1 Números Título racionales

Transcripción

1 Números Título rionles VAMOS A CONOCER El onjunto e los números rionles Tipos e friones Representión gráfi e los números rionles Friones equivlentes Clses e equivleni Comprión e friones Operiones on números rionles Propiees e ls operiones on números rionles QUÉ NECESITAS SABER? Jerrquí e ls operiones Efetú ls siguientes operiones: ) + ) + + : Operiones on préntesis, orhetes y llves Efetú ls siguientes operiones: ) [ + ) + ] + ) ) { [ )] } Representión e números enteros Represent los siguientes números enteros en l ret: ) ) ) 0 ) e) f) g) h)

2 El Imperio Romno só uen prte e su grnez en el poerío militr. L estrutur e sus ejéritos se s en ls legiones que, prinipios el Imperio, onstn e 00 homres, frionos e l siguiente mner: Un legión l onstituín 0 ohortes. Un ohorte est form por mnípulos. Un mnípulo lo onstituín enturis C enturi reuní 0 homres. Y

3 Mtemátis Y. El onjunto e los números rionles Seis migos que elern un fiest e umpleños intentn reprtirse un pizz. Como toos les gust muho, eien reprtírsel equittivmente. Si son migos, qué nti e trt le orrespone uno?! {, } = {,,, 0,, } RECUERDA Nos mos uent e que si iviimos l pizz en riones, migo le orresponerá un e ls riones. Pues ien, e se esrie. Este tipo e números que nos inin un prte e un too reien el nomre e números rionles. El onjunto e estos números se represent on l letr. es el onjunto e los números rionles. = { /,, sieno 0} Así, vemos que un frión es el oiente entre os números. está ontenio en pertenee istinto e tles que Notión Ejemplo L frión oinie on el número entero. Too número entero mite un expresión rionl: ulquier número entero mite l expresión rionl. De esto se eue que.! D l frión RECUERDA, el numeror es y el enominor es. L relión ontrri no es iert, es eir, no too número rionl mite un expresión enter. Ejemplo El número rionl no se puee expresr omo un número entero. ACTIVIDADES. Si e un trt e riones nos omemos rión, qué prte e l trt nos hemos omio? Si omiérmos e l trt, uánto nos hrímos omio?. De ls siguientes figurs, ini on un frión qué prte el totl está olore: ) )

4 Números rionles. Tipos e friones Frión propi: es un frión uyo numeror es menor que el enominor y que, l her el oiente, result un número menor que l uni. Ejemplos Frión impropi: es un frión uyo numeror es myor que el enominor y uyo oiente es myor que l uni. Ejemplos Con ls friones impropis se pueen r los os sos siguientes: Cso : el numeror es un múltiplo el enominor. En este so tenemos un número entero. Cso : el numeror no es múltiplo el enominor. En este so pree el onepto e número mixto. Un número mixto es un número rionl que onst e prte enter y prte frionri. Número mixto omo frión Pr expresr + en form e frión proeeremos sí: + + = = Ejemplos Cso : = Cso : = + Prte frionri = Prte enter = Frión eiml: es un frión en l que el enominor es 0 o un e sus potenis. Ejemplos 0 00 = 0 = 0 0 ACTIVIDADES. Clsifi los siguientes números rionles: ) ) + ) ) e) f) g) Expres omo números mixtos ls friones impropis el ejeriio nterior y los números mixtos expréslos omo friones impropis.. Un pintor tr tres hors y mei en pintr un s. Su yunte tr utro hors y urto en her el mismo trjo. Expres en form numéri el tiempo que tr uno en pintr l s.. Un ro pesquero llev en sus oegs tres tonels y mei e srins. Expres en form numéri ls tonels e peso el ro.. En el prolem nterior, si son siete los pesores y se reprten equittivmente el peso, uánts tonels le orresponen uno? Frión omo número mixto Pr expresr en form e número mixto relizmos l ivisión que represent l frión. El oiente e l ivisión,, será l prte enter, el resto,, será el numeror y el ivisor,, será el enominor. = + Y

5 0 Mtemátis Y. Representión gráfi e los números rionles Pr representr los números rionles onsierremos un ret horizontl sore l que iniremos los números enteros, sieno el punto 0 el origen Pr representr l frión propi prtes igules y tomremos. iviiremos l uni e longitu en Pr iviir un segmento en tres prtes igules proeeremos sí: Por qué? Por el teorem e Tles semos que los segmentos AC y AC, AD y AD, AE y AE son proporionles, por tnto, omo longac ) = longcd ) = longde ) euimos que longac ) = longc D ) = longd B ). Do el segmento AB, trzmos un semiret on vértie en A sore l que llevremos tres vees l mism mei, otenieno los puntos C, D, E.. Trzmos el segmento BE. Finlmente trzmos prlels l segmento BE por los puntos D y C, oteniénose los segmentos DD y CC. Ejemplo Pr representr l frión impropi primero lulremos su expresión omo número mixto: A C = + C D B D E Posteriormente, iviiremos l uni e longitu en prtes igules y tomremos, pero ls llevremos prtir e : ACTIVIDADES. Represent sore l ret los siguientes números rionles: ) ) ) ) +

6 Números rionles. Friones equivlentes Consieremos ls friones y. Vmos oservr ls siguientes operiones: : En el primer so iremos que hemos mplifio l frión y que hemos enontrno un múltiplo e l mism. En el seguno so iremos : = = que hemos simplifio l frión. 0 Dos friones son equivlentes si y sólo si representn el mismo vlor. Simplifiión e friones L simplifiión e un frión se puee lulr, omo en el ejemplo siguiente, on ivisiones suesivs: : : : = = = = = = : : : o ien iviieno numeror y enominor por su máximo omún ivisor, omo vemos ontinuión: : = = y que MCD, ) = : Pr simplifir un frión iviiremos numeror y enominor por su máximo omún ivisor. Oservión + + En generl: + + = ; = Cuno un frión no se puee reuir más iremos que es irreuile. L frión es irreuile si y sólo si MCD, ) = O lo que es lo mismo, l frión es irreuile si y sólo si el numeror y el enominor son primos entre sí. ACTIVIDADES. De ls siguientes friones, ini uáles son equivlentes. Rzon tu respuest: 0 ) y ) y ) y ) y 0 0. Simplifi ls siguientes friones utilizno los os métoos: 0 ) ) ) ) e) Y

7 Mtemátis Y. Clses e equivleni Dos los números rionles y, oservmos l relión siguiente: = Ls friones en ls que se e l relión nterior iremos que son equivlentes. Est relión, llm relión e equivleni, l solemos expresr e l siguiente mner: = = Dos friones y son equivlentes si y sólo si =. Clse e equivleni: = = = = EJEMPLO Y se lee e l siguiente mner: «Ls friones y son equivlentes si y sólo si el prouto e extremos es igul l prouto e meios.» D un frión, existen infinits friones equivlentes ell. Tos ls friones equivlentes ell formn un onjunto llmo lse e equivleni. De lse e equivleni solemos tomr omo representnte su frión irreuile. Este será el llmo representnte nónio. En el so e que el número rionl se negtivo, su representnte nónio llevrá el signo en el numeror. Ejemplo L lse e equivleni ± ± ± ±,,,! tiene por represen- tnte nónio l frión irreuile ±. ACTIVIDADES. De los siguientes números rionles, ini uál es su representnte nónio: ) ) e) ) ) f). De ls siguientes friones, ini uáles perteneen l lse e equivleni uyo representnte nónio es : ) ) e) 0 0 ) ) f)

8 Números rionles. Comprión e friones Queremos ser uál e los os niños omió más trt. Ls friones pueen yurnos resolver el prolem pues, en reli, se trt e ser uál e ls friones y es myor. Pr poer omprr friones lo primero que hemos es reuirls enominor omún: Esriimos ls friones en su expresión irreuile: y. El enominor omún será el mínimo omún múltiplo e los enominores. En nuestro so, mm, ) =. Otenemos el numeror iviieno el mínimo omún múltiplo entre uno e los enominores y multiplino el resulto otenio por el numeror iniil e frión. En nuestro so serí sí: = : ) = = = : ) = = Ahor sí que ls poemos omprr: omo prtes e son más que prtes e, result: Oservión Tenieno os friones e istinto signo siempre será myor l positiv. > > > Luego omió más el niño l que ieron riones e l segun trt que l que ieron riones e l primer. ACTIVIDADES. Clul el enominor omún e ls siguientes friones: ), y ), y e), y 0 ), y ), y f), y 0. Oren ls friones el ejeriio nterior e menor myor.. Oren los siguientes números rionles e myor menor: ) +, y ) +, + y + Y

9 Mtemátis Y. Sum y rest e números rionles En este prto reorremos ómo sumr y restr números rionles... Friones on el mismo enominor Pr sumr o restr os friones que tienen el mismo enominor, se sumn o restn los numerores y se onserv el mismo enominor. Oservión + = + Ejemplo + + = =.. Friones on istinto enominor Pr sumr o restr os friones que tienen istinto enominor, ls reuimos enominor omún y espués summos o restmos los numerores. M + = : ) + M M = mm, ) Oservión M : ) M Ejemplos + = = + = + = = + = 0 = + = Opuesto e un frión El opuesto el número rionl será el número rionl. Ejemplo El opuesto e es. ACTIVIDADES. Efetú ls siguientes operiones: ) + ) + ) + ) + +. Efetú ls siguientes operiones entre friones, números mixtos y números enteros: ) + ) + e) + ) + ) ) + ) + f) + + ) + ) + ) + g) + ) ) + + h) + ) + + ) + + ) 0 0 0

10 Números rionles. Prouto y oiente e números rionles El prouto e os friones es otr frión uyo numeror es el prouto e los numerores y uyo enominor es el prouto e los enominores. = Ejemplo = = 0 D l frión on 0, su invers es l frión. Ejemplo Oservión = L invers e es l frión. Pr iviir l frión entre l frión multiplimos l frión por l invers e l frión. : = Ejemplo 0 : = = = 0 Poemos oservr que primero hemos iviio 0 entre pr otener el numeror y luego hemos simplifio entre pr otener el enominor. Pr qué multiplir por 0 y por pr luego simplifir el resulto? No es más fáil simplifir primero, on lo que los números nos slrán más «mnejles», y operr espués? ACTIVIDADES. Efetú ls siguientes operiones simplifino too lo que pues: ) ) ) ). Reliz ls siguientes ivisiones e números rionles: : ) : ) : ) ) : Y

11 Mtemátis Y. Propie istriutiv L propie istriutiv el prouto respeto e l sum e friones es l siguiente: Como ejeriio, poemos ompror que l propie nterior se umple en el siguiente ejemplo: + = + Si leemos l propie nterior e ereh izquier, tenemos: + e = + e f f Est letur e l propie es muy útil pr simplifir expresiones y se onoe omo sr ftor omún. Ejemplo + e = + f S ftor omún en l siguiente sum e friones: + = + Poemos oservr que l frión que se repite es y es ell l que se onvierte en el ftor omún. e f ACTIVIDADES 0. Comprue que se verifi l propie istriutiv en ls siguientes operiones: ) + ) ) S ftor omún en los ejeriios siguientes: ) ) ). Oper extryeno primero ftor omún: ) ) )

12 Números rionles 0. Propiees e l sum y el prouto e los números rionles 0.. Propiees e l sum Propie soitiv: Propie onmuttiv: + = + Existeni e elemento neutro: 0 e f + + = + + e f MATEMÁTICAS EN EL TIEMPO L Prehistori Pr too número rionl se verifi que + 0 =. Existeni e elemento opuesto: Too número rionl posee un opuesto, llmo, tl que + = Propiees el prouto e Propie soitiv: f Propie onmuttiv: = Existeni e elemento neutro: Pr too número rionl se verifi que =. Existeni e elemento inverso: Too número rionl posee un inverso, que llmremos, = tl que =. ACTIVIDADES =. Comprue l propie soitiv e l sum en el siguiente ejemplo: + + = + +. Comprue l propie onmuttiv e l sum en el siguiente ejemplo:. Verifi l propie soitiv el prouto en el siguiente ejemplo: = + = e f Cuáno preieron ls mtemátis? Prolemente, ese el mismo momento en que pree el homre. Ls primers prues e que el homre emple ls Mtemátis en l Antigüe tn el Neolítio. En Áfri preió un hueso e 000 ños e ntigüe on un serie e muess que oinien on un lenrio que ún se us en lgunos píses frinos. Posteriormente preió otro hueso e ños e ntigüe on un serie e muess que inin un lenrio lunr. Y no eemos olvir que el estuio e l stronomí proujo en l Antigüe un importnte esrrollo e ls Mtemátis. Y

13 Mtemátis Y INFORMÁTICA MATEMÁTICA Mtemátis e Mirosoft Este progrm, que ompñ l liro, es un herrmient muy potente pr her Mtemátis. Por ejemplo, si queremos resolver ulquier ejeriio e l uni él. Por ejemplo, vmos lulr l siguiente operión on friones: + : Introuimos los tos en l líne e eiión esriieno iretmente lo siguiente: "/+/)*/) /)//)". Mientrs vmos introuieno los tos vemos omo l expresión tom form: L lulor Tmién poemos utilizr l lulor que pree l izquier e l pntll pr esriir l expresión. Ahor, pulsno Intro pree l frión soluión y su vlor eiml: Pr esriir ls expresiones en l líne e eiión tmién poemos utilizr l lulor. Est herrmient es muy útil pr esriir elementos que no poemos inir iretmente ese el telo, omo potenis, ríes, esigules... Pr esriir friones tenemos que pulsr el otón. / Tmién poemos lulr el mínimo omún múltiplo e vrios números, por ejemplo,,, y. Pr ello tenemos que pinhr en el otón Im lower ommon multiple) e l lulor y nos preerá en l líne e eiión l expresión «lm», ontinuión e l ul eeremos esriir los números sepros por oms: Ahor, pulsno Intro pree el vlor el mínimo omún múltiplo:

14 Números rionles ACTIVIDADES RESUELTAS Un pre ej en hereni sus tres hijos un fin. Al myor le ej e l mism, l menor los el resto y l meino le ej lo que que. A quién legó más nti e terreno? Si l fin mie 0 h, uánts hetáres le orresponen hermno? Soluión Al menor le ej los el resto. Como el resto es =, l menor le ej: = prtes e l fin. El myor reie = prtes, luego el meino reiirá: + = = prtes e l fin. Ls hetáres que reie uno son: Hermno myor 0 = = h Hermno meino 0 = = h Hermno menor 0 = = h Simplifi l siguiente frión: Soluión = = Efetú ls siguientes operiones y expres el resulto omo número mixto: Soluión = = = = = = = = = = = = + // / / // Un niño ej er un pelot ese l ventn e su s, que está un ltur e m. En reote l pelot lnz los e l ltitu el reote nterior. Qué ltur lnzrá l pelot en el terer reote? Soluión En el primer reote l pelot llegrá un ltur e: = m En el seguno reote lnzrá: = m Finlmente, en el terer reote l pelot llegrá los = m e ltur Oper y simplifi: Soluión = = = = = = = Un grifo llen un tonel en h. Pr virlo emplemos otro grifo que tr h. Si ejmos los os grifos iertos, uánto trrá en llenrse el tonel? Soluión En un hor el primer grifo llen grifo ví e tonel y el seguno el mismo. Luego l o e h, iertos los os grifos, se llenrá: = el tonel. Por lo tnto, el tonel se llenrá l o e : = h. + Y

15 0 Mtemátis Y ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS. De ls siguientes friones, ini uáles son equivlentes y uáles no: ) y ) y e) y ) y ) y f) y. Expres ls siguientes friones omo números mixtos: ) ) e) ) ) f). Esrie os friones equivlentes un e ls s: ) ) e) ) ) f). Complet ls siguientes friones pr que sen equivlentes: ) = ) = g) =?? ) = e) = h) =? ) = f) = i) = 0 0. Enuentr un frión equivlente uyo enominor se.. Simplifi ls siguientes friones hst onvertirls en irreuiles: 0 0 ) ) g) j) 0 ) e) h) k) 0 0 ) f) i) l) 0 0. Enuentr os friones equivlentes que tengn omo enominores y.??? 0?? 0 0? 0. Reue omún enominor y oren ls siguientes friones: ) y ) y ) y ) y 00. Oren ls siguientes friones e menor myor: ), y e), y ), y f), y ), y g), y 0 ), y h), y. Esrie un frión ompreni entre ls siguientes: ) y ) y ) y ) y. Reliz ls siguientes operiones y expres ls friones impropis que resulten omo un número mixto: ) + f) ) g) ) h) + ) + i) + e) + j) +. Oper y expres ls friones impropis que resulten en form e número mixto: ) + ) + ) + e) + ) f) + +

16 Números rionles. Reliz ls siguientes operiones y, si es posile, simplifi el resulto: ) e) i) ) f) j) ) g) k) ) h) l). Oper y simplifi el resulto: 0 ) e) 0 0 ) f) + ) ) g) + 0 ) ) h) + 0 ) 0. Reliz ls siguientes ivisiones y, si es posile, simplifi el resulto: ) e) + ) : ) : f) + ) : ) : g) : ) + ) : : h) 0 ). Oper y simplifi: ) : e) : i) : 0 ) : f) : j) : 0 0 ) : g) : k) : 0 ) : h) : l) : Reliz ls siguientes operiones omins. Reuer l jerrquí e ls operiones: ) + ) + : 0 ) e) + : ) f) : +. Oper y simplifi. Reuer que l jerrquí e ls operiones es importnte: ) + + ) : ) ) : + : ) + ) : + ) +. Reliz ls siguientes operiones on préntesis: ) ) ) e) ) f). Oper y simplifi. Ten en uent l jerrquí e ls operiones: ) : ) 0 0 ) ). Oper: ) ). Oper ls siguientes friones: ) ) : : Y

17 Mtemátis Y ACTIVIDADES FINALES PROBLEMAS. En un instituto hy 0 estuintes, e los ules son hios. Cuánts lumns hy en el instituto?. Jun se tiene que exminr e tems e Mtemátis. Si h estuio tems, qué porión el totl e tems le que por estuir? 0. De un epósito e gu on 00 l e pi se h onsumio l sext prte. Cuántos litros quen en el epósito?. A un vión, on pi pr trnsportr 0 vijeros, hn suio 0 persons. Qué frión represent el número e vijeros que hn suio l vión sore l pi e trnsporte el mismo?. Un señor quiere omprr l e ervez, pero en l tien sólo tienen lts e e litro. Cuánts lts neesit omprr pr otener los l e ervez?. En un prtio e lonesto Crmen mr e los puntos, Ángel y el resto e jugores los puntos restntes. Cuántos puntos hiieron Crmen y Ángel? Y el equipo ompleto?. Un rri tiene 00 l e vino. Si extremos primero e su pi, luego smos l, uántos litros quen? el resto y finlmente. En un grnj hy en totl nimles, e los ules son ovejs, son vs y son eros. Cuántos nimles hy e lse?. En un fin hy 00 ároles, e los uáles son roles y e los restntes son enins. Si el resto e ároles son lornoques, uántos lornoques hy?. Un señor posee 0 pr her l ompr. Si gst en el mostror e rne y e lo que le que en el e peso, uánto le que pr omprr l frut?. Un pre quiere reprtir 0 entre sus utro hijos: Atnsio, Rfel, Isel y José. Si le entreg el totl Atnsio, e lo que que Rfel y el resto Isel, uánto le que José?. Luis quiere gstr 0 e l siguiente form: en rop, en liros y en omi. Cuánto h gsto en os? Cuánto le sor? 0. Un nej e psteles está onstitui sí: e los mismos son e rem, e hoolte y e nt. Cuántos psteles hy e lse?. Un niño tiene juguetes, e los ules son ohes y son muñeos. Si ej el resto e sus juguetes sus migos, uántos juguetes prestó?, y uántos tiene e lse?. En un tren e los vijeros son jóvenes, e mein e y el resto son persons myores. Cuánts persons myores vijn en el tren si en totl son 0 vijeros?. Clul un número tl que su éim prte más el mismo sumen.. Un orero emple los e un so e emento en un or. Después us los el resto en otr or. Si l finl le sorn kg, uántos kilos pes iniilmente el so?

18 Números rionles. Pr reorrer los e 00 km, trmos h y mei. Cuál h sio l veloi mei l hor?. Un mión istern ontiene e su pi. Trs un iente piere e su ontenio. Posteriormente, en un epósito reuper el totl. Trs vir los e lo que le que en un gsoliner le restn 0 l. Cuántos litros e gsóleo tení el mión l prinipio?. L or e un pintor se ompone e 00 uros, e los ules está en poer e su fmili, el resto 0 en el museo e l iu y el resto h sio venio prtiulres. Clul el número e uros que tiene su fmili, los que hy en el museo e l iu y los que hn sio venios prtiulres. 0. Un mión h reorrio 0 km, lo que supone e su tryeto. Cuántos kilómetros le fltn por reorrer?. Un señor ompr un ohe y le rejn e su vlor. Cuál er el preio iniil el ohe si, finlmente, el señor pgó 000?. Tres pirts se reprten un otín. Al primero le to l quint prte menos os mones, l seguno l terer prte e ls mones menos un. Finlmente, el último pirt reie 0 mones. Cuánts mones reien los os primeros pirts? AUTOEVALUACIÓN. Expres ls friones siguientes omo números mixtos: 0 ) ) ) ) e) 00. De ls siguientes friones, ini uál es l myor: ), y ),, y. S ftor omún en ls siguientes expresiones: 0 ) ) + +. Expres omo frión impropi los siguientes números mixtos: ) + ) + ) + ) +. Simplifi ls siguientes expresiones y, si es posile, exprésls omo números mixtos: ) ) ) ) e) 0. Ini e qué tipo son ls friones que preen en l pregunt.. Oper y simplifi: 0 ) + ) +. Oper y simplifi: ) : ) +. En un pisiftorí l mit e ls truhs son levines y el resto está reservo pr l rí. Cuánts truhs se pueen vener si hy 00 en totl? 0. Un hortelno plnt l terer prte e su fin e tomtes, l séptim prte e lehugs y el resto e míz. Si l fin es e 0 h, lul l nti e hetáres que eió prouto. Y

19 Mtemátis Y MATEMÁTICAS RECREATIVAS Un número interesnte Consieremos el número N =. Si multiplimos el número o por un vez otenemos: N = Es eir, otenemos un número formo por nueve unos. Si multiplimos el número por os vees, otenemos: N = N = Es eir, otenemos un número formo por nueve oses. Si multiplimos el número por tres vees, otenemos: = N = Y sí suesivmente, si multiplimos N por,,,,,. Compruélo. Reuer que puees herlo on Derive.) Otro número originl Consieremos el número N =. Si summos ls tres primers ifrs más ls tres últims ifrs, otenemos too nueves: + Pero multiplino este mismo número por, tmién otenemos too nueves: Es eir, otenemos un número formo por nueve treses. N = Ls primers friones Ls friones no son un invento tul. Y ern onois por los ntiguos egipios. Pr expresrls se servín el siguiente jeroglífio en form e ojo: Dejo e este símolo olon el número orresponiente l enominor mrs vertiles pr ls unies y el símolo pr ls eens) : = = 0 Como vemos, los egipios, slvo tres exepiones, no onoín friones on numeror istinto l uni. Así que ulquier frión se represent omo sum e este tipo e friones. Así, por ejemplo e ls siguientes friones: 0 er represento omo l sum 0 = + + Se lee e izquier ereh.) Ls friones que se representn e mner istint ern ls siguientes: OLIMPIADA MATEMÁTICA. Queremos extrer extmente l e gu e un fuente. Pr ello ontmos solmente on otells. Un es e l, l otr es e l. Cómo lo hrís?. Queremos oger un tesoro que se enuentr en un isl roe por un foso lleno e oorilos. EL nho el foso es el mismo en too su perímetro. Como yu tenemos os meros uyo lrgo es extmente el nho el foso. Poremos llegr l tesoro?

20 Números rionles EN RESUMEN LOS NÚMEROS RACIONALES Tipos e friones Propis Impropis Números mixtos = n n Friones equivlentes = = = + n + n = irreuile MCD, ) = Denominor omún: mm e los enominores ± = M M ± M sieno M el mm e y = : = Propie istriutiv e + = + e f f Sr ftor omún: e e + = + f f AMPLÍA CON JUEGOS ALGEBRAICOS NOCIONES ALGEBRAICAS CRIPTOGRAMAS Y