CIRCUITOS ARITMÉTICOS. Tema 5: CIRCUITOS ARITMÉTICOS

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1 Tema 5: CIRCUITOS ARITMÉTICOS Contenido: * Aritmética binaria. * Circuito semisumador. Sumador completo. * Operaciones con n bits. Sumador paralelo con arrastre serie. * Circuito sumador-restador. * Sumador BCD. * Unidad aritmético lógica (ALU). Bibliografía básica * M. Morris Mano y Charles R. Kime: Cap 5 * V. P. Nelson et al: Cap 4.6/8 * C.H. Roth: Caps 4, 8 * J. Wakerly: Cap 5. * C. Baena et al: Cap 6 Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos

2 GENERALIDADES SOBRE ARITMÉTICA DIGITAL Los principales rasgos distintivos de la Aritmética digital frente a la Aritmética de papel y lápiz son: La base del sistema de numeración es B = 2 (binaria). Aunque no siempre, también la aritmética a utilizar es la binaria. La forma de representar números con signo normalmente no es con signo-magnitud, sino a través de los complementos (a 2 o a ). El número de bits de los datos está acotado, lo que introduce errores de desbordamiento, de precisión y de cumplimiento de propiedades algebraicas (las operaciones se vuelven no-cerradas y pueden incumplirse las propiedades asociativas y distributiva). Los circuitos aritméticos son muy importantes ya que forman la base del procesado de datos. Así que se le requieren grandes prestaciones (alta velocidad). Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 2

3 ARITMÉTICA BINARIA: suma de magnitudes Semisumador En aritmética binaria la suma de dos bits, a i + b i, es: a i + b i = (C i+ S i ) (2 siendo C i+ el acarreo y S i la suma. El circuito que suma dos bits es el Half Adder (HA) o semisumador a i b i C i+ S i a i b i HA C i+ = a i b i S i = a i b i S i C i+ a i b i a i b i & = C i+ S i Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 3

4 Sumador Completo Salvo en la columna LSB (Least Significative Bit), al sumar 2 datos binarios hay que sumar 3 bits: uno de cada sumando y el acarreado desde la columna anterior. Esta suma es: a i + b i + C i = (C i+ S i ) (2 El circuito correspondiente es el Full Adder (FA) o sumador completo a i b i C i C i+ S i a i b i C i FA S i C i+ C i+ = a i b i + a i C i + b i C i S i = a i b i C i Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 4

5 REALIZACIONES DE SUMADOR COMPLETO a i b i HA S i C i+ HA S i C i+ S i C i > C i+ C i C i S i a i = = b i C i a i b i & S i C i C i C i C i+ a i & & C C i i+ a i b i b i C i & Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 5

6 SUMA DE MAGNITUDES DE n BITS Prácticamente siempre se suman 2 números (A + B), siendo muy raro sumar tres (A + B + C) o más. La suma de números naturales y en punto fijo es idéntica. En la columna menos significativa no hay acarreo (C LSB = ); en los circuitos sumadores a ese acarreo se le denomina de entrada, C in. Tras acabar los n bits de los números se origina un acarreo de salida (C out ). Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 6

7 El acarreo de salida sirve como testigo de si ha habido desbordamiento en la suma: * Si C out =, el resultado está bien: S n- - S = A + B * Si C out =, el resultado está mal: S n- - S A + B. C out C n-... C 2 C C = C in A n-... A 2 A A + B n-... B 2 B B Acarreos C i A B () + Acarreos C i A B S n-... S 2 S S OK! En caso de desbordamiento, el resultado correcto está en el número de n+ bits: C out S n- - S = A + B () + A B A + B = A + B Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 7

8 SUMADORES DE 2 MAGNITUDES DE n BITS El de menor hardware es el SUMADOR SERIE t +... () Acarreos C i A B...,,,...,,, a i b i C i FA C i+ S i...,,, ()...,, (EM: Elemento de Memoria)... pero es muy lento: n ciclos de reloj aproximadamente in EM out...,,, Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 8

9 SUMADOR PARALELO CON ACARREO SERIE Es el más intuitivo, tiene un coste razonablemente bajo y es mucho más rápido que el sumador serie C out B S A C in a n- b n- C n- a 2 b 2 C 2 a b C a b C = C in FA.... FA FA FA C out = C n S n- C 3 S 2 C 2 S C S Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 9

10 ... pero,aunque mucho más rápido que el sumador serie, también es lento debido a la propagación serie del acarreo a n- b n- C n- a 2 b 2 C 2 a b C a b C = C in FA.... FA FA FA C out = C n S n- C 3 S 2 C 2 S C S t suma = t propcn- + t Sn- = (n-) t propci + t Si El tiempo que tarda en realizarse una suma crece linealmente con el número de bits. (El valor concreto depende de la realización del FA, ver Realizaciones de Sumador Completo en pág. 5) Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos

11 SUMADOR PARALELO CON ACARREO ANTICIPADO El Sumador Paralelo con Acarreo Anticipado (Look Ahead Carry, LAC) es muy rápido porque evita la propagación del acarreo. No se basa en las ecuaciones directas para C i+ y S i, sino en dos funciones llamadas de generación (G i ) y de propagación de acarreo (P i ). Para cada bit i (i =,, 2,...): * G i indica si en esa columna se genera un acarreo, por ser a i + b i = + (a i b i = ) * P i indica si en esa columna se propaga el acarreo que le llegue; cuando a i + b i = (a i b i = o ), se cumple que C i+ = C i Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos

12 De esta forma, las ecuaciones del sumador son: G i = a i b i P i = a i b i S i = P i C i C i + = G i + P i C i C = G + P C C 2 = G + P C = G + P G + P P C C 3 = G 2 + P 2 C 2 = G 2 + P 2 G + P 2 P G + P 2 P P C C 4 = G 3 + P 3 C 3 = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G + P 3 P 2 P G + P 3 P 2 P P C Así, todos los C i+ se obtienen simultáneamente en dos niveles de puertas. El tiempo de la suma se hace independiente del número de bits: t suma = t propci + t Si = (max(t Gi, t Pi ) + t Ci ) + t XOR = (t XOR + t AND +t OR ) + t XOR Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 2

13 a i b i Ci a i b i Ci = = & S i P i G i P i S i G i Sumador paralelo de 4 bits con acarreo adelantado C S C a P & > C P b G G C a b S P G C P P P G G & & > C 2 C 2 a 2 S 2 P 2 C P 2 P P & b 2 G 2 P 2 P G & > C 3 C 3 S 3 P 2 G & a 3 P 3 G 2 b 3 G 3 P 3 & > C out G 3 Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 3

14 GENERALIZACIÓN Problema del sumador anterior: las puertas que se necesitan crecen tanto en fan-in y en fan-out que se vuelven ineficientes. Por ello los sumadores con LAC se hacen para pocos bits, creciéndose a partir de ellos; p. ej., para 4 bits... La idea del acarreo anticipado se generaliza desde el concepto de bit (G i y P i ) al de generación y propagación por grupos de bits, p. ej. G(3-) y P(3-): G( 3 ) = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G + P 3 P 2 P G P( 3 ) = P 3 P 2 P P C 4 = G( 3 ) + P( 3 ) C C 4 se obtiene en dos niveles a partir de las nuevas G(3-) y P(3-) y el acarreo de entrada C. Las nuevas funciones G(3-) y P(3-) se realizan en dos niveles en el sumador. Un circuito LAC, que es una generalización del anterior circuito en dos niveles a nivel de bit, proporciona los acarreos de salida de grupo. Los sumadores con acarreo anticipado se asocian con acarreo serie de uno al siguiente o usando un circuito LAC Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 4

15 Sumador de 6 bits con acarreo serie entre cada sumador de 4 bits b 5-2 a 5-2 b -8 a C 6 sumador de 4 bits C 2 sumador de 4 bits C8 con arrastre anticipado con arrastre anticipado b 7-4 a sumador de 4 bits C 4 con arrastre anticipado b 3- a sumador de 4 bits con arrastre anticipado C = S 5-2 P(5-2)G(5-2) S -8 P(-8) G(-8) S 7-4 P(7-4) G(7-4) S 3- P(3-) G(3-) b 5-2 a b -8 a b 7-4 a b 3- a Sumador de 6 bits con LAC C 6 sumador de 4 bits C 2 sumador de 4 bits C8 sumador de 4 bits C 4 sumador de 4 bits con arrastre anticipado con arrastre anticipado con arrastre anticipado con arrastre anticipado C = S 5-2 S -8 S 7-4 S 3- P(5-2) G(5-2) P(-8) G(-8) P(7-4) G(7-4) P(3-) G(3-) Unidad de arrastre anticipado (LAC) Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 5

16 ARITMÉTICA BINARIA para suma de números con signo Con papel y lápiz se representan en signo-magnitud y operamos con ellos En binario pueden representarse así, pero las operaciones no resultan eficientes. Los números con signo también se representan en notaciones basadas en complementos, que en binario dan operaciones eficientes. En ellas los números: positivos se representan por M (2 negativos: Complemento a : el negativo es el complemento a (NOT) del positivo NOT ( ) = Complemento a 2: el negativo es el complemento a 2 del positivo Ca2 ( ) = Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 6

17 SUMA EN COMPLEMENTO A 2 La suma de dos números representados en complemento a 2 es MUY EFICIENTE ya que se realiza con un sumador de magnitudes, como si los números fueran sin signo, sin considerar el acarreo de salida. C out A + S B C in C out C in Sin signo: A = 9 B = 5 S = 4 C a 2: A = - () = -7 B = 5 S = - () = - 2 Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 7

18 RESTA La resta de magnitudes sigue un proceso análogo al de la suma: El semirestador resta de un bit minuendo (a i ) menos otro bit sustraendo (b i ), generando a la columna siguiente la petición de una unidad (Bw i+ ) si a i = y b i = a i - b i = (Bw i+ R i ) (2 a i b i Bw i+ R i Bw i+ = a i b i R i = a i b i El restador completo resta, además, la petición generada a esa columna, Bw i : (a i - Bw i ) - b i = (Bw i+ R i ) (2 aunque en la práctica esto se hace añadiendo (Bw i ) al sustraendo (me llevo ) (a i - Bw i ) - b i = a i - (b i + Bw i ) = (Bw i+ R i ) (2 Ahora se obtienen las ecuaciones y circuitos similares a los del FA (ver Sumador Completo en pág. 4) Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 8

19 La resta de magnitudes de n bits es una extensión del caso de la suma. La resta de magnitudes de n bits no tiene problemas de desbordamiento pues el resultado siempre es menor que los datos. Pero si el minuendo es menor que el sustraendo, el resultado es un número negativo (no es una magnitud): la resta de magnitudes no es una operación cerrada y en ese caso se necesita una notación de números con signo. El Bw out actúa como testigo de la resta: Si Bw out =, el resultado es correcto () Bw 9-7 = 2 OK- Si Bw out =, el resultado correcto está formado por Bw out R n-... R interpretado como número con signo bajo la notación basada en complemento a 2. () Bw 7-9 = Ca2( ) = - 2 Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 9

20 La resta de números con signo se reduce a sumas (en todos los casos) En general, A - B = A + (-B) Sumador/Restador en C a 2: B A, B (s) (r) s/r A Complementador de n bits Y C B -B C out Sumador paralelo de n bits C in s/r S = A + B S Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 2

21 El circuito complementador es simplemente una colección de XOR: C Y= B B B Complementador de n bits Y C B n- Y n- = B n-2 Y n-2 =... B Y = C Como A y B son números con signo, se añade un bit de salida V (overflow) para que el desbordamiento sea observable: V = S = A + B V out = S A + B donde V = (s/r) (A n- B n- S n- + A n- B n- S n- ) + (s/r) (A n- B n- S n- + A n- B n- S n- ) o, simplemente, V = C out C n- Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 2

22 Así, el sumador/restador queda como: CIRCUITOS ARITMÉTICOS a n- b n- a n-2 b n-2 C out V A +/- S B s/r Bit de Signo (en su caso) C n = C out C n- C n-2 FA FA... V = C out C n- Siendo A y B datos representables, se produce desbordamiento cuando el valor de A + B no cabe en S: = V S n- S n-2 ) Si son magnitudes, vale la suma (s/r = ) y se ve C out 2) Si son números con signo en Ca2, vale la suma y la resta y se ve V 3) Si hay desbordamiento, el valor correcto está en los (n+) bits: C out S n-... S Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 22

23 Sumador BCD OBJETIVO: Realizar la suma en aritmética decimal pero usando bits Sumar BCD Decimal Ejemplo Ejemplo 2 BCD 93 en código BCD acarreo decimal 93 en código BCD Sumador de p dígitos Etapa i completa (~ FA) K p K p-... K M p-... M M N p-... N N Σ p-... Σ Σ M i + N i + K i = (K i+ Σ i ) K i+ M i Σi N i K i Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 23

24 Diseño etapa i completa BCD Mi 3- Ni 3- Suma decimal suma binaria suma BCD M i + N i + K i C out S 3 S 2 S S K out Σ 3 Σ 2 Σ Σ & > S 2 S 3 & S C out sum. binario K de 4 bits in S 3-4 sum. binario C in = de 4 bits K out 4 Σi 3- Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 24

25 ALU (Arithmetic-Logic Unit): La Unidad Aritmético-Lógica Es el circuito donde se realiza el procesado de datos Procesado: operaciones aritméticas y lógicas. Normalmente como máximo se opera sobre dos datos Usualmente pueden realizar diversas operaciones. Para escogerlas se incluyen unas señales de selección Además de las salidas que muestran el resultado de la operación, se incluyen otras salidas (flags) de estado o de condición. Típicamente son C out, V, Z (Z= si el resultado es ) y S (signo) A = a n-...a B = b n-...b n n Señales de selección: S k-...s k ALU m salidas de estado C in n F = f n-...f Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 25

26 Un ejemplo es: A B S 2 S S C in ALU [n] C out V Z S F C out : Acarreo de salida V: Overflow (desbordamiento); V = C n C n- Z: Zero (Z= sii F=); Z = NOR (F o,f,...) S: Sign; S = F n- S 2 S S Función ALU C in = C in = F = A Transfiere F = A + Incrementa F = A+ B Suma F = A + B + Suma con acarreo F = A - B - Resta y decrementa F = A - B Resta F = A - Decrementa F = A Transfiere F = A B A B: OR F = A B: XOR F = A & B A B A ^ B: AND F = A: NOT Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 26

27 REALIZACIÓN DE ALU Se separan las partes Aritmética y Lógica. Cada una de ellas n-plica la etapa de un bit. A i B i C i LU i AU i C i+ S S F LUi F AUi S 2 F i Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 27

28 Diseño de la Unidad Lógica Son n etapas i=,, 2,..., n- S 2 S S Función ALU OR XOR AND NOT (A) A i B i A i B i A i > = & 2 F LUi B i A i 3 S S Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 28

29 Diseño de la Unidad Aritmética A A C Sumador out C in = paralelo C Sumador out C in = paralelo S S Función ALU C in = C in = F = A F = A + F = A+ B F = A + B + F = A - B - F = A - B F = A - F = A F = A A B C Sumador out C in = paralelo F = A+B A B C Sumador out C in = paralelo F = A+ A B C Sumador out C in = paralelo F = A+B+ A B C Sumador out C in = paralelo F = A+B A Todo s F = A+B+ A Todo s C Sumador out C in = paralelo F = A- C Sumador out C in = paralelo F = A Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 29

30 Realización de U.A. con: ) Sumador paralelo y 2) FA S S Entradas al Sumador paralelo IN A = IN B = (F: False) A B B... (T: True) B S S A F-B-B-T S S A i B i C out Sumador paralelo F C in C i + FA F i C i Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 3

31 Interpretación del valor de C out S S C in F C out A, siempre A + sii A =... (M A = 2 n -) A + B sii M A + M B > 2 n A + B + sii M A + M B > 2 n - A - B - sii M A > M B A - B sii M A > M B A - sii M A A siempre M A representa el valor del dato A tomado como magnitud (lo mismo para M B respecto a B) Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 3

32 Un ejemplo de ALU comercial: tipo CI S S S C out OVR C in A A A 2 A 3 B B B 2 B F F F 2 F 3 S 2 S S C in = C in = F = F = F = B - A - F = B - A F = A - B - F = A - B F = A + B F = A + B + F = A B [XOR] F = A B [OR] F = A B [AND] 2 A 3: B 3: V F = C in F 3: C out Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 32

33 Aplicación de como Sumador de magnitudes de 8 bits: S = P + Q P7: Q7: S 2 S S = F = A + B + C in C = P3: Q3: P7:4 Q7:4 2 A 3: B 3: V C in F 3: C out 2 A 3: B 3: V C in F 3: C out V Cout S3: S7:4 S7: Ejercicio : Interpretar qué ocurre si P = $34 y Q = $BC Ejercicio 2: Interpretar qué ocurre si P = $69 y Q = $BC Ejercicio 3: Indique cómo hay que sumar P y Q si ambos con números con signo en Ca2 Ejercicio 4: Interpretar los casos y 2 si P y Q son números con signo en Ca2 Ejercicio 5: Basado en lo anterior, indique cómo usar el circuito de la figura Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 33

34 Aplicaciones de la ALU diseñada Comparador de magnitudes, M y N Método: Comparamos restando ambos datos. Problema: La ALU diseñada no resta magnitudes sino que, al restar A - B, lo que hace es M A + 2 n - M B. Por tanto, hacer M - N el resultado será: cero si son iguales; si M > N, dará C out = ; y si M < N, dará C out = F = A - B S 2 S S = y C in = M N S 2 S S C in A B ALU [n] C out V Z S F C out Z Z C out M N - = > < Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 34

35 Aplicaciones de la ALU diseñada Comparador de números con signo, M y N Método: Comparamos restando ambos datos. Como la ALU diseñada resta números con signo en Ca2, si no hay overflow, la resta dará si M = N, dará positivo si M > N y dará negativo si M < N. Problema si hay overflow. En este caso y si M N, ocurre al revés. F = A - B S 2 S S = y C in = En función del resultado En función de los datos M N S 2 S S C in A B ALU [n] C out V Z S F V Z S Z V S M N - - = > < < > M N Z V S > = - - < Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 35

36 Aplicaciones de la ALU diseñada Conocer el valor de un bit, p. ej. D 3 Método: Aislar el bit deseado operando con una constante. P. ej.: Operamos AND el dato D y la constante...; el resultado será...d 3 F = A ^ B S 2 S S = y C in = φ D K =... S 2 S S C in A B ALU [n] C out V Z S F Z Z D 3 D 3 = Z Dpto. Tecnología Electrónica, U. Sevilla. Fundamentos de Computadores Circuitos Aritméticos 36

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