Producción, costos y decisiones óptimas de la empresa.

Transcripción

1 Producción, costos y decisiones óptimas de la empresa. La frontera de posibilidades de producción. La frontera de posibilidades de producción o curva de transformación es un instrumento que indica el nivel de producción de un bien que se puede obtener como máximo cuando el volumen de producción de otro bien esta dado, al igual que la cantidad total de recursos o factores productivos para las tecnologías de producción existentes. En una economía de dos bienes Q x y Q y, y donde las tecnologías de producción son de rendimientos constantes, se puede emplear dicho instrumento para representar las combinaciones de productos que se podrían producir según la dotación o disponibilidad total de un recurso productivo (mano de obra existente, por ejemplo), así Q y (0, Max Q y ). R. S 0 (Max Q X, 0) Q x Los puntos sobre la curva indican las varias combinaciones optimas de que se pueden obtener para la dotación de factor productivo dada. No se puede obtener ninguna combinación o cesta de productos que esté representada por un punto S situado fuera de la frontera de posibilidades de producción (FPP); ese nivel requeriría una disponibilidad de recursos mayor de la que existe. Un punto interior R representaría una situación de privación de bienes, atribuible a la desocupación o subutilización de los recursos existentes. Un punto en la frontera representa una situación de Pleno Empleo del recurso. Los puntos de corte en los ejes representan especialización completa de la economía en la producción correspondiente bien. 1

2 La pendiente de la frontera representa la relación de costos relativos en la producción de los bienes. En el caso del factor trabajo representaría los valores relativos en términos de trabajo directo. Si existiera otro recurso, capital por ejemplo, limitado y necesario para la producción de esos dos bienes, su frontera de producción, suponiendo rendimientos constantes, sería Q y M A E 0 N B Q x donde la FPP AB es la anterior, correspondiente a la mano de obra y la FPP representada por la recta MN es la correspondiente a la utilización del recurso capital. Ahora, el conjunto de producciones alcanzables que no violen la restricción de mano de obra no la de capital es el área 0AEN y la frontera AEN representa tres situaciones posibles: en el punto E una producción con pleno empleo tanto de capital como de trabajo; en el segmento AB (abierto en E) pleno empleo de mano de obra pero subutilización de capital; el segmento semiabierto EN plena ocupación de capital pero mano de obra desempleada. Respecto a los precios-costos relativos se ve que hay tres situaciones en lo que hace a la relación de intercambio: precios valor-trabajo directo en el primer segmento; precios valorcapital o valor-trabajo pretérito en el segundo segmento; y precios de problemática determinación y fundamentación el vértice E. Conviene advertir de pasada, que las determinaciones simultaneas de las remuneraciones trabajo y el capital serían problemáticas en las tres situaciones de este tipo de frontera y, consecuentemente, la determinación de las participaciones en la distribución del ingreso de ambas clases. 2

3 Si se quisiera representar ahora la FPP de la agricultura ricardiana, donde el recurso tierra es limitado y heterogéneo, entonces como según Ley de West los rendimientos no serían constantes sino decrecientes, la representación de la FPP del recurso tierra utilizable en la producción de dos bienes agrícolas Q j y Q z sería Q j (0, Max Q j ) G H 0 (Max Q z, 0) Q z En este caso los costos relativos cambian a consecuencia del cambio de los rendimientos de forma que al aumentar la producción de uno de ellos, con la consiguiente reducción del otro bien, su precio relativo aumenta al expresar las relaciones de intercambio entre los bienes. Los valores cambiantes de la pendiente de la tangente en cada de la FPP, creciente de izquierda a derecha, expresan, entonces los cambios de los costos relativos y de sus inversas los rendimientos relativos. La FPP muestra el costo de oportunidad de un bien expresado en el otro. Cuando se reasignan los factores, trasladándolos de una producción a otra, desplazando la economía del punto G al H, por ejemplo, se renuncia a una cuantía de bienes Q j para aumentar la obtención de bienes Q z. Si se quisiera representar una FPP compuesta por un sector industrial de rendimientos constantes y uno agrícola de rendimientos decrecientes, la forma de la curva de transformación sería cóncava, tal como la gráfica anterior. La función de producción neoclásica. La función de producción es una relación técnica entre una variable dependiente, el nivel de producción o cantidad producida (que denominamos X) y variables independientes, los 3

4 factores productivos utilizados en la producción de un determinado bien. Más concretamente, la función de producción de proporciones variables es una relación entre niveles de producción de un bien homogéneo perfectamente divisible y la combinación de factores productivos utilizados, siendo cada uno de estos factores productivos homogéneos, perfectamente divisibles y su combinación óptima desde el punto de vista técnico, lo cual implica que no hay desperdicio en la utilización de ninguno de los insumos que se utilizan en la producción. En otras palabras, la función de producción brinda información respecto de las distintas combinaciones de factores productivos homogéneos, perfectamente divisibles y óptimos desde el punto de vista técnico, por medio de los cuales es posible obtener determinadas cantidades de un bien homogéneo y perfectamente divisible. Es necesario recordar que la función de producción con la que trabajan los autores neoclásicos cumple con los siguientes supuestos: homogeneidad de bienes y de factores perfecta divisibilidad de los bienes producidos y de los factores productivos utilizados (variables continuas). óptimo técnico, es decir, se trata de combinaciones eficientes de los factores productivos empleados. sustituibilidad imperfecta entre los factores productivos, lo que implica que, dentro de ciertos límites, es posible sustituir un factor por otro manteniendo el mismo nivel de producción. rendimientos marginales decrecientes de cada factor productivo variable, al menos a partir de un cierto nivel de utilización del factor. Para clarificar el tipo de función de producción con el cual operan los autores neoclásicos, recurriremos a dos componentes analíticos claves de su teoría que son el concepto de isocuanta o de curva de isoproducto y el concepto de mapa de isocuantas. Para ello, supongamos una función de producción de la forma: X = T 0,5. K 0,5 donde T y K representan las cantidades utilizadas del factor trabajo y del factor capital (en unidades físicas ) y X el nivel de producción alcanzado Este análisis, por ser todos los factores variables, es decirno existiendo factor fijo alguno, corresponde a las decisiones de Largo Plazo. El siguiente cuadro nos da información concreta sobre distintas combinaciones de factores productivos y niveles de producción alcanzados. 4

5 T K X 0, , ,5 1 Representemos en una gráfica la información contenida en este cuadro. En el eje de las abscisas se representan las cantidades utilizadas del factor trabajo y en el eje de las ordenadas las cantidades utilizadas del factor capital. En un tercer eje (el espacio) se representan los niveles de producción. K 3 A 2 B X = 1 1 C 0,5 D 0,33 0,5 1 2 T Considérese el punto A que implica una combinación posible de trabajo (T = 0,33) y de capital (K = 3) la cual arroja como resultado un nivel de producción de X = 1. Asimismo, considérese el punto B que implica una combinación de factores productivos (canasta de factores productivos) de 0,5 unidades de trabajo y 2 unidades de capital la cual da como resultado el mismo nivel de producción de X = 1. Como puede observarse, se disminuyó la cantidad de factor capital y se aumentó la cantidad utilizada de trabajo obteniéndose el mismo nivel de producción. Otro tanto sucede con las combinaciones de factores representadas por los puntos C y D, todas las cuales determinan un nivel de producción de X = 1. Definición: Se denomina isocuanta o curva de isoproducto a las infinitas combinaciones de factores productivos con las cuales se obtiene un determinado nivel de producción. O dicho en otras palabras, una isocuanta es el lugar geométrico de los puntos del plano que implican un determinado nivel de producto. 5

6 Como puede observarse los factores productivos son incorporados a la producción en proporciones variables y no fijas. Definición: Se denomina mapa de isocuantas al infinito conjunto de curvas de isoproducto que implican combinaciones de factores productivos con las cuales es posible producir los distintos niveles de producción. El siguiente ejemplo y su representación gráfica ilustran sobre el concepto de mapa de isocuantas. T K X 0, , ,5 1 T K X 3, T K X K K K X = 50 X = 1 X = , ,33 0,5 1 2 T 3, T T 6

7 Mapa de isocuantas K 25 X = 1 X = 50 X = 10 0, T El mapa de isocuantas o de curvas de isoproducto es la representación gráfica de la función de producción con la que trabajan los neoclásicos, o sea, es la forma gráfica que adopta la el supuesto de función de producción dada. Características de las isocuantas y del mapa de isocuantas Cada isocuanta es decreciente de izquierda a derecha lo cual implica que ninguna puede ser creciente ni paralela al eje de las ordenadas ni paralela al eje de las abscisas. Supongamos que las siguientes gráficas reflejan isocuantas crecientes o paralelas a los ejes. Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 K K K B K B K B B A B K A = K B K A A K A A T A T B T T A = T B T T A T B T Como muestra la gráfica 1, es posible obtener el nivel de producción X 1 utilizando T A del factor trabajo y K A del factor capital. Si la isocuanta fuera creciente, el punto B de coordenadas (T B, 7

8 K B ) arrojaría el mismo nivel de producción que la combinación de factores implicadas en el punto A. Pero T B > T A y K B > K A, lo cual estaría implicando desperdicio de ambos factores productivos lo que significa el no cumplimiento de la condición de eficiencia técnica en materia de la utilización de los factores productivos. Se ha caído en un absurdo técnico derivado del hecho de admitir que las isocuantas pueden ser crecientes. Considérese la gráfica 2 donde la isocuanta aparece como paralela al eje de las ordenadas. El punto A (T A, K A ) implica un cierto nivel de producción y el punto B (T B, K B ) que contiene la misma cantidad del factor trabajo y mayor cantidad del factor capital (K B > K A ) arrojaría como resultado el mismo nivel de producción lo cual estaría implicando, en este caso, desperdicio del factor capital. Análogamente, podemos señalar, en la gráfica 3 donde se asume que la isocuanta puede ser paralela al eje de las abscisas el punto C que implica la misma cantidad de capital que el punto A y mayor cantidad del factor trabajo estaría siendo técnicamente ineficiente. Dos isocuantas no pueden cortarse. K K A K D K E A D II E I T A T E =T D T Admitamos dos isocuantas decrecientes, la I y la II que se cortan en el punto A. Establecemos, a través de una paralela al eje de las ordenadas, dos puntos el D y el E donde el punto D pertenece a la isocuanta II y el punto E pertenece a la isocuanta I. El punto A, por estar sobre la misma isocuanta que D, implica un nivel de producción de X II. Asimismo, por estar sobre la misma isocuanta que E implica un nivel de producción X I. Por lo cual, se estaría cayendo en el absurdo de admitir que a una misma combinación de factores productivos (T A, K A ) le corresponden niveles de producción diferentes. Ello no cumple con el concepto de función y, en especial, de función de producción. Para no caer en el absurdo anterior, se debería cumplir que X I = X II. Si esto fuese así, las combinaciones representadas por los puntos E y D permitirían obtener el mismo nivel de producción. Pero en el punto D (K D, T D ) se está 8

9 utilizando la misma cantidad de factor trabajo que en el punto E (T D = T E ) y una cantidad mayor del factor capital (K D > K E ) lo cual implicaría que se viola el supuesto de eficiencia técnica. Las isocuantas no pueden cortar los ejes. K K A A X = X 1 B T B T Dicha característica emana del hecho de que, si bien existe sustituibilidad entre los factores productivos, dicha sustituibilidad es imperfecta, vale decir, no puede ser perfecta o total. El punto A sobre el eje de las ordenadas estaría indicando que es posible obtener un nivel de producción X 1 utilizando sólo el factor capital, o sea, T A = 0 y K A una magnitud positiva. El punto B sobre el eje de las abscisas estaría indicando que es posible obtener el nivel de producción X 1 utilizando solamente el factor productivo trabajo y nada del factor capital. Cada isocuanta es convexa respecto al origen K A K A K B K C K D B C D T A T B T C T D T 9

10 Supongamos que nos encontramos en el punto A con una combinación (T A, K A ). Por convención, definamos un punto B (T B, K B ) que implica una unidad menos de capital y T B T A unidades adicionales de trabajo. Similarmente, definamos un punto C (T C, K C ) y un punto D que, también, están implicando por construcción una unidad menos de capital y T D T C unidades adicionales de trabajo. Puede observarse que T B T A es mucho menor que T D T C. La convexidad hacia el origen tiene relación con la característica de sustituibilidad imperfecta de los factores productivos y, en concreto, con la tasa de sustitución decreciente del factor productivo que se está utilizando en mayor grado (en nuestro ejemplo el factor trabajo a medida que nos movemos desde A hacia D pasando por B y C). La convexidad hacia el origen nos está indicando que, a medida que se tiene más de un factor y menos de otro, el factor relativamente escaso vale relativamente más, en términos del nivel de producción, que el factor relativamente abundante. En el ejemplo, si reducimos en una unidad el factor del cual se tiene menos, o sea, el capital cuando se pasa de C a D, para mantenernos en el mismo nivel de producción es necesario sustituirlo por una cantidad mucho mayor del factor que se tiene más. O a la inversa, que a medida que se tiene menos de un factor de producción, su tasa de sustitución en relación al otro va aumentando. El mapa de isocuantas es denso. Lo cual significa que por cada punto del plano pasa una isocuanta y solamente una isocuanta. A medida que nos trasladamos sobre la bisectriz del par de ejes coordenados alejándonos del origen, las sucesivas isocuantas que dicha bisectriz va cortando implican mayores niveles de producción. La Relación o Tasa Marginal de sustitución técnica (RMSt o TMSt) mide el número de unidades en que disminuye un insumo, por unidad de incremento del otro, para que el nivel de producción permanezca constante. Dicha relación o tasa en un punto de la isocuanta es igual a la pendiente en valor absoluto de la isocuanta en ese punto. También es igual a la relación (cociente) del producto o rendimiento marginal de un factor respecto al producto marginal del otro. Como a medida que se utiliza más mano de obra y menos capital, el producto marginal de la mano de obra disminuye y el del capital aumenta, cuando se mantiene constante el nivel de producto, la misma es decreciente de izquierda a derecha. Esto conduce a emplear la convexidad de las isocuantas para su representación o a efectos de satisfacer el comportamiento decreciente (así, en la vecindad de un punto de tangencia la isocuanta se encontrará por encima de la tangente). La restricción económica representada por la curva de isocostos. La isocostos expresa las diferentes combinaciones de insumos que se pueden adquirir, en función de los precios de los mismos, dada una cuantía dada de dinero. Aunque, si en lugar de pensarla 10

11 como lo que se puede hacer con un monto dado F de dinero, se la piensa como la suma que se requeriría tener para poder adquirir una determinada combinación de recursos en función de sus precios. Asumiendo los precios de los insumos capital y trabajo, r y s respectivamente, como parámetros dados la partida F a invertir se expresa mediante: F = s T + r K Si el costo total CT del empleo de cualquier combinación de capital y trabajo es CT = s T + r K Las combinaciones dadas que se pueden escoger viene dadas por Y la representación gráfica de la isocostos es CT = F/r (s/r) T K (0, 2 F/r) (0, F/r) (-s/r) 0 (F/s, 0) (2F/s, 0) T Elección optima de factores productivos variables (largo plazo) El problema de la elección optimizadora a que se enfrentará el agente puede plantearse como seleccionar el máximo de la producción con un costo dado, o alternativamente seleccionar la combinación de insumos que represente el mínimo gasto para obtener un cierto nivel de producción dado. 11

12 El primer caso nos llevaría a encontrar la mayor X que puede alcanzarse dado F y los precios de los insumos. Para ello sobreponemos la recta de isocostos sobre el mapa de isocuantas y seleccionamos la combinación de factores, representada por un punto de la recta (par T,K) que siendo un punto de una isocuanta sea, a la vez, el de una isocuanta tal que no haya otra X mayor que ella. K A K 1 T 1 E X = 1 B X = 50 X = 10 T Como se ve en la gráfica la isocostos no permite alcanzar la producción X = 50. Permite producir la X = 1 con dos combinaciones distintas, pues la corta en dos puntos, A y B, pero al permitir producir X = 10 y ser el objetivo la producción máxima se selecciona esa opción. De forma que el punto de tangencia E expresa el cumplimiento del objetivo planteado (maximizar X) a la par que se cumple la restricción económica. EL procedimiento alternativo, de dada la producción X pretendida emplear el mínimo costo, podríamos ilustrarlo como sigue. Dada la gráfica de la recta de isocuanta que representa la producción X pretendida sobreponer sobre la misma todas las rectas de isocostes paralelas, correspondientes a F, 2F, nf, y seleccionar de entre ellas la más cercana al origen pero que a la vez comparta un punto en común con dicha isocuanta. Nuevamente estamos en presencia de un punto de tangencia E. Y aún más, si el mapa de isocuantas es el mismo, y r y s, también entonces el punto de tangencia E es idéntico al del primer procedimiento. En resumen, el punto de tangencia expresa la elección optima, ya sea que se pretenda maximizar la X o minimizar F. En dicho punto las pendientes o derivadas primeras de la recta de isocosto y de la correspondiente al punto de la isocuantas son iguales. Esta es, analíticamente hablando, la condición de primero orden del ejercicio de maximización o de su dual. En ese punto E tenemos la coincidencia - RMSt = - s/r O en valores absolutos RMSt = s/r 12

13 La RMSt indica la tasa a que la técnica permite sustituir factores en la producción; la razón de precios de insumos indica la tasa a la que mercado permite sustituir un insumo por otro al comprarlos o contratarlos en los mercados. Si ambas magnitudes no son iguales existen, entonces posibilidades de obtener un producción mayor o un costo menor moviéndose en dirección al logro de dicha igualdad. Una vez allí se han agotado las posibilidades de mejora. Función de producción o de productividad total del factor (corto plazo). Habíamos supuesto que la función de producción X era una correspondencia entre las cantidades utilizadas del factor productivo trabajo (T) y del factor productivo capital (K) y la cantidad obtenida del producto o nivel de producción alcanzado. En virtud de que los autores neoclásicos razonan admitiendo que hay un factor productivo variable y uno o varios factores productivos fijos, admitamos que el factor productivo fijo es el capital, el cual se mantiene, durante el corto plazo, en un nivel K 0. Por ende, la función de producción de la forma X = f (T, K) queda reducida a la forma X = f (T, K 0 ) o, más sencillamente, a X = f (T). La función de producto o productividad total del factor productivo variable (PTF) es una correspondencia, en este caso, entre la cantidad utilizada del factor T y la cantidad obtenida del producto, suponiendo que los demás factores productivos permanecen constantes. De hecho, a nivel gráfico, de lo que se trata es de considerar la función de producción a partir del mapa de isocuantas y fijar como invariante al factor capital en un nivel de K 0. K K 0 X = X 3 X = X 2 X = X 1 X = X 4 T 1 T 2 T 3 T 4 T 13

14 La gráfica anterior nos proporciona la siguiente información: si la cantidad de factor utilizado es T 1 el nivel de producto obtenido es X 1. Si aumentamos la cantidad utilizada de factor a T 2, T 3 y T 4 las cantidades de producto obtenido serán X 2, X 3 y X 4, respectivamente. Cuando cambia la variable independiente, en este caso la cantidad utilizada del factor, va cambiando la variable dependiente, o sea, el nivel de producción. El problema radica, ahora, en determinar la representación gráfica de la función de producto o productividad total del factor. A medida que aumenta la cantidad utilizada de factor, se constata que el nivel de producción aumenta. La función de producto total comienza a partir del origen porque si no se utiliza nada del factor no se obtiene nada de producto (la sustituibilidad de los factores productivos es imperfecta). La función de producto total va a ser creciente, pero ese crecimiento o su forma va a depender del rendimiento marginal o productividad marginal del factor en cuestión. Habíamos señalado que los autores neoclásicos suponían que la función de producción tenía rendimientos marginales decrecientes para cada factor productivo variable, dado un conjunto de factores fijos, por lo menos, a partir de un cierto nivel de utilización de dicho factor. Si los rendimientos marginales decrecientes se dieran desde el comienzo, la función de producción total sería una función permanentemente creciente a tasa decreciente. X X máx f(t) 0 T máx T Analíticamente, la tasa a que crece cualquier función es su derivada primera. En términos económicos, la derivada primera de la función de producto total del factor ( X/ T) es la función de producto o productividad marginal del mismo. Al ser la derivada primera positiva, la función originaria es creciente. Al ser la derivada primera decreciente, la función originaria tiene 14

15 concavidad negativa. Podría darse el caso que la productividad marginal del factor llegara a ser negativa. En estas condiciones el producto total aumenta hasta que la productividad marginal o de la última dosis del factor sea nula y la producción total comenzaría a descender cuando la productividad se torna negativa. Supongamos que estamos en una unidad productiva del sector agrícola. Admítase que el equipo de capital es un dato y otro tanto sucede con la cantidad de tierra y de insumos intermedios y el único factor productivo variable está constituido por la cantidad de trabajadores. Mientras que los trabajadores que se vayan incorporando a la labor tengan productividad marginal positiva, por más que ésta sea decreciente, el producto total de esa parcela va a ser creciente. Pero, puede llegar el caso de que si se agrega un nuevo trabajador la productividad de este último sea negativa con lo cual el producto total desciende 1. X f(t) 0 T También, los autores neoclásicos utilizan otras formas de las funciones de producto o productividad total del factor compatibles con su concepción. Algunos autores admiten que, al inicio, el factor productivo presenta rendimientos marginales crecientes, con lo cual la función de producto total crece a tasa creciente (con concavidad positiva) y que, a partir de un cierto nivel de utilización del factor (T 1 ), éste comienza a tener rendimientos marginales decrecientes con lo cual la función de producto total sigue creciendo pero a tasa decreciente teniendo en el nivel T 1 un punto de inflexión. 1 Obviamente, este tipo de casos implican la formulación de funciones de producción mucho más complejas que las que hemos venido manejando como ejemplos. 15

16 X X máx f(t) T 1 T máx T Función de producto o de productividad media del factor productivo variable Se llama producto medio del factor al nivel de producción que en términos medios se logra por cada unidad que se compra y utiliza del factor productivo variable en cuestión. La función de producto medio del factor (PMeF) es igual a la función de producto total del factor (PTF) sobre la cantidad utilizada del factor (T). Analíticamente: PTF = X = f(t). PTF PMeF = = T f(t) T La función de producto o productividad media del factor con la que trabajan los autores neoclásicos puede admitir dos formas: La primera es siempre decreciente a tasa creciente (con concavidad positiva) cuando se admiten rendimientos marginales decrecientes desde el comienzo. En efecto, para una función de producto total del tipo X = k. T α, con 0 < α < 1 la función de productividad media adopta la forma de PMeF = k. T α -1 = k / T 1-α con 1-α comprendido entre 0 y 1. La derivada primera de la función de producto medio es: PMeF / T = k. (α 1). T α-2 < 0 dado que α < 1 2 PMeF / T 2 = k. (α 1). (α 2). T α-3 > 0 dado que α < 1 16

17 PMeF 0 T máx T La segunda forma de la función de productividad media del factor es de una U invertida, o sea, en un primer tramo la función es creciente hasta un determinado máximo y, luego, decreciente. Esta segunda forma corresponde al supuesto que, en el inicio, el factor productivo variable tiene rendimientos marginales crecientes y, luego a partir de un cierto nivel de utilización del factor (T 1 ), rendimientos decrecientes 2. PMeF 0 T máx T La función de producto o productividad marginal del factor productivo variable El producto o productividad marginal del factor se define como el incremento del producto total derivado de aumentar en una unidad la cantidad utilizada del factor productivo variable. 2 Esta segunda forma es compatible con asumir que las funciones de costo variable medio y de costo marginal de la producción tienen forma de U. 17

18 Para funciones continuas, es el límite del diferencial de X, o sea, del nivel de producto total en relación al diferencial de T cuando el diferencial de T tiende a 0 y ello es la derivada primera de la función de productividad o producto total del factor. PMgF = lím T 0 T / T Su representación gráfica, también, admite dos formas: cuando el supuesto es que los rendimientos marginales decrecientes se dan desde el comienzo, la función es decreciente a tasa creciente (con concavidad positiva) y, si bien proviene de más infinito cuando T tiende a 0, es siempre menor que la función de productividad media. En efecto, para el ejemplo con el cual venimos operando X = k. T α la productividad marginal es PMgF = k. α. T α-1 = k. α / T 1-α > 0 y su derivada primera será PMgF / T = k. α. (α-1). T α-2 = k. α. (α-1) / T 2-α < 0 dado que α < 1. Obsérvese que PMeF = k / T 1-α y PMgF = k. α / T 1-α. Como α < 1 entonces PMeF > PMgF. PMgF PMeF, PMgF PMeF PMgF 0 T máx T 0 T máx T La segunda forma es cuando los rendimientos marginales decrecientes del factor son a partir de un determinado nivel de utilización del mismo (T 1 ). En este caso, la función de productividad marginal es, primero, creciente, tiene un máximo para T = T 1 y, luego, es decreciente (tiene forma de U invertida). 18

19 PMgF 0 T 1 T máx T Adicionalmente, se puede probar que la curva de productividad marginal del factor corta a la productividad media del factor en su máximo, o sea, que el punto de corte de ambas es el punto de máxima productividad media. PMgF, PMeF PMeF En efecto: PMgF 0 T máx T 1. Si la función PMeF es creciente, la función de PMgF es mayor que la de productividad media. 2. Si la función PMeF es decreciente, la función de PMgF es menor que la de productividad media del factor. 3. Si la función de PMeF deja de ser creciente y pasa a ser decreciente, o sea, tiene un máximo, entonces PMeF y PMgF coinciden, lo cual significa, en otras palabras, que PMgF corta a PMeF en su máximo. 19

20 Demostración matemática de las proposiciones anteriores. 1. Si la función PMeF es creciente, su derivada primera es positiva. PMeF = f(t) / T PMeF / T = [( f(t) / T).T f(t)] / T 2 > 0 Para que la expresión anterior sea positiva, basta que su numerador lo sea, por tanto ( f(t) / T).T f(t) > 0 f(t) / T > f(t) / T Nótese que f(t) / T = PMgF y f(t) / T = PMeF entonces el resultado hallado también puede expresarse como PMgF > PMeF 2. Si la función PMeF es decreciente, su derivada primera es negativa. PMeF = f(t) / T PMeF / T = [( f(t) / T).T f(t)] / T 2 < 0 Para que la expresión anterior sea negativa, basta que su numerador lo sea, por tanto ( f(t) / T).T f(t) < 0 f(t) / T < f(t) / T Nótese que f(t) / T = PMgF y f(t) / T = PMeF entonces el resultado hallado también puede expresarse como PMgF < PmeF 3. Si la función PMeF tiene un máximo, éste corresponde a un nivel de T donde la derivada de la función se hace cero. PMeF / T = [( f(t) / T).T f(t)] / T 2 = 0 Para que la expresión anterior se anule, basta que su numerador sea igual a cero, por tanto 20

21 ( f(t) / T).T f(t) = 0 f(t) / T = f(t) / T Nótese que f(t) / T = PMgF y f(t) / T = PMeF entonces el resultado hallado también puede expresarse como PMgF = PmeF. En otras palabras, el máximo de PmeF está en el punto de corte entre la curva PMeF y la curva PMgF. Este comportamiento de las funciones de producto (total, medio y marginal) tiene su repercusión en las correlativas funciones de costo de producción (total, medio y marginal). La función de producto total del factor relaciona la cantidad utilizada del mismo con la cantidad obtenida de producto. La funciones de costo relacionan la cantidad producida con los costos o egresos respectivos en que incurre la empresa para llevar adelante ese nivel de producción. El costo variable total en que la empresa incurre es función de la cantidad producida. A su vez, si se tiene un único factor productivo variable, la cantidad producida es función de la cantidad del factor utilizada. De otra manera, el costo variable total es igual al precio del factor multiplicado por la cantidad del factor utilizada, esta última relacionada con la cantidad producida a través de la función de producción. Si la función de producción crece primero a tasa creciente y luego a tasa decreciente, los costos variables totales que son siempre crecientes lo hacen primero a tasa decreciente (cuando la productividad marginal del factor productivo es creciente) y, luego, los costos variables totales crecen a tasa creciente (cuando la productividad marginal del factor es decreciente). De esta forma, hemos visto la relación que guardan las funciones de producto del factor con las funciones de costo de producción. Cuando la función de producto total tiene forma de S inclinada, la función de costo variable total la tiene de S invertida. Cuando la función de productividad marginal del factor tiene forma de U invertida la de costo marginal de producción tiene forma de U (primero decreciente y luego creciente). Cuando la función de producto medio del factor tiene forma de U invertida (primero creciente y luego decreciente), la función de costo variable medio de producción tiene forma de U (primero decreciente y luego creciente). Cuando la función de productividad marginal de factor corta a la de productividad media del factor en el máximo de ésta última, de arriba abajo, la función de costo marginal de producción corta a la función de costo variable medio de producción en el mínimo de esta última (de abajo a arriba). Las funciones de valor del producto del factor o funciones de ingreso del factor. La empresa concentra su interés no tanto en las cantidades físicas o productividades del factor variable sino en el ingreso monetario que deriva de los niveles que produce y vende del bien en cuestión, función de las cantidades del factor que utiliza. De ahí que, además de operar con las 21

22 funciones de producto o productividad del factor, los autores neoclásicos operan con las denominadas funciones de valor de la productividad o, lo que es lo mismo, funciones de ingreso del factor productivo variable. La función de valor del producto total o de ingreso total del factor. El valor del producto total del factor es la producción total valorada que se logra mediante la utilización del factor, o bien, es el ingreso que la empresa obtiene al producir y vender la cantidad del bien generada por la compra y utilización del factor variable. En otras palabras, es el valor monetario de las ventas que la empresa hace cuando vende el producto total que obtiene mediante el uso del factor respectivo. Por ende, el valor del producto total del factor VPTF o ingreso total del factor YTF es igual a la productividad física total valorada por el precio de venta del producto en cuestión. VPTF = YTF = p. X = p. f(t) La función de ingreso total del factor en la medida de que es un múltiplo del producto total en virtud de que está afectada por el precio del bien, que es una constante, tendrá la misma forma que la función en términos físicos. Para cada abscisa, o sea, para cada nivel de utilización del factor, la ordenada va a ser la misma ordenada que la función de producto total desplazada por el nivel de precios. VPTF VPTF 0 T máx T 0 T máx T La función de valor del producto medio del factor o ingreso medio del factor. El valor de la productividad media del factor (VPMeF) es el ingreso que, en promedio, logra la empresa por cada unidad del factor productivo variable que utiliza. En consecuencia: VPMeF = YMeF = VPTF / T = [p. f(t)] / T = p. [f(t) / T] = p. PMeF 22

23 Queda claro que el ingreso medio del factor es la productividad física media del factor valorada por el precio del bien en cuestión. Su representación gráfica será la misma que la de la productividad media del factor desplazada por el parámetro p, o sea, como función siempre decreciente a tasa decreciente o en forma de U invertida, dependiendo del supuesto que se haya hecho en relación a la ley de la productividad marginal decreciente. VPMeF VPMeF 0 T máx T 0 T máx T La función de valor del producto marginal del factor o ingreso marginal del factor. El valor de la productividad marginal del factor (VPMgF) o del ingreso marginal del factor (YMgF) se define como el aumento en el ingreso total que logra la empresa cuando utiliza una unidad adicional del factor productivo variable. Para funciones continuas, es: VPMgF = YMgF = lím T 0 YTF / T En otras palabras es la derivada primera de la función VPTF: VPTF / T = YTF / T = [p. f(t)] / T = p. f(t) / T = p. PMgF Por ende, el valor de la productividad marginal del factor es la productividad marginal física de dicho factor valorada, o sea, multiplicada por el precio del bien que la empresa produce y vende. La representación gráfica es igual que la de la respectiva función física con desplazamiento de la ordenada ya que la misma está multiplicada por el precio del bien. 23

24 VPMgF VPMgF 0 T máx T 0 T máx T Se puede observar, también, que el ingreso medio del factor es siempre superior al ingreso marginal del factor cuando los rendimientos marginales decrecientes se dan desde el inicio o bien que el ingreso marginal del factor corta al ingreso medio en el máximo de éste cuando los rendimientos marginales del factor son primero crecientes y luego decrecientes. Las funciones de costo del factor y sus representaciones gráficas Obviamente, las diversas funciones de costo por la utilización del factor productivo variable correspondiente tienen que ver con las funciones de costo de producción, ya que este último es función del nivel de producción y la cantidad producida es función del nivel de utilización del factor. Nuevamente, siguiendo con la simetría de la teorización neoclásica, se tienen tres funciones de costo a saber: la de costo total del factor, la de costo medio del factor y la de costo marginal del factor. La función de costo total del factor Se llama costo total del factor (CTF) al gasto en que incurre la empresa por la utilización del factor productivo en cuestión o al egreso que tiene la empresa por la compra del factor ya que se supone que todo lo que la empresa compra del factor lo utiliza. El costo total del factor va a depender del precio del mismo y de la cantidad del factor que se compre y utilice. Como el precio del factor es un dato invariante para la empresa ya que la misma 24

25 opera como tomadora de precios, también, en el mercado del factor productivo variable, el costo total del factor será una función creciente de su nivel de utilización a tasa constante dada por el precio del factor. Si asumimos que existen dos factores productivos (capital como factor fijo y trabajo como factor variable) y que el precio del trabajo por unidad física, o sea, el salario es s, el costo total del factor será: CTF = s. T CTF 0 T La función de costo medio del factor Se llama costo medio del factor (CMeF) al gasto que en promedio incurre la empresa por cada unidad del factor que compra y utiliza. Por lo tanto, es igual al costo total del factor dividido la cantidad de factor utilizada. Analíticamente: CMeF = CTF / T = s. T / T = s Como se puede observar, el costo medio del factor es igual al precio del mismo, es decir, es una constante. Su representación gráfica es una recta paralela al eje de las abscisas con ordenada en el origen igual al precio del factor. 25

26 CMeF s 0 T La función de costo marginal del factor Se llama costo marginal del factor (CMgF) al incremento en el costo total del factor por la utilización o compra de una unidad adicional del mismo. Para funciones continuas, es la derivada primera de la función de costo total del factor y, por ende, es igual al precio de compra de dicho factor. CMgF = lím CTF / T = CTF / T = (s.t) / T = s T 0 CMgF s 0 T Se concluye, por tanto, que el costo medio del factor coincide con su costo marginal para cualquier nivel de utilización del factor en cuestión. Los supuestos de la teoría del equilibrio individual de la empresa como demandante del factor productivo variable que las funciones de costo incorporan son: el precio del factor como un dato 26

27 para la empresa (competencia perfecta en el mercado del factor), y la variación de existencia nula en lo que tiene que ver con la igualdad entre compras y utilización del factor productivo. El supuesto que queda por incorporar es el de comportamiento y esa hipótesis se incorpora para analizar la posición de equilibrio de la empresa como demandante de un factor productivo variable. La posición de equilibrio de la empresa como demandante de un factor productivo variable El razonamiento en esta sección es análogo al imperante en el caso de la maximización de los beneficios totales de la empresa como oferente de un bien de consumo. El empresario buscará maximizar los beneficios totales derivados de la utilización del factor productivo variable; es decir, procurará determinar el nivel óptimo de utilización del factor productivo variable. Razonando en términos análogos a como lo hiciéramos en el análisis de la empresa como oferente de un bien de consumo, tenemos: Max BTF = Max (YTF CTF) BTF / T = BMgF = YTF / T CTF / T = YmgF CMgF = 0 entonces YMgF = CMgF o lo que es lo mismo, p. PMgF = s, o también PMgF = s / p La empresa busca maximizar el beneficio total por la utilización del factor productivo variable, siendo la función de beneficio total la diferencia entre el ingreso total del factor y el costo total del factor. Para determinar dicho máximo, se debe encontrar la derivada primera del beneficio total del factor e igualarla a 0 y, adicionalmente, imponerle la condición de primer orden o la condición de segundo orden. La derivada de la función de beneficio total del factor es la función de beneficio marginal, diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal del factor. La condición, por ende, implica la igualación del ingreso marginal y del costo marginal del factor verificando la condición de primer orden, en rigor, que se produzca el cambio de signo de + a - que supone hallar un máximo. Esta 27

28 condición significa que, para niveles de utilización del factor menores al de equilibrio, el YMgF > CMgF y que, para niveles de utilización superiores, suceda estrictamente lo contrario 3. Se había establecido, previamente, que el YMgF era equivalente al precio del bien de consumo (p) por el producto marginal físico del factor (PMgF), en tanto que el CMgF es igual al salario o, genéricamente, al precio del factor productivo variable. En consecuencia, la condición de equilibrio supone la igualación del valor de la productividad marginal del factor (p. PMgF) y de su costo marginal o, lo que es equivalente, la igualación de la productividad marginal física del factor (PMgF) con la relación entre el precio del factor y el precio del bien de consumo que la empresa produce (s / p). En este último caso, tenemos un precio relativo (s / p) que refleja la comparación entre lo que le cuesta a la empresa el factor de producción y el precio al que la empresa vende su producto. El análisis gráfico correspondiente lo haremos primero a partir de las funciones que suponen que los rendimientos marginales del factor son primero crecientes y luego decrecientes a partir de cierto nivel de utilización del factor. Luego, lo haremos a partir de las funciones que suponen rendimientos marginales decrecientes desde el inicio. 3 La condición de segundo orden implica que en el punto que la derivada primera se hace nula, la derivada segunda sea negativa, o sea, que el YMgF sea decreciente. Formalmente, YMgF / T = 0 la función YMgF tiene un extremo 2 YMgF / T 2 < 0 la función YMgF decrece para niveles mayores y menores al nivel de T que hace YMgF / T = 0 y, para dicho nivel, la función tiene un máximo. 28

29 Enfoque en función de curvas totales A partir de las formas gráficas de las funciones de YTF y CTF, derivadas anteriormente, se obtiene un gráfico en el que se observan 2 puntos de corte entre dichas funciones (A y B) y las respectivas utilizaciones del factor productivo variable (T A y T B ). YTF, CTF CTF = s. T YTF B =CTF B B YTF = p. f (T) YTF E E CTF E C YTF A =CTF A A CTF P YTF P P 0 T P T A T E T B T máx T Si la empresa no utiliza cantidad alguna del factor productivo variable (T = 0), tanto el YTF como el CTF son iguales a 0. Si nos desplazamos a la derecha por el eje de las abscisas, entre 0 y T A la empresa incurre en pérdidas por la utilización del factor, puesto que para cualquier nivel de utilización del factor comprendido entre 0 y T A, el costo total que le insume contratar esas cantidades del factor productivo variable supera al ingreso total que le reporta la utilización del factor. Entre 0 y T P esas pérdidas son crecientes; T P es el nivel de utilización del factor que corresponde al punto de mayor pérdida para la empresa, puesto que se hace máxima la diferencia entre las ordenadas de la función de CTF e YTF. Para dicho nivel de utilización del factor, la tangente a la curva de YTF se hace paralela a la recta que representa la función CTF. 29

30 Desde el punto de vista matemático, esto implica que la recta CTF y la tangente a YTF tienen en el punto P el mismo coeficiente angular. Desde el punto de vista económico, el coeficiente angular de la recta CTF es el precio del factor productivo variable (s); la tangente a la curva de YTF en dicho punto, por su parte, es la derivada de la función YTF en el punto, vale decir, el ingreso marginal del factor. Para T P, entonces, se estaría cumpliendo la igualdad entre CMgF e YMgF. No obstante, ésta no es la condición de equilibrio de la empresa, puesto que no cumple con la condición del signo requerida para encontrar el máximo de la función BTF. Resulta evidente que a la izquierda de T P el coeficiente angular de CTF es mayor que el de cualquier tangente posible a YTF. Es decir, desde el punto de vista económico, el CMgF a la izquierda de T P está siempre por encima del YMgF y la condición de equilibrio (resultante de la maximización de BTF) implica precisamente lo contrario. En suma, entre 0 y Tp, la empresa incurre en pérdidas crecientes al contratar más cantidad de trabajo, puesto que el beneficio marginal (BMgF) por cada unidad de trabajo adicional que contrate es negativo. La empresa acumula beneficios marginales negativos en este tramo, lo que implica que la pérdida total va creciendo hasta ese punto. A partir de Tp, las tangentes a la función de YTF en los puntos sucesivos son mayores al coeficiente angular de CTF; es decir, si la empresa contrata unidades adicionales del factor, los beneficios marginales de cada unidad adicional son positivos. Por tanto, la empresa estaría amortiguando o reduciendo las pérdidas totales hasta el punto A (correspondiente a un nivel de utilización del factor T A ), donde los beneficios (y las pérdidas) se hacen 0. A la empresa le convendrá seguir moviéndose hacia la derecha del punto T A, puesto que los beneficios se incrementarán. Esto se mantiene hasta llegar al punto E, punto donde la diferencia entre el VPTF y el CTF se hace máxima; en la gráfica esa diferencia es YTF E CTF E o, lo que es lo mismo, la distancia entre los puntos E y C. Nuevamente, en el punto E punto la tangente a YTF se hace paralela a la recta CTF. Sin embargo, este punto sí es de equilibrio, puesto que a la izquierda de T E los coeficientes angulares de las tangentes a YTF son todos mayores al coeficiente angular de la recta CTF, lo cual implica que los ingresos marginales del factor superan a los respectivos costos marginales. Desde el punto de vista económico, se puede observar que, a la izquierda de T E el YMgF o VPMgF es siempre superior al CMgF. Si la empresa se siguiera trasladando a la derecha de T E, los coeficientes angulares de las tangentes a YTF se hacen nuevamente menores al coeficiente de CFT, por lo que el YMgF volvería a hacerse menor al CMgF y la empresa tendría beneficios marginales negativos, con lo que los beneficios totales disminuirían. En el punto B, correspondiente 30

31 a un nivel de utilización del factor de T B, nuevamente, los beneficios totales de la empresa se hacen 0. El punto T E, entonces, es el punto de equilibrio de la empresa. Enfoque en función de curvas medias y marginales A partir de las curvas de YMeF, YMgF, CMeF y CMgF, derivadas anteriormente, se puede, asimismo, analizar la posición de equilibrio de la empresa. YMeF, YMgF, CMeF, CMgF YMgF A A s P E CMgF = CmeF = s YMeF YMgF 0 T P T A T E T máx T La recta de CMgF (que es igual a la de CMeF y al precio del factor s) corta a la curva de VPMgF en 2 puntos: P y E. Entre 0 y T P, el costo marginal de cada unidad adicional del factor es siempre superior al ingreso marginal; por tanto, a medida que va contratando trabajadores adicionales, la empresa obtiene beneficios marginales negativos. Esto ocurre hasta el punto en el que CMgF e YMgF se igualan. En ese punto (punto P ), la empresa deja de tener beneficios marginales negativos y la pérdida total de la empresa es máxima. A partir de T P, si nos movemos hacia la derecha a lo largo del eje de las abscisas, el YMgF se hace mayor al CMgF, y el beneficio marginal se torna positivo, con lo que el beneficio total se torna creciente hasta llegar al punto T E. 31

32 Se constata que a la izquierda de T E, el ingreso marginal del factor es mayor al costo marginal del factor y, a la derecha de ese punto, se da la situación contraria (YMgF < CMgF). Este es, pues, el punto de equilibrio de la empresa. La misma contratará T E unidades del factor productivo variable, pues al hacerlo está segura de maximizar el beneficio por la utilización del factor productivo variable. Cabe señalar, no obstante, que el punto E es el de equilibrio de la empresa, pero no el de máximo ingreso marginal. En efecto, tal como se aprecia en el gráfico, la empresa alcanza el punto de máximo ingreso marginal a la izquierda de T E, concretamente, en el punto A, que corresponde a un nivel de utilización del factor de T A. Sin embargo, el punto A no es un punto de equilibrio para la empresa, puesto que si ésta sigue contratando unidades de trabajo, es decir, si se mueve a la derecha de ese punto en dirección a T E, el beneficio marginal que obtiene por cada unidad de trabajo adicional que contrate sigue siendo positivo aunque decreciente, con lo que los beneficios totales seguirán aumentando. Esta situación se mantiene hasta alcanzar precisamente el nivel de utilización del factor T E. El análisis gráfico de la posición de equilibrio a través de, por un lado, curvas totales y, por otro, de curvas medias y marginales, también puede representarse para una función de producción con rendimientos marginales decrecientes desde el origen: YTF, CTF Gráfica 1 Gráfica 2 YMgF, YMeF, CMgF, CMeF CTF YMeF E YTF E CmeF = CMgF YTF E E YMgF E = s M YMeF CTF E YMgF 0 T E T máx T 0 T E T máx T 32

33 Puede observarse que, cuando se trata de una función de producción con rendimientos marginales decrecientes desde el origen, la resolución de la posición de equilibrio de la empresa es más sencilla. En la Gráfica 1 se representan las funciones de ingreso total del factor y de costo total del factor; en ella puede observarse que existe un único punto con recta tangente a YTF que sea paralela a la recta de CTF, que es precisamente el punto E de equilibrio de la empresa, donde hace máximo su beneficio. Por otra parte, en la Gráfica 2 se representan las funciones de YMgF, YMeF, CMgF y CMeF; en la misma, se observa que el punto de equilibrio corresponde al nivel de utilización del factor de T E. Para niveles de utilización del factor menores que T E, se cumple que YMgF > CMgF, entonces BMgF > 0 y a la empresa le resulta conveniente contratar más unidades de trabajo. Mientras que para niveles de utilización del factor mayores a T E, se cumple que YMgF < CMgF, entonces BMgF < 0 y a la empresa le resulta conveniente reducir la cantidad contratada de unidades de trabajo. Asimismo, el rectángulo 0 YMeF E M E refleja el nivel de beneficio total que la empresa logra mediante la utilización del factor en su nivel de equilibrio T E. Cambios en la posición de equilibrio En esta sección se analiza los cambios generados en la posición de equilibrio de la empresa ante cambios en el precio del factor productivo variable. Se parte de una situación inicial en la que el precio del factor productivo es s 1 y la empresa alcanza el equilibrio contratando T 1 unidades de dicho factor. En ese punto y según resulta del siguiente gráfico, el costo total en el que incurre la empresa está representado por el rectángulo 0 s 1 E 1 T 1, en tanto que el ingreso total viene dado por el rectángulo 0 YMeF 1 M 1 T 1. 33