Física de Sistemas Fuera del Equilibrio Gas de Knudsen

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1 Física de Sistemas Fuera del Equilibrio Gas de Knudsen Iñigo Romero Arandia 9 de mayo de. Ejercicio 6: Efusión en el gas de Knudsen El gas de Knudsen es una configuración experimental en la que dos gases en contacto con fuentes a temperaturas diferentes se ponen en contacto a través de una superficie porosa. Las dimensiones del poro en la superficie son muy pequenãs y comparables al recorrido libre medio de los gases. Aunque cada uno de los dos volúmenes está en equilibrio local en contacto con las respectivas fuentes, el conjunto total formado por los dos sistemas se puede mantener en un estado estacionario fuera del equilibrio. En esta situación aparece un flujo de energía entre los dos sistemas... Relación -P Considerar un gas de Knudsen formado por dos sistemas cerrados en formados por dos gases ideales idénticos que ocupan iguales volúmenes, V V V. Los gases están a temperaturas diferentes, y, y se encuentran conectados a través de una abertura de diámetro d l, donde l es el recorrido libre medio de los gases. Utilizando la distribución de Maxwell demostrar que el flujo de moléculas a través del orificio es: KB J n n πm En este caso m es la masa de las moléculas, y n la densidad molecular. ( El flujo de moléculas a través de la abertura dependerá de la cantidad de moléculas que tengan velocidad en la dirección z. Las moléculas que cruzarán del volumen inferior al superior serán las que tengan velocidad positiva, entre e infinito: Distribución de Maxwell-Boltzmann: J n f(u i nu z f(ud 3 u ( ( / λ e λu i (3 π Con i x, y, z. La distribución de Maxwell cumple la condición de normalización siguiente: f(u i du i (4

2 Se ha utilizado el siguiente cambio de variable: λ m k b (5 Sustituyendo en la ecuación ( las definiciones superiores ( 3, ( 4 : J n Calculando la integral a parte: nu z f(u z du z f(u y du y f(u x du x n u i f(u i du i ( [ ] / λ e λu i π λ Con este resultado, y sustituyendo el valor de λ, ( 5 el flujo queda: ( / λ π u z f(u z du z λ (6 πλ J n n n πλ πm k B KB n πm (7 Demostrar que en el estado estacionario: P P (8 En el estado estacionario el flujo de moléculas a través de la abertura debe ser nulo. Esto es debido a que los sistemas son cerrados, por lo que no intercambian materia con las fuentes. Al no haber ninguna fuente de materia, si hubiera un flujo de moléculas neto de un volumen a otro, en algún momento las moléculas en uno de los recipientes se terminarían, y por tanto no sería una situción estacionaria. Usando la condición de que el flujo neto de moléculas es nulo y haciendo el cambio u z u z teniendo en cuenta que la función de Maxwell sólo depende del módulo de la velocidad: Jn total Jn + Jn n u z f(u z du z + n u z f(u z du z n u z f(u z du z + n ( u z f(u z ( du z n u z f(u z du z n u z f(u z du z Utilizando el resultado demostrado en el apartado anterior, (, y teniendo en cuenta que los dos gases son idénticos, m m m: Jn total kb n πm n kb πm (9 Al tratarse de gases ideales se cumplirá la ecuación de estado: P V Nk B n i N i V P i k B i ( Aquí N es la cantidad de moléculas, y n la densidad molecular. Se ha utilizado V V V. Sustituyendo este resultado: n n P P P P ( k B k B

3 .. Conductividad térmica J q transferencia de energía cinética e energía de intercambio entre los dos sistemas por cada molécula que atraviesa el poro. Demostrar que la energía de intercambio vale: e k B ( Una forma de realizar este cálculo es mediante el flujo de energía cinética, que se puede calcular de manera análoga al caso del flujo de partículas, ecuación (, poniendo la energía cinética: J q n mu u z f(ud 3 u (3 Utilizando las ecuaciones ( 3, ( 4, y ( 5, y teniendo en cuenta que las integrales en las direcciones x e y van desde hasta y son equivalentes: J q n m ( du x du y du z u x + u y + u z uz f(u z f(u x f(u y n m du x du y du z u xu z f(u z f(u x f(u y + + n m du x du y du z u 3 zf(u z f(u x f(u y Cálculo de las integrales por partes, utilizando el resultado de la integral 6: ( [ ] / λ u e i f(u i du i (u λu i e λu i i π λ λ u 3 i f(u i du i ( [ [ ] / λ u e λu i e λu i i u i π λ λ ] ( / λ π π λ λ λ ( / λ π λ λ (4 ( / λ π λ (5 Introduciendo estos resultados en el flujo de energía: J q ( [ ( ( / λ nm λ π λ + ( ( ] / λ π λ (6 eniendo en cuenta el valor de J n (, y sustituyendo el valor de λ ( 5 : ( ] J q J n [ k B + (k B J n k B (7 Una vez calculada esta integral la energía de intercambio por molécula es inmediata: e Jq J n resultado esperado, ecuación (. k B, que es el Evaluar la conductividad térmica, κ definida por: donde, con >, y / i para i,. J q κ (8 3

4 El flujo total de energía cinética será la suma del flujo del primer recipiente al segundo más el del segundo al primero: [ ] Jq total Jq + Jq k B Jn + k B Jn KB k B n πm KB n πm [ ] P KB k B k B πm P KB kb ] [P P k B πm πm [ ] kb kb P P P ( πm πm kb πm P Se ha utilizado que n i N i /V Pi k B i y la relación entre las presiones y las temperaturas del estado estacionario, ecuación 8. De esta expresión se puede conseguir de manera inmediata el valor de la conductividad térmica, κ, en función de la temperatura y la presión de uno de los recipientes, y de la masa de las partículas: κ J q P kb (9 πm.3. Calor de intercambio El calor de intercambio se define como el calor intercambiado entre los dos sistemas por que cada mol que atraviesa la abertura en una dirección dada. Demostrar que este calor de intercambio por mol viene dado por: q R Qué significa que antes e fuera positiva y ahora q negativa? Qué interpretación física tiene? ( Esta energía de intercambio se puede interpretar como la suma de las energías cinéticas medias en las direcciones x e y, que según el principio de equipartición valen: < mu x >< mu y > k B más otro k B que aporta la dirección z. Estos dos términos se pueden identificar en las integrales para el cálculo del flujo, y en la ecuación 7. Esto quiere decir que una molécula que esté en uno de los recipientes con una energía 3 k B, por cada grado de libertad, al entrar en la abertura adquiere un k B extra. Al llegar al otro recipiente la molécula vuelve a recuperar la energía del gas ideal, 3 k B, alcanzando una situación de equilibrio con su alrededor y por tanto pierde en este volumen el k B extra que había cogido del primer volumen al entrar en el poro. Este k B se puede interpretar como la transferencia de calor de un sistema al otro. Como este calor sale del recipiente de origen de la partícula hacia el otro, supone una pérdida de energía y tendrá signo negativo. eniendo esto en cuenta el calor de intercambio por mol será q R. Otra forma de verlo puede ser que las moléculas de un sistema en equilibrio térmico con la fuente tienen una energía promedio de 3 k B, pero todas las moléculas individuales no tendrán esta energía, algunas tendrán una energía mayor, y otras menor. Como la energía de intercambio es k B se puede interpretar como que las partículas que tienen mayor energía, o lo que es lo mismo, mayor velocidad, tienen una probabilidad mayor de cruzar al otro sistema. Si no hubiera fuente, el paso de las moléculas con mayor energía al otro volumen provocaría un enfriamiento del recipiente, ya que al faltar las partículas más energéticas el valor medio de la energía también disminuiría. Esto vuelve a demuestra que las fuentes son imprescindibles para alcanzar un estado estacionario de no equilibrio. 4

5 .4. Límite en que d l Explicar que pasaría si se aumentase el diámetro de la abertura hasta hacerla comparable al recorrido libre medio. Cuánto valen e y q en el límite d l? Se mantienen válidas las relaciones 8,, y? Cómo cambian? Al aumentar las dimensiones de la abertura y hacerla mayor que el recorrido libre medio, las partículas empezarán a colisionar con otras partículas al pasar de un sistema a otro. En el caso anterior como d l la partícula que estaba cruzando colisionaba antes con las paredes de la abertura que con otras moléculas, y como los choques con las paredes se desprecian al considerar el gas ideal no había perdida de energía. Sin embargo, al empezar a colisionar con otras partículas, se realizará un trabajo, que se equivalente a pv R (por mol. Las moléculas alcanzarán un equilibrio local con las de los alrededores dentro de la abertura, termalizarán, y eso llevará a la difusión habitual que explica la ley de Fick. La energía intercambiada se puede dividir en dos aportaciones: por un lado la entalpía, que es la energía intercambiada a presión constante, y por otro lado la energía intercambiada por la diferencia de presiones: e q + h ( En el caso del gas ideal la entalpía por mol es h GI 5 R. Según esto, cuando d l se obtiene que q e h R 5 R R, que es el resultado deducido antes. Cuando d l habrá que añadirle el término debido al trabajo a la energía intercambiada, que ser la que tenía la molécula según el principio de equipartición más el trabajo realizado al cruzar el poro: e 3 k B + pv 5 k B. En consecuencia, el calor intercambio desaparece, ya que e R + R 5 R h (por mol y por tanto q e h. Interpretando este calor como la energia de intercambio debido a la diferencia de presión tiene sentido que éste se anule porque las moléculas al colisionar con las otras partículas a su alrededor alcanzan un equilibrio local, anulando la diferencia de presiones..5. Evolución hacia el estado estacionario Ahora inicialmente los dos sistemas contienen el mismo número de moles (ocupan volúmenes idénticos, y se ponen en contacto con una abertura de diámetro d l. La efusión del gas hace evolucionar al sistema desde un estado inicial no estacionario hacia un estado final estacionario descrito por la ecuación 8. Asumiendo equilibio local para cada sistema, con la ley de los gases perfectos y tomando, + con evaluar la variación de la entropía total del sistema S S f S i y la variación de la energía libre de Helmholtz F F f F i, donde los superíndices f e i indican el estado final e inicial respectivamente. Comentar los resultados. En particular discutir el signo de las variaciones de entropía y energía libre. Están de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica? La entropía del gas ideal viene dada por la ecuación de Sakur-etrode: [ S GI Nk B ln V N + 3 ( ln πmk B h Nk B ( ln V ln N ln a ] ( (3 Donde a es a πmk B h. En el estado inicial la entropía de los dos sistemas será: S i Nk B (ln V ln N ln a (4 5

6 S i Nk B (ln V ln N ln a( + Nk B (ln V ln N ln a + 3 ( ln + (5 Para calcular la entropía en el estado final estacionario es conveniente conocer el numero de partículas en función de la temperatura. Para lograr esto se utilizarán las siguientes condiciones:. N + N N Condición de sistema cerrado, sin intercambio de materia con fuentes. N i PiV k B i 3. P P Ecuación de estado del gas ideal Relación impuesta por situación estacionaria. Haciendo el cambio de variable x, y teniendo en cuenta que aylor alrededor del punto x. Los desarrollos de aylor que se utilizaran, hasta segundo orden, serán los siguientes: a ( + x + x 8 x + (x 3 b ( + x x x + (x 3 c ( + x x + x + (x 3 d ln ( + x x x + (x 3 Sustituyendo la condición en la 3: N k B V V N N N k B se pueden hacer desarrollos de Empleando ahora la condición, N N N : N N N ( + N N N N N + + Haciendo expansiones de aylor para x hasta segundo orden: N N N + ( + x + ( x x N x x N [ ( x ] x + x 6 Finalmente se obtiene: N N [ + 4 x 8 x ] (6 Utilizando la condición se consigue la correspondiente expresión para N : N N [ 4 x + 8 ] x (7 6

7 .5.. Entropía Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuación de la entropía se obtiene el valor de ésta en el estado estacionario: S f Nk B [ + 4 x 8 ] (ln x V ln N ( + 4 x 8 x ln a Nk B [ + 4 x 8 ] (ln x V ln N ln ( + 4 x 8 x ln a Nk B [ + 4 x 8 ] (ln x V ln N [ ln a ( 4 x 8 x ] 6 x Nk B [ + 4 x 8 ] ( x A ( 4 x 5 3 x Nk B [( + 4 x 8 x A 4 x + 3 ] 3 x Se ha hecho el cambio A ln V ln N ln a. Para el otro recipiente sale: S f Nk B [ 4 x + 8 ] (ln x V ln N ( 4 x + 8 x ln a( + Nk B [ 4 x + 8 ] (ln x V ln N ln ( 4 x + 8 x ln a ( + x Nk B [ 4 x + 8 ] (A x + 3 [ ln ( + x ( 4 x + 8 x ] 6 x Nk B [ + 4 x 8 ] ( x A + 3 ln ( + x ( 4 x x Nk B [( + 4 x 8 (A x + 3 ln ( + x + 4 x 5 ] 3 x Nk B [( + 4 x 8 (A x + 3 ln ( + x + 4 x 53 ] x Nk B [( 4 x + 8 (A x + 3 ln ( + x + 4 x 53 ] x (8 (9 Realizando la diferencia en los dos casos se obtiene: S S f Si [( Nk B 4 x 8 x A 4 x + 3 ] 3 x S S f Si Nk B [( 4 x + 8 (A x + Nk B [( 4 x + 8 x A + 4 x 7 ] 3 x 3 x (x + 4 x 53 ] x Sumando esta dos diferencias se consigue la variación de entropía del sistema completo. S S + S ( Nk B 7 x 7 ( ( ( Nk B + (3 (3 (3 7

8 El resultado obtenido puede parecer sorprendente, porque parece que viola el segundo principio de la termodinámica, ya que ha salido S <. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el segundo principio establece que la entropía total, la del universo, es la que debe aumentar siempre. En este caso la entropía del sistema es negativa, pero esto es compesado por las fuentes, que al aportar calor producen entropía, de manera que: S universo S sistema + S fuentes > (33 Esto explica la necesidad de fuentes para alcanzar un estado estacionario..5.. Energía Libre de Helmholtz Para conseguir el cambio en la energía libre de Helmholtz utilizaré la variación de energía interna y de la entropía: F U S F U S Para esto hace falta calcular el cambio de la energía interna, que según el principio de equipartición es U 3 Nk B, entre el estado inicial y el estacionario : Restando los dos términos: Haciendo lo mismo para el volumen : U i 3 N U f 3 N k B 3 N U i 3 N U f 3 N k B ( + 3 N k B Haciendo la diferencia: U 3 4 Nk B k B ( + 4 x 8 x k B ( 4 x 8 x k B( + 3 N k B ( + x ( 4 x + 8 x ( + x 3 4 Nk B U 3 4 Nk B ( 4 x 8 x Una vez calculada la energía interna se puede calcular la F de cada recipiente: ( + 34 x 8 x F U S 3 ( 4 Nk B 4 x 8 x [( Nk B 4 x 8 x A 4 x + 33 ] x ( 5 Nk B 8 x 9 3 x ( 4 x 8 x A En el caso del segundo recipiente hay que tener en cuenta que su temperatura es diferente, ( + ( + + x, por lo que tendrá unos términos diferentes que no se anularán al sumar para los dos sistemas: F 3 4 Nk B ( 4 x 8 x ( + x Nk B [( 4 x + 8 x A + 4 x 7 ] 3 x 3 4 Nk B ( 4 x 8 x Nk B [( 4 x + 8 x A + 4 x 7 ] ( 3 x x 4 x 4 xa + (x 3 [ Nk B 5 8 x x ( 4 x + 8 x A + 4 ] Ax (37 8 (34 (35 (36

9 Sumando para los dos volúmenes se consigue: F F + F Nk B ( A x ( 8 Nk B ln V ln N ln πmk ( B h ( 7 8 Nk B 4 + ln V N + 3 ln πmk B h ( ( ( 3 + ( ( 3 + (38 Evaluando el resultado obtenido que claro que F >, ya que aunque aparezcan logaritmos es fácil ver que son mayores que cero. La constante h al cuadrado es mucho menor a k B m, y por ello el tercer término es positivo. Además en el límite termodinámico el segundo término tambi n será positivo, porque V y N son del mismo orden. En un sistema en equilibrio la energía libre tiende al valor mínimo, igual que la entropía se maximiza. Si el sistema estuviera en equilibrio se esperaría que F <, pero como el sistema alcanza un estado estacionario esto no ocurre. Es lo mismo que ocurre con la entropía, que si el estado final fuera el de equilibrio la entropía sería máxima, por tanto S >, pero al ser un estado estacionario se consigue S sist <.. Ejercicio 7: Efecto termomolecular en el gas de Knudsen Se consideran dos recipientes llenos de un gas a temperaturas y concentraciones diferentes, puestos en contacto mediante una abertura de diámetro comparable o menor que el recorrido libre medio. Ésto puede representar una membrana o una superficie porosa. Los dos sistemas están en contacto en presencia de un gradiente de temperatura y concentración (potencial químico. El objetivo del ejercicio es evaluar el calor de transferencia usando la teoría de Onsager. Demostrar que para un sistema multicomponente en presencia de un gradiente de concentración y temperaturas existe una descomposición alternativa de la producción de entropia en términos de flujos y fuerzas o afinidades: Siendo los nuevos flujos y fuerzas: σ J q i J i ( µ i (39 J q J q i h i Ji ; X q X q (4 J i J i ; X i ( µ i Las J y X sin primas son los flujos y fuerzas habituales y las h i son las entalpías parciales, ( ( µi h i ( y el término µi viene definido por: P,n s ( µi h i + ( µ i (4 (4 (43 9

10 La producción de entropia con las fuerzas y flujos habituales se escribe como: σ J q i ( J i µi (44 Dividiendo ( µ i y utilizando las definiciones superiores: σ J q J q ( i i J q i ( J i µi (45 J i ( h i + ( µ i h i Ji i J i ( µ i (46 (47 J q i J i ( µ i (48 Este cambio permite separar el flujo de energia total debido al gradiente de temperatura, que es el flujo de calor entre las fuentes y el flujo de moléculas a través de la abertura. El flujo de energia anterior tenía en cuenta la energia intercambiada al pasar una molécula de un recipiente a otro, y con este cambio se ha conseguido separar completamente los flujos de energia y materia. Para el caso del gas de Knudsen comentado al inicio del ejercicio, demostrar que: σ J q J v m p (49 donde ahora J q, J m son los nuevos flujos de energia y masa por mol del apartado anterior (los primados, v es el volumen molar, y, p son las diferencias de temperatura y presión de los dos sistemas, que suponemos pequeñas comparadas con, p. Comprobar que el flujo de de energia total entre los dos sistemas se puede escribir como: J q de hdn donde de es la transferencia de energia por unidad de tiempo transportada por cada mol que cruza la abertura. Interpretar el significado físico de J q. Que diferencia física hay entre J q y de? Relacionar estos términos con la energia y el calor de transferencia definidos en el ejercicio anterior: e, q. El potencial de químico de un gas ideal se puede escribir de la siguiente manera: (5 µ µ + R ln c µ + R ln n V µ + R ln P R (5 Donde c es la concentración, y se ha utilizando la ecuación de estado del gas ideal. De esta expresión se puede obtener el gradiente a constante: Sustituyendo este resultado: ( µ R p p V p v p (5 n σ J q J q J ( µ i i i J v m p (53

11 Para demostrar 5 se puede calcular explícitamente la producción de entropia e identificar los diferentes términos con los flujos. Considerando ahora un sistema cerrado compuesto por dos recipientes que pueden intercambiar materia y energia (los recipientes serán sistemas abiertos la diferencial de energia se puede escribir como: de dφ pdv (54 Sustituyendo ahora la diferencial de energia interna: de ds pdv + µdn dφ pdv ds dφ µ dn (55 El término dφ se puede dividir en dos contribuciones: el calor que viene del exterior (en esta caso la fuente, y la energia que viene del otro recipiente: dφ dq ext + dφ (56 Con esto y sumando la variación de entropia de los sistemas se pueden identificar los términos que provocan los flujos. eniendo en cuenta que dφ dφ y dn dn dn, es decir, que sin considerar el calor que se intercambia con las fuentes, las partículas y el calor que salgan del primer sistema irán al segundo y viceversa, se consigue: ds dφ µ dn + dφ µ dn (57 dqext + dqext + dφ ds ext + dφ ( + dφ µ dn µ dn (58 ( µ µ dn (59 ds ext dφ ( µ dn (6 Desde esta expresión se pueden identificar los flujos y fuerzas que dan lugar a la producción de entropia para los dos recipientes comparando con la ecuación con los flujos iniciales, antes de realizar el cambio. Sin tener en cuenta el intercambio con el exterior se obtiene para producción de entropia: σ ds i Identificando se consiguen los flujos iniciales: dφ J q J q dφ ( µ J ( m µ dn (6 J m dn (64 Por otro lado, de la ecuación 54 se puede ver que el primer flujo J q es debido a la variación de energia, ya que el volumen del sistema no varía. Identificando dφ con de y separando el calor del exterior del intercambio entre los recipientes la variación de energia es : de dq ext + dφ p dv dq ext + de dq ext (6 (63 + J q (65

12 Separando de nuevo ( µ se podrán conseguir los flujos nuevos, los primados: σ ds i dφ ( µ dn (66 ( dφ h + ( µ dn (67 ( dφ h dn dn ( µ (68 Comparando ahora con la producción de entropia en función de los flujos nuevos (primados: Se identifican: ( dφ σ h dn J q J m ( µ J q dφ J m dn Con el resultado obtenido en la ecuación 65 se consigue: h dn dn ( µ (69 (7 (7 (7 J q dφ h dn de hdn (73 EL J q, que es el J q nuevo, es el intercambio de calor, la energia transferida sin tener en cuenta la debida al cambio de recipiente de la materia. Esta energia es la intercambiada entre las fuentes sin considerar el movimiento de las partículas. Mientras, el viejo era el intercambio de energia, de, que incluye el intercambio de calor y el intercambio de energia debido a la transferencia de materia. En consecuencia, el término J q sería el equivalente a q, es decir: J q q dn (74 y el de está relacionado con e : J q de De estas relaciones se puede deducir directamente: e dn (75 J q q dn de hdn dn e hdn q e h (76 Utilizando la teoría de Onsager expresar los flujos en función de las fuerzas introduciendo coeficientes de Onsager: L qq, L mm, L qm, L mq. J q L qq J m L mq L v qm p (77 L v mm p (78

13 Demostrar que se satisface la relación: ( p J m ( Jq v J m (79 donde los subíndices J m y indican estados estacionarios diferentes. En el primer caso el flujo neto de materia se anula manteniendo diferentes temperaturas, y en el segundo hay un flujo de materia a manteniendo los dos sistemas a la misma temperatura. Si J m, anulando la ecuación 78: L mq L mm v ( p J m Por otro lado, si, dividiendo las expresiones 78 y 77: ( L qm Jq q (8 L mm J m Este cociente representa el flujo de energia por unidad de flujo de masa, y se le suele llamar calor de intercambio. Como los coeficientes de Onsager son simétricos L qm L mq se pueden igualar estas dos expresiones y se consigue demostrar la igualdad 79: v ( p J m ( Jq J m ( p ( Jq J m v J m Utilizando el resultado 8 demostrar que el calor de tranferencia q (calor transferido por unidad de masa por unidad de tiempo es igual a: q R (8 de acuerdo con el resultado. Probar que e q + h para obtener el resultado. Por último evaluar q en el límite donde la abertura es mucho mayor que el recorrido libre medio. La ecuación 8 se puede escribir como: (8 P (83 P omando logaritmos en los dos lados, derivando y sustituyendo la ecuación de estado del gas ideal por mol (piden el calor de intercambio por mol, P V R : ln P ln P ln P ln P (ln ln ln P ln P P P P P R v (84 3

14 La ecuación 8 es válida para el caso estacionario en que el flujo de materia neto es nulo. Por tanto, se puede sustituir este último resultado en la ecuación 8, que debido a la simetría de los coeficientes de Onsager es igual al calor de intercambio por mol: q L qm L ( mq p v v R L mm L mm J m v R (85 Utilizando este resultado, y la entalpía del gas ideal se consigue la transferencia de energia por mol: e q + h R + 5R R (86 Este resultado es equivalente al conseguido en el apartado anterior por cada molécula,, ya que k B N A R. Cuando la abertura es mayor que el recorrido libre medio, d l, tal y como se ha comentado en el ejercicio anterior, el calor de intercambio se anula, porque al cruzar la abertura se realiza un trabajo al chocar antes contra otras partículas que contra las paredes. Debido a esto la energia intercambiada aumenta, y se deja de transferir calor: e R + R 5 R h, y q e h. 3. Aplicaciones Aunque parezca un modelo teórico, el sistema del gas de Knudsen tiene aplicaciones prácticas. El fundamento físico explica se usa en la separación de isótopos, como en el caso de enriquecimiento del Uranio, porque el flujo de moléculas depende de la masa. Recordando la expresión obtenida en el primer K apartado (ecuación : J n n B πm se ve que el flujo depende de la masa. Este hecho provocará una distribución diferente entre los dos recipientes si se colocan dos tipos de elementos diferentes, quedando el más ligero en el sistema más caliente. El mismo principio se utiliza en el proceso de obtención del hidrógeno, para separarlo de la mezcla de gases que se obtiene tras calentarlo. En estos casos se utilizan membranas porosas en lugar de una sola abertura, para poder realizar el proceso con mayor rapidez. Referencias [] Ilya Prigogine: ermodinámica de procesos fuera del equilibrio 4

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