TRAZADO DE LA GRÁFICA DE LAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRA I TRAZADO DE LA GRÁFICA DE LAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ELEAZAR GÓMEZ LARA OCTUBRE 8 DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 1 Octubre 9

2 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE Para construir la grafica de la derivada de la función constante f (x) = k, donde k es un número real, geométricamente se realiza lo siguiente: 1.- Se traza la grafica de la función f (x) = k.- Para fijar un punto de la derivada de f(x) cuando x = x, es decir para localizar el punto de f '( x ), al P( x, f ( x )) de f (x) = k correspondiente DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara Octubre 9

3 a) Se localiza el punto sobre la grafica de f (x) = k el punto Q(x + 1,f(x + 1)) b) Se localiza, sobre el plano cartesiano, el punto (x 1, f(x 1)) R c) Se traza el segmento QR DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 3 Octubre 9

4 d) Se intersecta el segmento QR, con la recta vertical que pasa por el punto P( x, f ( x )), es decir con la recta x x punto que pertenece a la grafica de la derivada de f (x) decir obtenemos el punto D(x,f'(x )) =, el punto de intersección generado, es el = k, evaluada en x x =, es a. Aplicando este proceso a distintos puntos pertenecientes a la grafica de f (x) = k, se van estableciendo puntos vinculados con la grafica de su derivada. b. La grafica de f (x) se obtiene al unir todos los puntos generados mediante una línea continua: DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 4 Octubre 9

5 Podemos observar que la grafica de la derivada de la función f (x) k eje X, cuya ecuación es: y=, con lo que podemos deducir que f '( x ) =. Es decir la derivada de la función constante f (x) = k es cero. = coincide con el CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Para construir la grafica de la derivada de la función lineal a, b y c son números reales, geométricamente se realiza lo siguiente: 1.- Se traza la grafica de la función f (x) = ax + bx+ c f (x) = ax + bx+ c, donde DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 5 Octubre 9

6 .- Para determinar el punto de la derivada de f(x) cuando x = x, es decir para localizar el punto de f '( x ), correspondiente al P( x, f ( x )) de f (x) = ax + bx+ c. Seleccionamos un punto P( x, f ( x )) sobre la grafica de f(x) e) Se localiza el punto sobre la grafica de f (x) = k el punto Q(x + 1,f(x + 1)) f) Se localiza, sobre el plano cartesiano, el punto (x 1, f(x 1)) R DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 6 Octubre 9

7 g) Se traza el segmento QR h) Se intersecta el segmento QR, con la recta vertical que pasa por el punto x = x, el punto de intersección generado, es el P( x, f ( x )), es decir con la recta punto que pertenece a la grafica de la derivada de x = x, es decir obtenemos el punto D(x,f'(x )) f (x) = ax + bx+ c, evaluada en i) Aplicando este proceso a distintos puntos pertenecientes a la grafica de f (x) = ax + bx+ c, se van estableciendo puntos vinculados con la grafica de su derivada. DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 7 Octubre 9

8 j) La grafica de f (x) se obtiene al unir todos los puntos generados mediante una línea continua: Podemos observar que la grafica de la derivada de la función f (x) = ax + bx+ c coincide con una recta cuya ecuación es: paralela eje X, cuya ecuación es: y= ax+ b, con lo que podemos deducir que f '( x ) m =. Es decir la derivada de la función lineal f (x) = ax + bx+ c es f '( x ) = ax + b DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 8 Octubre 9

9 Para este ejemplo trabajamos con la función: derivada de esta función es: 4 f '( x ) = x = + +, por lo que la 5 f (x) x x CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CUBICA Para construir la grafica de la derivada de la 3 función lineal f (x) = ax + bx + cx+ d, donde a, b, c y d son números reales, geométricamente se realiza lo siguiente: 1.- Se traza la grafica de la función 3 f (x) = ax + bx + cx+ d.- Para determinar el punto de la derivada de f(x) cuando x = x, es decir para localizar el punto de f '( x ), correspondiente al P( x, f ( x )) de 3 f (x) = ax + bx + cx+ d. Seleccionamos un punto P( x, f ( x )) sobre la grafica de f(x) DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 9 Octubre 9

10 k) Se localiza el punto sobre la grafica de f (x) = k el punto Q(x + 1,f(x + 1)) l) Se localiza, sobre el plano cartesiano, el punto (x 1, f(x 1) a) R m) Se traza el segmento QR n) Se intersecta el segmento QR, con la recta vertical que pasa por el punto P( x, f ( x )), es decir con la recta x x =, el punto de intersección generado, es el DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 1 Octubre 9

11 3 punto que pertenece a la grafica de la derivada de f (x) = ax + bx + cx+ d, evaluada en x = x, es decir obtenemos el punto D(x,f'(x )) o) Aplicando este proceso a distintos puntos pertenecientes a la grafica de 3 f (x) = ax + bx + cx+ d, se van estableciendo puntos vinculados con la grafica de su derivada. p) La grafica de f (x) se obtiene al unir todos los puntos generados mediante una línea continua: DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 11 Octubre 9

12 Podemos observar que la grafica de la derivada de la función 3 f (x) = ax + bx + cx+ d coincide con una parábola cuya ecuación es: y= 3ax + bx+ c, con lo que podemos deducir que f '( x ) = 3ax + bx + c. Es decir la derivada de la función cubica 3 f (x) = ax + bx + cx+ d es f ( x ) = 3ax + bx + c Para este ejemplo trabajamos con la función: 3 f (x) = x 4x 11x+ 3, por lo que la derivada de esta función es: f '( x ) = 3x 8x 11 DERIVADAS GRAFICAS Elaborado por Eleazar Gómez Lara 1 Octubre 9

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