Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA.

Transcripción

1 Álgebra lineal. Curso Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase por (, 0) y tenga pendiente 4. d) que pase por los puntos (, ) y (4, ). e) que pase por los puntos (, 5) y (, 4). f ) cuya abcisa y ordenada en el origen sean 5 y -. Expresarlas en forma general, explícita y normal.. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (, ) y es perpendicular a la recta x y + 6 = 0.. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (, ) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (, ). 4. Hallar la pendiente m y el ángulo de inclinación α de la recta que unen los pares de puntos siguientes: a) ( 8, 4) y (5, 9) b) ( 11, 4) y ( 11, 10) c)(8, 6) y (14, 6). 5. Hallar el valor del parámetro k de forma que: a) kx + 5y + k = 0 pase por el punto ( 1, 4). b) 4x ky 7 = 0 tenga pendiente. c) kx y = k 6 tenga de abcisa en el origen Demostrar que los puntos A(, 4), B(, ) y C(6, 1) son colineales. 7. Demostrar, aplicando el concepto de pendiente, que los puntos A(8, 6), B(4, 8) y C(, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo. 8. Demostrar que los puntos A(-1,), B(0,1), C(-,) y D(-4,1) son los vértices de un paralelogramo. 9. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(, ), B(, 5) y C(4, ). 10. Sabiendo que el ángulo formado por las rectas r 1 y r es de 45 o, y que la pendiente m 1 de r 1 es, hallar la pendiente m de r. 1

2 11. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (, 1), (5, ) y (, ). 1. Hallar la distancia desde: a) 8x + 15y 4 = 0 al punto ( ) b) 6x 8y + 5 = 0 al punto ( 1, 7) c) y 8 = 0 al punto (5, 6) d) x + 4 = 0 al punto (0, 6) e) x + 8y 1 = 0 al punto (, ) f) x 5y = 0 al punto ( 4, ) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (4, ) y distan unidades del origen. 14. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas: r 1 = x + 4y + 8 = 0 y r = 5x + 1y 15 = Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 1x 5y 15 = 0 que disten de ella 4 unidades. 16. Hallar el valor de k para que la distancia desde la recta 8x + 15y + k = 0 al punto (,) sea igual a 5 unidades. 17. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente que formen con los ejes coordenados un triángulo de área 4 unidades de 4 superficie. 18. Reducir a forma normal las ecuaciones siguientes y hallar p y ω: a) x + y 9 = 0, b) 1x 5y = 0, c) 4y 7 = 0, d) x + 5 = Trazar las rectas para los valores de p y ω que se indican y escribir sus ecuaciones respectivas: a) p = 5, ω = 0 o, b) p = 6, ω = 10 o, c) p = 4, ω = 40 o, d) p = 5, ω = 15 o. 0. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos (7, 4) y ( 1, ). 1. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro P 1 ( 4, 1) es P (, 6). Hallar las coordenadas del otro extremo.. Dado el triángulo de vértices A(-,1), B(5,4) y C(,-), hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A.. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-,) y radio 4.

3 4. Hallar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia x +y x+5y 14 = Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-) y que pase por el punto (-1,5). 6. Hallar la ecuación de una circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos (5,-1) y (-,7). 7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (,) y (-1,1) y cuyo centro está situado en la recta x y 11 = Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados están sobre las rectas L 1 x y + 1 = 0 L x y 6 = 0 L x + y + 9 = Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas L 1 x + y = 8; L x + y = 14 y L x + y =. 0. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-4,) y que sea tangente a la recta x + 4y 16 = 0 1. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasen por los puntos A(1,), B(,4) y sean tangentes a la recta x + y = 0.. Hallar las ecuaciónes de las circunferencias tangentes a las rectas x + y + 4 = 0 y 7x y + 4 = 0 y que tengan su centro en la recta 4x + y = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia x + y 4x + 6y 17 = 0 que sea tangente a la recta x 4y + 7 = Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a las circunferencias siguientes en los puntos dados: a) x + y = 5; (,1) b) x + y = 5; (,4). c) x + y x + 5y = 0; (,0). d) x + y 6x + 8y 5 = 0; (-,1). 5. Demostrar que las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la circunferencia x + y = a son y = mx ± a m Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos (-,0) y (,0) es igual a 6.

4 7. Utilizando la definición de elipse, hallar la ecuación de la que tiene como focos F(0,0) y F (1,1) y su eje mayor es igual a. 8. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje OX y su centro coincide con el origen de coordenadas, sabiendo además: a) Sus semiejes son iguales a 5 y a. b) Su eje mayor es 10 y la distancia entre los focos es 8. c) Su eje menor es 4 y la distancia focal es 10. d) La distancia focal es 6 y la excentridad es 5 e) Su eje mayor es 0 y la excentricidad es 5 f ) Su eje menor es 10 y la excentricidad es Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje OY y su centro es el origen de coordenadas, sabiendo además: a) Sus semiejes son iguales a 7 y a. b) Su eje mayor es 10 y la distancia focal es 8. c) La distancia focal es 4 y la excentricidad es 1 1 d) Su eje menor es 10 y la excentricidad Dadas las elipses 9x + 5y = 5 y 9x + 5y = 45, hallar: a) Sus semiejes. b) Sus focos. c) Su excentricidad. 41. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientes es una elipse y hallar las coordenadas del centro, los semiejes y la excentricidad: a) 5x + 9y 0x + 18y + 9 = 0; b) 16x + 5y + x 100y 84 = Hallar la ecuación de las tangentes a la elipse x + 4y = 10, que son paralelas a la recta x + y + 7 = Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse x + 4y = 0, que son perpendiculares a la recta x y 1 = Hallar los puntos de intersección de la recta y = x 1 con la elipse x + 4y = 8. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse en estos puntos. Hallar los ángulos que forman las tangentes con la recta dada y el que forman entre sí las tangentes. 45. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la elipse x punto P de abcisa y ordenada positiva. + y 16 9 = 1, en el 4

5 46. Hallar las intersecciones de la recta y = x + 1 con la elipse x + y = 1. Hallar las 5 9 ecuaciones de las tangentes en los puntos de intersección. Hallar los ángulos que forman dichas tangentes con la recta dada y el que forma entre sí las tangentes. 47. Desde el punto A( 10, 5 ) se han trazado tangentes a la elipse x + 4y = 0, hallar sus ecuaciones. 48. Dos elipses pasan por el punto A(4, 1) y son tangentes a la recta x + 4y 10 = 0. Hallar la ecuaciónes de estas elipses si sus ejes coinciden con los ejes coordenados. 49. Hallar la ecuación de la elipse que es tangente a las dos rectas x y 0 = 0 y x + 6y 0 = 0, si sus ejes coinciden con los ejes coordenados. 50. En la elipse x igual /5. + y 5 9 = 1, hallar el punto cuya diferencia de radios vectores focales es 51. Hallar la ecuación de una elipse de excentricidad 5 y que pasa por el punto M(1,1). 5. Hallar un punto de la recta x + 5 = 0 que equidiste del foco izquierdo y del vértice superior de la elipse x 5 + y 4 = Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados en el eje OX y su centro coincide con el origen de coordenadas, sabiendo además que a) Sus ejes son 10 y 8. b) La distancia focal es 10 y el eje imaginario 8. c) La distancia focal es 6 y la excentricidad es. d) El eje real es 16 y la excentricidad 5 4 e) Las ecuaciones de las asíntotas son y = ± 4 x y la distancia focal Hallar la ecuación de la hipérbola igual que el ejercicio anterior pero con los focos sobre el eje OY, sabiendo además que a) Sus semiejes son 6 y 18. b) La distancia focal es 10 y la excentricidad es 5. c) Las ecuaciones de las asíntotas son y = ± 1 x y la distancia entre vértices es Dadas las siguientes hipérbolas calcular el centro, los semiejes, los focos, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas: a) 16x 9y = 144 b) 16x 9y 64x 54y 161 = 0 c) 4y 9x + 16y + 18x = 9 d) 9x 16y + 90x + y 67 = 0 e) x 9y + 4x 5 = 0 5

6 56. Determinar la excentricidad de la hipérbola equilátera. 57. Calcular el área del triángulo formado por las asíntotas a la hipérbola 9x 4y = 6 y la recta 9x + y 4 = Hallar la ecuación de la tangente a la hipérbola bx ay = a b, en uno de sus puntos M(x 1, y 1 ) 59. Hallar la ecuación de las tangentes: a) A la hipérbola x 4y = 0 perpendiculares a la recta 4x + y 7 = 0 b) A la hipérbola 4x y = 64 perpendiculares a la recta 10x + y + 9 = Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola x y = 16, trazadas desde el punto A(-1,-7). 61. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo además: a) La párabola está situada en el semiplano derecho, es simétrica respecto al eje OX y su parámetro es. b) Está situada en el semiplano izquierdo, es simétrica respecto al eje OX y su parámetro es 0,5. c) Está situada en el semiplano superior, es simétrica respecto al eje OY y su parámetro es 1 4. d) Está situada en el semiplano inferior, es simétrica respecto al eje OY y su parámetro es. 6. Determinar el valor del parámetro y la situación de las parábolas siguientes con respecto a los ejes coordenados. a) y = 6x; b) x = 5y; c) y = 4x; c) x = y. 6. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen de coordenadas, sabiendo que a) Es simétrica respecto al eje OX y pasa por el punto A(9,6). b) Es simétrica respecto al eje OX y pasa por el punto B(-1,). c) Es simétrica respecto al eje OY y pasa por el punto C(1,1). d) Es simétrica respecto al eje OY y pasa por el punto D(4,-8). 64. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F ( 7, 0) y la ecuación de su directriz es x 7 = Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y = px en uno de sus puntos. 6

7 66. Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la parábola x = 16y y perpendicular a la recta x + 4y + 7 = Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la párabola x = 8y y paralela a la recta x + y = Hallar las ecuaciones de las tangentes a la parábola y = 6x trazadas desde el punto A(,9). 69. Clasificar las cónicas siguientes: a) x + y xy + x y + 1 = 0 b) x y + x + 1 = 0 c) x + x y + y = 0 d) x 10xy + y 6x + y 4 = 0 e) x + xy + y 6x + y + 4 = 0 f ) y xy + x 4y + 1 = 0 g) 1/x + xy + y x y + 1/ = 0 h) x y + 4y 1 = 0 i) x y + 5x 4xy 7y = 0 j) x + y + 4y + = Una recta r pasa por A(5,-5,7) y por el origen. Hallar las ecuaciones de una recta paralela a ella por el punto P(1,1,-1). 71. Estudiar la posición relativa de las rectas: r : x 1 = y 6 = z+1 ; r : x = λ y = 1 + λ z = 5 + 4λ 7. Sea el triángulo A(1,0,1); B(1,1,0) y C(0,1,1). Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que determinan. 7. Estudiar la posición relativa de las rectas r y s, según los valores de b: r : x = y 1 = z+6 1 s : x+1 6 = y 1 = z b+ 74. Hallar las ecuaciones paramétricas de un plano que pasa por el punto P(,,1) y contiene a la recta x = y = z Hallar la ecuación de un plano paralelo a π : 5x y + z = 0 que pase por el punto Q(-1, 1,4). 7

8 76. Estudiar la posición relativa de los planos: π : x y + z 1 = 0 y π : x y + z = 77. Hallar la posición relativa de la recta r y el plano π: : { x y + z = 1 x + y z = 0 π : 4x 7y + 5z = Considera las rectas: r : x r : = y+1 1 = z+m x = 1 α y = 1 + 4α z = 5 α Determinar m de manera que las rectas se corten. Hallar el punto de corte. 79. La ecuación continua de una recta es x = y 1 4 = z + Determinar el vector de dirección, las ecuaciones paramétricas y un punto de ella cuya primera coordenada sea Calcula a y b de forma que sean paralelas las rectas: r : x 1 = y a = z 5 4 s : x b = y = z Determinar la posición relativa del plano x-y+z-=0 y la recta de ecuación x 1 = y = z + 8. Consideremos la recta r, el plano π y el punto P (1, 0, 4), siendo: r : x 1 = y + 8 = z 5 π : x y + z = 1 a) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P. b) Calcula el punto de intersección de r y π. 8