LOS NUMEROS RACIONALES: Representación de racionales en la recta. Amplificar y simplificar un racional.

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1 LOS NUMEROS RACIONALES: Definición de número racional. Representación de racionales en la recta. Racionales equivalentes. Amplificar y simplificar un racional. Números mixtos. Orden en los racionales.

2 Los Números Racionales: Son los elementos del conjunto Q ; números de la a forma con a, b Z y b 0. b a Q = { /a, b Z b 0} b a Se tiene que está indeterminado o indefinido; luego 0 el cero puede estar como numerador, pero nunca como denominador. Ejemplos: Los números: ; - ; ; ; 0 - ; ; -7 ;... etc. 7-9 son racionales.

3 Se define: Q + = { Q = { a b a b Q / a b > 0 } Racionales positivos. Q / a b < 0 } Racionales negativos. Ejemplos: a) Q + c) -7 Q - b) - Q+ d) Q - Se tiene además que Z Q ; ya que todo a Z se puede escribir como número racional, incluso de varias formas equivalentes.

4 Ejemplos: a) = = = = = = b) - = = = = = =... 1 Más aún, se cumple que IN IN o Z Q. Racionales equivalentes: a c Si, Q ; se define : b d a b E c d ( a d = b c)

5 a c E b d Ejemplos: 6 a) E ya que: b) E 6 1 ya que: ( a d = b c) = 6-1 = c) 1 E ya que: 6 d) E ya que: 7 - =

6 Si amplificamos un racional a sucesivamente por los b números naturales obtenemos el conjunto de todos los racionales equivalentes a a llamado clase de b equivalencia; luego todo número racional representa una clase de equivalencia. Ejemplo: 1 = 1,,,,... 6 conjunto de todos los racionales equivalentes a clase de equivalencia de 1. 1 o

7 Ejercicio: Escriba el conjunto de todos los racionales equivalentes o clase de equivalencia de a) b) c) = = 7 = ,,,,,, ,,,,, ,,,,,, d) - = ,,,,,... 1

8 Notar que: i) La unión de todas las clases de equivalencia da por resultado el conjunto Q de los números racionales. ii) Equivalencia es sinónimo de igualdad; por ejemplo E 6 ; donde = 0,7 y 6 = 0,7 ; entonces se deduce que = 6. 6

9 Amplificar un racional: Consiste en multiplicar el numerador y denominador del racional por un mismo número entero, distinto de cero; donde el valor del racional no cambia. Ejemplo: El racional Ejercicios: amplificado por es: 1) Amplificar el racional dado por el número que se indica en cada caso: a) por ; luego 7 7 = 1 7 = 1 = = 1 1

10 b) - por ; luego = - 10 = -1 0 c) 7 por - ; luego = = -1 d) - por ; luego 1-1 = - 1 = - 60 e) por 7 ; luego = = 1 77 f) - por -6 ; luego - = = 0 -

11 ) Escribir los siguientes racionales con denominador : a) = 6 6 = 1 (Amplificando por 6) b) 6 = 6 = 0 (Amplificando por ) c) = = 9 (Amplificando por ) d) 7 1 = 7 1 = 1 (Amplificando por )

12 Simplificar un racional: Consiste en dividir el numerador y denominador del racional por un mismo número entero, distinto de cero; donde el valor del racional no cambia. Ejemplo: El racional 1 1 simplificado por es: : = 1 : = 7 Nota: Si un racional no se puede simplificar más se dice que es irreductible.

13 Ejercicios: 1) Simplificar el racional dado por el número que se indica en cada caso: a) 1 por ; luego : 1 = 1 : : = b) por 11 ; luego : 77 c) -60 por ; luego : 1 d) 7 por 9 ; luego : 6 e) -7 por 1 ; luego : 10 f) 00 por 100; luego : = = 7 6 = = = : : 11 = 7-60 : 1 : = -1 7 : 9 6 : 9 = 7-7 : 1 10 : 1 = - 00 : : 100 =

14 ) Expresar en forma irreductible los siguientes racionales: a) 1 = 1 : 7 : 7 = 6 = : 6 : = 1 (simplificando por 7 y ) b) - 60 = - : 6 60 : 6 = - 10 = - : 10 : = - (simplificando por 6 y ) c) 7 10 = 7 : 1 10 : 1 = 6 10 = 6 : 10 : = (simplificando por 1 y ) d) 1 10 = 1 : 10 : = 6 (simplificando por )

15 Números Mixtos: Todo racional a donde a > b ; es decir cuyo numerador b sea mayor que el denominador, puede ser transformado en número mixto. Ejemplo: : = luego 19 = Ejercicios: Convertir a número mixto los siguientes números racionales: a) 1 6 = 1 : 6 = = 1 6

16 b) 6 = 6 : = c) 11 = 11 : = d) 17 = 1-17 : = 1 e) 1 = -1 : = f) 7 7 = : 7 = 6

17 En el sentido contrario, todo número mixto puede ser transformado a racional. Ejemplo: = = = Ejercicios: 1) Convertir a racional: a) 1 7 = b) 1 = 9 + 1

18 c) d) e) e) 1 10 = = 6 = 1 = ) Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) 1 9 = V b) = V

19 c) 1 9 = F 1 7 = d) 1 9 = V e) 0 1 = V f) 1 7 = F 1 7 =

20 Representación y lectura de racionales: Ejemplos: a) b) c) Un entero: 1 1 Un medio: Tres cuartos: En toda fracción a, el denominador b indica las b partes iguales en que se ha dividido el entero y el numerador a el número de partes iguales que se toman. Ejemplo: Al identificar el racional:

21 Ejercicio: 1) Indique el racional representado en cada caso: o bien: 1 = 7

22 ) Completar el siguiente cuadro: Región Fracción Nombre Num. Denom. Tres Octavos Cinco Octavos 7 1 Siete doceavos Once sextos 11 6

23 Representación gráfica de racionales: Todo número racional se puede representar gráficamente por un punto sobre la recta numérica, aplicando el siguiente procedimiento: i) Si el racional es menor que la unidad; es decir el numerador es menor que el denominador, se divide la unidad en tantas partes iguales como lo indica el denominador del racional y se cuentan desde cero, tantas de esas partes como lo indica el numerador del racional. Ejemplo: La ubicación de es 0 1

24 Ejercicios: 1) Ubique en la recta los siguientes racionales: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

25 ) Identificar los racionales marcados: a) b) c) d) e) f)

26 ii) Si el racional es mayor que la unidad; es decir el numerador es mayor que el denominador, se saca parte entera para ver entre que enteros se encuentra el racional, luego la parte fraccionaria, la que se ubica del mismo modo del caso anterior indica el punto que representa al racional inicial. Ejemplo: La ubicación de = 1 es: 1 = 1

27 Ejercicios: 1) Ubique en la recta los siguientes racionales: (a) (b) (c) (d) (e) (f) = 1 = = 9 = 6 = 6 7 =

28 ) Identificar los racionales marcados: a) b) c) d) e) f) = 1 = 7 = 7 1 = 9 = 6 6 =

29 Notar que no todo punto de la recta numérica representa a un número racional. Ejemplo: A le corresponde un punto sobre la recta numérica; sin embargo 1 Q

30 Orden en Q: Si a, c Q ; para comparar estos racionales se debe b d apoyarse en los productos cruzados a d y b c ; de acuerdo con las siguientes definiciones. i) (a d > b c) a c ( > ) b d ii) (a d < b c) a c ( < ) b d iii) (a d b c) a c ( ) b d iv) (a d b c) a c ( ) b d Recuerde que para a con c si a d = b c ; luego estos b d racionales son equivalentes o iguales ; es decir a c =. b d

31 Ejercicio: Al comparar los siguientes racionales; se tiene que: (a) > ; 7 > (b) < 9 ; < 9 (c) (d) 7 > 9 < 7 ; -7 > ; -9 <

32 (e) ; 11 7 > (f) ; - 6 < (g) ; 6 1 = (h) 6 ; - =

33 Otra forma de comparar racionales consiste en apoyarnos en su expresión decimal calculada preferentemente con igual número de cifras decimales: Ejemplo: Al ordenar en forma creciente los racionales: = = : = = : = 0,0 = : 7 = 0,7 : 6 = 0, 0,71 = 7 : = 0,7 0,71< 0,7 < 0,0 < 0, < 0,7 7 < < < < 6 7

34 Ejercicios Complementarios: 1) Dados los racionales a, b, c, d: 0 a b 1 c d 1 Cuál de ellos es equivalente con el racional? 1 a = 1 E ; 1 1 A) a B) b C) c D) d E) Ninguno. b = c = 6 d = 6 E E E ; ; 6 1 = ;

35 ) Si a Q ; b Q + y c Q ; de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s): l) -a Q + (V) ll) -b Q (V) lll) -c Q (F) A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll l) Si a es negativo; su opuesto -a es positivo. ll) Si b es positivo; su opuesto -b es negativo. lll) Si c es un racional cualquiera; su opuesto -c no tiene por que ser siempre negativo. D) Sólo l y ll E) Todas

36 ) Cuántos 1 avos hay en /? A) 6 B) 1 C) = 1 1 D) E) Luego hay 1 dieciocho avos en dos tercios.

37 ) Si < x < ; luego x puede ser: 7 A) / B) / = 0,0 C) / = 0,66 = 0,60 7 = = : 7 = : = 0,.. 0,6.. 0, < x < 0,6 D) /= 0,7 E) /6 = 0,

38 7 ) Si a = ; b = ; c = ; luego 11 A) a > b > c B) a > c > b C) b > a > c D) b > c > a E) c > a > b a = b = 7 c = 11 = - : = = - : = = -7 : 11 = -0,60-0,66-0,6-0,60 > -0,6 > -0,66 a > c > b

39 6) Si de un estanque lleno que contiene 10 litros se sacan 7 litros. Qué parte del estanque queda aún llena? A) / B) / C) / D) / E) /6 de 10 litros se sacan 7 litros: quedan 10-7 = litros. quedan de 10 litros la parte que queda llena es: 10 :1 : = = = 10:1 10:

40 a 7) El racional es un número entero si: b (1) a es múltiplo de b Si a contiene a b un número entero de veces. Ej: 1 = () b es divisor de a A) (1) por sí sola B) () por sí sola Si b está contenido en a un número entero de veces. Ej: 7 = C) Ambas juntas, (1) y () D) Cada una por si sola, (1) ó () E) Se requiere información adicional.

41 a b ) El racional es positivo si y sólo si: c (1) a y b poseen distinto signo. () El signo de c es igual al de a b. A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) y () D) Cada una por si sola, (1) ó () No E) Se requiere información adicional. - c Si ; depende de c. + =+ ; =+ +

42 Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-0 1) Nº IN IN o Z Q (a) 1 (b) (c) 0 (d) / (e) 9/ (f) -/ (g) 6/ (h) 6 (i) ) a = ; b =-1 ; c = - ; 7 1 d = 1 = ; e = f = = ; g = 1 = 11 h = = ) A 6) D 9) A 1) C 1) D ) A 7) D 10) C 1) B ) E ) E 11) C 1) C

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