LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS. álgebra computacional LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS. álgebra computacional LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS

Transcripción

1 6. bibliografía CONTENIDO Definición de [G8.1]. Estructuras algebraicas: monoides, semigrupos, grupos, [G8.1], anillos, cuerpos [H10.1]. Subgrupos, isomorfismo entre grupos [G8.1]. Álgebras concretas y abstractas [H10.3]. Álgebras cocientes y homomorfismos canónicos [H10.5]. Álgebras de Boole [G7.1]. Circuitos digitales [H10.2]. GERSTING, JUDITH L. Mathematical Structures for Computer Science: A Modern Approach to Discrete Mathematics. W H Freeman & Co, HEIN, JAMES. Discrete Structures, Logic and Computability. Jones and Bartlett Publishers Un es una estructura consistente de un conjunto no vacío junto con una o mas operaciones definidas sobre dicho conjunto. s [R;+,-,*,/] [Q;+,-,*,/] [R;+,-,*,/,1,0] [N;succ,0] [ (S);, ] [R[x];+,*,0,1] En la literatura se puede encontrar una definición más general de : Un es una estructura consistente de uno o más conjuntos no vacíos junto con una o mas operaciones definidas sobre dichos conjuntos. El vectorial: [R,R n ;*,+] donde * se define de R X R n R n Sea S un conjunto y sea una operación binaria sobre S. La operación es asociativa si ( x)( y)( z)[x (y z) = (x y) z] La operación es conmutativa si ( x)( y)(x y = y x) [S, ] tiene elemento identidad si ( i)( x)(x i = i x = x) Si [S, ] tiene un elemento identidad i, entonces se dice que cada elemento en S tiene un inverso con respecto a i si ( x)( x 1 )(x x 1 = x 1 x = i ) [S, ] es un grupo si S es un conjunto no vacío y es una operación binaria sobre S tal que 1. es asociativa 2. existe un elemento identidad (en S) 3. cada elemento en S tiene inverso (en S) con respecto a Un grupo en el cual la operación es conmutativa se llama grupo conmutativo.

2 Sea R + el conjunto de los números reales positivos y sea la operación de multiplicación sobre reales positivos. Entonces [R +, ] es un grupo conmutativo: La multiplicación es asociativa y conmutativa. El número real positivo 1 sirve de identidad x 1 = 1 x = x. Todo x en R + tiene inverso en R + 1/x, porque x 1/x = 1/x x = 1 [S, ] es un monoide si S es un conjunto no vacío y es una operación binaria sobre S tal que 1. es asociativa 2. existe un elemento identidad (en S) Mostar que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos a y b con la operación binaria de concatenación es un monoide. resultados básicos sobre grupos [S, ] es un semigrupo si S es un conjunto no vacío y es una operación binaria sobre S tal que 1. es asociativa Mostar que el conjunto de los enteros positivos pares con multiplicación es un semigrupo conmutativo. Mostrar que no es monoide. s Probar las siguientes propiedades: 1. En cualquier grupo (o monoide) [G, ], el elemento identidad i es único. 2. Para cada x en un grupo [G, ], x 1 es único. 3. Dados x e y miembros de un grupo [G, ], (x y) 1 = y 1 x 1. Un conjunto S con una operación binaria satisface la ley de cancelación a derecha si para x, y, z S, x z = y z implica x = y. Satisface la ley de cancelación a izquierda si z x = z y implica x = y. Probar que todo grupo [G, ] satisface las leyes de cancelación a izquierda y a derecha. Un anillo es un [A;+, ] donde [A;+] es un grupo conmutativo, [A; ] es un monoide, y la operación es distributiva (a izquierda y a derecha) sobre +. s [Z;+,*] [R[x];+,*] [M n (R); +,*]

3 subgrupos Un cuerpo es un anillo [A;+, ] donde además se satisface que [A-{0}; ] es un grupo conmutativo, donde 0 es la identidad para [A,+]. s [Q,+,*] [N 5,+ 5,* 5 ] Sea [G, ] un grupo y A G. Entonces [A, ] es un subgrupo de [G, ] si [A, ] es un grupo. Sea [G, ] un grupo con identidad i y A G, [A, ] es un subgrupo de [G, ] si: A es cerrado bajo. i A. Todo x A tiene inverso en A. homomorfismos e isomorfismos s de Boole Sean [S, ] y [T, +] grupos. Un mapeo f: S T es un homomorfismo de [S, ] a [T, +] si para todo x, y S, f (x y) =f (x) + f (y). Sean [S, ] y [T, +] grupos. Un mapeo f: S T es un isomorfismo de [S, ] a [T, +] si 1. la función f es una biyección. 2. para todo x, y S, f (x y)= f (x) + f (y). Un de Boole es un conjunto B sobre el cual están definidas dos operaciones binarias: + y, una operación unaria, y se distinguen dos elementos 0 y 1 tal que las siguientes propiedades se verifican para todo x, y, z B: x+y=y+x x y=y x conmutativa (x+y)+z=x+(y+z) (x y) z=x (y z) asociativa x+(y z)=(x+y) (x+z) x (y+z)=(x y)+(x z) distributiva x+0=x x 1=x identidad x+x =1 x x =0 complemento s de Boole s de Boole La formalización de una estructura de de Boole nos ayuda a focalizarnos en las características esenciales comunes a todos los ejemplos de s de Boole, permitiéndonos utilizar estas características para probar otras características. Denotaremos a las algebras de Boole [B, +,,, 0, 1]. Considere los siguientes conjuntos S 1 = {1,2,3,5,6,10,15,30} S 2 = ({1,2,3}) S 3 = ({P 1, P 2, P 3, P 4 }) donde las P i s son sentencias (proposiciones). Proponer operaciones binarias, unarias y elementos 0 y 1 para definir s de Boole en base a los conjuntos S 1,S 2 y S 3.

4 s de Boole elementos lógicos básicos s Probar que la propiedad de idempotencia, es decir x +x =x, se verifica para toda de Boole. Para un elemento x de un de Boole el elemento x se denomina el complemento de x. El complemento de x satisface: x +x = 1 y x x = 0. Probar que en un de Boole el complemento de x es único. Una compuerta lógica (logic gate) es un dispositivo electrónico que es la expresión física de un operador booleano. compuerta OR compuerta AND inversor expresiones booleana redes y expresiones Una expresión booleana con n variables, x 1, x 2,..., x n, es una cadena finita de símbolos formada aplicando las siguientes reglas: 1. x 1, x 2,..., x n son expresiones boolenas 2. Si P y Q son expresiones booleanas, también lo son (P + Q), (P Q), y (P ). s x 3, (x 1 + x 2 ) x 3, (x 1 x 3 + x 4 )x 2, y (x 1 x 2 ) x 1 Combinando compuertas AND, OR e inversores, podemos construir una red lógica que represente cualquier función. Red lógica para la expresión Booleana x 1 x 2 + x 3 : redes y expresiones redes y expresiones Red lógica para la expresión Booleana (x 1 x 2 + x 3 ) + x 3 Dar la expresión Booleana para la siguiente red lógica:

5 formas canónicas suma Suma de productos Expresión para suma de dígitos binarios (s=suma, c= acarreo) s = x 1 x 2 + x 1 x 2 (s = (x 1 + x 2 )(x 1 x 2 ) ) c = x 1 x 2 half-adder full-adder Un full-adder está formado por dos half-adders y una compuerta OR adicional. otros elementos lógicos otros elementos lógicos Compuerta NAND. Las compuertas NAND son suficientes para expresar cualquier función de verdad

6 otros elementos lógicos Compuerta NOR Mostrar que las compuertas NOR son suficientes para expresar cualquier función de verdad.