Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. impartido por. María Begoña Del Hoyo y Virginia Muto

Transcripción

1 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería impartido por María Begoña Del Hoyo y Virginia Muto Departamento de Matemática Aplicada y Estadística e Investigación Operativa Facultad de Ciencia y Tecnología Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea

2 Prólogo 5 En el curso comenzó a impartirse en la Facultad de Ciencias de la Universidad del País Vasco la titulación de Ingeniería Química. Dentro de dicha titulación se nos asignó a las profesoras María Begoña del Hoyo y Virginia Muto, la docencia de la asignatura de Fundamentos Matemáticos para la Ingeniería. Como el temario era amplio y el tiempo que teníamos para dedicar a nuestros alumnos era corto, decidimos preparar unos apuntes que les sirvieran de ayuda para no perderse por la asignatura y adentrarse así en el mundo de la Matemática que consideramos básica para poder desarrollar con éxito su formación en la Facultad. Desafortunadamente nuestra experiencia nos dice que los alumnos que llegan a primero de Ingeniería Química carecen del hábito e incluso en muchos casos de la capacidad para el estudio y correcta interpretación de los textos usualmente disponibles en el mercado. La motivación principal que nos ha inducido a escribir este libro y probablemente nuestra aportación original esencial al mismo, ha sido la de producir un texto que pudiera jugar un papel intermedio entre el profesor-tutor y los textos ordinarios, por decirlo en otras palabras que proveyera al alumno con una especie de servicio de tutorización impresa, haciéndoles fácilmente digerible ideas, conceptos y métodos expresados de forma menos elaborada y compacta en otras obras. Después de dos años de andar con hojas para adelante y para atrás hemos creído conveniente publicar estos apuntes en formato libro con el único objetivo de que para nuestros alumnos sea más fácil disponer de los apuntes completos de la asignatura desde el primer día de clase. Para confeccionar dichos apuntes nos basamos en los siguientes libros: N. Piskunov: Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simón, Barcelona, E. Marsden & A. J. Tromba: Cálculo Vectorial. Addison-Wesley Iberoamericana, L. Salas & E. Hille: Calculus - Cálculo de una y varias variables con geometría analítica. Reverté, B. P. Demidovich: Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Paraninfo, B. P. Demidovich: 5000 Problemas de Análisis Matemático. Paraninfo, Madrid, M. Spivak: Cálculos. Cálculo Infinitesimal. Reverté J. Martinez Salas: Elementos de Matemáticas. Gráficas Andrés Martín, Valladolid, S. Lipschutz: Algebra Lineal. McGraw-Hill, M. Castellet & I. Llerena: Algebra Lineal y Geometría. Reverté, Barcelona, E. Tebar Flores: Problemas de Cálculo Infinitesimal. Tebar Flores, Albacete. A. Luzarraga: Problemas resueltos de Algebra Lineal. Romargraf, y en otros apuntes que en nuestra experiencia docente de largos años habíamos ido acumulando. Agradecemos cualquier sugerencia que los lectores nos hagan, para poder subsanar en el futuro defectos y errores en el trabajo que deben ser imputados a nuestra única responsabilidad. Siempre con el objetivo de conseguir un texto útil para nuestros alumnos de Ingeniería Química y si es posible, también, para alumnos de otras secciones.

3 6 Agradecemos la ayuda inestimable de César, sin la cual no hubiésemos podido arrancar. el 1 de Octubre de 1999, a nuestros maridos Alberto y Jon por sus primeras lecturas y críticas y a nuestros hijos Patxi, Ana, Ane Miren y Mikel, que sobre todo el primer curso tuvieron que aguantar a unas madres que eran un manojo de nervios. Leioa, Junio 2001 Begoña y Virginia

4 Índice general I Tomo Introducción histórica Conceptos Básicos Los números reales Sucesiones de números reales Funciones reales de variable real Límite de una función en un punto Infinitos e infinitésimos Continuidad de una función Derivación Derivada de una función Continuidad de las funciones de una variable Diferencial de una función Derivadas de orden superior Diferenciales de diversos ordenes Teoremas del valor medio. Aplicaciones Teoremas clásicos sobre derivación Regla de L Hôpital Fórmula de Taylor. Resto de Lagrange Máximos y mínimos relativos y absolutos Trazado de curvas planas definidas de forma explícita Integral de Riemann Introducción a la integral de Riemann Propiedades de la integral definida Teorema del valor medio integral Teorema fundamental del cálculo integral Cambio de variable en la integral definida Aplicaciones de la integral definida Cálculo de áreas

5 8 ÍNDICE GENERAL Cálculo de longitudes de arco de una curva Cálculo de volúmenes Cálculo del área de una superficie de revolución Técnicas de integración Función primitiva e integral indefinida Integrales inmediatas Integración por cambio de variable o sustitución Integración por partes Integración de fracciones racionales Integración de fracciones irracionales Diferenciales binomias Sustituciones de Euler Integración de funciones trigonométricas Integrales racionales de funciones trigonométricas Funciones hiperbólicas Método de Hermite Integrales impropias Definición de integral impropia Integrales extendidas a un intervalo infinito. (Integrales de 1 a especie) Integrales de funciones no acotadas. (Integrales de 2 a especie) Criterios de convergencia Criterio de convergencia de Cauchy Métodos Numéricos del Cálculo Integral Introducción Fórmula de los rectángulos Fórmula de los trapecios Fórmula de Simpson Series Conceptos previos Convergencia de una serie Criterios de convergencia Condición necesaria de convergencia de una serie Teoremas de comparación Series Alternadas Series de términos positivos y negativos Convergencia absoluta y condicional Sumación de Series Serie hipergeométrica Serie aritmético-geométrica Serie telescópica

6 ÍNDICE GENERAL Series descomponibles en factores simples Series descomponibles mediante el número e Series de Funciones Series de potencias. Intervalo de convergencia Series de Taylor y de MacLaurin Serie binómica II Tomo Algebra Matricial Matrices. Operaciones con matrices Aplicaciones lineales Matriz asociada a una aplicación lineal Suma, producto y composición de aplicaciones lineales Determinante de una matriz n n. Propiedades Cálculo de determinantes Tipos de matrices Normas de vectores y de matrices Autovalores y autovectores Diagonalización de matrices La geometría del espacio euclídeo Vectores en el espacio tridimensional Producto escalar Producto vectorial Coordenadas esféricas y cilíndricas Espacio euclídeo de dimensión n Diferenciación La geometría de las funciones con valores reales Límites y continuidad Diferenciación Propiedades de la derivada Gradientes y derivadas direccionales Derivadas parciales iteradas Trayectorias y velocidad. Longitud de arco Derivadas de orden superior: máximos y mínimos Teorema de Taylor Extremos de funciones con valores reales Extremos con restricciones y multiplicadores de Lagrange Métodos numéricos de optimización con y sin restricciones

7 10 ÍNDICE GENERAL 12.Integración Introducción La integral doble sobre un rectángulo La integral doble sobre regiones más generales Cambio del orden de integración La integral triple Cambio de variables en la integral múltiple La geometría de las funciones de R 2 a R Cambio de variables en la integral doble Cambio de variables en la integral triple Algunas aplicaciones de las integrales múltiples Integrales sobre trayectorias y superficies Campos vectoriales Divergencia y rotacional de un campo vectorial Cálculo diferencial vectorial La integral de trayectoria La integral de línea Superficies parametrizadas Integrales de funciones escalares sobre superficies Integrales de superficie de funciones vectoriales Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema de Gauss