ε)) Σ}, f, {f}) - ({f}, Σ, Σ,, f, ) - un lenguje finito no vcío L({f}, Σ, Σ,, f, {f}) = {ε} - un lenguje infinito diferente de Σ * L({s,f}, Σ, Σ, { ((s,,ε), (f,ε)) Σ}, s, {f}) = Σ * {ε} - y un lenguje infinito no numerle. no existe tl lenguje Siendo K = {s,f}, Σ = {,}, Γ={,} y F = {f}, propón ejemplos de trnsiciones que: - cepten de l entrd si hy en l cim y no escrin nd en l pil ((s,,),(s,ε)) - sustituyn l cim de l pil por si est contiene, ((s,ε,),(s,)) - hgn trnsitr l estdo f si se puede ceptr de l entrd y l cim es. ((s,,),(f,ε)) Con ls definiciones nteriores, propón ejemplos de configurciones que: - contengn l cden en estdo finl y con l pil vcí, (f,,ε), f F - tengn en l pil el mismo contenido que en l cden de entrd, (s,w,w), w Σ * y w Γ + - no estén en estdo finl y no tengn l pil vcí. (s,ε,w), s F, w Γ +

2 EJEMPLO DE TEST Mrcr A (Verddero) o B (Flso) en l hoj nex. Anotr el número del test en el recudro tituldo Firm de dich hoj (junto l firm). 1. F L Σ* x,y Σ* (x,y) I L. 2. V Σ* cumple el lem de omeo pr lengujes regulres. 3. F Si un lenguje L cumple l CBR, entonces L es regulr. 4. F L unión de los nturles y los reles del intervlo (1000, 2000) es numerle 5. V Si un lenguje L es regulr entonces cumple l CBR. 6. F En el lgoritmo de conversión de GRD en GRI el número regls otenido siempre es impr. 7. F Ddo un AFD, no siempre existe un AFND equivlente 8. V α+α(β*+ββ*)*+(α+β+ββ)* = (α*β*)* 9. F Si tods ls regls de G son regulres terminles entonces L(G) =1 10. V En el lgoritmo de conversión de GRI AFND, el resultdo nunc es un AFD. 11. F Los suconjuntos A i de A son un prtición de A si A 1 A 2... A n =A. 12. V L L(GCL) L L(APND). 13. V Ddos dos lengujes L 1 y L 2 sore el lfeto Σ, L 1 L 2 Σ *. 14. V x,y Σ* Ψ Σ (xy) = Ψ Σ (x) +Ψ Σ (y). 15. F Todo suconjunto de un lenguje regulr es regulr. 16. F Todo lenguje regulr es finito. 17. V Se s un sustitución. Entonces L 1, L 2 Σ 1 *, s(l 1 L 2 ) = s(l 1 ) s(l 2 ). 18. V Si f es un función iyectiv, entonces Dom(f ) = Rg(f ). 19. V Si G es un GLI, entonces M AFD L(M)=L(G). 20. V Tod GCL tiene l menos un símolo terminle. 21. V Existe l menos un AFND que cept un cden medinte infinits computciones complets 22. F 100 ={ε}. 23. V Un AFD tiene tnts configurciones terminles como estdos. 24. F Si L es LCL entonces no cumple el lem de omeo pr lengujes regulres. 25. V Un grmátic puede estr l vez en FNG y en FNC. 26. V Todo lenguje generdo por un GLI es regulr y existe un GRD que lo gener. 27. F Si G es un GLI, entonces G GRD L(G )=L(G)* 28. V Si G es GCL entonces M APND L(M) {ε}=l(g) 29. F En el lgoritmo de conversión de GCL APND, siempre es cierto que 3 P. 30. F x=y si y sólo si x es, l vez, prefijo y sufijo de y. 31. V Trs plicr el lgoritmo de eliminción de xiom l derech, se cumple que: P 1 2 P. 32. V En el lgoritmo de conversión de GRI en AFND, P =. 33. F R I es el cierre reflexivo de R. 34. V Tod cden generd por un grmátic es un form sentencil de l mism grmátic. 35. V Pr eliminr símolos inútiles primero eliminmos no terminles y después inccesiles. 36. F {M M es AFDM} < {M M es AFD} < {M M es AFND}. 37. V Si y son símolos, se verific est iguldd de lengujes: (+) * = ((+) * ) V (α*β)*α* = (α+β)* 39. F Culquier GR está en FNC. 40. V Dds ls ER α y β, L(α+ββ * αβα+β) L.3 1 GR: Grmátic Regulr. GRI/GRD: Grmátic Regulr Izquierd/Derech. AF: Autómt Finito. GCL: Grmátic de contexto lire. GLI/GLD: Grmátic Linel Izquierd/Derech. AFD: Autómt Finito Determinist. AFND: Autómt Finito No Determinist.

3 PRIMER EJEMPLO DE EXAMEN PRÁCTICO 1º) 1,25 Ddo el siguiente AFD, y l prtición Π = { Q 0 = {q 2, q 3 }, Q 1 = {q 0, q 4 }, Q 2 = {q 1 } } > q 0 q 3 q 1 q 2 q 4 rellenr ls siguientes tls: D Q 0 {Q 1, Q 2 } {Q 0, Q 1 } Q 1 {Q 0, Q 2 } {Q 1 } Q 2 {Q 0 } {Q 1 } DD Q 0 {{q 2 }, {q 3 }} {{q 2 }, {q 3 }} Q 1 {{q 0 }, {q 4 }} {{q 0 }, {q 4 }} Q 2 {{q 1 }} {{q 1 }} 2º) 1,25 Se G = (N,T,P,S) con N = {S,A,B,C,D}, T = {,,c,d}, P = { S AASBB, S AB, A, A, B c, B d, d c, }. De qué tipos (0, 1, 2, RI, RD, L, LI, LD) es l grmátic? Es de tipo 0. No es de ningún otro tipo. Qué lenguje gener l grmátic? L(G) = (+) ( (+)(+) )* (c+d) ( (c+d)(c+d) )* De qué tipos (0, 1, 2, 3, Linel) es el lenguje generdo? L(G) es de tipos 0, 1, 2, 3 y linel. 3º) 1,25 Demostrr formlmente que 2 N no es un conjunto numerle, donde N es el conjunto de los números nturles. Visto en l teorí (Tem 1).

4 4º) 1,25 Aplicrle el lgoritmo de conversión de GCL en APND visto en clse l siguiente grmátic G = ( N, T, P, S ) con: N = { S, A, B }, T = {,, c }, P = { S ASBB, A A cc, B cbsa c } Construimos M = ( K, Σ, Γ,, s, F ) con: K = { p, q } Σ = T = {,, c } Γ = V = N T = { S, A, B,,, c } = { ((p, ε, ε ), (q, S)), ((q, ε, S), (q, ASBB)), ((q, ε, A), (q,a)), ((q, ε, A), (q,cc)), ((q, ε, B), (q,cbsa)), ((q, ε, B), (q,c)), ((q,, ), (q, ε )), ((q,, ), (q, ε )), ((q, c, c), (q, ε )) } s = p F = { q } cumpliéndose que L(G) = L(M). 5º) 1,25 Se Σ = {,,c,d}. Demostrr usndo el lem de omeo que el lenguje L = { w Σ* w = 2n 2n c 3n d 4n con n 0 } no es regulr. Se n N, y se x = 2n 2n c 3n d 4n L, x =11n n. Supongmos que u, v, w Σ* que cumplen conjuntmente tods ls condiciones del lem del omeo pr lengujes regulres. Entonces: 1) x=uvw 2) uv n (por 1) uv= k con 0 k n (por 1) w = 2n k 2n c 3n d 4n 3) v > 0 (por 2) v= j, u= k j con 0 < j < k, 4) m 0, uv m w L Si m=0, uw L. Pero uw = k j 2n k 2n c 3n d 4n = k j+2n k 2n c 3n d 4n = n j 2n c 3n d 4n L porque j>0. Por lo tnto hemos llegdo un surdo, de donde L no es regulr. 6º) 1,25 Se Σ = {,,c} y L = { w Σ* w=cvc, con v {,}* }. Clculr pso pso, mostrndo los lengujes intermedios otenidos, l expresión ( ( s(l) ) 2 ) R donde: s() ={ }, s() = { }, s(c) = { cc }. s(l) = { w Σ* w = ccvcc, con v {,}* } = cc (+)* cc (s(l)) 2 = cc (+)* cc cc (+)* cc

5 ( ( s(l) ) 2 ) R = (s(l)) 2 = cc (+)* cc cc (+)* cc 7º) 1,25 Se Σ = {0,1}. Dr un Expresión Regulr pr el lenguje: L = {w Σ* w >3 w(3)=0 w( w )=1 } (0+1) (0+1) 0 (0+1)* 1 8º) 1,25 Se Σ = {,,c,d}. Demostrr, sin usr el lem de Prikh, que Ψ Σ (L) es semilinel pr L={}{} + {cc,dd} + Ψ Σ (L) = { v N 4 v = (4,3,0,0) + X 1 (4,0,0,0) con X 1 N } { v N 4 v = (0,0,2,0) + X 1 (0,0,2,0) + X 2 (0,0,0,2) con X 1, X 2 N } { v N 4 v = (0,0,0,2) + X 1 (0,0,2,0) + X 2 (0,0,0,2) con X 1, X 2 N }

6 SEGUNDO EJEMPLO DE EXAMEN PRÁCTICO 1º) 1,25 Dd l grmátic G=(N,T,P,S), con N={A, B, C, D, E} T={,, c, d} P={ A ce db d, B C, C dd da } S=A De qué tipos es L(G) y de cuáles no (0, 1, 2, linel, 3)? L(G) es de tipos 0, 1, 2, linel y 3. Qué crdinlidd tiene L(G)? L(G) = ℵ 0 Otener un GRI equivlente plicndo el lgoritmo visto en clse G=(N 1,T,P 1,S), donde: N 1 =N { A 6, A 7, A 8, A 9, A 10 }, P 1 ={ A A 6 A 8 d, A 6 A 7, A 7 ce, A 8 db, B C, C A 9 da 10, A 9 dd, A 10 A } 2º) 1,25 Se Σ = {,}. Dr un Expresión Regulr pr el lenguje: L = {w Σ* w = xz, con ( x =2n n N) (z {,} 2 Σ*) } L = ((+)(+))* (+)* + (+)* (+)(+) (+)* = (+)*

7 3º) 1,25 Rellenr ls siguientes tls pr el utómt presentdo. c-ε c- c- q 0 {q 1 } q 1 {q 2 } {q 0 } q 2 {q 5 } {q 1 } {q 3 } q 3 {q 0 } {q 2 } q 4 {q 1, q 5 } q 5 {q 4 } {q 6 } q 6 {q 5 } {q 3 } > q 0 ε q 1 q 4 q 2 ε ε q 5 q 3 q 6 { q 1, q 6 } { q 2, q 4, q 5 } C-ε {q 4, q 5 } C- {q 2, q 5 } {q 1, q 6 } C- {q 0, q 3 } {q 1, q 3, q 5 } { q 1, q 6 } { q 2, q 4, q 5 } Cierre-ε {q 1, q 6 } {q 2, q 4, q 5 } Cierre- {q 2, q 4, q 5 } {q 1, q 6 } Cierre- {q 0, q 3 } {q 0, q 1, q 3, q 5 } 4º) 1,25 Se Σ = {,,c,d}. Demostrr, sin usr el lem de Prikh, que Ψ Σ (L) es semilinel pr L = { w Σ* w =3 w } Ψ Σ (L) = { v N 4 v = (0,0,0,0) + X 1 (3,1,0,0) + X 2 (0,0,1,0) + X 3 (0,0,0,1) con X 1, X 2, X 3 N }

8 5º) 1,25 Se Σ = {,,c,d}. Demostrr usndo el lem de omeo que el lenguje L = { w Σ* w = n p c n+p d con n,p 0 } no es regulr. Se n N, y se x = n n c 2n d L, x =4n+1 n. Supongmos que u, v, w Σ* que cumplen conjuntmente tods ls condiciones del lem del omeo pr lengujes regulres. Entonces: 5) x=uvw 6) uv n (por 1) uv= k con 0 k n (por 1) w = n k n c 2n d 7) v > 0 (por 2) v= j, u= k j con 0 < j < k, 8) m 0, uv m w L Si m=0, uw L. Pero uw = k j n k n c 2n d= k j+n k n c 2n d = n j n c 2n d L porque j>0. Por lo tnto hemos llegdo un surdo, de donde L no es regulr. 6º) 1,25 Se Σ = {,,c,d} y se L = { w Σ* w = vv R, con v {,}* }. Oteng un APND M tl que L(M)=L. M=(K,Σ,Γ,,s,F), donde: K={p,q} Σ={,,c,d} Γ={,} s=p F={q} ={ ((p,,ε),(p,)), ((p,,ε),(p,)), ((p,,ε),(q,ε)), ((q,,),(q,ε)), ((q,,),(q,ε)) } Nótese que l 1ª y 2ª trnsiciones sirven pr introducir v en l pil (que se lmcen como v R ). L 3ª trnsición sirve pr consumir l que hy en medio de w de mner no determinist. Ls trnsiciones 4ª y 5ª sirven pr ir comprndo l cden v R lmcend en l pil con el resto de w. 7º) 1,25 Sen Σ 1 = {0,1}, Σ 2 = {,,c,d} y L = 1 * 00. ) Clculr pso pso, mostrndo los lengujes intermedios otenidos, l expresión ((s(l)) * ) 2 donde: s(0) = {c,d}, s(1) = {,, }. ) dcdc ((s(l)) * ) 2? Rzon tu respuest. ) s(l) = { w Σ* w = v z, con v {,}*, z {c,d} 2 } = (+)* (c+d) (c+d) (s(l)) * = ( (+)* (c+d) (c+d) )* ((s(l)) * ) 2 = ( ( (+)* (c+d) (c+d) )* ) 2 = ( (+)* (c+d) (c+d) )* ) dcdc ((s(l)) * ) 2, ddo que por un prte se tiene que dc (+)* (c+d) (c+d), y por otro ldo tmién tenemos que dc (+)* (c+d) (c+d), con lo cul se concluye que dcdc ( (+)* (c+d) (c+d) )* = ((s(l)) * ) 2

9 8º) 1,25 Se Σ un lfeto. Demostrr formlmente el siguiente enuncido: M=(K, Σ, δ, s, F) AFD, M =(K, Σ,, s, F ) AFND ( K = K 3 ) ( L(M)=L(M ) ) Se M=(K, Σ, δ, s, F) un AFD culquier. Se entonces M el siguiente AFND que cumple l condición exigid: M =(K, Σ,, s, F ) K = K {q, q, q }, donde q, q, q K s =s F =F ={ (q i, σ, q j ) K Σ K δ(q i, σ)= q j } Nótese que M es como M, slvo que hemos ñdido tres estdos nuevos, llmdos q, q, q, de tl mner que dichos estdos no tienen ningun trnsición entrnte ni sliente.