SIGMA. Vicente Meavilla Seguí (*) INTRODUCCIÓN

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1 ANILLOS DE BORROMEO, RECTÁNGULOS ÁUREOS E ICOSAEDROS REGULARES: ALGUNOS INGREDIENTES GEOMÉTRICOS PARA EL DISEÑO DE UNA ESCULTURA MATEMÁTICA DEDICADA A ARAGÓN SIGMA 34 Vicente Meavilla Seguí (*) INTRODUCCIÓN En el logotipo del Instituto de las Ciencias Matemáticas aparecen tres anillos inseparables, entrelazados de modo que ningún par de ellos está enlazado (1). Además, dichos anillos son los bordes de tres rectángulos congruentes tales que la razón de sus dimensiones es el número áureo [= 1,61803]. Por último, los tres anillos se mantienen en equilibrio gracias a la tensión de veinticuatro cuerdas que configuran un icosaedro regular. En las líneas que siguen vamos a prestar atención a los aspectos geométricos del logotipo anterior y propondremos la construcción de una escultura dedicada a la comunidad autónoma de Aragón. (*) IES Francés de Aranda (Teruel). Dpto de Matemáticas (U. de Zaragoza). Septiembre ko Iraila 77

2 Vicente Meavilla Seguí 1. ANILLOS DE BORROMEO La estructura conocida como anillos de Borromeo es un conjunto de tres anillos que satisfacen las restricciones siguientes: (i) los tres anillos están mutuamente entrelazados, (ii) ningún par de ellos está enlazado. Por tanto, si se abre uno cualquiera de los tres anillos, entonces los otros dos quedan libres (véanse los diagramas adjuntos). Además de su interés topológico, los anillos de Borromeo han inspirado algunas obras del escultor John Robinson ( ) y han servido como distintivo del músico británico John Bonham, batería del famoso grupo Led Zeppelín (2). 78 SIGMA Nº 34 SIGMA 34 zk.

3 Anillos de Borromeo, rectángulos áureos e icosaedros regulares: algunos ingredientes geométricos para el diseño de una escultura matemática dedicada a Aragón John Robinson. Creation (2000). Campus de la Universidad de Zaragoza. Fotografía de Vicente Meavilla John Robinson. Intuition (1993) John Robinson. Genesis (1995) Septiembre ko Iraila 79

4 Vicente Meavilla Seguí John Robinson. Zen (1996) John Bonham ( ) 80 SIGMA Nº 34 SIGMA 34 zk.

5 Anillos de Borromeo, rectángulos áureos e icosaedros regulares: algunos ingredientes geométricos para el diseño de una escultura matemática dedicada a Aragón 2. LA DIVINA PROPORCIÓN, EL NÚMERO ÁUREO Y LOS RECTÁNGULOS ÁUREOS Euclides de Alejandría (ca. 300 a. C.), en la tercera definición del libro VI de los Elementos de Geometría, se expresaba en los siguientes términos: "Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la línea total es a la parte mayor como la parte mayor a la menor (3) ". La definición anterior se puede traducir al lenguaje moderno del modo siguiente: Dado el segmento rectilíneo AB, diremos que el punto X (interior al segmento) lo divide en media y extrema razón si, y sólo si, se verifica que: Si el punto X divide al segmento AB en media y extrema razón se dice que el segmento mayor AX es el segmento áureo de AB. 2.1 Dado el segmento áureo de un segmento rectilíneo, construir dicho segmento Sea AX = a el segmento áureo de un segmento AB = a + x. Entonces: AB / AX = AX / XB (a + x) / a = a / x x(a + x) = a 2 [1] Vamos a resolver la ecuación [1] utilizando un procedimiento geométrico, con la esperanza de que dicha resolución gráfica nos indique el camino que debemos seguir para determinar el punto B. El diagrama anterior es el dibujo del primer miembro de la ecuación [1]. En consecuencia, el área del rectángulo de dimensiones x y a + x es a 2. Septiembre ko Iraila 81

6 Vicente Meavilla Seguí Por tanto, el área de cada uno de los diagramas siguientes también es a2. Ahora bien, el área del polígono cóncavo representado en la última figura es igual a [x + (a/2)] 2 (a/2) 2. Dicho en otras palabras: De donde: Es decir: El segmento rectilíneo x + (a/2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y a/2. Por tanto, para determinar la longitud del segmento a + x [= AB = segmento rectilíneo cuyo segmento áureo es AX] se puede proceder del modo siguiente: [1] Se dibuja un triángulo rectángulo AXC de catetos a y a/2. 82 SIGMA Nº 34 SIGMA 34 zk.

7 Anillos de Borromeo, rectángulos áureos e icosaedros regulares: algunos ingredientes geométricos para el diseño de una escultura matemática dedicada a Aragón [2] Con centro en C y radio CX [= a/2] se describe un arco de circunferencia que corta a la prolongación de la hipotenusa en el punto S. Con esto se tiene que AS = a + x. [3] Con centro en A y radio AS [= a + x] se describe un arco de circunferencia que corta a la prolongación del cateto AX en el punto B. Con esto se tiene que AB es el segmento rectilíneo cuyo segmento áureo es AX = a. 2.2 El número áureo Sea AB un segmento rectilíneo y X el punto interior que lo divide en media y extrema razón. Entonces: AB / AX = AX / XB = F El número F ( phi ) se llama número áureo. 2.3 Cálculo de Septiembre ko Iraila 83

8 Vicente Meavilla Seguí Por tanto, F es la raíz positiva de la ecuación cuadrática. De donde: 2.4 Rectángulos áureos Un rectángulo es áureo cuando la razón entre sus dimensiones es F. Dado que en esta situación el lado menor es el segmento áureo del mayor, para construir un rectángulo áureo bastará con utilizar el procedimiento descrito en el parágrafo 2.1. Las tarjetas de crédito y los DNI son rectángulos áureos. Las fachadas del Partenón y de Notre Dame están inscritas en rectángulos áureos. El Partenón 3. RECTÁNGULOS ÁUREOS E ICOSAEDROS REGULARES 84 SIGMA Nº 34 SIGMA 34 zk.

9 Anillos de Borromeo, rectángulos áureos e icosaedros regulares: algunos ingredientes geométricos para el diseño de una escultura matemática dedicada a Aragón La figura anterior representa tres rectángulos áureos congruentes y ortogonales referidos a un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas coincide con el centro de cada uno de los rectángulos y cuyos semiejes positivos son OX, OY y OZ. Admitiendo que las dimensiones de cada rectángulo son 2 y 2 F, las coordenadas de los vértices de cada uno de ellos se obtienen fácilmente a partir de los tres diagramas siguientes: Con la ayuda de estos resultados y haciendo uso de la fórmula que permite calcular la distancia entre dos puntos, se puede comprobar fácilmente que, uniendo de forma conveniente los doce vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, se obtiene un icosaedro regular (véase el diagrama adjunto). Septiembre ko Iraila 85

10 Vicente Meavilla Seguí Advirtamos que los bordes de los tres rectángulos áureos generadores de este sólido platónico ejemplifican el concepto de anillos de Borromeo. 4. SUGERENCIAS PARA UN TALLER DE MATEMÁTICAS Apoyándonos en los conocimientos de carácter teórico expuestos en las secciones precedentes, presentamos un proyecto didáctico (dirigido a los alumnos de Educación Secundaria Obligatoria) consistente en la construcción de una escultura geométrica de gran formato, ARAGÓN, compuesta por las aristas de un icosaedro regular generado por tres rectángulos áureos ortogonales (4). 86 SIGMA Nº 34 SIGMA 34 zk.

11 Anillos de Borromeo, rectángulos áureos e icosaedros regulares: algunos ingredientes geométricos para el diseño de una escultura matemática dedicada a Aragón La escultura de la SEMCV Al-Khwarizmi 4.1 Construcción de modelos a escala Antes de pasar a la construcción del modelo definitivo, parece oportuno que los estudiantes se familiaricen con la elaboración de modelos más reducidos. Para los rectángulos áureos recomendamos que se trabaje con tablero de 3 o 4 milímetros. Para la materialización del icosaedro se puede utilizar hilo, lana o cuerda. Las dimensiones de los tres rectángulos necesarios para nuestra estructura tridimensional pueden ser de 10 y 10 F centímetros. Atendiendo a los conocimientos de los alumnos, las plantillas de dichos cuadriláteros se pueden dibujar utilizando el procedimiento descrito en la sección 2.1. o teniendo en cuenta que F 1,62. Una vez recortados los rectángulos áureos, deberemos practicar en cada uno de ellos las incisiones adecuadas para poderlos acoplar de forma conveniente (véanse los diagramas adjuntos). Los tres rectángulos áureos y las incisiones adecuadas El acoplamiento requerido Septiembre ko Iraila 87

12 Vicente Meavilla Seguí Advirtamos que las longitudes de las incisiones de los rectángulos rojo y verde coinciden con la dimensión menor de cada uno de los rectángulos. Por otro lado, las alturas de todas las incisiones son iguales al grosor del tablero utilizado. Notemos también que, para hacer visibles veinticuatro de las treinta aristas del icosaedro regular, se pueden agujerear las esquinas de cada rectángulo para permitir el paso del hilo, lana o cuerda que se elija a tal efecto. 4.2 Recomendaciones para la construcción de la escultura Una vez que los alumnos han sido capaces de construir un modelo reducido de la escultura ARAGÓN ya están en mejores condiciones para enfrentarse al reto de erigir el gran icosaedro regular. Para ello, conviene que presten atención a los aspectos siguientes: Ubicación de la escultura En primer lugar, se deberá decidir el lugar de emplazamiento de la escultura (espacio al aire libre, espacio cerrado, etc.). Dimensiones de la escultura Las dimensiones de la escultura dependerán obviamente de su lugar de emplazamiento y deberán calcularse en función de él. Materiales Los materiales utilizados para construir la escultura también dependen de su ubicación (p.e.: si los rectángulos áureos se construyen con madera deberá ser tratada de forma diferente para interiores que para exteriores). Peso Atendiendo a los materiales utilizados se modificará el peso de la escultura y aumentarán o disminuirán los problemas para su instalación. Se recomienda utilizar materiales rígidos y, a la vez, livianos. Instalación Atendiendo a la dificultad de la instalación se incrementa o reduce el presupuesto del proyecto. Sería recomendable que en esta fase de ejecución interviniese el Departamento Didáctico de Tecnología que puede ofrecer soluciones útiles. Aspectos artísticos En todas las cuestiones de carácter artístico (colores, materiales, etc.) deberá solicitarse la colaboración de los Departamentos de Plástica y Arte. Presupuesto Teniendo en cuenta las variables" anteriores deberá elaborarse un presupuesto que permita decidir la viabilidad del proyecto. 5. REFLEXIÓN EN VOZ ALTA Atendiendo a mi condición de profesor de matemáticas y a mi afición por el arte, en la propuesta que acabo de presentar he pretendido aproximar las matemáticas al arte o, si se quiera, el arte a las matemáticas. En otras palabras: he procurado acercarme a las matemáticas (al arte) desde una óptica complementaria y enriquecedora. Espero haberlo conseguido. 88 SIGMA Nº 34 SIGMA 34 zk.

13 Anillos de Borromeo, rectángulos áureos e icosaedros regulares: algunos ingredientes geométricos para el diseño de una escultura matemática dedicada a Aragón REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ON-LINE Borromean Rings Homepage Esculturas de John Robinson Icosahedron La escultura de la SEMCV Al-Khwarizmi Meavilla Seguí, V., (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara. PHI. The Golden Number Septiembre ko Iraila 89

14 Cuboctaedro Tetraedro truncado Octaedro truncado Hexaedro truncado

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