V cos(wt) = V + V. = L. Sustituyendo, se obtiene la ecuación del dt circuito RL: di L + Ri = Vmcos(wt) dt

Transcripción

1 ircuitos y en estado estable ircuito Supongamos un circuito como el mostrado en la figura. Suponga que se desea calcular la corriente i(t) que circula por el circuito. De acuerdo con la ey de Kirchoff de voltajes, se tiene que cos(wt) = + m donde el voltaje en la resistencia está dado por v = i y el voltaje en la di inductancia está dado por v =. Sustituyendo, se obtiene la ecuación del dt circuito : di + i = mcos(wt) dt (.) Esto es, el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo está descrito por una ecuación diferencial de primer orden. i(t) m cos(wt) + - Figura Para encontrar la solución de la ecuación (.); es decir, la corriente que circula por el circuito debemos considerar primero que dicha corriente debe de tener la misma frecuencia. Supóngase que la solución tiene la forma i(t) = I cos(wt) + I sen(wt) Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene 75

2 [-I wsen(wt) + I wcos(wt)] + [I cos(wt) + I sen(wt)] = cos(wt) m agrupando y sacando como factor sen(wt) y cos(wt), se obtiene: (-I w + I )sen(wt) + (I w + I - )cos(wt) = 0 m Para que esto sea cero, se debe de tener que los coeficientes sean cero. Esto es: -wi + I = 0 I + wi = m Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: I e I. esolviendo para I e I se obtiene que I = m + w w I = m + w Entonces, la corriente que circula por el circuito está dada por la expresión: i(t) = m [cos(wt) + wsen(wt)] +w Utilizando la identidad trigonométrica Acosα + Bsenα = A + B cos(α - tan --B ) A, se obtiene que la corriente está dada por: m - w i(t) = cos(wt - tan ) +w (.) Esta expresión de la corriente requiere algunas observaciones:. Obsérvese que la amplitud de la corriente I = m es una función de m +w, y w. El término w representa el cuadrado de la reactancia inductiva. a reactancia inductiva se representa por X (w) y tiene unidades de Ohms y representa la oposición de la inductancia al paso de la corriente. A este tipo de resistencia también se le conoce como impedancia inductiva. 76

3 . X = w, la reactancia inductiva es de hecho una resistencia que se opone al paso de la corriente, pero es función de la frecuencia. Nótese que X (w) es cero en el caso en que = 0 (esto es, cuando no hay inductancia y el circuito es puramente resistivo) y cuando w = 0. En este caso, la señal de entrada m cos(wt) = m es constante, y es, en efecto, una señal de corriente directa. En cualquier caso, si X (w) = 0, el circuito se comporta como un circuito puramente resistivo y la corriente se reduce a la expresión i(t) = m cos(wt ). En otras palabras, para w = 0, el inductor se comporta como si fuese un corto circuito y la corriente tiene la misma fase que el voltaje. 3. a impedancia de la inductancia crece con la frecuencia, de tal manera que para frecuencias muy altas, la impedancia es muy grande y la corriente tiende a cero. Esto significa que el circuito se comporta como un circuito abierto para frecuencias grandes. 4. a fase de la corriente - w φ = tan concuerda con el hecho de que la corriente, voltaje. se hace cero cuando w = 0, lo que i(t) = m cos(wt ), está en fase con el 5. uando = 0, se tiene un circuito puramente inductivo y se tiene que la fase de la corriente φ = -π/ y la corriente está dada por i(t) = m cos(wt - π/) w (.3) En este caso, la corriente está atrasada 90 o respecto al voltaje. a figura a muestra las señales de voltaje y corriente en un circuito puramente inductivo. a figura b muestra el diagrama fasorial asociado a las señales de voltaje y corriente. Figura 77

4 Ejemplo. En un circuito puramente inductivo ( = 0), = 5 mh y el voltaje rms de la fuente tiene un valor de 0 voltios. Encuentre la reactancia inductiva y la corriente rms en el circuito si la frecuencia es de 60 Hz. Solución: Primeramente, recordemos que w = πf = x 3.46 x 60 = 377s -. a reactancia inductiva es entonces X = w = (377s - )(5 x 0-3 H) = 9.43 Ohms. a corriente rms es ircuito I = rms = 0 rms X 9.43 Ω =.7 A. Supongamos un circuito como el mostrado en la figura 3 y supongamos que se requiere obtener la corriente i(t) que circula por el circuito. i(t) mcos(wt) + - Figura 3 Para esto, es necesario establecer la ecuación que describe su comportamiento. De acuerdo con la ley de Kirchoff de voltajes, cos(wt) = + m El voltaje en la resistencia = i(t) y el voltaje en el capacitor = q(t)/. Donde q(t) es la carga almacenada en el capacitor y es el valor de la capacitancia. De acuerdo con esto, la ecuación que describe al circuito es dq + q = cos(wt) dt m (.4) 78

5 Donde se ha considerado que la relación entre la corriente y la carga q es i(t) = dq/dt. esolviendo esta ecuación mediante un procedimiento equivalente al utilizado para resolver la ecuación que describe al circuito, se obtiene que la corriente que circula por el circuito está dada por: m - i(t) = cos(wt + tan ) w + w (.5) Esta expresión de la corriente que circula por un circuito, también requiere algunas observaciones:. Obsérvese que la amplitud de la corriente I = m es una función m + w de, y w. El término /w representa el cuadrado de la reactancia capacitiva. a reactancia capacitiva se representa por X (w). A este tipo de resistencia también se le conoce como impedancia capacitiva.. X = tiene unidades de Ohms. Es decir, X es la resistencia que un w capacitor ofrece al paso de la corriente y es función de la frecuencia. Nótese que X (w) es cero en el caso en que la frecuencia w es muy grande. Igualmente, la fase es cero. En este caso, la señal de entrada m cos(wt) tiene una frecuencia muy grande y la impedancia del circuito es puramente resistiva y la corriente que pasa por el circuito tiene la forma i(t) = m cos(wt ). En otras palabras, para w muy grande, el capacitor se comporta como si fuese un corto circuito y la corriente tiene la misma fase que el voltaje. 3. a impedancia del capacitor crece cuando la frecuencia disminuye, de tal manera que para frecuencias muy bajas, la impedancia es muy grande y la corriente tiende a cero. Esto significa que el circuito no deja pasar señales con frecuencias pequeñas. 4. a fase de la corriente - φ = tan w se hace cero cuando w es muy grande, lo que concuerda con el hecho de que la corriente, i(t) = m cos(wt ), está en fase con el voltaje. 5. uando = 0, se tiene un circuito puramente capacitivo y la fase de la corriente φ = π/ y la corriente está dada por 79

6 i(t) = m cos(wt + π/) w En este caso, la corriente está adelantada 90 o respecto al voltaje. a siguiente figura 4a muestra las señales de voltaje y corriente en un circuito puramente capacitivo. a figura 4b muestra el diagrama fasorial asociado a las señales de voltaje y corriente. Figura 4 Ejemplo. Un capacitor de 8µF se conecta a una fuente de corriente alterna cuyo valor rms es de 0 voltios. Encuentre la reactancia capacitiva y el valor efectivo de la corriente que pasa por el capacitor. Solución: ecordemos que para una señal de 60 Hz, w = 377s -. a reactancia capacitiva es entonces X = w = = 33 Ohms. (377s - )( F) a corriente efectiva a través del capacitor es I = rms rms = 0 X 33 Ω = 0.33 A. Energía almacenada en un capacitor y en una inductancia a energía en un capacitor a corriente y el voltaje en un capacitor están relacionados mediante la ecuación dv i = dt donde es la capacitancia (medida en Faradios), i es la corriente que pasa por el capacitor y v es el voltaje medido a través de sus terminales. El capacitor es un elemento lineal cuya característica principal es su capacidad para almacenar 80

7 energía en forma de campo eléctrico. De hecho, el capacitor se puede visualizar como un recipiente al que le agregamos cargas o energía hasta un límite mas allá del cual cualquier cantidad adicional desborda el límite. Despejando el voltaje v de la ecuación anterior, se obtiene t v(t) = idt + v(t 0) t a potencia entregada al capacitor es dv p = vi = v dt 0 a energía almacenada por el capacitor t v(t) w = pdt = vdv (.6) t0 v(t 0) haciendo la integral y evaluando, se obtiene la energía almacenada en el capacitor w = [v (t) - v (t 0)] (.7) uando el capacitor está descargado inicialmente, v(t 0 ) = 0. as características más importantes de un capacitor son las siguientes: Si el voltaje a través de sus terminales es constante en el tiempo, la corriente a través del capacitor es cero. Esto es, el capacitor se comporta como un circuito abierto para corriente directa. El capacitor puede almacenar una cantidad finita de energía. Es imposible que cualquier pequeño cambio en voltaje en un capacitor ocurra en un tiempo cero. Un capacitor no disipa energía, solo la almacena. a energía en una inductancia a corriente y el voltaje en un inductor están relacionados mediante la ecuación di v = dt donde es la inductancia (medida en Henries), i es la corriente que pasa por la inductancia y v es el voltaje medido a través de sus terminales. a inductancia es un elemento lineal cuya característica principal es su capacidad para almacenar energía en forma de campo magnético. Despejando la corriente i, de la ecuación anterior, se obtiene t i(t) = i(t 0) + vdt t0 8

8 a potencia entregada a la inductancia es di p = vi = i dt a energía almacenada por la inductancia está dada por Integrando se obtiene w = [i(t) - i(t)] 0 t i(t) w = pdt= idi. t0 i(t 0) (.8) as características más importantes de una inductancia son las siguientes: Si la corriente que pasa por la inductancia es constante en el tiempo, el voltaje a través de sus terminales es cero. Esto es, la inductancia se comporta como un corto circuito para corriente directa. a inductancia puede almacenar una cantidad finita de energía. Es imposible que cualquier pequeño cambio en la corriente que pasa por una inductancia ocurra en un tiempo cero. Una inductancia ideal no disipa energía, solo la almacena. esumen de propiedades de la resistencia, inductancia y capacitancia. elemento esistencia Inductancia apacitancia elación entre v = i di dv voltaje y corriente v = i = dt dt Oposición al paso de la corriente w w Energía almacenada 0 v i Problemas con circuitos Problema. Según la figura mostrada, (a) grafique como una función del tiempo 0 < t < 50 ms; (b) encuentre el valor del tiempo en el que el inductor esta absorbiendo una potencia máxima; (c) encuentre el valor del tiempo en el que el inductor proporciona una potencia máxima, y (d) encuentre la energía almacenada en el inductor en t = 40 ms. 8

9 5 i (A) i 0.H + v t(ms) -5 Problema. En un circuito puramente inductivo, como el mostrado en la figura max = 00. (a) Si la corriente máxima es 7.5 A para una frecuencia de 50 Hz, calcule el valor de la inductancia. Problema 3. uando cierta inductancia se conecta a una fuente de voltaje alterna con una amplitud de 0, una corriente pico de 3.0 A aparece en el inductor. (a) uál es la corriente pico si la frecuencia del voltaje aplicado se duplica? (b) uál es la reactancia inductiva para las dos frecuencias? Problema 4. (a) Si en el circuito del problema, = 30 mh y max = 30, a que frecuencia la reactancia inductiva es igual a 40.0 Ohms? (b) alcular la corriente máxima a través del inductor a esa frecuencia. Problema 5. Para el circuito del problema, max = 80.0, w = 65 π rad/s, y = 70.0 mh. alcular la corriente por el inductor en t = 5.5 ms. Problema 6. Una inductancia de 0.0 mh se conecta a una salida estándar ( rms = 0, f = 60 Hz). alcular la energía en la inductancia en t = (/80) s, suponiendo que la energía en t = 0 es cero. Problemas con circuitos Problema 7. a corriente con la forma de onda que se muestra en la figura se aplica a un capacitor de mf para t > 0. Suponiendo que c (0) = 50, (a) 83

10 onstruya una gráfica del voltaje en el capacitor como una función del tiempo para t > 0. (b) durante qué periodo el valor de c está entre 000 y 00? i(a) 0 etc t(s) Problema 8. Un capacitor de 000 µf se conecta a una salida estándar ( rms = 0, f = 60 Hz). Determine la corriente que pasa por el capacitor en un tiempo t = (/80) s, suponiendo que en t = 0, la energía almacenada en el capacitor es cero. Problema 9. Qué corriente máxima es entregada por un capacitor cuando se conecta a (a) una salida americana que tiene rms = 0, f = 60 Hz, y (b) una salida Europea que tiene rms = 40, f = 50 Hz? Problema 0. Qué corriente máxima es entregada por un generador de A con max = 48 y f = 90 Hz cuando se conecta a través de un capacitor de = 3.7 µf. Problema. El generador en un circuito de A puramente capacitivo, como el que se muestra en la figura, tiene una frecuencia angular de 00 π rad/s y v max = 0. Si = 0.0 µf, uál es la corriente en el circuito en un tiempo t = 4.0 ms? Problema. Un capacitor de 98.0 µf se conecta a una fuente de poder que genera 0.0 rms a una frecuencia de 60 Hz. uál es la máxima carga que aparece cualquiera de las placas del capacitor? 84