TEMA 2. Geometría elemental y analítica

Transcripción

1 TEMA 2. Geometrí elementl y nlític En el presente tem nos ocupremos de l geometrí desde dos puntos de vist: geometrí elementl y geometrí nlític. Empezremos viendo los conceptos básicos de trigonometrí, pr luego psr l estudio de figurs plns y cuerpos en el espcio, con el cálculo de ls correspondientes longitudes, áres y volúmenes. Finlmente, estudiremos l geometrí nlític pln, considerndo ls rects, l circunferenci y ls cónics (elipse, hipérbol y prábol) Trigonometrí. Rzones trigonométrics Un ángulo viene determindo por dos semirrects, llmds ldos, con un mismo origen llmdo vértice. Hy diverss mners de medir l mplitud de un ángulo: en el sistem sexgesiml se tom como unidd el ángulo recto. Un ángulo recto se divide en 90 prtes llmds grdos sexgesimles. En el sistem circulr l unidd de medid es el rdián. Un ángulo mide un rdián cundo l longitud del rco es igul l rdio. Tenemos que 360 o = 2π rdines. Por tnto, medinte un regl de tres simple obtenemos que, si l medid de un ángulo es de g grdos sexgesimles, su equivlenci en rdines viene dd por: r = π 180 g. En generl, en el contexto de l trigonometrí se suelen usr los grdos sexgesimles, pero hy que tener en cuent que en el Análisis se deben usr rdines. En lo que sigue utilizremos principlmente grdos sexgesimles. Definmos continución ls llmds rzones trigonométrics pr los ángulos del intervlo (0, 90). Ddo un ángulo α, definimos (vése l figur): sen α = longitud del cteto opuesto α longitud de l hipotenus cos α = tg α = longitud del cteto contiguo α longitud de l hipotenus longitud del cteto opuesto α longitud del cteto contiguo α = sen α cosα. 1

2 2 Ls rzones trigonométrics se suelen representr en l llmd circunferenci trigonométric, que no es más que un circunferenci de rdio 1, en l que los ángulos se representn inscritos, es decir, con el vértice en el centro. Un plicción del teorem de Pitágors en l figur nterior nos proporcion l llmd identidd fundmentl de l trigonometrí: sen 2 α + cos 2 α = 1 Extendemos l definición nterior de rzones trigonométrics los ángulos en el intervlo (0, 360) con los convenios hbitules: ls longitudes horizontles hci l derech y verticles hci rrib son positivs, mientrs que ls longitudes horizontles hci l izquierd y verticles hci bjo son negtivs. A continución mencionmos ls rzones trigonométrics de los ángulos más usules: 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 1 seno coseno tngente no definid 3 1 Además del seno, coseno y tngente de un ángulo, se definen otrs rzones relcionds, que son l secnte (sec), cosecnte (cosec) y cotngente (cotg), de l siguiente form: sec α = 1 cosα cosec α = 1 sen α cotg α = 1 tg α.

3 3 Hy muchs fórmuls que son útiles l hor de clculr senos y cosenos de unos ángulos, conocidos otros. Por ejemplo, ls fórmuls de dición y sustrcción sen(α ± β) = sen α cosβ ± cosαsen β cos(α ± β) = cosαcos β sen α sen β tg(α ± β) = tg α ± tg β 1 tg α tg β donde α, β son ángulos rbitrrios, o ls fórmuls del ángulo doble: sen 2α = 2 sen α cosα cos 2α = cos 2 α sen 2 α tg 2α = 2 tg α 1 tg 2 α siendo α rbitrrio. A prtir de ls fórmuls nteriores se pueden deducir otrs, por ejemplo, obteniendo ls rzones trigonométrics de 90 α ó 180 α en términos de ls de α, o tmbién ls propieddes de simetrí del seno, coseno y tngente: cos( α) = cosα sen( α) = sen α tg( α) = tg α Resolución de triángulos Uno de los objetivos principles de l trigonometrí es l resolución de triángulos. Es decir, ddos ciertos ángulos y ldos de un triángulo, clculr los restntes. Pr fcilitr est tre, doptmos el siguiente convenio: un triángulo con vértices en los puntos A, B y C se denot por ABC. Además, llmmos, b y c los ldos enfrentdos los vértices A, B y C, respectivmente. Los ángulos correspondientes cd vértice se suelen denotr como los vértices. Pr l resolución de triángulos es útil tener en cuent tres propieddes básics. En primer lugr, en todo triángulo se verific A + B + C = 180 o. En segundo lugr, tenemos el teorem del seno sen A = sen B b = sen C c

4 4 y el teorem del coseno: 2 = b 2 + c 2 2bc cosa b 2 = 2 + c 2 2c cosb c 2 = 2 + b 2 2b cosc. Cundo los triángulos trtr son rectángulos, tmbién podemos usr el teorem de Pitágors. Vemos lgunos ejemplos de resolución de triángulos. Ejemplo 1. () Resolver un triángulo con A = 36 o, B = 44 o y c = 7 cm. En primer lugr, observmos que C = 180 o A B = 180 o 36 o 44 o = 100 o. Si usmos el teorem del seno, obtenemos sen A = sen C c = sen 36 de donde 7 sen 36 = sen 100 = 4 18 cm. De l mism form, usndo de nuevo el teorem del seno, b = = 7 sen 44 sen 100 = 4 94 cm. sen 100, 7 Por tnto, pr el triángulo propuesto tenemos A = 36 o, B = 44 o, C = 100 o, = 4 18 cm, b = 4 94 cm, c = 7 cm. (b) Resolver el triángulo que tiene b = 10 cm, c = cm y A = o. Usmos el teorem del coseno pr clculr el ldo : 2 = b 2 + c 2 2bc cos A = cos(55 62) = , de donde = Pr clculr C, podrímos usr el teorem del seno: sen A = sen C c = sen(55 62) = sen C y llegmos sen C = De quí obtendrímos C = o. Pero en lugr de clculr C medinte el teorem del seno se nos podrí ocurrir usr el teorem del coseno. En tl cso: c 2 = 2 + b 2 2b cosc = = cosc y tenemos cosc = , con lo que C = 100 o. Por qué nos d un vlor diferente? Lo que ocurre es que no es conveniente usr el teorem del seno pr clculr ángulos, y que en el intervlo (0, 180) hy dos ángulos con el mismo seno. Esto no ocurre con el coseno, y por eso pr clculr ángulos debe usrse el teorem del coseno en lugr de el del seno. Por tnto el vlor correcto en nuestro ejemplo es C = 100 o, con lo que B = o. Resumiendo, pr nuestro triángulo tenemos = cm, b = 10 cm, c = cm, A = o, B = o, C = 100 o.

5 Aplicciones de l trigonometrí El estudio de situciones de l vid rel conduce muchs veces l resolución de triángulos. Uno de los ejemplos típicos es el de l doble medición pr clculr l ltur de un edificio, un árbol, etc., pero tmbién hy otros muchos. Vemos lguns plicciones típics. Ejemplo 2. () Un bote de motor nveg durnte tres hors rzón de 20 mills por hor en dirección Norte 40 o Este. Qué distnci hci el Norte y qué distnci hci el Este h recorrido? b A 40 o 60 B Puesto que el bote h nvegdo durnte 3 hors 20 mills/hor, h recorrido 60 mills. Se trt de clculr los ldos y b en el triángulo de l figur. Tenemos A = 180 o 90 o 40 o = 50 o, y por el teorem del seno: sen 50 = sen 90 60, es decir, = 60 sen 50 = Usndo el teorem de Pitágors tendremos 60 2 = 2 + b 2, de donde b = = Por tnto el bote h recorrido mills hci el Norte y hci el Este. (b) Encontrr l ltur de un árbol si se sbe que el ángulo de elevción disminuye desde 45 o hst 30 o cundo nos lejmos 10 metros. Vemos en l figur que tg 45 = h tg 30 = h + 10.

6 6 h 45 o 30 o 10 m Despejndo en mbs ecuciones e igulndo llegmos que y despejndo h: h = h tg 45 = h tg 30 10, 10 tg 30 tg 45 tg 45 tg 30 = Por tnto l ltur del árbol es de metros Cálculo de longitudes, áres y volúmenes Empecemos recordndo l definición de ls figurs geométrics más usules y ls fórmuls correspondientes de cálculo de longitudes, áres y volúmenes Figurs plns Ls figurs plns que considerremos son: el triángulo, el prlelogrmo (sus csos prticulres, el rectángulo y el cudrdo), el trpecio, el polígono regulr de n ldos y l circunferenci. Triángulo Un triángulo es un polígono de tres ldos. Si l bse tiene longitud b y l ltur longitud h, su áre es A = bh 2. Observemos que todo triángulo se puede descomponer en dos triángulos rectángulos medinte l ltur trzd desde uno de sus vértices. Así, muchs veces podemos usr el teorem de Pitágors pr clculr l ltur.

7 7 h h b b Prlelogrmo Un prlelogrmo es un polígono de cutro ldos prlelos dos dos. Si ls longitudes de l bse y ltur son l y h, respectivmente, y P y A denotn el perímetro y el áre, tendremos (vése l figur): P = 2l + 2m, A = lh. En el cso prticulr del rectángulo de ldos y b: P = 2 + 2b, A = b. h m b l Trpecio Un trpecio es un polígono de cutro ldos, formdo por dos ldos prlelos (denomindos bses) y otros dos no prlelos. b h Si ls bses del trpecio miden y b y h es su ltur, el áre del mismo viene dd por A = h ( + b). 2 Polígono regulr de n ldos Un polígono es regulr cundo tiene todos sus ldos igules y todos sus ángulos igules. Ejemplos de esto son el triángulo equilátero y el cudrdo. En l figur vemos un pentágono regulr:

8 8 r β α O β Se denomin rdio del polígono r culquier de los segmentos que une el centro O del mismo con uno de sus vértices. El triángulo formdo por un ldo y los dos rdios correspondientes los dos vértices de ese ldo es siempre isósceles (un cso muy prticulr es el del hexágono, donde se obtienen triángulos equiláteros). El ángulo centrl α es de 2π n rdines, por lo que los otros dos ángulos son de β = π 2π n 2 rdines. L ltur, desde el centro del polígono, de cd uno de estos triángulos, recibe el nombre de potem (se suele denotr por ). Si denominnos p l perímetro del polígono, el áre del mismo viene dd por A = p 2. Circunferenci y círculo L circunferenci es el conjunto de puntos del plno que equidistn de uno ddo, llmdo centro. L distnci común de cd uno de sus puntos l centro se llm rdio. L zon del plno comprendid en el interior de un circunferenci se llm círculo. O r L longitud de un circunferenci de rdio r y el áre del círculo correspondiente vienen ddos por: L = 2πr, A = πr Sólidos en el espcio Vemos cómo clculr volúmenes de los cuerpos más hbitules en el espcio: los prlelepípedos (el cubo como cso prticulr), el cilindro y el cono circulres rectos y l esfer.

9 9 Prlelepípedo Un prlelepípedo es un sólido formdo por seis crs plns prlels dos dos. El volumen de un prlelepípedo viene ddo por el producto del áre de l bse por l ltur. Puede tomrse como bse culquier de sus crs y l ltur será l distnci de ést l cr prlel. l El prlelepípedo más importnte es el cubo, donde tods ls crs son cudrdos. Si l rist del cubo es de longitud l, tenemos pr el volumen y el áre: V = l 3, A = 6l 2. Cilindro circulr recto Un cilindro circulr recto es el sólido generdo l hcer girr un rectángulo sobre uno de sus ldos. Qued crcterizdo completmente l conocer el rdio de l bse r y l ltur h. Ls áres lterl y totl del cilindro y su volumen vienen ddos por: A L = 2πrh, A T = 2πrh + 2πr 2, V = πr 2 h. Cono circulr recto Un cono circulr recto es el sólido que se obtiene l hcer girr un triángulo rectángulo sobre uno de sus ctetos. Se llm genertriz l hipotenus del triángulo. h g r

10 10 El cono qued completmente determindo si conocemos el rdio de l bse r y l ltur h. Con estos dtos, es inmedito clculr l longitud g de l genertriz. Usndo el teorem de Pitágors: g = r 2 + h 2. Pr ls áres lterl y totl y el volumen del cono tenemos: A L = πrg, A T = πrg + πr 2, V = 1 3 πr2 h. Observemos que el volumen de un cono circulr recto es l tercer prte del cilindro circulr recto de igul bse y ltur. Esfer Un esfer es el sólido que se obtiene l hcer girr un semicircunferenci sobre su diámetro. Qued completmente crcterizd si conocemos su rdio r. r El áre de l esfer y su volumen vienen ddos por: A = 4πr 2, V = 4 3 πr Geometrí nlític El resto del tem nos ocupremos de l llmd geometrí nlític, en primer lugr pln y luego en el espcio. Se trt de socir uns coordends cd uno de los puntos del plno o del espcio, y describir ls distints figurs geométrics en términos de ests coordends. Un punto P en el plno se represent por el pr (x, y), donde x e y son números reles y se llmn coordends del punto P. El significdo de cd uno de estos números viene descrito en l siguiente figur: y (x, y) x

11 Rects en el plno Un rect qued definid cundo conocemos uno de sus puntos y su vector director. Si estos son P(x 0, y 0 ) y v = (v 1, v 2 ), entonces un punto (x, y) pertenece l rect cundo se cumple (x, y) = (x 0, y 0 ) + t(v 1, v 2 ) pr lgún número rel t, que se puede escribir como x = x0 + tv 1 y = y 0 + tv 2 t R. Ést es l llmd ecución prmétric de l rect. L presenci del prámetro t es muchs veces inconveniente, sí que podemos simplificr ests expresiones eliminándolo pr obtener x x 0 = y y 0, v 1 v 2 llmd ecución continu. Despejndo y en función de x que es l form hbitul de presentr ls funciones, se puede poner y = m(x x 0 ) + y 0 donde m = v 2 v 1 es l pendiente de l rect (se signrá el vlor m = cundo v 1 = 0, es decir, cundo l rect es verticl). Est últim ecución es l llmd ecución punto-pendiente de l rect y es muy útil l hor de resolver problems geométricos. Finlmente, observemos que un rect tmbién se puede expresr en l llmd form generl: Ax + By + C = 0. En este cso, el vector director de l rect es ( B, A), pero el inconveniente es que hy infinits ecuciones generles. Ejemplo 3. Ls ecuciones prmétrics de l rect que ps por el punto (1, 2) y tiene vector director ( 1, 1) son: x = 1 t y = 2 + t t R. Eliminndo el prámetro y despejndo y en función de x, tenemos y = x + 3. Tmbién podímos hber llegdo directmente est expresión teniendo en cuent que l pendiente de l rect es m = 1 y usndo l ecución punto-pendiente. Dd un rect en el plno, el ángulo que l rect form con el semieje positivo de ls x se llm inclinción. L tngente de este ángulo coincide con l pendiente de l rect.

12 12 y α x Si el vector director de l rect es (v 1, v 2 ), tendremos que tn α = v 2 /v 1, con lo que v2 α = rctg, v 1 entendiendo que α = π si v 2 1 = 0. El concepto de pendiente es importnte, pues yud crcterizr el prlelismo y l perpendiculridd de rects. Así, Dos rects son prlels cundo tienen l mism pendiente. Dos rects son perpendiculres si el producto de sus pendientes es 1. Ejemplo 4. Hllr l ecución de l rect perpendiculr y = x 2 que ps por el punto (2, 0). Puesto que l pendiente de l rect dd es m = 1, l pendiente de l rect perpendiculr h de ser m = 1. Usndo l ecución punto-pendiente: y 0 = 1(x 2) y = 2 x. El concepto de pendiente es útil tmbién pr clculr el ángulo entre dos rects. Pr ello, convenimos en que vmos medir el ángulo desde l rect con pendiente m 1 hst l de pendiente m 2, en sentido contrrio ls gujs del reloj: φ α 2 α 1 En tl cso, el ángulo φ viene ddo por: tg φ = m 2 m m 1 m 2. Est fórmul se deduce teniendo en cuent que (vése l Figur) φ = α 2 α 1 y usndo l expresión pr l tngente de un diferenci de ángulos.

13 13 Ejemplo 5. Hllr l ecución de l rect que form un ángulo de 45 o con y = 1 2 x y ps por el punto (1, 2). Si m 1 = 1 2 y φ = 45o, tendremos 1 = m m, 2 2 de donde m 2 = 3. Por tnto, l rect pedid es y = 3x L circunferenci L circunferenci es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy distnci uno fijo llmdo centro es constnte. Si llmmos r est constnte (el rdio de l circunferenci) y (h, k) son ls coordends del centro, se deduce fácilmente que l ecución de l circunferenci es (x h) 2 + (y k) 2 = r 2. O r Desrrollndo los cudrdos, est ecución tmbién se puede escribir en l form x 2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0, donde C, D y E son números reles. Recíprocmente, culquier ecución de est form represent un circunferenci (unque en lgunos csos puede ser complej). Pr verigur ls coordends de su centro y rdio se suelen completr cudrdos. Ejemplo 6. Dd l circunferenci x 2 + y 2 2x 4y 1 = 0, encontrr su centro y su rdio. x 2 + y 2 2x 4y 1 = 0 x 2 2x + y 2 4y + 1 = 0 x 2 2x y 2 4y = 0 (x 1) 2 + y 2 2y = 0 (x 1) 2 + (y 2) 2 4 = 0 (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4. Por tnto el centro es el punto (1, 2) y el rdio es 2.

14 L elipse L elipse se define como el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos es constnte. Los puntos fijos se llmn focos de l elipse. α B P β O F c F α B Cundo los focos son los puntos (c, 0) y ( c, 0) y l sum constnte 2 (con > c), l ecución de l elipse es: x y2 b 2 = 1, donde b 2 = 2 c 2. El centro de l elipse es el punto medio entre los dos focos, en este cso el (0, 0). L excentricidd se define como el cociente e = distnci focl eje myor = 2c 2 = c. L excentricidd de un elipse es siempre menor que 1 y mide el chtmiento de ést. Ejemplo 7. Hllr el centro, focos y excentricidd de l elipse x y2 9 = 1. Se tiene que = 6, b = 3, con lo que c 2 = 2 b 2 = 36 9 = 27, es decir, c = 27. Por tnto, el centro es el punto (0, 0), los focos son (± 27, 0) y l excentricidd e = 27 6 = 3 2. Cundo los focos están en el eje OY y son (0, c), (0, c), l ecución de l elipse es l mism, sólo que hor b > y por tnto c se clcul medinte c 2 = b 2 2. Finlmente, cundo el centro de l elipse es el punto (h, k), su ecución quedrí (x h) 2 (y k)2 + = 1. 2 b 2 L expresión de los focos cmbirí de cuerdo con esto.

15 L prábol Se llm prábol l lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de uno ddo, llmdo foco, y de un rect dd, llmd directriz. d P α V p F Cundo el foco es el punto ( p, 0) con p > 0 y l directriz x = 2 p, l ecución de 2 l prábol es y 2 = 2px. El vlor p se llm prámetro de l prábol y mide l pertur de l mism. Al punto (0, 0) se le llm vértice de l prábol y l rect perpendiculr l directriz que ps por el foco y el vértice se l llm eje de l prábol. L distnci entre el vértice y l directriz (que coincide con l distnci entre el vértice y el foco) se llm distnci focl y es igul p. 2 Observemos que, cundo se permite que p < 0, tmbién obtenemos un prábol con foco en ( p, 0) y directriz x = 2 p, sólo que hor el foco está l izquierd del 2 eje OY y l directriz l derech. L prábol se bre hci l izquierd. Cundo l directriz es horizontl en lugr de verticl, tenemos l ecución x 2 = 2py, donde hor el foco es (0, p ) y l directriz y = 2 p. Y en generl, si el vértice 2 es un punto (h, k) distinto del origen, l ecución de l prábol se trnsform en o en (y k) 2 = 2p(x h) (x h) 2 = 2p(y k), dependiendo de si l directriz es verticl u horizontl, respectivmente. Observción 1. L prábol tiene l siguiente propiedd importnte: ls rects prlels l eje que se reflejn en l prábol psn tods por el foco.

16 L hipérbol L hipérbol es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy diferenci de distncis dos puntos fijos (llmdos focos) es constnte. P F α B β O c α F B Como en los csos nteriores, tomemos l situción sencill en que los focos son (c, 0) y ( c, 0) y supongmos que l diferenci de distncis es 2 ( < c). L ecución de l hipérbol es entonces x 2 2 y2 b 2 = 1, donde b 2 = c 2 2. L hipérbol tiene intersección con el eje OX: los puntos (±, 0), pero no con el eje OY. Por ello, el eje OX se llm eje rel y el OY eje imginrio. El centro de l hipérbol es el punto medio entre los focos, en este cso el (0, 0), y su excentricidd se define como l de l elipse: e = distnci focl eje myor = 2c 2 = c, sólo que hor e > 1. Además, en el estudio de l hipérbol prece un elemento nuevo: ls síntots. L hipérbol tiene dos síntots, que vienen dds por y = ± b x. Cundo el eje rel de l hipérbol es el eje OY, l ecución es x2 2 + x2 b 2 = 1. En este cso, l excentricidd viene dd por e = c/b, pero ls síntots son ls misms. Cundo el centro de l hipérbol no es el punto (0, 0), sino el (h, k), su ecución es: (x h) 2 (y k)2 = 1, 2 b 2 ó (x h)2 2 + (y k)2 b 2 = 1,

17 17 dependiendo de que el eje rel se horizontl o verticl. En mbos csos, ls síntots son y k = ± b (x h) Cónics generles Un cónic es un curv en el plno definid por un ecución del tipo x 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, (1) donde, b, c, d, e, f son coeficientes reles. Est expresión se puede escribir en form mtricil como Ǒ Ǒ b d x x y 1 b c e y = 0 d e f 1 y por eso l mtriz A = b d b c e d e f se l llm mtriz de l cónic. Ls cónics reciben este nombre porque se pueden obtener como secciones de un cono medinte un plno: Ǒ Se llmn invrintes de l cónic : b d = b c e d e f y δ = b b c y en términos de ellos podemos clsificr ls cónics.

18 18 Cundo = 0, l cónic se llm degenerd (típicmente se trt de un pr de rects) y no estmos interesdos en est situción. Si 0, l cónic se llm ordinri y en tl cso: δ > 0 elipse δ = 0 prábol δ < 0 hipérbol. Ejemplo 8. Dd l cónic 2x 2 + y 2 + xy + 2x + 2y + 1 = 0, clsificrl y hllr su centro si es posible. L mtriz de l cónic es Ǒ 2 1 A = con lo que sus invrintes son = 1 0, δ = hipérbol. < 0. Se trt por tnto de un