EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES

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1 EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES 1 er PARCIAL 1. Obtén los valores reales que cumplen las siguientes condiciones: x+ x 3 5 x 1/ =1. Opera y expresa el resultado en notación científic (5, ,75 10 ) : 8, , (7, ,54 10 ) 5 4 ( 31, , 10 ) 43, , Representa gráficamente Calcula: e f Opera y simplifica: Opera y simplifica:

2 3 4 8 e. = 3 3 f. g. h. i. 3: 4 j k. l. 7. Racionaliza y simplifica 8. Opera, racionalizando si es necesario: 1 ( 3 + 1) 9. Calcular, utilizando la definición de logaritmo: 3 log 56 log3 3 + log 1 1 log + log 3 log 10 4

3 log log 1 log3 + log log3 log 8 Dto. de MATEMÁTICAS 10. Halla el valor de x, aplicando las propiedades de los logaritmos: logx = 3log log3 log x = 4, sabiendo que x > Resuelve las siguientes ecuaciones: x + x 1 ( x ) = 3 3 x + x 6x = 0 4x 4 1x + 5 = 0 x 5 x 3 = 1 e. 5 x + 4 = x + 1 f. 5 3 g. h. i. x 16 x + 1 = x x 4x 16 + x 4 = x 4 x 4 1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas 13. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: 1 x x + 3 = 0 e. 14. Resuelve las siguientes inecuaciones: x + 3 x 0

4 x + x Dto. de MATEMÁTICAS 15. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = = x y 6 y = 5 x x = y y + 1 x + y + z = Resuelve el siguiente sistema haciendo uso del método de Gauss: x + 5y + 5z = 7 4x + 9y + 7z = Resolver el sistema de ecuaciones 3 5,sabiendo que la suma de las tres soluciones es igual a Simplifica las fracciones algebraicas: 19. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica los resultados: e. f. g.

5 x + 1 3x 5x h. + : = x 1 x + 1 x 1 i. : Dto. de MATEMÁTICAS 0. Sabiendo que sen α =1/5 y que α es un ángulo del segundo cuadrante, calcular de forma razonada (sin hallar el ángulo) los valores de: sen α tag (α /) sen 1. Sea α un ángulo del cuarto cuadrante tal que cos α = /5. Calcular de forma razonada (sin hallar el ángulo) los valores de: tg α sen (α /) cos. Demostrar la igualdad: ( 1 cosx) senx senx = senx + senx sen x 3. Resolver las siguientes ecuaciones dando todas las soluciones comprendidas entre 0º y 360º: sen x = 1+ cos x cos x = 3 sen x cos x + senx = 1 tg x + 3 = tg x e. cos x = 3senx 1 f. sen x + cosx = 0 4. Sin hacer uso de la calculadora, resolver el triángulo ABC, siendo: 0 0 A = 30 ; = 45 B y c = 0 cm. 5. Calcula los lados y los ángulos del triángulo ABC: 6. Hallar la medida del lado desigual de un triángulo isósceles, sabiendo que sus lados iguales miden 40 centímetros y que la amplitud de sus ángulos iguales es de 30º.

6 Dto. de MATEMÁTICAS 7. Tres puntos, A, B y C, están situados sobre un plano, de modo que los segmentos AB y BC miden 6 y 9 unidades, respectivamente, y la amplitud del ángulo determinado por ellos es de 150º. Calcular la distancia entre los puntos A y C. 8. Resolver estos sistemas de ecuaciones, hallando las soluciones comprendidas entre 0 y π radianes. x y senx cosy senx cosy 5senx 3cosy 9. Dados los puntos A(4, 5) y B(1, 3), se pide: Hallar el extremo D de un vector fijo, equipolente al vector, siendo C (, 8). Encontrar un vector unitario con la misma dirección que el vector libre determinado por 30. Dados los puntos A(1, 4) y B(, 3), se pide: Hallar el origen C de un vector fijo, equipolente al vector, siendo D(5, 6). Calcular la suma del vector y un vector ortogonal a él con el mismo módulo. 31. Halla las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(,-1) y B(3,) en dos partes, tales que 3 3. Dados el punto P(,-1) y la recta r: x - 3y + 1 = 0 e. Halla la ecuación de la recta, s, perpendicular a r que pase por P. f. Halla la distancia del punto P a la recta r. 33. Calcular el valor de a y de b para que la recta r: 1, 1 3 y tenga la dirección del vector 1, 1. pase por el punto x 1 y 1 x = 1 + t 34. Estudiar la posición relativa de las rectas r : = y s :. Si son 1 y = 6 3t paralelas calcula la distancia entre ellas y, si se cortan, calcula el ángulo que forman y las coordenadas del punto de corte. 35. a) Calcular el valor de n para que las rectas r : 3x y 1 = 0 y s : paralelas. Para el valor de n hallado en el apartado a), determinar la distancia que separa a las rectas r y s. sean

7 36. Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3,-1) respecto del punto A(,1) 37. Las coordenadas de tres de los cuatro vértices del paralelogramo ABCD son A(,1), B(6,) y C(3,3). Halla las coordenadas del vértice D Halla el área del paralelogramo. 38. Se consideran los puntos A(, 1) y B(6, 5). Se pide: Calcula la longitud del segmento AB. Determina la mediatriz de este segmento. e. Halla el punto simétrico de A respecto del punto P ( 1, ). 39. Se considera la familia de rectas: mx + (m )y + (m + 1) = 0 siendo m un parámetro real. Se pide: f. Determinar el punto común a todas las rectas de la famili g. Hallar la recta de esta familia que pasa por el punto P (1, 1). h. Encontrar la recta de esta familia que es paralela a la recta x y + 1 = Dadas las rectas r: x y =1 y s: 3x + y = 1 i. Hallar la ecuación de la recta concurrente con ellas que pasa por el punto P ( 8, 3). j. Calcular el ángulo que forman las rectas r y s. 41. Hallar la ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (0, 0) y (1, 1) es igual a 9. Calcular el área de la región del plano que determina el lugar hallado. 4. Sea la circunferencia de ecuación x + y x 4y + 1 = 0. Hallar su centro y su radio, y dibujarl Encontrar el punto de la cónica, de abscisa cero, más alejado del origen; hallar también la recta tangente a la curva en ese punto. Determinar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto P (3, 0), razonando la respuest 43. Encontrar una ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos A(0, 3) y B(0, 1) es igual a 1. Identificar de qué lugar geométrico se trat 44. Determinar el centro, el radio y la gráfica de la circunferencia C: x + y 4x + y = 0. Obtener la ecuación de la recta tangente a C en el punto P (4, 0). Encontrar la ecuación de la circunferencia concéntrica con C que es tangente a la recta de ecuación x y + = Dada la parábola de ecuación y = (1/8) y :

8 Determinar los puntos de intersección de dicha parábola con los ejes de coordenadas. Hallar una ecuación cartesiana y la gráfica de la elipse que tiene como vértices los puntos hallados en el apartado anterior. Calcular su excentricida Encontrar una ecuación cartesiana de la hipérbola que comparte sus vértices sobre el eje de abscisas con la elipse anterior. Obtener las ecuaciones de sus asíntotas. EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES r PARCIAL 46. Calcular el dominio de las siguientes funciones e. f. g. h. i. j. 47. Estudia la simetría de las siguientes funciones: f(x) = x 6 + x 4 - x f(x) = x 5 + x 3 x f(x)= x x

9 f(x) = x 1 Dto. de MATEMÁTICAS 48. Para pintar una casa se ha contratado a un pintor y a su ayudante. El pintor comienza a trabajar a las 10 de la mañana y cobra 0 euros por cada hora trabajad El ayudante comienza a las 8 de la mañana y cobra 1 euros la hora de trabajo. Cuando el ayudante ha trabajado 4 horas, cuánto dinero han ganado? Cuando el pintor lleva trabajadas t horas, cuánto ha ganado cada uno de ellos? Y entre los dos? Completa una tabla donde aparezcan el número de horas trabajadas y el dinero ganado por cada uno y por ambos. Dibuja la gráfica que representa cómo varía el dinero que ganará el ayudante en función de las horas trabajadas. e. Dibuja, sobre los mismos ejes, la gráfica correspondiente a los ingresos del pintor y contesta, utilizando las gráficas, a las siguientes cuestiones: i. A qué hora han ganado lo mismo? ii. Cuánto han ganado en ese momento? iii. Cómo lo sabes 49. Dibujar la gráfica de una función con las siguientes características. Su dominio es toda la recta real y su recorrido es el intervalo [ 3, 3]. Es simétrica respecto del origen de coordenadas. Es creciente en ( 1, 1) y decreciente en ( 1) U (1, + ). 50. Dibujar la gráfica de una función con las siguientes características. Su recorrido es toda la recta real Es simétrica respecto del eje de ordenadas. Tiene un máximo relativo en el punto (0, 4). Tiene dos asíntotas verticales. x f ( x ) = 51. Se consideran las funciones: x f ( x ) y su dominio. ( f g )( x ) y su dominio f ( x ) y su dominio. g( x ) 5. Se consideran las funciones: f 1 ( x ) y su dominio. f ( x ) y g( x ) = x 1. Calcula x 1 = y g ( x ) = x. Calcula: x

10 ( f g )( x ) f ( x ) g( x ) y su dominio y su dominio. Dto. de MATEMÁTICAS 53. Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de 54. Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y ( 1,1). Calcula a, b y 55. Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, ). Halla su ecuación. 56. Representa las siguientes funciones y exprésalas como funciones definidas a trozos: f(x) = x f(x) = x² 4x + 3 f(x) = x x 57. Representa las siguientes funciones y determina su dominio, puntos de corte con los ejes y asíntotas, si las tienen: f(x) = 6/x e. 58. Representa las siguientes funciones, indicando su dominio, puntos de corte con los ejes y asíntotas, si las tienen. e. f(x) = ln x 59. El número de células en un cultivo de laboratorio viene dado por la expresión f(x) = e x a donde x indica el tiempo en días. Calcula el valor de a si el estudio del cultivo se inicia con cuatro células. Cuántas células habrá al día siguiente?

11 Representa gráficamente la función, e indica la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problem Cuántos días han de pasar para que haya 400 células en el cultivo? Y para que se duplique esta cantidad? 60. El número de platos que un cocinero prepara viene dado en función de los días x que lleva realizando este trabajo mediante la 5x + 5 expresión f ( x ) =. x + 1 Representa gráficamente la función, e indica la parte gráfica que tiene sentido en el contexto del problem Cuántos platos prepara al empezar a trabajar? Y al cabo de un día de trabajo? Al cabo de cuántos días prepara 0 platos? Cuál es el número máximo de platos que puede preparar? 61. Representa la función f(x) = cos x en el intervalo [-π, π]. A partir de la gráfica del apartado anterior, representa en el mismo intervalo las gráficas de las funciones: g(x) = 4 cos x +1 y h(x) = cos (x/) 6. Dada la función cuya gráfica es : Responde a las siguientes preguntas: Cuál es su dominio y recorrido? Para qué valores de x es creciente? y decreciente? Analiza su continuida Obtén su expresión analítica 63. Observa la gráfica de la función f(x) y calcular los límites que se indican:.

12 64. Calcular los siguientes límites: x lim x 0 + x x lim x + x x x x x 4 x lim x 0 4x lim x + x x x + x + 1 lim x 3 e. x 3 x 9 lim x 3 f. x 5x + 6 x 3 si x < Estudia la continuidad de la función: f ( x ) = x si 0 x < 5 x si x.represéntala gráficamente. x si x < Estudiar la continuidad de la función: f ( x ) = x x + 1 si 1 x < 3. x 4 si x 3 Represéntala gráficamente. 5 x si x Representa gráficamente la función f ( x ) = y estudia 5 x si x < 0 su continuida 68. Representa gráficamente la función x 3x + 1 si x 1 f ( x ) = ln x si x > 1 y estudia su continuida x + 3x + 1 si x 1 f ( x ) = x x si x < Dada la función: x 1 Estudiar el dominio y la continuidad de f. Hallar las asíntotas de la gráfica de f. 3x 3x 70. Sea la función f ( x ) = 1 x Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable. Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. Estudiar si f tiene asíntota horizontal.

13 x 71. Calcula el valor de la derivada f ( x ) = en x =. x 1 7. Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función P(t) = t², siendo t el tiempo medido en horas. Se pide: La velocidad media de crecimiento. La velocidad instantánea de crecimiento. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas. 73. Hallar el punto en que y = x + no tiene derivad Justificar el resultado representando su gráfic 74. Hallar los puntos en que y = x 5x + 6 no tiene derivad Justificar el resultado representando su gráfic 75. Calcula la derivada de las siguientes funciones: x + f ( x ) = x + 1 f x = xe ( ) x f x + 1 x 3 x 1 = cos sen x ( x ) = sen f ( x ) e. f ( x) = ln ( x + x + 5) 76. Estudia dónde crece y dónde decrece la función: f ( x) = 3 + 1x 3x 77. Halla el punto de corte del eje OX con la recta tangente a f ( x) = x x en el punto de abscisa x = A partir de la gráfica de f (x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a ellas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

14 79. Sea la función 3x f ( x ) = se pide: x + 4 Dominio. Asíntotas. Crecimiento y decrecimiento de f x Máximos y mínimos. e. Representación gráfic 80. Dada la función f ( x ) = x 3 ( x + 1)( x 1) Indicar su dominio de definición. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Determinar sus máximos y mínimos. 81. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = 3x 3 x 1 en los puntos de abscisas: x = 1 y x = 1 8. Dada la curva de ecuación f(x) = x 3x 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de Determinar la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 para que su área sea máxim ( ).

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