Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas.

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1 Boletín de l Asocición Mtemátic Venezoln, Vol. XVIII, No. 2 (2011) 89 ARTÍCULOS Expnsión de ls soluciones pr ecuciones integrles cudrátics. Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Resumen. En este rtículo encontrmos l expnsión de l solución de x(t) + d s K(t, s)g(s)bx(s) = u(t), t [, b], bsd en l teorí de representción de operdores multilineles plicd operdores bilineles. Abstrct. In this rticle we find the expnsion of the solution of x(t) + d s K(t, s)g(s)bx(s) = u(t), t [, b], bsed on the theory of representtion of multiliner opertors pplied to biliner opertors. Introducción Sen X, Y espcios de Bnch y consideremos l ecución integrl no linel de Volterr-Stieltjes del tipo x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b], (K), donde x es un función regld incógnit, u es un función regld conocid, K es un función simplemente regld como función de t y uniformemente de semivrición de Fréchet como función de s, nulándose en l digonl; y l no 2010 AMS Subject Clssifictions: Primry 45D05, Secondry 06B15. Keywords: Ecuciones Integrles de Volterr-Stieltjes, Ecuciones Integrles Cudrátics, Integrl de Dushnik, Semivrición Acotd, Funciones Reglds, Teorems de Representción de Riez, Expnsiones de Volterr.

2 90 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. linelidd de (K) está dd por f : [, b] X X, con f(t, x) = g(t)bx, donde g es un función regld y Bx = L 2 x un operdor polinomil de grdo dos sobre X. Dremos l expnsión de l solución de (K), bsándonos en l Teorí de representción de operdores multilineles, plicd operdores bilineles. 1 Funciones reglds Consideremos X, Y, W y Z espcios de Bnch, y [, b] R un intervlo cerrdo. Un función x : [, b] X es un función regld si sólo tiene discontinuiddes de primer especie, es decir, si i) pr todo t [, b) existe x(t + ) = lim h 0 x(t + h) y ii) pr todo t (, b] existe x(t ) = lim h 0 x(t h). Al espcio de ls funciones reglds de [, b] en X lo denotmos por G([, b]; X), tl espcio es un espcio de Bnch con l norm del supremo. Teorem 1.1. (Hönig[3], Theorem 1.3.1) Un función x : [, b] X es regld si, y sólo si, existe un sucesión de funciones esclonds (ϕ n ) n 1 : [, b] X, tl que lim n ϕ n(t) = x(t) t [, b]. Un función x : [, b] X es regld por l izquierd si x() = 0 y x(t) = x(t ) pr todo t (, b]. A este subespcio cerrdo de G([, b]; X) lo denotmos por G ([, b]; X). Un función x : [, b] L(W, X) es simplemente regld si, pr todo w W, l función xw : [, b] X t x(t)w, es regld y escribimos x G σ ([, b]; L(W, X)), que es un espcio de Bnch con l norm dd por Además, x = sup x(t) L(W,X) t [,b] x G σ ([, b]; L(W, X)). G([, b]; L(W, X)) G σ ([, b]; L(W, X)). (Arbex [1] )

3 Ecuciones integrles cudrátics Funciones de vrición y semivrición cotd Un prtición de un rectángulo [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] es el conjunto P = P 1 P 2 con P r P[ r, b r ], donde r = t 0 <... < t n(r) = b r. P ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]) denot el conjunto de tods ls prticiones del rectángulo. Además, n(p) = n(p 1 ) n(p 2 ), P = P 1 P 2. Sen z : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] Z y P P ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]). Consideremos i(1), i(2) N, con 1 i(r) n(p r ). Definimos i(1) z : [ 2, b 2 ] Z por i(2) z : [ 1, b 1 ] Z por i(1) z(s) = z(t i(1), s) z(t i(1) 1, s) s [ 2, b 2 ] i(2) z(s) = z(s, t i(2) ) z(s, t i(2) 1 ) s [ 1, b 1 ] En prticulr, pr [, b] R, z : [, b] Z está dd por i z = z(t i ) z(t i 1 ). Luego, i(1) i(2) z denot el cálculo i(1) ( i(2) z ) (s). Ddos (X 1, 1 ), (X 2, 2 ) y (Y, ) espcios de Bnch. Consideremos, en X 1 X 2, l topologí producto inducid por ls norms sobre X 1, X 2, es decir, x X1 X 2 = sup{ x 1 1, x 2 2 }. Un plicción q : X 1 X 2 Y es bilinel si es linel en cd vrible por seprdo. Diremos que q L (X 1 X 2, Y ) si q es bilinel y continu (es decir, M > 0 tl que q(x 1, x 2 ) M x 1 x 2 ). Se α : [, b] L(X, Y ). Se define l semivrición de α en [, b] por SV [α] = sup SV [α; P] P P[,b] = sup P P[,b] sup x i X x i 1 n(p) [α(t i ) α(t i 1 )]x i. i=1

4 92 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Si SV [α] <, entonces α es un función de semivrición cotd y se escribe α SV ([, b]; L(X, Y )). Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] Z. Se define vrición de Vitli de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] por donde V [K] = sup V [K; P], P P([ 1,b 1] [ 2,b 2]) V [K; P] = n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) K Si V [K] <, entonces K es un función de vrición cotd de Vitli en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] y se escribe K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; Z). Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X, Y ), se define l semivrición de Vitli de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] como donde SV [K] = sup SV [K; P], P P([ 1,b 1] [ 2,b 2]) SV [K; P] = sup x i(1)i(2) 1 n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) Kx i(1)i(2) : x i(1)i(2) X. Si SV [K] <, entonces K se dice de semivrición cotd de Vitli y se escribe K SV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L(X, Y )). Teorem 2.1. (Vilori[8]; Teorem 2.1.1) BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )) SV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )) y si K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )), entonces SV [K] V [K]. Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X 1, X 2 ; Y ). Se define l vrición de Fréchet de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] por

5 Ecuciones integrles cudrátics. 93 donde SF [K] = sup SF [K; P] P P([ 1,b 1] [ 2,b 2] SV [K; P] = sup x i(r) 1 n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) K ( ) x i(1), x i(2) : x i(r) X r Si SF [K] <, entonces K se dice de semivrición cotd de Fréchet y se escribe K SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L(X 1, X 2 ; Y )). Teorem 2.2. (Vilori [8]; Teorem 2.1.2) BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )) SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) Además, si K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )), entonces SF [K] < V [K]. 3 Integrl interior de Dushnik L integrl interior de Dushnik fue concebid por Pollrd, en 1920, y redescubiert por Dushnik, en Posteriormente fue utilizd por Kltenborn, en 1934, pr representr los elementos del espcio L((G[, b], R), R), resultdo generlizdo por Hönig, en 1975, l espcio L(G([, b], X); Z) y extendido ( por Vilori [7], en 1997, pr representr los elementos de los espcios m ) ( m ) L G ([, b], X); Z y L G ([ r, b r ]; X r ), G ([, b]; Y ), y tmbién r=1 r=1( m ) pr los operdores cusles en L G ([ r, b r ]; X), G ([, b]; Y ). En este r=1 trbjo es empled pr representr, de mner prticulr, los elementos de L (G ([ 1, b 1 ]; X) G ([ 2, b 2 ]; X); G ([, b]; Y )). Sen e, (e P ) P P en un espcio topológico E, escribiremos lim P P e P = e si, pr todo entorno V de e, existe P V P tl que P P V e P V. Definición 3.1. (Integrl doble de Dushnik) Sen K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X 1, X 2 ; Y ), x 1 : [ 1, b 1 ] X 1 y x 2 : [ 2, b 2 ] X 2. Si existe lim σ P, donde P = P([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]) y P P

6 94 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. σ P = n(p 1) i(1) n(p 2) i(2) i(1) i(2) K(x 1 (ξ i(1) ), x 2 (ξ i(2) ) con ξ i(r) (t i(r) 1, t i(r) ), entonces es llmdo integrl interior de Dushnik de l función x = (x 1, x 2 ) con respecto l núcleo K y se denot por b1 b2 1 2 d s1s 2 K(s 1, s 2 )(x 1 (s 1 ), x 2 (s 2 )). Un resultdo, que nos ofrece un condición suficiente pr l existenci de l integrl, es el siguiente Teorem 3.1. (Vilori [8]; Lem 2.2.1) Sen K SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) y x r G ([ r, b r ]; X r ), r = 1, 2. Entonces (i) Existe Λ K : G ([ 1, b 1 ]; X 1 ) G ([ 2, b 2 ]; X 2 ) Y, definid por Λ K (x 1 ; x 2 ) = (ii) Λ K es bilinel, b1 b2 1 2 d s1s 2 K(s 1 ; s 2 )(x 1 (s 1 ), x 2 (s 2 )), (iii) Λ K x SF [K] x 1 x 2, (iv) Si x r Ω 0 ([ r, b r ]; X r ) pr lgún r = 1, 2, entonces Λ K x = 0. 4 Teorems de representción integrl pr operdores bilineles Definición 4.1. que Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; Z) tl K( 1, s 2 ) = K(s 1, 2 ) = 0 s 1 [ 1, b 1 ] y s 2 [ 2, b 2 ]. Entonces diremos que K SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1 X 2 ; X)).

7 Ecuciones integrles cudrátics. 95 Teorem 4.1. (Vilori [8]; Teorem 2.3.1) L plicción K Λ K, definid por Λ K (x 1, x 2 ) = b2 b1 d s2 2 es un isometrí entre los espcios de Bnch y 1 d s1 K(s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ), SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Z)) L ( G ([ 1, b 1 ]; X 1 ), G ([ 2, b 2 ]; X 2 ); Z ). Además, K(s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = Λ K ( X (1,s 1]x 1, X (2,s 2]x 2 ) con Λ K = SF [K]. Definición 4.2. Se K : [, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L (X 1, X 2 ; Y ). Definimos K t : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L (X 1, X 2 ; Y ) y K s 2 : [, b] L (X 1, X 2 ; Y ) por K t (s 1, s 2 ) = K(t 1, s 1, s 2 ) = K s 2(t). Además, consideremos ls siguientes propieddes: (G σ ) : K es simplemente regld como función de t, es decir, K s 2 G σ ([, b]; L (X 1, X 2 ; Y )). (SF u ) : K es uniformemente de semivrición de Fréchet cotd como función de (s 1, s 2 ), esto es, SF u [K] = sup [K t ] <. t [,b] (SF u 2 ) : K stisfce (SF u ) y K t SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )) pr todo t [, b]. Si K verific (G σ ) y (SF u ), escribimos K G σ SF u ([, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )). Análogmente definimos K G σ SF u 2.

8 96 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Teorem 4.2. (Vilori [8]; Teorem 2.3.2) L plicción K Λ K dd por Λ K (x 1, x 2 )(t) = b2 b1 d s2 2 es un isometrí entre los espcios de Bnch y 1 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) G σ SF u 2 ([, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) L ( G ([ 1, b 1 ]; X 1 ), G ([ 2, b 2 ]; X 2 ); G([, b]; Y ) ), con K(t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = Λ K (X (1,s 1]x 1, X (2,s 2]x 2 )(t) y Λ K = SF u [K]. Definición 4.3. Se K G σ SF u ( [, b] 3 ; L 2 (X; Y ) ), donde [, b] 3 = [, b] [, b] [, b] y L 2 (X; Y ) = L (X X; Y ). Si, pr todo x X, l función K : [, b] Y definid por K (t) = K(t, t, t)(x, x) t [, b] es regld, se dice que K es simplemente regld en l digonl y escribimos K G σ SF u ( [, b] 3, L 2 (X; Y ) ). Si, demás, K (t) = 0 escribimos t [, b], se dice que K se nul en l digonl y K G σ 0 SF u ( [, b] 3, L 2 (X; Y ) ). Definición 4.4. P L 2 (G([, b], X); G([, b], Y )) es un operdor cusl si pr todo x G([, b]; X) y pr todo T [, b], x [,T ] = 0 P (x, x) [,T ] = 0. Definición 4.5. Se K G σ SF u ([, b] 3 ; L 2 (X, Y )). Pr x = (x 1, x 2 ) con x r G ([, b]; X), r = 1, 2, definimos (kx)(t) = d s2 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) t [, b] A continución mostrmos que los operdores bilineles cusles tmbién pueden ser representdos.

9 Ecuciones integrles cudrátics. 97 Teorem 4.3. (Vilori [8]; Teorem 2.3.3) L plicción K k es un isometrí entre el espcio de Bnch G σ 0 SF u ([, b] 3, L 2 (X; Y )) y el subespcio de los operdores cusles de L 2 (G ([, b], X); G([, b], Y )), donde k = SF u [K] y K(t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = k ( X (,t] x 1, X (,t] x 2 ) (t). Ahor presentremos el concepto de polinomil de Volterr-Stieltjes de grdo dos. Definición 4.6. definido por Si h 2 G σ SF u ([, b] 3, L 2 (X; Y )), el operdor P 2 : G ([, b]; X) G ([, b]; X), P 2 x(t) = h 0 (t) + b d s1 h 1 (t, s 1 )x(s 1 ) + b es llmdo Polinomio de Volterr-Stieltjes de grdo dos. b d s2 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) Dremos continución l definición de Expnsión de Volterr-Stieltjes de un operdor en G ([, b]; X). Definición 4.7. Un operdor T : G ([, b]; X) G ([, b]; X) posee un expnsión de Volterr-Stieltjes de grdo dos, en un vecindd de x 0 G ([, b]; X), si existen núcleos h 1, h 2 tles que T (x 0 +x) T (x 0 ) = donde lim λ 0 R 2 (x 0 ; λx) λ 2 = 0. d s1 h 1 (t 1 s 1 )x(s 1 )+ d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )x(s 1 )x(s 2 )+R 2 (x 0 ; x), Teorem 4.4. (Hille - Phillips [2]; Theorem ) Sen V X no vcío, bierto y T : V X un operdor 2 veces diferencible Gâteux. Entonces ) T x0 es linel simétric, 2 T x0 es bilinel y simétrico con T x0 [x] y 2 T x0 [x] polinomios homogéneos de grdo 1 y 2, respectivmente. b) T (x 0 + x) T (x 0 ) = T x0 [x] T x0 [x] + R 2 (x 0, x), con R 2 (x 0, λx) lim λ 0 λ 2 = 0

10 98 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Corolrio 4.1. Se V G ([, b]; X) no vcío, bierto y T : V G ([, b]; X) 2 veces diferencible Gâteux en x 0, con 2 T x0 cusl. Entonces T tiene un expnsión de Volterr-Stieltjes de grdo dos. Definición 4.8. representrse como Un plicción T : V Y es nlític en V, si puede T (x) = n [x] n, n=1 donde n es un operdor polinomil homogéneo de grdo n y l serie converge bsolutmente en V, y uniformemente sobre conjuntos cerrdos y cotdos de V. Teorem 4.5. (Pisnelli [6]) Se V X no vcío, bierto, cotdo y T : V X un operdor loclmente cotdo tl que i) T es diferencible Gâteux, ii) T x0 es invertible en un vecindd de x 0. Entonces existen vecinddes de x 0 y T x0 respectivmente donde T posee un únic invers dd por: donde T 1 u = Q m [u], m=1 Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q m [u] = [ T x0 ] 1 m n=1 j j n=m 1 n! m T x0 (Q j1,..., Q jn )[u]. Como resultdo del teorem nterior, obtenemos cómo podemos definir l invers locl de un operdor polinomil de grdo dos, sobre espcios de Bnch de form explícit. Corolrio 4.2. Se V X no vcío, bierto, cotdo y T : V X un operdor polinomil de grdo dos, con T X0 invertible en un vecindd de x 0. Entonces, existen vecinddes de x 0 y de T x0, respectivmente, donde T tiene un únic invers dd por:

11 Ecuciones integrles cudrátics. 99 con T 1 u = Q 1 [u] + Q 2 [u], Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q 2 [u] = [ T x0 ] 1 ( 2 T x0 )(Q 1, Q 1 )[u] 1 2 [ T x 0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u]. Definición 4.9. Consideremos el espcio vectoril { } F = x : [, b] X : x es un función y f : [, b] X X un función culquier. El operdor no linel F : F F ddo por F x(t) = f(t, x(t)) t [, b], x F, es llmdo el operdor composición socido l función f. Definición que El conjunto de ls funciones f : [, b] X X tles f es regld por l izquierd en l primer vrible, f es Lipschitz en l segund vrible, formn un espcio de Bnch, denotdo G Lips([, b] X; X) con l norm { } f = sup f 0 ; [f], donde f 0 : [, b] X definid por f 0 (t) = f(t, θ) y { [f] = inf M : f(t, x 2 ) f(t, x 1 ) M x 2 x 1, } x 1, x 2 X. A continución expondremos el resultdo de Vilori [7], que indic ls condiciones necesris y suficientes en f, pr que F ctúe en el espcio G ([, b]; X). Teorem 4.6. Se f : [, b] X X Lipschitz en l segund vrible. Entonces, el operdor F de composición socido f, es tl que F : G ([, b]; X) G ([, b]; X) si, y sólo si, f G Lips([, b] X; X). Además, F es cotdo.

12 100 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. 5 Condiciones de existenci y unicidd de soluciones Consideremos l ecución x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b] (K) Teorem 5.1. (Hönig) Sen K G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) y f G Lips([, b] X, X) con C(K, P)[f] < 1, pr lgún P P([, b]). Entonces, pr cd u G([, b]; X), existe un únic x G([, b]; X), solución de (K), que depende continumente de u, K y f; donde { } C(K, P) = sup K(t i +, t i) ; sup SV (ti,t][k t ]. 0 i n 1 t i t t i+1 El siguiente resultdo expres en el cso linel, es decir cundo f(t, x(t)) = x(t), que el resolvente de l solución puede ser expresdo por un Serie de Neumnn. Teorem 5.2. (Arbex [1], Corolrio 3.22 prte b)) Se K G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) y C(K, P) < 1, pr lgún P P([, b]). Entonces, pr cd u G([, b]; X), existe un únic x G([, b]; X), solución de (K), l cul est dd por x(t) = u(t) donde el operdor resolvente se escribe d s R(t, s)u(s), con R(s, t) = I(t, s) + ( 1) n 1 K n (t, s), n=1 K 1 (t, s) = K(t, s) K n+1 (t, s) = d s K(t, σ)k n (σ, s) n 1 núcleos iterdos.

13 Ecuciones integrles cudrátics Form Explícit de l Solución pr ecuciones cudrátics Consideremos l ecución integrl no linel de Volterr-Stieltjes x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b] (K) donde x G([, b]; X) es incógnit, u G([, b]; X) es conocid y K G σ 0 SF u ([, b] [, b] [, b]; L 2 (X, X)). Ahor supongmos V X no vcío, bierto, cotdo y f : [, b] V X, definid por f(t, x) = g(t)bx, donde g G ([, b]; C) y B un operdor polinomil homogéneo de grdo 2 sobre X, definido por Bx = L 2 (x, x), con L 2 bilinel simétrico. Vemos que En efecto, f G Lips([, b] V, X). f es regld por l izquierd en l primer vrible, f es Lipschitz en l segund vrible. Se t (, b] lim f(t h, x) = lim g(t h)bx h 0 h 0 = g(t )Bx (y que g G ([, b], X)), luego, = f(t, x) f(t, x) = lim h 0 f(t h, x) x X, esto demuestr que f es regld por l izquierd en l primer vrible. Sen x 1, x 2 V tles que [x 1, x 2 ] V. Queremos ver que existe L [0, 1) tl que: f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) L x 1 x 2 t [, b]

14 102 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Así, f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) sup x f(t, x 0 ) x 1 x 2 x 0 [x 1,x 2] t [, b], y como [, b] es compcto y g G ([, b]; C), sbemos que g es cotd. Además, V es cotdo, por lo tnto existe M > 0 tl que sup x f(t, x 0 ) M x 0 [x 1,x 2] t [, b]. De donde, se sigue que f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) M x 1 x 2 t [, b]. En consecuenci, f es Lipschitz respecto X. Consideremos hor, el operdor F : G ([, b], X) G ([, b], X) de composición socido f, F x(t) = f(t, x(t)) x G ([, b]; X), el cul es cotdo (por el Teorem 4.4). Y, definiendo el operdor linel k por: (kf )x(t) = l ecución (K) se puede expresr como x(t) + kf x(t) = u(t) t [, b] d s K(t, s)f x(s), (1) (I + kf )x = u (x G ([, b]; X)), donde I : G ([, b]; X) G ([, b]; X) es el operdor identidd. Si considermos el operdor T : G ([, b]; X) G ([, b]; X), T = I + kf que ctú sobre funciones x G ([, b]; X), entonces el operdor T se puede invertir loclmente hllndo [ T x0 ] 1 y 2 T x0, como lo muestr el siguiente teorem.

15 Ecuciones integrles cudrátics. 103 Teorem 6.1. Sen K G σ 0 SV u ([, b] [, b] [, b]; L 2 (X, X)) y f G Lips([, b] X; X). Si C(K; P)[f] < 1, pr lgún P P([, b]), y F inf {1, 1/SF [K]}, entonces (i) T es 2 veces diferencible Gâteux y (ii) l diferencil de T posee invers. Demostrción: (i) De su mism definición, tenemos que F x es diferencible Gâteux, lo que nos induce l diferencibilidd de T. Así que, ddo x 0 W G ([, b]; X), bierto y cotdo, Siendo, T x0 x(t) = lim λ 0 T (x 0 + λx)(t) T (x 0 )(t) λ = lim λ 0 (I + kf )(x 0 + λx)(t) (I + kf )(x 0 )(t) λ = Ix(t) + k lim λ 0 F (x 0 + λx) F (x 0 )(t) λ = Ix(t) + k F x0 [x](t). F x0 [x](t) = lim λ 0 F (x 0 + λx)(t) F (x 0 )(t) λ = lim λ 0 f(t, x 0 + λx) f(t, x 0 ) λ donde, emplendo ls regls del cálculo diferencil en espcios de Bnch, f x (t, x 0 ) = g(t) B x0 [x] = g(t)[l 2 (x 0, x) + L 2 (x, x 0 )] = 2g(t)L 2 (x 0, x). Luego, T x0 = I + k F x0 con T x0 L(G ([, b]; X); G ([, b]; X)). Ahor, clculemos

16 104 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. 2 T x0 [x](t) = 2 T x0 (x 1 (t), x 2 (t)) { } 2 1 T x0 (x 1 (t), x 2 (t)) = lim T x0+λx λ 0 λ 2(t)(x 1 )(t) + T x0 (x 1 )(t) siendo { } 1 = lim I(x 1 )(t) + k F x0+λx λ 0 λ 2(t)[x 1 ](t) I(x 1 )(t) k F x0 [x 1 ](t) { } 2 1 T x0 [x](t) = k lim F x0+λx λ 0 λ 2(t)[x 1 ](t) + F x0 [x 1 ](t) 2 F x0 [x](t) = x ( x f(t, x 0 )) = k 2 F x0 [x 1, x 2 ](t) = k 2 F x0 [x](t), = x (2g(t)L 2 (x 0, x)) = 2g(t)[L 2 (x 0, x) + L 2 (x, x 0 )] = 4g(t)L(x 0, x). Esto es, 2 T x0 existe y, demás, 2 T x0 = k 2 F x0 L ( G ([, b]; X) G ([, b]; X); G ([, b]; X) ). Así, T es un operdor 2 veces diferencible Gâteux. Por otro ldo, en virtud del Teorem 4.4, T (x 0 + x) T (x 0 ) = T x0 [x] T x0 [x] y result T un operdor polinomil de grdo dos. Por otro ldo, como por hipótesis se tiene que { } 1 F inf 1,, SF [K] 1 k F k F SF [K] SF [K] = 1

17 Ecuciones integrles cudrátics. 105 de donde T x0 es invertible en un vecindd de x 0. Se sigue entonces, del corolrio nterior, que existen vecinddes de x 0 y T (x 0 ), respectivmente, donde T posee un únic invers definid por donde T 1 u = Q 1 [u] + Q 2 [u] (2) Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q 2 [u] = [ T x0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u] 1 2 [ T x 0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u]. Por consiguiente, pr hllr ( T x0 ) 1, bst resolver l ecución linel donde H = T x0 = I + k F x0. Hx = u, (3) L cul, según demostró Arbex, tiene resolvente determind prtir de un serie de Neumnn. Psemos clculr H 1. L ecución (3) puede escribirse como donde, por ser x(t) + d s K(t, s) F x0 x(s) = u(t) (4) F x0 L(G ([, b]; X); G ([, b]; X)), posee un representción integrl, esto es existe h 1 G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) tl que con F x0 x(t) = d s h 1 (t, s)x(s) t [, b],

18 106 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. y h 1 (t, s)x = F x0 (xx (,t] )(s) = 2g(s)L 2 (x 0 (s), xx (,t] (s)) F x0 = SV [h 1 ] = sup t SV [h 1 ] <. t [,b] Entonces, l ecución (4) posee un únic solución dd por x(t) = u(t) donde l resolvente está representd por el operdor d s R(t, s)u(s), (5) siendo K 1 = h 1 y K n+1 (t, s) = R(t, s) = I + ( 1) n 1 K n (t, s) n=1 d σ h 1 (t, σ)k n (σ, s). Así, hemos hlldo [ T x0 ] 1 u, medinte l expresión (5). Ahor, ddo que 2 F x0 L ( G ([, b]; X), G ([, b]; X); G ([, b]; X) ) existe un único h 2 G σ SF u 2 ([, b] [, b] [, b]; L(X, X; X)) tl que 2 F x0 (x 1, x 2 )(t) = donde d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ),

19 Ecuciones integrles cudrátics. 107 h 2 (t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = 2 F x0 (x 1 X (,t] (s 1 ), x 2 X (,t] (s 2 )) ) = 4g(t)L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 ) + x 2 X (,t] (s 2 ) [ ] = 4g(t) L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 )) + L 2 (x 0 (t), x 2 X (,t] (s 2 )) [ ] = 2 2g(t)L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 )) + 2g(t)L 2 (x 0 (t), x 2 X (,t] (s 2 )) ] = 2 [h 1 (t, s 1 )x 1 + h 1 (t, s 2 )x 2. Finlmente, podemos concluir que l únic solución pr un sistem no linel ddo por un ecución integrl de Volterr-Stieltjes de l form x(t) + se expres medinte l iguldd d s K(t, s)g(s)bx = u(t), donde x(t) = Q 1 [u](t) + Q 2 [u](t) Q 1 [u](t) = u(t) pr K 1 = F x0 y K n+1 (t, s) = Y, d s R(t, s)u(s) con R = I + n=1 ( 1) n 1 K n d σ F x0 (xx (s,t] (σ))k n (σ, s). Q 2 [u](t) = 3 2 (I + k F x 0 ) 1 (k 2 F x0 )(Q 1, Q 1 )[u](t) con 2 F x0 (Q 1, Q 1 )u(t) = d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )(Q 1 u(s 1 ), Q 1 u(s 2 )),

20 108 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. siendo tl que h 2 G σ 0 SF u ([, b] [, b] [, b]; L(X, X; X)), h 2 (t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = 2 F x0 (x 1 X (,t] (s 1 ), x 2 X (,t] (s 2 )) con = 2[h 1 (t, s 1 )x 1 + h 1 (t, s 2 )x 2 ] h 1 (t, s 1 )x 1 = 2g(s 1 )L 2 (x 0 (s 1 ), x 1 X (,t] (s 1 )) = F x0 x 1 (s 1 ) h 2 (t, s 2 )x 2 = 2g(s 2 )L 2 (x 0 (s 2 ), x 2 X (,t] (s 2 )) = F x0 x 2 (s 2 ). References [1] Arbex, S. Ecuções Integris de Volterr-Stieltjes com núcleos descontínuos, Dr. Tese, IME - USP, Brsil [2] Hille, E nd Phillips, R. Functionl nlysis nd semi-groups, volumen 31. rev. ed, Americn Mthemticl Society Colloquium Publictions, Providence [3] Hönig, C. Volterr-Stieltjes Integrl Equtions, Mth Studies 16, North - Hollnd Publ. Comp, Amsterdm [4] Hönig, C. Volterr-Stieltjes Integrl Equtions, Funct. Diff. Eq. nd Bif., Springer Lecture Notes in Mthemtics 799, pg [5] Hönig, C. Équtions Integrles générliseés t pplictions, Publ. Mth. D orsy. Exp. n o [6] Pisnelli, D. Sull invertibilità degli opertori nlitici negli spzi di Bnch, Boll. Un. Mt. Itli 3(19) [7] Vilori, N. Exponsão ds soluções de sistems não lineres no espço ds funções regrds vlores em espços de Bnch. Dr. Tese, IME - USP, Brsil (1997).

21 Ecuciones integrles cudrátics. 109 [8] Vilori, N. El operdor de Nemytskij en el espcio de ls funciones reglds, Divulgciones Mtemátics, Vol. 12, , No. 2(2004). Eribel Mrquin, Mgiter Scientie en Mtemátics. Jvier Quintero, Áre de Mtemátics, Centro Locl Mérid, Universidd Ncionl Abiert. Nelson Vilori, Deprtmento de Mtemátics, Fcultd de Ciencis, Universidd de Los Andes. e-mil:

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