Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Expansión de las soluciones para ecuaciones integrales cuadráticas."

Transcripción

1 Boletín de l Asocición Mtemátic Venezoln, Vol. XVIII, No. 2 (2011) 89 ARTÍCULOS Expnsión de ls soluciones pr ecuciones integrles cudrátics. Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Resumen. En este rtículo encontrmos l expnsión de l solución de x(t) + d s K(t, s)g(s)bx(s) = u(t), t [, b], bsd en l teorí de representción de operdores multilineles plicd operdores bilineles. Abstrct. In this rticle we find the expnsion of the solution of x(t) + d s K(t, s)g(s)bx(s) = u(t), t [, b], bsed on the theory of representtion of multiliner opertors pplied to biliner opertors. Introducción Sen X, Y espcios de Bnch y consideremos l ecución integrl no linel de Volterr-Stieltjes del tipo x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b], (K), donde x es un función regld incógnit, u es un función regld conocid, K es un función simplemente regld como función de t y uniformemente de semivrición de Fréchet como función de s, nulándose en l digonl; y l no 2010 AMS Subject Clssifictions: Primry 45D05, Secondry 06B15. Keywords: Ecuciones Integrles de Volterr-Stieltjes, Ecuciones Integrles Cudrátics, Integrl de Dushnik, Semivrición Acotd, Funciones Reglds, Teorems de Representción de Riez, Expnsiones de Volterr.

2 90 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. linelidd de (K) está dd por f : [, b] X X, con f(t, x) = g(t)bx, donde g es un función regld y Bx = L 2 x un operdor polinomil de grdo dos sobre X. Dremos l expnsión de l solución de (K), bsándonos en l Teorí de representción de operdores multilineles, plicd operdores bilineles. 1 Funciones reglds Consideremos X, Y, W y Z espcios de Bnch, y [, b] R un intervlo cerrdo. Un función x : [, b] X es un función regld si sólo tiene discontinuiddes de primer especie, es decir, si i) pr todo t [, b) existe x(t + ) = lim h 0 x(t + h) y ii) pr todo t (, b] existe x(t ) = lim h 0 x(t h). Al espcio de ls funciones reglds de [, b] en X lo denotmos por G([, b]; X), tl espcio es un espcio de Bnch con l norm del supremo. Teorem 1.1. (Hönig[3], Theorem 1.3.1) Un función x : [, b] X es regld si, y sólo si, existe un sucesión de funciones esclonds (ϕ n ) n 1 : [, b] X, tl que lim n ϕ n(t) = x(t) t [, b]. Un función x : [, b] X es regld por l izquierd si x() = 0 y x(t) = x(t ) pr todo t (, b]. A este subespcio cerrdo de G([, b]; X) lo denotmos por G ([, b]; X). Un función x : [, b] L(W, X) es simplemente regld si, pr todo w W, l función xw : [, b] X t x(t)w, es regld y escribimos x G σ ([, b]; L(W, X)), que es un espcio de Bnch con l norm dd por Además, x = sup x(t) L(W,X) t [,b] x G σ ([, b]; L(W, X)). G([, b]; L(W, X)) G σ ([, b]; L(W, X)). (Arbex [1] )

3 Ecuciones integrles cudrátics Funciones de vrición y semivrición cotd Un prtición de un rectángulo [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] es el conjunto P = P 1 P 2 con P r P[ r, b r ], donde r = t 0 <... < t n(r) = b r. P ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]) denot el conjunto de tods ls prticiones del rectángulo. Además, n(p) = n(p 1 ) n(p 2 ), P = P 1 P 2. Sen z : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] Z y P P ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]). Consideremos i(1), i(2) N, con 1 i(r) n(p r ). Definimos i(1) z : [ 2, b 2 ] Z por i(2) z : [ 1, b 1 ] Z por i(1) z(s) = z(t i(1), s) z(t i(1) 1, s) s [ 2, b 2 ] i(2) z(s) = z(s, t i(2) ) z(s, t i(2) 1 ) s [ 1, b 1 ] En prticulr, pr [, b] R, z : [, b] Z está dd por i z = z(t i ) z(t i 1 ). Luego, i(1) i(2) z denot el cálculo i(1) ( i(2) z ) (s). Ddos (X 1, 1 ), (X 2, 2 ) y (Y, ) espcios de Bnch. Consideremos, en X 1 X 2, l topologí producto inducid por ls norms sobre X 1, X 2, es decir, x X1 X 2 = sup{ x 1 1, x 2 2 }. Un plicción q : X 1 X 2 Y es bilinel si es linel en cd vrible por seprdo. Diremos que q L (X 1 X 2, Y ) si q es bilinel y continu (es decir, M > 0 tl que q(x 1, x 2 ) M x 1 x 2 ). Se α : [, b] L(X, Y ). Se define l semivrición de α en [, b] por SV [α] = sup SV [α; P] P P[,b] = sup P P[,b] sup x i X x i 1 n(p) [α(t i ) α(t i 1 )]x i. i=1

4 92 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Si SV [α] <, entonces α es un función de semivrición cotd y se escribe α SV ([, b]; L(X, Y )). Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] Z. Se define vrición de Vitli de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] por donde V [K] = sup V [K; P], P P([ 1,b 1] [ 2,b 2]) V [K; P] = n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) K Si V [K] <, entonces K es un función de vrición cotd de Vitli en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] y se escribe K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; Z). Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X, Y ), se define l semivrición de Vitli de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] como donde SV [K] = sup SV [K; P], P P([ 1,b 1] [ 2,b 2]) SV [K; P] = sup x i(1)i(2) 1 n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) Kx i(1)i(2) : x i(1)i(2) X. Si SV [K] <, entonces K se dice de semivrición cotd de Vitli y se escribe K SV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L(X, Y )). Teorem 2.1. (Vilori[8]; Teorem 2.1.1) BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )) SV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )) y si K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L(X, Y )), entonces SV [K] V [K]. Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X 1, X 2 ; Y ). Se define l vrición de Fréchet de K en [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] por

5 Ecuciones integrles cudrátics. 93 donde SF [K] = sup SF [K; P] P P([ 1,b 1] [ 2,b 2] SV [K; P] = sup x i(r) 1 n(p) i(1),i(2) i(1) i(2) K ( ) x i(1), x i(2) : x i(r) X r Si SF [K] <, entonces K se dice de semivrición cotd de Fréchet y se escribe K SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L(X 1, X 2 ; Y )). Teorem 2.2. (Vilori [8]; Teorem 2.1.2) BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )) SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) Además, si K BV ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )), entonces SF [K] < V [K]. 3 Integrl interior de Dushnik L integrl interior de Dushnik fue concebid por Pollrd, en 1920, y redescubiert por Dushnik, en Posteriormente fue utilizd por Kltenborn, en 1934, pr representr los elementos del espcio L((G[, b], R), R), resultdo generlizdo por Hönig, en 1975, l espcio L(G([, b], X); Z) y extendido ( por Vilori [7], en 1997, pr representr los elementos de los espcios m ) ( m ) L G ([, b], X); Z y L G ([ r, b r ]; X r ), G ([, b]; Y ), y tmbién r=1 r=1( m ) pr los operdores cusles en L G ([ r, b r ]; X), G ([, b]; Y ). En este r=1 trbjo es empled pr representr, de mner prticulr, los elementos de L (G ([ 1, b 1 ]; X) G ([ 2, b 2 ]; X); G ([, b]; Y )). Sen e, (e P ) P P en un espcio topológico E, escribiremos lim P P e P = e si, pr todo entorno V de e, existe P V P tl que P P V e P V. Definición 3.1. (Integrl doble de Dushnik) Sen K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L(X 1, X 2 ; Y ), x 1 : [ 1, b 1 ] X 1 y x 2 : [ 2, b 2 ] X 2. Si existe lim σ P, donde P = P([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]) y P P

6 94 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. σ P = n(p 1) i(1) n(p 2) i(2) i(1) i(2) K(x 1 (ξ i(1) ), x 2 (ξ i(2) ) con ξ i(r) (t i(r) 1, t i(r) ), entonces es llmdo integrl interior de Dushnik de l función x = (x 1, x 2 ) con respecto l núcleo K y se denot por b1 b2 1 2 d s1s 2 K(s 1, s 2 )(x 1 (s 1 ), x 2 (s 2 )). Un resultdo, que nos ofrece un condición suficiente pr l existenci de l integrl, es el siguiente Teorem 3.1. (Vilori [8]; Lem 2.2.1) Sen K SF ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) y x r G ([ r, b r ]; X r ), r = 1, 2. Entonces (i) Existe Λ K : G ([ 1, b 1 ]; X 1 ) G ([ 2, b 2 ]; X 2 ) Y, definid por Λ K (x 1 ; x 2 ) = (ii) Λ K es bilinel, b1 b2 1 2 d s1s 2 K(s 1 ; s 2 )(x 1 (s 1 ), x 2 (s 2 )), (iii) Λ K x SF [K] x 1 x 2, (iv) Si x r Ω 0 ([ r, b r ]; X r ) pr lgún r = 1, 2, entonces Λ K x = 0. 4 Teorems de representción integrl pr operdores bilineles Definición 4.1. que Se K : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; Z) tl K( 1, s 2 ) = K(s 1, 2 ) = 0 s 1 [ 1, b 1 ] y s 2 [ 2, b 2 ]. Entonces diremos que K SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1 X 2 ; X)).

7 Ecuciones integrles cudrátics. 95 Teorem 4.1. (Vilori [8]; Teorem 2.3.1) L plicción K Λ K, definid por Λ K (x 1, x 2 ) = b2 b1 d s2 2 es un isometrí entre los espcios de Bnch y 1 d s1 K(s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ), SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Z)) L ( G ([ 1, b 1 ]; X 1 ), G ([ 2, b 2 ]; X 2 ); Z ). Además, K(s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = Λ K ( X (1,s 1]x 1, X (2,s 2]x 2 ) con Λ K = SF [K]. Definición 4.2. Se K : [, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L (X 1, X 2 ; Y ). Definimos K t : [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ] L (X 1, X 2 ; Y ) y K s 2 : [, b] L (X 1, X 2 ; Y ) por K t (s 1, s 2 ) = K(t 1, s 1, s 2 ) = K s 2(t). Además, consideremos ls siguientes propieddes: (G σ ) : K es simplemente regld como función de t, es decir, K s 2 G σ ([, b]; L (X 1, X 2 ; Y )). (SF u ) : K es uniformemente de semivrición de Fréchet cotd como función de (s 1, s 2 ), esto es, SF u [K] = sup [K t ] <. t [,b] (SF u 2 ) : K stisfce (SF u ) y K t SF 2 ([ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )) pr todo t [, b]. Si K verific (G σ ) y (SF u ), escribimos K G σ SF u ([, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ], L (X 1, X 2 ; Y )). Análogmente definimos K G σ SF u 2.

8 96 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Teorem 4.2. (Vilori [8]; Teorem 2.3.2) L plicción K Λ K dd por Λ K (x 1, x 2 )(t) = b2 b1 d s2 2 es un isometrí entre los espcios de Bnch y 1 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) G σ SF u 2 ([, b] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]; L (X 1, X 2 ; Y )) L ( G ([ 1, b 1 ]; X 1 ), G ([ 2, b 2 ]; X 2 ); G([, b]; Y ) ), con K(t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = Λ K (X (1,s 1]x 1, X (2,s 2]x 2 )(t) y Λ K = SF u [K]. Definición 4.3. Se K G σ SF u ( [, b] 3 ; L 2 (X; Y ) ), donde [, b] 3 = [, b] [, b] [, b] y L 2 (X; Y ) = L (X X; Y ). Si, pr todo x X, l función K : [, b] Y definid por K (t) = K(t, t, t)(x, x) t [, b] es regld, se dice que K es simplemente regld en l digonl y escribimos K G σ SF u ( [, b] 3, L 2 (X; Y ) ). Si, demás, K (t) = 0 escribimos t [, b], se dice que K se nul en l digonl y K G σ 0 SF u ( [, b] 3, L 2 (X; Y ) ). Definición 4.4. P L 2 (G([, b], X); G([, b], Y )) es un operdor cusl si pr todo x G([, b]; X) y pr todo T [, b], x [,T ] = 0 P (x, x) [,T ] = 0. Definición 4.5. Se K G σ SF u ([, b] 3 ; L 2 (X, Y )). Pr x = (x 1, x 2 ) con x r G ([, b]; X), r = 1, 2, definimos (kx)(t) = d s2 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) t [, b] A continución mostrmos que los operdores bilineles cusles tmbién pueden ser representdos.

9 Ecuciones integrles cudrátics. 97 Teorem 4.3. (Vilori [8]; Teorem 2.3.3) L plicción K k es un isometrí entre el espcio de Bnch G σ 0 SF u ([, b] 3, L 2 (X; Y )) y el subespcio de los operdores cusles de L 2 (G ([, b], X); G([, b], Y )), donde k = SF u [K] y K(t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = k ( X (,t] x 1, X (,t] x 2 ) (t). Ahor presentremos el concepto de polinomil de Volterr-Stieltjes de grdo dos. Definición 4.6. definido por Si h 2 G σ SF u ([, b] 3, L 2 (X; Y )), el operdor P 2 : G ([, b]; X) G ([, b]; X), P 2 x(t) = h 0 (t) + b d s1 h 1 (t, s 1 )x(s 1 ) + b es llmdo Polinomio de Volterr-Stieltjes de grdo dos. b d s2 d s1 K(t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ) Dremos continución l definición de Expnsión de Volterr-Stieltjes de un operdor en G ([, b]; X). Definición 4.7. Un operdor T : G ([, b]; X) G ([, b]; X) posee un expnsión de Volterr-Stieltjes de grdo dos, en un vecindd de x 0 G ([, b]; X), si existen núcleos h 1, h 2 tles que T (x 0 +x) T (x 0 ) = donde lim λ 0 R 2 (x 0 ; λx) λ 2 = 0. d s1 h 1 (t 1 s 1 )x(s 1 )+ d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )x(s 1 )x(s 2 )+R 2 (x 0 ; x), Teorem 4.4. (Hille - Phillips [2]; Theorem ) Sen V X no vcío, bierto y T : V X un operdor 2 veces diferencible Gâteux. Entonces ) T x0 es linel simétric, 2 T x0 es bilinel y simétrico con T x0 [x] y 2 T x0 [x] polinomios homogéneos de grdo 1 y 2, respectivmente. b) T (x 0 + x) T (x 0 ) = T x0 [x] T x0 [x] + R 2 (x 0, x), con R 2 (x 0, λx) lim λ 0 λ 2 = 0

10 98 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Corolrio 4.1. Se V G ([, b]; X) no vcío, bierto y T : V G ([, b]; X) 2 veces diferencible Gâteux en x 0, con 2 T x0 cusl. Entonces T tiene un expnsión de Volterr-Stieltjes de grdo dos. Definición 4.8. representrse como Un plicción T : V Y es nlític en V, si puede T (x) = n [x] n, n=1 donde n es un operdor polinomil homogéneo de grdo n y l serie converge bsolutmente en V, y uniformemente sobre conjuntos cerrdos y cotdos de V. Teorem 4.5. (Pisnelli [6]) Se V X no vcío, bierto, cotdo y T : V X un operdor loclmente cotdo tl que i) T es diferencible Gâteux, ii) T x0 es invertible en un vecindd de x 0. Entonces existen vecinddes de x 0 y T x0 respectivmente donde T posee un únic invers dd por: donde T 1 u = Q m [u], m=1 Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q m [u] = [ T x0 ] 1 m n=1 j j n=m 1 n! m T x0 (Q j1,..., Q jn )[u]. Como resultdo del teorem nterior, obtenemos cómo podemos definir l invers locl de un operdor polinomil de grdo dos, sobre espcios de Bnch de form explícit. Corolrio 4.2. Se V X no vcío, bierto, cotdo y T : V X un operdor polinomil de grdo dos, con T X0 invertible en un vecindd de x 0. Entonces, existen vecinddes de x 0 y de T x0, respectivmente, donde T tiene un únic invers dd por:

11 Ecuciones integrles cudrátics. 99 con T 1 u = Q 1 [u] + Q 2 [u], Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q 2 [u] = [ T x0 ] 1 ( 2 T x0 )(Q 1, Q 1 )[u] 1 2 [ T x 0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u]. Definición 4.9. Consideremos el espcio vectoril { } F = x : [, b] X : x es un función y f : [, b] X X un función culquier. El operdor no linel F : F F ddo por F x(t) = f(t, x(t)) t [, b], x F, es llmdo el operdor composición socido l función f. Definición que El conjunto de ls funciones f : [, b] X X tles f es regld por l izquierd en l primer vrible, f es Lipschitz en l segund vrible, formn un espcio de Bnch, denotdo G Lips([, b] X; X) con l norm { } f = sup f 0 ; [f], donde f 0 : [, b] X definid por f 0 (t) = f(t, θ) y { [f] = inf M : f(t, x 2 ) f(t, x 1 ) M x 2 x 1, } x 1, x 2 X. A continución expondremos el resultdo de Vilori [7], que indic ls condiciones necesris y suficientes en f, pr que F ctúe en el espcio G ([, b]; X). Teorem 4.6. Se f : [, b] X X Lipschitz en l segund vrible. Entonces, el operdor F de composición socido f, es tl que F : G ([, b]; X) G ([, b]; X) si, y sólo si, f G Lips([, b] X; X). Además, F es cotdo.

12 100 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. 5 Condiciones de existenci y unicidd de soluciones Consideremos l ecución x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b] (K) Teorem 5.1. (Hönig) Sen K G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) y f G Lips([, b] X, X) con C(K, P)[f] < 1, pr lgún P P([, b]). Entonces, pr cd u G([, b]; X), existe un únic x G([, b]; X), solución de (K), que depende continumente de u, K y f; donde { } C(K, P) = sup K(t i +, t i) ; sup SV (ti,t][k t ]. 0 i n 1 t i t t i+1 El siguiente resultdo expres en el cso linel, es decir cundo f(t, x(t)) = x(t), que el resolvente de l solución puede ser expresdo por un Serie de Neumnn. Teorem 5.2. (Arbex [1], Corolrio 3.22 prte b)) Se K G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) y C(K, P) < 1, pr lgún P P([, b]). Entonces, pr cd u G([, b]; X), existe un únic x G([, b]; X), solución de (K), l cul est dd por x(t) = u(t) donde el operdor resolvente se escribe d s R(t, s)u(s), con R(s, t) = I(t, s) + ( 1) n 1 K n (t, s), n=1 K 1 (t, s) = K(t, s) K n+1 (t, s) = d s K(t, σ)k n (σ, s) n 1 núcleos iterdos.

13 Ecuciones integrles cudrátics Form Explícit de l Solución pr ecuciones cudrátics Consideremos l ecución integrl no linel de Volterr-Stieltjes x(t) + d s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t), t [, b] (K) donde x G([, b]; X) es incógnit, u G([, b]; X) es conocid y K G σ 0 SF u ([, b] [, b] [, b]; L 2 (X, X)). Ahor supongmos V X no vcío, bierto, cotdo y f : [, b] V X, definid por f(t, x) = g(t)bx, donde g G ([, b]; C) y B un operdor polinomil homogéneo de grdo 2 sobre X, definido por Bx = L 2 (x, x), con L 2 bilinel simétrico. Vemos que En efecto, f G Lips([, b] V, X). f es regld por l izquierd en l primer vrible, f es Lipschitz en l segund vrible. Se t (, b] lim f(t h, x) = lim g(t h)bx h 0 h 0 = g(t )Bx (y que g G ([, b], X)), luego, = f(t, x) f(t, x) = lim h 0 f(t h, x) x X, esto demuestr que f es regld por l izquierd en l primer vrible. Sen x 1, x 2 V tles que [x 1, x 2 ] V. Queremos ver que existe L [0, 1) tl que: f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) L x 1 x 2 t [, b]

14 102 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. Así, f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) sup x f(t, x 0 ) x 1 x 2 x 0 [x 1,x 2] t [, b], y como [, b] es compcto y g G ([, b]; C), sbemos que g es cotd. Además, V es cotdo, por lo tnto existe M > 0 tl que sup x f(t, x 0 ) M x 0 [x 1,x 2] t [, b]. De donde, se sigue que f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) M x 1 x 2 t [, b]. En consecuenci, f es Lipschitz respecto X. Consideremos hor, el operdor F : G ([, b], X) G ([, b], X) de composición socido f, F x(t) = f(t, x(t)) x G ([, b]; X), el cul es cotdo (por el Teorem 4.4). Y, definiendo el operdor linel k por: (kf )x(t) = l ecución (K) se puede expresr como x(t) + kf x(t) = u(t) t [, b] d s K(t, s)f x(s), (1) (I + kf )x = u (x G ([, b]; X)), donde I : G ([, b]; X) G ([, b]; X) es el operdor identidd. Si considermos el operdor T : G ([, b]; X) G ([, b]; X), T = I + kf que ctú sobre funciones x G ([, b]; X), entonces el operdor T se puede invertir loclmente hllndo [ T x0 ] 1 y 2 T x0, como lo muestr el siguiente teorem.

15 Ecuciones integrles cudrátics. 103 Teorem 6.1. Sen K G σ 0 SV u ([, b] [, b] [, b]; L 2 (X, X)) y f G Lips([, b] X; X). Si C(K; P)[f] < 1, pr lgún P P([, b]), y F inf {1, 1/SF [K]}, entonces (i) T es 2 veces diferencible Gâteux y (ii) l diferencil de T posee invers. Demostrción: (i) De su mism definición, tenemos que F x es diferencible Gâteux, lo que nos induce l diferencibilidd de T. Así que, ddo x 0 W G ([, b]; X), bierto y cotdo, Siendo, T x0 x(t) = lim λ 0 T (x 0 + λx)(t) T (x 0 )(t) λ = lim λ 0 (I + kf )(x 0 + λx)(t) (I + kf )(x 0 )(t) λ = Ix(t) + k lim λ 0 F (x 0 + λx) F (x 0 )(t) λ = Ix(t) + k F x0 [x](t). F x0 [x](t) = lim λ 0 F (x 0 + λx)(t) F (x 0 )(t) λ = lim λ 0 f(t, x 0 + λx) f(t, x 0 ) λ donde, emplendo ls regls del cálculo diferencil en espcios de Bnch, f x (t, x 0 ) = g(t) B x0 [x] = g(t)[l 2 (x 0, x) + L 2 (x, x 0 )] = 2g(t)L 2 (x 0, x). Luego, T x0 = I + k F x0 con T x0 L(G ([, b]; X); G ([, b]; X)). Ahor, clculemos

16 104 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. 2 T x0 [x](t) = 2 T x0 (x 1 (t), x 2 (t)) { } 2 1 T x0 (x 1 (t), x 2 (t)) = lim T x0+λx λ 0 λ 2(t)(x 1 )(t) + T x0 (x 1 )(t) siendo { } 1 = lim I(x 1 )(t) + k F x0+λx λ 0 λ 2(t)[x 1 ](t) I(x 1 )(t) k F x0 [x 1 ](t) { } 2 1 T x0 [x](t) = k lim F x0+λx λ 0 λ 2(t)[x 1 ](t) + F x0 [x 1 ](t) 2 F x0 [x](t) = x ( x f(t, x 0 )) = k 2 F x0 [x 1, x 2 ](t) = k 2 F x0 [x](t), = x (2g(t)L 2 (x 0, x)) = 2g(t)[L 2 (x 0, x) + L 2 (x, x 0 )] = 4g(t)L(x 0, x). Esto es, 2 T x0 existe y, demás, 2 T x0 = k 2 F x0 L ( G ([, b]; X) G ([, b]; X); G ([, b]; X) ). Así, T es un operdor 2 veces diferencible Gâteux. Por otro ldo, en virtud del Teorem 4.4, T (x 0 + x) T (x 0 ) = T x0 [x] T x0 [x] y result T un operdor polinomil de grdo dos. Por otro ldo, como por hipótesis se tiene que { } 1 F inf 1,, SF [K] 1 k F k F SF [K] SF [K] = 1

17 Ecuciones integrles cudrátics. 105 de donde T x0 es invertible en un vecindd de x 0. Se sigue entonces, del corolrio nterior, que existen vecinddes de x 0 y T (x 0 ), respectivmente, donde T posee un únic invers definid por donde T 1 u = Q 1 [u] + Q 2 [u] (2) Q 1 [u] = [ T x0 ] 1 [u] Q 2 [u] = [ T x0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u] 1 2 [ T x 0 ] 1 2 T x0 (Q 1, Q 1 )[u]. Por consiguiente, pr hllr ( T x0 ) 1, bst resolver l ecución linel donde H = T x0 = I + k F x0. Hx = u, (3) L cul, según demostró Arbex, tiene resolvente determind prtir de un serie de Neumnn. Psemos clculr H 1. L ecución (3) puede escribirse como donde, por ser x(t) + d s K(t, s) F x0 x(s) = u(t) (4) F x0 L(G ([, b]; X); G ([, b]; X)), posee un representción integrl, esto es existe h 1 G σ 0 SV u ([, b] [, b]; L(X, X)) tl que con F x0 x(t) = d s h 1 (t, s)x(s) t [, b],

18 106 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. y h 1 (t, s)x = F x0 (xx (,t] )(s) = 2g(s)L 2 (x 0 (s), xx (,t] (s)) F x0 = SV [h 1 ] = sup t SV [h 1 ] <. t [,b] Entonces, l ecución (4) posee un únic solución dd por x(t) = u(t) donde l resolvente está representd por el operdor d s R(t, s)u(s), (5) siendo K 1 = h 1 y K n+1 (t, s) = R(t, s) = I + ( 1) n 1 K n (t, s) n=1 d σ h 1 (t, σ)k n (σ, s). Así, hemos hlldo [ T x0 ] 1 u, medinte l expresión (5). Ahor, ddo que 2 F x0 L ( G ([, b]; X), G ([, b]; X); G ([, b]; X) ) existe un único h 2 G σ SF u 2 ([, b] [, b] [, b]; L(X, X; X)) tl que 2 F x0 (x 1, x 2 )(t) = donde d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )x 1 (s 1 )x 2 (s 2 ),

19 Ecuciones integrles cudrátics. 107 h 2 (t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = 2 F x0 (x 1 X (,t] (s 1 ), x 2 X (,t] (s 2 )) ) = 4g(t)L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 ) + x 2 X (,t] (s 2 ) [ ] = 4g(t) L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 )) + L 2 (x 0 (t), x 2 X (,t] (s 2 )) [ ] = 2 2g(t)L 2 (x 0 (t), x 1 X (,t] (s 1 )) + 2g(t)L 2 (x 0 (t), x 2 X (,t] (s 2 )) ] = 2 [h 1 (t, s 1 )x 1 + h 1 (t, s 2 )x 2. Finlmente, podemos concluir que l únic solución pr un sistem no linel ddo por un ecución integrl de Volterr-Stieltjes de l form x(t) + se expres medinte l iguldd d s K(t, s)g(s)bx = u(t), donde x(t) = Q 1 [u](t) + Q 2 [u](t) Q 1 [u](t) = u(t) pr K 1 = F x0 y K n+1 (t, s) = Y, d s R(t, s)u(s) con R = I + n=1 ( 1) n 1 K n d σ F x0 (xx (s,t] (σ))k n (σ, s). Q 2 [u](t) = 3 2 (I + k F x 0 ) 1 (k 2 F x0 )(Q 1, Q 1 )[u](t) con 2 F x0 (Q 1, Q 1 )u(t) = d s2 d s1 h 2 (t, s 1, s 2 )(Q 1 u(s 1 ), Q 1 u(s 2 )),

20 108 Eribel Mrquin, Jvier Quintero, Nelson Vilori. siendo tl que h 2 G σ 0 SF u ([, b] [, b] [, b]; L(X, X; X)), h 2 (t, s 1, s 2 )(x 1, x 2 ) = 2 F x0 (x 1 X (,t] (s 1 ), x 2 X (,t] (s 2 )) con = 2[h 1 (t, s 1 )x 1 + h 1 (t, s 2 )x 2 ] h 1 (t, s 1 )x 1 = 2g(s 1 )L 2 (x 0 (s 1 ), x 1 X (,t] (s 1 )) = F x0 x 1 (s 1 ) h 2 (t, s 2 )x 2 = 2g(s 2 )L 2 (x 0 (s 2 ), x 2 X (,t] (s 2 )) = F x0 x 2 (s 2 ). References [1] Arbex, S. Ecuções Integris de Volterr-Stieltjes com núcleos descontínuos, Dr. Tese, IME - USP, Brsil [2] Hille, E nd Phillips, R. Functionl nlysis nd semi-groups, volumen 31. rev. ed, Americn Mthemticl Society Colloquium Publictions, Providence [3] Hönig, C. Volterr-Stieltjes Integrl Equtions, Mth Studies 16, North - Hollnd Publ. Comp, Amsterdm [4] Hönig, C. Volterr-Stieltjes Integrl Equtions, Funct. Diff. Eq. nd Bif., Springer Lecture Notes in Mthemtics 799, pg [5] Hönig, C. Équtions Integrles générliseés t pplictions, Publ. Mth. D orsy. Exp. n o [6] Pisnelli, D. Sull invertibilità degli opertori nlitici negli spzi di Bnch, Boll. Un. Mt. Itli 3(19) [7] Vilori, N. Exponsão ds soluções de sistems não lineres no espço ds funções regrds vlores em espços de Bnch. Dr. Tese, IME - USP, Brsil (1997).

21 Ecuciones integrles cudrátics. 109 [8] Vilori, N. El operdor de Nemytskij en el espcio de ls funciones reglds, Divulgciones Mtemátics, Vol. 12, , No. 2(2004). Eribel Mrquin, Mgiter Scientie en Mtemátics. Jvier Quintero, Áre de Mtemátics, Centro Locl Mérid, Universidd Ncionl Abiert. Nelson Vilori, Deprtmento de Mtemátics, Fcultd de Ciencis, Universidd de Los Andes. e-mil:

22

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo

2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo 2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas

Teorema del punto fijo Rodrigo Vargas Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones. Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N

Más detalles

Integral impropia Al definir la integral definida b

Integral impropia Al definir la integral definida b Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd,

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ.

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ. Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles,

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

Teoremas de convergencia

Teoremas de convergencia Cpítulo 3 Teorems de convergenci L necesidd de considerr límites de sucesiones o series de funciones es básic en el estudio del nálisis. Por tnto, es nturl preguntrse bjo qué condiciones se tiene que un

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

Semánticas de procesos y aplicaciones

Semánticas de procesos y aplicaciones Semántics de procesos y plicciones Clse 06: Puntos Fijos Qué vimos hst hor? cciones: multicciones: α 3 operdores sobre multicciones: α \ β, α β y α operdor de elección: + operdor de secuenci:. operdor

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

Integración de Funciones de Varias variables

Integración de Funciones de Varias variables Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.) Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales

Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales Aplicciones lineles Bloque 2 Lección 2.2.- Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción

Más detalles

Teoremas de la Función Inversa y de la Función Impĺıcita

Teoremas de la Función Inversa y de la Función Impĺıcita Teorems de l Función Invers y de l Función Impĺıcit Betriz Porrs 1 Introducción En el cpítulo nterior estudimos lguns propieddes de ls funciones diferencibles que tenín l diferencil nul El desrrollo de

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

ECUACIONES INTEGRALES

ECUACIONES INTEGRALES ECUACIONES INTEGRALES JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA ECUACIONES INTEGRALES TEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Ecuaciones de Segundo Grado II

Ecuaciones de Segundo Grado II Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Teorema de la Función Inversa

Teorema de la Función Inversa Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1 MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por

Operador nabla. El operador nabla es: = xˆ. Definimos el gradiente de un campo escalar ϕ(x ) por: La divergencia de A se define por Operdor nbl El operdor nbl es: = xˆ x + ŷ y + ẑ z Definimos el grdiente de un cmpo esclr ϕ(x ) por: ϕ =xˆ ϕ x + ŷ ϕ y + ẑ ϕ z e A (x ) =A x (x )xˆ +A y (x )ŷ +A z (x )ẑ un cmpo vectorl. L divergenci de

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

Problemas de fases nacionales e internacionales

Problemas de fases nacionales e internacionales Problems de fses ncionles e interncionles 1.- (Chin 1993). Ddo el prlelogrmo ABCD, se considern dos puntos E, F sobre l digonl AC e interiores l prlelogrmo. Demostrr que si existe un circunferenci psndo

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles

Espacios métricos 1. 1. Introducción. 2. Métricas

Espacios métricos 1. 1. Introducción. 2. Métricas MATEMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Escios métricos 1 1. Introducción L geometrí del escio tridimensionl en el que estmos sumergidos nos result

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

Continuidad. Funciones

Continuidad. Funciones I. E. S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Mtemátics de º de Bchillerto Continuidd de Funciones Por Jvier Crroquino CZs Ctedrático de mtemátics del I.E.S. Siete Colins Ceut 005 Continuidd De

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles