Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 2009

Transcripción

1 Matemática: Teórico 009 Seguramente el lector ya conoce estructuras numéricas, naturales, enteros, racionales. Sus diferencias y carencias. Qué hizo necesario la creación de una estructura aún más amlia que los racionales? Lo mostraremos con el siguiente ejemlo. Consideremos un cuadrado de lado 1 (unidad cualquiera). Queremos calcular una de sus diagonales (L). Alicando Pitágoras tendríamos: L = 1 1 L = Si L Q L =, siendo y q enteros, rimos entre sí (fracción irreducible). q Ahora L = = = = q es ar es ar = t ; t Z q q En consecuencia tendremos que : = 4t. Como = 4t q = 4t = q q = t q es ar q es ar Por lo tanto si L = erteneciera al conjunto de los racionales, sería ar y q también, esto sería contradictorio con lo suuesto, q y q eran rimos entre sí. Concluimos que no existe racional que elevado al cuadrado sea. El conjunto de los racionales no nos ermite medir la longitud de la diagonal de un cuadrado. De aquí la imortancia de disoner de una estructura que nos ermita medir cualquier longitud u otra magnitud escalar. Al número, razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado, se le denominó irracional, al no oder exresarse como cociente de dos números enteros. Para cubrir este y otros inconvenientes es que resentamos a los números reales El camino que seguiremos es el de artir directamente de los números reales y considerar a los naturales, enteros y racionales como subestructuras de los reales. Existe un conjunto de números llamados reales en el que están definidas oeraciones: Adición () y multilicación ( ). Esta estructura se indica así: (R,, ) (Axioma de Cuero) Sean a, b y c reales cualesquiera. Proiedades Adición () Multilicación (. ) Conmutativa A1 a b = b a M1 a.b =b.a Asociativa A... M... Existencia del neutro Existencia del simétrico A3 ( 0), 0 R tal que: a 0 = 0 a = a A4 (Ouesto) M3... M4 (Inverso) ( a), a R y a 0, ( 1/a), 1/a R tal que: a.1/a = (1/a).a = 1 Distributiva D... Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009

2 Matemática: Teórico 009 A artir de esta estructura se desrenden varias roiedades, algunas de las cuales robaremos. 1 Monotonía de la suma: Si a = b a c = b c Resolver en R. (Justifica la roiedad alicada) x 4 = 9 Monotonía de la multilicación: Si a = b a. c = b. c Resolver en R. (Justifica la roiedad alicada) 4.x = 8 3 Proiedad cancelativa ( ): Si a c = b c a = b Dem) a c= b c ( a c) ( c) = ( b c) ( c) a ( c ( c)) = b ( c ( c)) a 0 = b 0 a= b Resolver en R x x 4 = 3 x Proiedad cancelativa (. ) a. c = b. c a = b c 0 Dem)... Resolver en R: 4x = 1 4x= Proiedad de Absorción del roducto. Dem) a.0 = 0, a R a 0 = a= a.1 = a(1 0) = a.1 a.0 = a a.0 a 0 = a a.0 0 = a.0 Justifica las roiedades usadas. Hallar x R ara que: (x 6). (x 1) = (x 6). x Dem) 6 Proiedad Hankeliana (ausencia de divisores de 0) a = 0 ab. = 0 b = 0 Si a = 0, la roosición es verdadera Si a 0, or hiótesis a.b=0 ab. = a.0, con a 0 b=0 or teorema anterior a.0=0 Resolver en R: t 9t = 0 A artir de las oeraciones suma y roducto, se ueden definir otras dos, que son: Diferencia y Cociente. = a (-b) Cociente: a : b = a (1/b), b 0 Diferencia: a b Ejercicios Determina, indicando las roiedades usadas, el conjunto de los números reales x que cumlen: a) x 1 = x 4 b) 3x 5x = 0 c) (x 3). (x 8) = 0 d) (6x 3).x (6x 3) = x. (6x 3) e) x 3 x =0 Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009

3 Matemática: Teórico 009 Qué roiedades se han utilizado en la demostración de la siguiente roiedad? x = y x = y ó x = -y Dem) x = y x (- y ) = 0 (x y). (x (-y)) = 0 x y = 0 x = -y ó x (-y) = 0 x = y Resolver en R, utilizando la roiedad anterior. a) (x ) = 9 b) (x ) = (x 1) Prueba las siguientes roosiciones en (R,, ). a y b son números reales. i) (-a)=a ii) 1 1 a = a iii) (a.b)=(-a).b=a.(-b) iv) (-a).(-b) = a.b Axioma de Orden. Este axioma nos ermite definir los concetos de mayor y menor. Ordenando así el conjunto de números reales. R Reales ositivos. O1) Si a R y b R ( a b) R y (a. b) R. O) Si a 0 a R ó (-a) R O3) 0 R. El siguiente teorema justifica que R no es vacío. Teorema 1 R Dem) Suongamos que 1 R (1 0 or el rimer axioma) ( 1) R (or O) ( 1).( 1) R (or O1). Como ya se robó que (-a).(-b) = a.b (-1).(-1) = 1.1 = 1 1 R, ero suusimos que 1 R contradiciendo así la tesis. Definiciones: 1) a < b (b a) R. ) a > b b < a 3) a b a < b ó a = b. 4) a b b a 1) < es una relación de orden estricto total en R. Cumle: i) a < a (Inidéntica) ii) a < b b </ a (Asimétrica) iii) a< b b< c a< c (Transitiva) iv) Dados a y b números reales, verifican una y solo una de las siguientes roosiciones: a<b ; a = b ; a > b. (Tricotomía) Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009

4 Matemática: Teórico 009 a< b b a R Dem iii) ( oro1)( b a) ( c b) R b< c c b R Como ( b a) ( c b) = c a c a R a< c ) Monotonías de y I) a< b a c< b c a< b II) a c < b d c< d a< b III) a. c b. c < c R a< b IV) ac. bc. > c R b a R DemIII)Por hiótesis a < b ( oro1)( b a). c R c R Como (b-a).c = b.c a.c entonces: bc ac R ac < bc Observación: Las roiedades anteriores nos ermiten robar una serie de teoremas, como or ejemlo Densidad. Podemos además justificar la existencia de nuevos números reales, cosa que el axioma de cuero solamente, no lo ermitía. (Se uede robar que 1 > 0 11>1>0. Al número real 11 lo bautizamos. Así aarece el 3, 4,...). EJERCICIOS 1) Hallar el conjunto de los x reales que verifican la siguiente desigualdad, x 5 > x 3. Detalle las roiedades que utilizó en cada aso. ) Indica con V ó F si son verdaderas ó falsa resectivamente cada una de las siguientes afirmaciones. a) Si x < y entonces x. z < y. z ara todos x, y, z reales (z 0) b) Para todo z real, si z 0 entonces z > 0 c) Si a < b entonces a < b ara todos a y b reales d) Si a y b son reales ositivos, a < b a < b. 3) Hallar el conjunto de los x reales tales que: I) i) 3x < 0 ii) 3x = 0 iii) 3x > 0 II) i) -3x1 < 0 ii) -3x1 = 0 iii) -3x1 > 0 Con las ideas lanteadas en el ejercicio 3 odríamos deducir el signo de f:r R/f(x) = ax b; a y b reales, a 0. En forma esquematizada: 0 sig(axb) -siga siga -b/a Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009

5 Matemática: Teórico 009 Estudiaremos a continuación la resolución en (R; ;.;<) de la ecuación ax bx c = 0, siendo a, b y c reales, a distinto de 0. ax bx c = 0 ax bx = c 4a x 4abx = 4ac 4a x 4abx b = b 4ac Llamando = b -4ac ( ax b) = Como 4a x 4 abx b = ( ax b) Si > 0 b ax b = x = a ( ax b) = ( ax b) = ( ) b ax b = x = a 4 4 En este caso S= b b ac ; b b ac a a Si = 0 b b (ax b) = 0 ax b = 0 x =, entonces: S = a a Si < 0 Como x R,( ax b) 0 / x R/( ax b) = S = { } Observaciones: 1) Utilizamos sin haber definida reviamente raíz cuadrada or motivos rácticos. ) El signo de la exresión (ax bx c) no lo vamos a deducir, escribiremos las conclusiones ya vistas en el curso de 1 EMT a los efectos de la resolución de algunas inecuaciones con las que trabajaremos. Consideramos f : R R / f ( x) = ax bx c, con a, b y c reales, a distinto de 0. Sea = b -4ac 0 0 1) > 0 f admite dos raíces reales α y β (α < β) sig f(x) sig a - sig a sig a α β ) = 0 f admite una sola raíz real α (doble) sig f(x) sig a 0 sig a 3) < 0 f no admite raíces reales sig f(x) sig a α EJERCICIOS 1) Resuelve en (R; ;. ; <) las siguientes ecuaciones. A) a) x(-x)=(1-x)x 4 ; b) (x-1) = 4x(x-1) ; c) (x) =4x ; d) (4 x) = 4x x 6 e) (x-1) =-(x) ( 8 x ) (1 x) 4x B) a) (x-1) =15x-x b) ( x )( x) = c) = 4 4 y y 1 yy ( 1) 1 1 C) a) = y b) x(x-1)=-(x-) c) = (4 x) x 3 d) = 4 Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009

6 Matemática: Teórico 009 ) Resuelve en (R; ;. ; <) las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones A) a) -(-x1) 3x-6 b) 3(-y1)-(y-4)<6y c) (4-y) 1 > (y) B) a) -1 x-6 < 4 b) -40 < -(x-1) < -0 c) 0 > -4(x3) -0 C) a) (1-x) > (x 0,5) b) x-4-x -(8-x) c) 3x-(x ) D) a) (6x 6)x < 0 b) (4x x)(-3x1) 0 c) (-x)(x 4) > 0 E) a) d) 1 9x 3x 3 0 b) 0 x x x 6 ( x 3) ( x 4) 0 e) x 5x 4 x 3x c) < 0 4x 4 x 3 1 x x 1 3) Resuelve en (R; ;. ; <) los siguientes sistemas de inecuaciones x 1 ( x 1) ( x 3) < 0 0 x 3 x x 5 3x > 1 1 x 4) Dada la ecuación x ( m ) x = 0, m R. Determina los valores de m ara que: 4 i) Admita solo una raíz real. ii) Admita dos raíces reales distintas. 1 VALOR ABSOLUTO DE UN REAL Consideremos un número real y. Denominamos valor absoluto de y ( y ) y si y 0 y = y si y < 0 Ejemlos: l3l = 3 l-14l =14 l0l =0 l1 - l = 1 ll1 - πl 3l = l π - 4l = 4 - π Resuelva en R: lxl = 4; lxl <3; lxl > 5 lxl 3; lxl 5 PROPIEDADES. Sean x e y dos reales cualesquiera. 1) lxl 0 ) lxl = 0 x = 0 3) x = x = x 4) x = y x= y x= y 5) lx. yl = lxl. lyl 6) x x = ; y 0 y y 7) x x x Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009

7 Matemática: Teórico 009 8) Siendo r R se cumle que: 9) l x y l lxl lyl (Desigualdad triangular) 10) l x - y l lxl - lyl i) x r r x r ii) x r x r x r Ejercicios 1) Resolver en (R;;.; ): i)l 1 x l < 1 ; ii) l 1 x l 9 ; iii) l x 1 l > ; iv) l x l 5 ) Resolver en (R;;.; ): i) 4x x x 0 ; ii) x 3x ; iii) 3 x x 1 < x x 1 3 3) Resolver en (R;;.; ): i) x x < 6 ; ii) x 1 3 x 1 < 0; iii) x 3x 4 < 1 4) Analiza el valor de verdad de las siguientes roosiciones: i) x< 5 x < 5 ; ii) x 5 < 3< x< 7 ; iii) 1 3x 1 x 3 iv) La ecuación x 1 = x tiene solución vacía. 5) Teniendo en cuenta lo visto de valor absoluto, demuestra: x y x y ;( x, y R) COTAS Y EXTREMOS DE UN CONJUNTO DE NÚMEROS REALES. COMPLETITUD Sea A = {x, x R, x < 4 } 4 Diremos que el número 5,3 es cota suerior de A orque x 5,3, ( x), x A. En general cualquier número mayor ó igual que todo elemento del conjunto es una cota suerior de A. Trata de contestar las siguientes reguntas: 109 es cota suerior de A? -3 lo es? y 4? Existe una cota suerior de A menor que 5,3? Existe una cota suerior de A menor que todas las cotas sueriores del conjunto?, cuál sería? Si llamamos extremo suerior ó suremo de A a la menor de las cotas sueriores, cuál sería el extremo suerior de A? Un conjunto tiene máximo si una de sus cotas sueriores ertenece al conjunto. El conjunto A tiene máximo? Análogamente, odrías determinar tres cotas inferiores de A, observar si tiene extremo inferior (ínfimo) y si tiene mínimo? A artir de la actividad anterior comletaremos las siguientes definiciones. Sea A un conjunto de reales no vacío. 1) A está acotado sueriormente ( h), h R / ( x), x A, x h. Al real h lo llamamos cota suerior de A. ) A está acotado inferiormente ( k),... Al real k lo llamamos cota inferior de A. 3) A está acotado A está acotado inferior y sueriormente. 4) M es máximo de A M A y ( x), x A, x M. 5) m es mínimo de A... 6) Si existe la cota suerior mínima de A, se le llama extremo suerior ó suremo de A. (ext A) 7)... Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009

8 Matemática: Teórico 009 Ejercicios. 1) Para cada uno de los siguientes conjuntos, determina, si tienen, extremo suerior, inferior, máximo y mínimo. a) A = {x R/ x -x 5 } b) B = {x R/ 1 < x 5 6 x < 7 } c) C = {x R/ x > 0 x < 4 } 1 * d) D = {x R/ x = 1 ; n N } n 3) Sea B un conjunto no vacío de números reales cuyo extremo suerior es 3. Analiza el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: i) Todo número mayor que 3 es cota suerior de B. ii) Todo número menor que 3 ertenece al conjunto B. iii) Existe un elemento del conjunto B mayor que 6/9. iv) No existen elementos de B mayores que π. v) Si llamamos D al conjunto de los ouestos de B. Entonces D está acotado inferiormente. vi) D está necesariamente acotado sueriormente. vii) El extremo inferior de D es -3. El axioma que enunciaremos a continuación marca una diferencia entre las estructuras: (Q; ;. ; <) y (R; ;. ; <). Los dos axiomas que ya estudiamos no marcan diferencias entre ellas. AXIOMA DE COMPLETITUD A R, A, A está acotado sueriormente entonces K R / K = ext( A) Ejercicio: < en el eje real. Reresenta el conjunto F = { x R/ x } Está acotado sueriormente?, tiene extremo suerior? Y el conjunto H = { x Q/ x } <, tiene extremo suerior? Prof. Daniel Villar Escuela Técnica del Buceo 009