Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato NÚMEROS REALES. L d. Demostración de la irracionalidad de 2 :
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- Aurora Fuentes Sosa
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1 Resúees de Mteátics pr Bchillerto I.E.S. Ró Girldo NÚMEROS REALES.- ALGUNOS NÚMEROS QUE NO SON RACIONALES El úero pi: p Lcircufere ci = p r = p d fi p = El úero ríz de dos: L d d Cuál es l logitud de l digol? d = + fi d = Deostrció de l irrciolidd de : Supogos que = co y prios etre sí (es decir, l frcció es irreducile). Etoces: = fi es reducile!!, y que si es irreducile, etoces tiee que ser tié irreducile. El úero de oro: F x Cuál es l logitud de x pr que los rectágulos se seejtes? Pr que los rectágulos se seejtes se tiee que verificr: x - = fi x - x = x + 5 de dode x = : = F.- LOS NÚMEROS REALES Ï Ï Ï ÏNATURALES ENTEROSÌCERO ÓNEGATIVOS RACIONALESÌ ÌREALES Ì ÏDECIMALES EXACTOS FRACCIONARIOSÌ ÏPUROS PERIÓDICOSÌ Ó Ó ÓMIXTOS Ó Ó IRRACIONALES(Deciles o periódicos) Recuerd que hy úeros que o so reles: Deprteto de Mteátics
2 Resúees de Mteátics pr Bchillerto I.E.S. Ró Girldo -, -, 4-3, PROPIEDADES DE LA OPERACIONES CON REALES SUMA: () Asocitiv: + ( + c) = ( + ) + c () Couttiv: + = + (3) Existeci de eleeto eutro (el cero): + 0 = 0 (4) Existeci de eleeto opuesto (desigdo por - ): + (- ) = 0 Cosecuecis que se otiee: - = + - (ii) - ( + ) = - - PRODUCTO (i) Rest: ( ) () Asocitiv: ( c) = ( ) c () Couttiv: = (3) Existeci de eleeto eutro (el uo): = (4) Existeci de eleeto iverso (represetdo por ó - ): = siepre que 0. (5) Distriutiv: ( + c) = + c Cosecuecis: (i) Divisió: : = - = - = - (ii) ( ) ( ) ( ) 4.- LA RECTA REAL Se le puede sigr u scis cd úero rel, y recíprocete, es decir, todo puto de l rect grdud le correspode u úero rel. De este odo, l rect rel está coplet, o se le puede ñdir ás putos i ás úeros, por ello se hl de l rect rel y de su propiedd de copletitud. 5.- EL ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES Algericete el orde se expres edite el síolo < : < - > 0 > < Propieddes del orde: () < y < c fi < c () < fi + c < + c Ï c < c (3) < fi Ì Ó c > c si c si c > 0 < 0 Mteátics Aplicds ls Ciecis Sociles I
3 Resúees de Mteátics pr Bchillerto I.E.S. Ró Girldo Itervlos y seirrects: - Itervlo ierto de extreos y : (, ) = { x : < x < } - Itervlo cerrdo de extreos y : [, ] = { x : x } - Itervlos seiiertos, = x : < x ( ] { } [, ) = { x : x < } - Seirrects -, = ( ) { x : x < } (-, ] = { x : x } (, + ) = { x : x > } [, + ) = { x : x } - Rect rel -, + = ( ) 6.- LAS RAÍCES Y LAS POTENCIAS Defiició: = = Propiedd: = Otrs propieddes de ls ríces: () = r r co r 0 () = (3) = (4) ( ) = (5) = Opercioes co ríces: - Su y rest: Se sc fctor coú el rdicl y se su o se rest los coeficietes. - Multipliccioes y divisioes: Se puede ultiplicr y dividir ríces que teg el iso ídice. Rciolizció de deoidores: Es el proceso que se sigue pr eliir ls ríces de ls expresioes frccioris. Estudireos dos csos: ) E el deoidor sólo hy u rdicl. E este cso, ultiplicreos uerdor y deoidor por u rdicl coveiete, de for que l efectur l ultiplicció del deoidor os quede u úero etero. (Recuerd que pr poder ultiplicr los rdicles, éstos tiee que teer el iso ídice, y pr que se pued siplificr el rdicdo resultte, su expoete tiee que ser igul l ídice) ) E el deoidor hy u su o u rest, y uo de los sudos es u rdicdo. E este cso, se ultiplic uerdor y deoidor por l expresió cojugd (se otiee cido el sigo que hy etre los sudos) del deoidor. (Recuerd que Deprteto de Mteátics 3
4 Resúees de Mteátics pr Bchillerto I.E.S. Ró Girldo e el deoidor siepre qued su por difereci, y plicos l correspodiete fórul) 7.- VALOR ABSOLUTO Ï Defiició: = Ì si 0 Ó- si < 0 Propieddes del vlor soluto: () = - () = (3) + + (Desiguldd Trigulr) (4) < k fi -k < < k Distci etre dos úeros reles: d(, ) = LOGARITMOS El logrito e se > 0 y ( ) de u úero N es el expoete l que hy que elevr l se pr que dé dicho úero: log N = x x = N Los logritos de se 0 se ll deciles y se represet por log, y los logritos de se e se ll turles o eperios y se represet por l o L. Propieddes: ) log = y log = 0 ) log ( MN)= log M + log N Ê M ˆ 3) log Ë Á N = log M - log N siepre que N 0 4) log N = log N " ŒR Trsforció de logritos: 5) log N = l N l Otrs propieddes: 6) Los logritos de u úero e dos ses iverss y so opuestos. 7) Coocidos los logritos e u se yor que se puede hllr fácilete e culquier otr se. 9.- APROXIMACIÓN DE NÚMEROS Cifrs sigifictivs: So quells que o sólo sirve pr situr el lugr de l co. Actulete est otció está e desuso y se utiliz l otció log pr represetr el logrito eperio. Mteátics Aplicds ls Ciecis Sociles I 4
5 Resúees de Mteátics pr Bchillerto I.E.S. Ró Girldo Redodeo: Cosiste e prescidir de ls cifrs que sigue u deterid, sudo u uidd est últi si l prier eliid es 5 o superior 5. Error soluto y error reltivo: Error soluto = vlor excto - vlor proxido Error reltivo = Error soluto Vlor excto Opercioes co redodeos: Regl : El resultdo de u su o rest de úeros redodedos (o exctos) h de ser redodedo l cifr que correspod l yor error soluto de los dtos. Regl : Si se ultiplic o divide úeros redodedos, el producto o cociete se redoderá l eor úero de cifrs sigifictivs que pose los fctores. 0.- NOTACIÓN CIENTÍFICA U úero se dice que est escrito e otció cietífic cudo está ddo e l for 0 dode es u úero decil, co u úic cifr e l prte eter (distit de cero), y es u úero etero. Deprteto de Mteátics 5
Enteros (Z) Son todos los números que puede expresarse como el cociente de dos nº enteros, siendo el denominador distinto de cero
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