PRÁCTICA No. 13 ÁRBOL BINARIO DE BÚSQUEDA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARIA ACADÉMICA DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR ESIME CULHUACAN NOMBRE ALUMNO: FECHA DIA MES AÑO INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN ASIGNATURA 1. Objetivo Apellido paterno ESTRUCTURAS DE DATOS Apellido materno PROFESOR Nombre (s) No. BOLETA GRUPO M. en C. BEATRIZ EUGENIA CORONA RAMÍREZ PRÁCTICA No. 13 ÁRBOL BINARIO DE BÚSQUEDA El alumno usará la estructura de datos árbol binario, efectuará operaciones fundamentales como creación de un nodo, inserción de un nodo, eliminación de un nodo, balanceo de un árbol, etc. 2. Material y Equipo Computadora, Compilador C y/o Java y unidad de almacenamiento (USB) 3. Introducción teórica Árboles Los árboles son las estructuras de datos no lineales y dinámicas de dato más importantes del área de computación. Dinámicas puesto que las mismas pueden cambiar tanto de forma como de tamaño durante la ejecución del programa. No lineales, puesto que cada elemento del árbol puede tener más de un sucesor. Árboles binarios de búsqueda Su principal característica es que almacena la información cuidando que se cumpla cierto orden. Formalmente se define un árbol binario de búsqueda como sigue: Para todo nodo T del árbol se debe cumplir que todos los valores almacenados en el subárbol izquierdo de T sean menores o iguales a la información guardada en el nodo T. 156

2 De forma similar todos los valores almacenados en el subárbol derecho de T deben ser mayores o iguales a la información guardada en el T. El árbol binario de búsqueda es una estructura de datos sobre la cual se pueden realizar eficientemente las operaciones de búsqueda, inserción y eliminación. Comparando esta estructura con otras, se pueden observar ciertas ventajas. Por ejemplo, en un arreglo es posible localizar datos eficientemente si éstos se encuentran ordenados, pero las operaciones de inserción y eliminación resultan costosas, por que involucran movimiento de los elementos dentro del arreglo. En las listas por otra parte, dichas operaciones se pueden llevar a cabo con facilidad, pero la operación de búsqueda, en este caso, es una operación que demanda recursos, pudiendo incluso requerir recorrer todos los elementos de ella para llegar a uno en particular. Inserción en un árbol binario de búsqueda La inserción en un árbol binario de búsqueda, es una operación que se puede realizar eficientemente en este tipo de estructuras de datos. La estructura crece conforme se insertan elementos al árbol. Los pasos que se deben realizar para agregar un nuevo nodo a un árbol binario de búsqueda son los siguientes: 1. Comparar la clave a insertar con la raíz del árbol. Si es mayor, se sigue con el subárbol derecho. Si es menor, se continúa con el subárbol izquierdo. 2. Repetir sucesivamente el paso 1 hasta que se cumpla alguna de las siguientes condiciones: 2.1 El subárbol derecho, o el subárbol izquierdo, es igual a vacío, en cuyo caso se procederá a insertar el elemento en el lugar que le corresponde. 2.2 La clave que se quiere insertar está en el nodo analizado, por lo tanto no se lleva a cabo la inserción. Este caso es válido sólo cuando la aplicación exige que no se repitan elementos. Supongamos que se quieren insertar la siguiente información en un árbol binario de búsqueda que se encuentre vacío: Los resultados parciales se muestran a continuación después de cada una de las inserciones. El nodo raíz es el que contiene la información igual a

3 158

4 Inserción_ABB(NODO,INFOR) Este algoritmo realiza la inserción de un nodo en un árbol binario de búsqueda. NODO es una variable de tipo puntero y la primera vez debe ser distinta de vacío. INFOR es un parámetro de tipo entero que contiene la información que se quiere insertar en un nuevo nodo Se utilizan además, como auxiliar, la variable OTRO de tipo puntero 1. Si (INFOR < NODO^.INFO) Si (NODO^.IZQ = NULL) Crear (OTRO) Se crea un nuevo nodo Hacer OTROˆ.IZQ NULL, OTROˆ.DER NILL, OTROˆ.INFO INFOR NODOˆ.IZQ OTRO Regresar a Inserción_ABB con NODOˆ.IZQ e INFOR Llamada recursiva Fin del condicional del paso 1.1 Si (INFOR > NODOˆ.INFO) Si (NODO^.DER = NULL) Crear (OTRO) Se crea un nuevo nodo Hacer OTROˆ.IZQ NULL, OTROˆ.DER NILL, OTROˆ.INFO INFOR NODOˆ.DER OTRO Regresar a Inserción_ABB con NODOˆ.DER e INFOR Llamada recursiva Fin del condicional del paso

5 Escribir El nodo ya se encuentra en el árbol 1.4 Fin del condicional del paso Fin del condicional del paso 1 Búsqueda_ABB(NODO, INFOR) El algoritmo localiza el nodo del árbol binario de búsqueda que contiene cierta información INFOR parámetro de tipo entero. NODO es una variable de tipo enlace. La primera vez apunta a la raíz del árbol 1. Si (NODO NULL) Si (INFOR < NODO > INFO) Regresar a Busqueda_ABB con NODO >IZQ e INFOR Llamada recursiva Si (INFOR > NODO >INFO) Regresar a Busqueda_ABB con NODO >DER e INFOR Llamada recursiva Escribir La información se encuentra en el árbol Fin del condicional del paso Fin del condicional del paso 1.1 Escribir La información no se encuentra en el árbol 2. Fin del condicional del paso1 160

6 Eliminación en un árbol binario de búsqueda 1. Si el elemento a eliminar es terminal u hoja, simplemente se suprime redefiniendo el puntero de su predecesor. 2. Si el elemento a eliminar tiene un solo descendiente, entonces tiene que sustituirse por ese descendiente. 3. Si el elemento a eliminar tiene los dos descendientes, entonces se tiene que sustituir por el nodo que se encuentra más a la izquierda en el subárbol derecho o por el nodo que se encuentra más a la derecha en el subárbol izquierdo. Eliminación_ABB(NODO, infor) El algoritmo realiza la eliminación de un elemento en un árbol binario de búsqueda. NODO es una variable por referencia, de tipo enlace. Infor es un parámetro de tipo entero que contiene la información del nodo que se desea eliminar. AUX, AUX1 y OTRO son variables de tipo puntero y BO es una variable entera. 1. Si (NODO NULL) 1.1 Si (infor < NODO >info) Regresar a Eliminación_ABB(NODO >izq, infor) Si (infor > NODO >info) Regresar a Eliminación_ABB(NODO >der, infor) Hacer OTRO = NODO Si (OTRO >der = NULL NODO = OTRO >izq Si(OTRO >izq=null) NODO=OTRO >der 161

7 AUX=NODO >izq y BO = A Mientras (AUX >der NULL) Repetir Hacer AUX1 = AUX AUX = AUX >der BO = B Fin del ciclo del paso A Hacer NODO >info = AUX >info OTRO =AUX C Si (BO = 1) Hacer AUX1 >der = AUX >izq D Fin del condicional del paso C Fin del conficional del paso Fin del condicional del paso Quitar (OTRO) Fin del concicional del paso Fin del concicional del paso 1.1 sino Escribir La información a eliminar no se encuentra en el nodo 2. Fin del condicional del psao 1 162

8 4. Desarrollo Construya en programa que despliegue un Menu en el cual las opciones se pueden seleccionar las veces que sea necesario. Las opciones del menu son: Insertar, Eliminar, Buscar, Recorridos y Salir. Dichas funciones son para el uso de los árboles de búsqueda binaria. #include<iostream.h> #include<stdlib.h> void crea_abb(struct abb *, int); void elimina(struct abb *, int,struct abb *); void busqueda(struct abb *, int); void pre_orden(struct abb *); void in_orden(struct abb *); void pos_orden(struct abb *); struct abb int info; struct abb *izq, *der; ; void main() struct abb *raiz; int resp,dato,opc,n=1,r; while(1) cout<<"m E N U\n1)Insertar\n2)Eliminar\n3)Recorrido\n4)Busqueda\n5)Salir\nSeleccione una opcion: "; cin>>opc; switch(opc) case 1: if(n==1) raiz=new(abb); raiz >izq=null; raiz >der=null; n++; cout<<"tecle el valor del nodo: "; cin>>dato; crea_abb(raiz,dato); break; case 2: cout<<"teclea el dato a eliminar: "; cout<<"teclea el valor del nodo raiz: "; cin>>raiz >info; cin>>dato; elimina(raiz,dato,raiz); break; case 3: cout<<"recorridos\n1)pre_orden\n2)in_orden\n3)post_orden\nselecciona un recorrido: "; cin>>r; switch(r) case 1: pre_orden(raiz); break; case 2: in_orden(raiz); break; case 3: pos_orden(raiz); break; break; case 4: cout<<"teclea el dato a buscar: "; cin>>dato; busqueda(raiz,dato); break; case 5: exit(0); break; 163

9 void crea_abb(struct abb *nodo, int x) struct abb *nuevo; if(x < nodo->info) if(nodo->izq == NULL) nuevo=new(abb); nuevo->izq=null; void pre_orden(struct abb *nodo) if(nodo!= NULL) cout<< nodo->info<<" "; pre_orden(nodo->izq); pre_orden(nodo->der); nuevo->der=null; nuevo->info=x; nodo->izq=nuevo; crea_abb(nodo->izq,x); void in_orden(struct abb *nodo) if(nodo!= NULL) in_orden(nodo->izq); if(x > nodo->info) if(nodo->der == NULL) nuevo=new(abb); nuevo->izq=null; nuevo->der=null; nuevo->info=x; nodo->der=nuevo; crea_abb(nodo->der,x); 164

10 void elimina(struct abb *nodo, int x,struct abb *nodo2) struct abb *otro, *aux, *aux1; int BO; if(nodo!=null) if(x < nodo->info) nodo2=nodo; elimina(nodo->izq,x,nodo2); if(x > nodo->info) nodo2=nodo; elimina(nodo->der,x,nodo2); otro=nodo; if(otro->der == NULL) nodo=otro->izq; if(otro->izq==null) nodo2->izq=null; if(otro->izq==null) nodo=otro->der; 165

11 5. Cuestionario [Trabajo complementario] 1. Mencione en donde se pueden aplicar la implementación y funcionamiento de los árboles de búsqueda binaria. 2. Liste las ventajas de este tipo de estructuras Vs. árboles binarios. 6. Conclusiones 166

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