Problema 1 El estado de tensiones de un punto de un sólido viene definido por el siguiente tensor:

Transcripción

1 CAPÍULO - 8 Problem El estdo de tensiones de un punto de un sólido viene definido por el siguiente tensor: 7 6 ( ) 6 8 N / m XYZ 76 Hllr: ) ensiones direcciones principles sí como l mtri de pso entre el sistem OXYZ el sistem principl ) Aplicndo el método de Mohr hllr l tensión tngencil máim el plno en que se produce ) Obtener el vector tensión ls componentes intrínsecs pr un plno cu norml es en el sistem OXYZ en sistem principl ) Relir el prtdo nterior plicndo el método de Mohr ) l vist de l form del tensor se infiere que es un tensión principl Luego: > λ 76 consecuentemente l dirección () es principl El cálculo de un de ls otrs dos tensiones sigue los psos vistos en teorí es decir: ) se rest un prámetro ( λ en este cso) l digonl principl Se hll el determinnte se igul cero 7 λ λ λ λ b) Un ve resuelto hllds ls tres ríces se ordenn de mor menor resultndo: 76 N / m CALCULO DE LAS DRECCONES PRNCPALES Puesto que l dirección principl es dto se hll l dirección principl Pr ello: ) se rest l digonl del tensor de tensiones el vlor de l tensión principl

2 CAPÍULO - 9 b) L mtri resultnte se multiplic por el vector incógnit de l dirección principl 7 6 l m n l m n c) Se ñde un tercer ecución fruto de plnter que el módulo del vestor unitrio es l unidd d) eligiendo de ls tres posibles ecuciones del sistem l ecución de cosenos se hll ls dirección principl resultndo: ( 68) El cálculo de l dirección principl se hrá medinte el producto vectoril: i j D ) 6 8 ( P ) ( 86 Z Dirección principl D P (Contenid en el plno XY) (D P Contenid en el plno XY) L mtri de pso se construe colocndo en cd fil los cosenos directores de cd dirección:

3 CAPÍULO - L ) Los círculos de Mohr serán: τ m τ 8 θ El plno en que se produce l tensión tngencil máim es quel cu norml form º con el eje principl º con el eje principl Por tnto: l cos º m n l m Resultndo: ) El vector tensión en el sistem OXYZ pr hllr el vector tensión en el sistem se h de epresr en primer lugr el vector norml l plno en el sistem : * n i Ln j Estndo hor en condiciones de hllr el vector tensión en el sistem sí:

4 CAPÍULO - * i ls componentes intrínsecs pueden hllrse indistintmente en el sistem principl o en el OXYZ (son cntiddes esclres) resultndo: τ ( 78) 99 N / m 9 78 N / m ) Se hlln los ángulos correspondientes los cosenos directores de l norml epresd en el sistem principl resultndo: 9º (rccos 99 9 º ( ) 9º) ) Se levnt un perpendiculr por A prtir de ell se mide un ángulo tl que su coseno se º Se tr un segmento se prolong el etremo hst que corte l circunferenci etern: En este cso 9º con l dirección principl cortrá l circunferenci etern de Mohr en el punto ) Con centro en O rdio O se tr un troo de rco (en este cso se ve que dicho troo coincide con un de ls circunferencis de Mohr) por tnto l solución se encuentr sobre dich circunferenci ) Se levnt un perpendiculr por prtir de ell se mide un ángulo cuo coseno se 9 > º se tr un segmento hst que corte l circunferenci eterior de Mohr en P ) Con centro en O rdio O P se tr un rco hst que l rco trdo en el punto (en este cso el primer troo de rco coincide con un circunferenci de Mohr) ) L intersección de mbos troos de rco es el punto solución (M)

5 CAPÍULO - τ π θ rccos θ rccos ( 9) º τ 7 º π O O M P

6 CAPÍULO - Problem Se el tensor de tensiones de un punto elástico referido un sistem XYZ: N/m Hllr: ) ensión cortnte máim plno en que se produce b) ensor esférico desvidor ) Es necesrio hllr ls tensiones direcciones principles: Pr ello puede obsérvese que l componente es principl consecuentemente l dirección () es principl Resultndo: λ λ λ 99 λ 8 Ordenndo de mor menor: 8 99 N / m Pr hllr ls direcciones principles: En este cso se opt por hllr l dirección principl medinte el procedimiento norml l dirección principl trvés del producto vectoril resultndo: 99 l m n 99 l m 99 n Eligiendo dos ecuciones del sistem (l º l º) ms l ecución de cosenos result: Consecuentemente: D P ( 8 8 ) ( D P ) ( D P ) ( 8 8 ) D P El tensor de tensiones epresdo en el sistem principl es:

7 CAPÍULO L tensión tngencil máim puede hllrse prtir del círculo de Mohr: τ º º Resultndo: 8 τ N / m m l dirección de l tensión tngencil máim es tl que l norml form º con el eje principl º con el eje principl Resultndo: b) ensor esférico desvidor: En primer lugr h que clculr l tensión intrínsec octédric Luego el tensor esférico será: ( ) N / m oct el desvidor: oct ( ) ( δ ) N / m

8 CAPÍULO - D oct ( ) ( δ ) N / m El tensor desvidor tmbién puede epresrse en el sistem principl Repitiendo el proceso de hllr ls tensiones principles se lleg: D ( ) 8 N / m 8 Que (como se puede observr continución) debe coincidir con el clculdo prtir del tensor de tensiones epresdo en el sistem principl: Siendo el tensor esférico el mismo en mbos sistems pues es un invrinte

9 CAPÍULO - 6 Problem Se un cilindro de rdio R genertri prlel l eje Z tl que ls crs superior e inferior están sometids un cierto estdo de crgs l superficie lterl del mismo está libre de crgs Se sbe que el tensor de tensiones es de l form: ( ) N / m XYZ Donde el término es un incógnit ls fuers por unidd de volumen son desprecibles es un prámetro conocido Se pide: ) Determinr el tensor de tensiones b) ensiones direcciones principles Mtri de pso R ) El único dto que se dispone es l form del tensor de tensiones pero independientemente de cul se se sbe que ls ecuciones de equilibrio interno siempre hn de cumplirse: j F Vi de l primer de l segund L conclusión que se etre es que: F( ) El otro dto disponible es l condición de contorno que en este cso dice que l cr lterl está libre de crgs es decir:

10 CAPÍULO - 7 Norml n (cos θ senθ ) R θ L condición de que no eiste crg lgun en l superficie lterl se trduce en: ( ) F cosθ n j F( ) senθ Resultndo: F( )cosθ F( ) senθ ( senθ cosθ ) Puesto que est iguldd h de cumplirse pr todo ángulo θ implic que: F() Luego Por tnto el tensor de tensiones qued de l form siguiente: ( ) N / m XYZ b) tensiones direcciones principles mtri de pso: Relindo el proceso costumbrdo:

11 CAPÍULO - 8 λ λ λ obteniendo: Pr clculr ls direcciones principles: n m l n m l cuo resultdo es: ( ) ( ) P D Y repitiendo pr ls otrs dos direcciones result: ( ) ( ) ( ) ( ) D P D P L mtri de pso se construe colocndo en fils ls direcciones principles:

12 CAPÍULO - 9 Problem El estdo de tensiones de un punto de un sólido elástico es el siguiente Se pide: ) ensiones direcciones principles b) Vector tensión componentes intrínsecs respecto un plno cu norml form ángulos igules con los tres ejes coordendos c) Plno octédrico tensor esférico desvidor ensiones intrínsecs octédrics ) Pr hllr ls tensiones direcciones principles seguimos el procedimiento hbitul nd más que observndo que es principl consecuentemente l dirección () es dirección principl resultndo: λ λ Resolviendo ordenndo de mor menor result: 6 Pr clculr l dirección principl : n m l n m l Del sistem de ecuciones: 8 l m m n l Resultndo: P D Del nálisis del tensor de tensiones se sbe que:

13 CAPÍULO - 6 D P > ( ) Relindo el producto vectoril pr hllr l dirección principl result: b) El plno cu norml form ángulos igules con los tres ejes: n m l n m l El vector tensión será: 6 Ls componentes intrínsecs: τ c) El plno octédrico es quel cu norml está igulmente inclindo respecto los tres ejes principles Resultndo: oct n El vector tensión octédrico es:

14 CAPÍULO oct Ls tensiones intrínsecs serán: 9 6 τ oct oct El tensor esférico es: esf δ Y el desvidor: desv δ

15 CAPÍULO - 6 Problem Se un cuerpo de ltur m sometido l estdo de crgs que se indic Hllr: ) tensor de tensiones b) vlor del ángulo α que form un plno π (el plno π es perpendiculr l plno contiene l eje X) con el eje Y pr que l tensión intrínsec norml se nul N/m m 6 N/m (tensión tngencil ) N/m N/m El cuerpo se encuentr sometido ls siguientes crgs: Un compresión vrible desde hst en ls crs lterles Un trcción de en l cr superior e inferior Un tensión rsnte en ls crs superior e inferior Un tensión rsnte de 6 en l cr frontl trser Ls crgs se epresn en KN/m ls medids del cuerpo en metros ) el tensor de tensiones será: 6 6 KN / m Donde el origen de coordends se h situdo en el centro del cubo El tensor de tensiones pr el origen de coordends será:

16 CAPÍULO KN / m b) Plno Z n α n Y τ L norml l plno será: n ( senα cosα ) Luego el vector tensión: 6 6 6cosα senα senα cosα cosα Y l condición pedid se epres como ( 6cosα senαcosα ) cos α sen α senα cos α α º ; º ; º etc

17 CAPÍULO - 6 Problem 6 Se el tensor de tensiones correspondiente un punto de un sólido elástico: 8 ) XYZ Hllr: ) ensor de tensiones referido ls siguientes direcciones: ( ) b) dem siendo hor ls direcciones: ( ) c) Hllr en el círculo de Mohr ls tensiones intrínsecs correspondientes l dirección epresd est en el sistem XYZ ) L mtri de trnsformción de coordends es: L Y el tensor de tensiones en los nuevos ejes será: ] [ ][ ][ ] Z Y X L L b) L dirección que flt por determinr un dirección se hll trvés del producto vectoril resultndo:

18 CAPÍULO - 6 Luego l nuev mtri de trnsformción de coordends es: L relindo l mism operción nterior se obtiene: ] [ L][ ][ L] X Y Z c) L dirección propuest est en el sistem XYZ que su ve coincide con el principl (es importnte puntr que en el plno de Mohr siempre se trbj en el sistem principl) Antes es necesrio ordenr ls tensiones principles resultndo: ; 8 ; Levntndo un perpendiculr por se tr un rco tl que cuo coseno se ½ 6º este rco cort l circunferenci eterior en el punto N luego con centro en O rdio O N se tr un troo de rco De igul form levntndo un perpendiculr por trndo un rco cuo coseno se / 6º hst que corte l circunferenci eterior ( en M ) Luego con centro en O rdio O M se tr otro troo de rco L intersección de mbos troos de rco es el punto solución que midiendo escl proporcion el vlor de : τ

19 CAPÍULO - 66 τ Punto solución N M 6º A O O B Que se puede comprobr numéricmente

20 CAPÍULO - 67 Problem 7 Se el siguiente estdo tensionl de un sólido de dimensiones 7 ) Hllr ls fuers por unidd de volumen b) Resultnte de fuers momentos respecto l origen de ls tensiones que ctún en l cr suponiendo que los ejes se sitún en el centro del cubo Aplicndo ls ecuciones de equilibrio interno: ( ) i V j F Result: 6 V V V Z Y X Resultndo finlmente: ( ) 6 F i V b) Se entiende por resultnte l sum de tods fuers que ctún sobre cd uno de los infinitos puntos de un cr del sólido Por tnto en primer será necesrio epresr el tensor de tensiones pr es cr sunto que se consigue sustituendo por : 7 7 A continución se clcul el vector tensión pr l cr cu norml es ( ) Resultndo:

21 CAPÍULO i Ls componentes e de l resultnte son: ( ) ( ) d d R d d R Pr clculr los momentos l figur siguiente puede servir de ud resultndo: Y X O El momento respecto l origen O de ls tensiones es igul l producto vectoril de l fuer por l distnci l origen resultndo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j d d d d j d d i da da j da i da da j da i da j i M

22 CAPÍULO - 69 Problem 8 Se el tensor de tensiones siguiente correspondiente un punto de un sólido elástico: ) Clculr dibujr dos posibles triedros de referenci del sistem principl b) ls mtrices de pso c) dibujr el vector en cd uno de los triedros Como se sbe el sistem de referenci no es único pues depende del signo que se dopte pr ls ríces En nuestro cso: ) Se clcul en primer lugr ls tensiones principles resultndo: ] 6 L dirección principl es dto resultndo ( ) P D Supóngse que se clcul l dirección principl : Siguiendo el procedimiento hbitul de restr l tensión principl (en este cso l ) l digonl principl multiplicr por el vector correspondiente result: n m l n m l Operndo result: P D Y l dirección principl se puede hllr medinte el producto vectoril siguiente: j i P D

23 CAPÍULO - 7 L mtri de pso result ser: L Supóngse que se siguen los siguientes psos: Se clcul en primer lugr l dirección principl luego l dirección principl medinte el producto vectoril resultndo en este cso: P D j i P D l mtri de pso: L Que no coincide con l nterior Los triedros en mbos csos quedn:

24 CAPÍULO - 7 CASO º Dirección principl (contenid en el plno XY) Y Dirección principl (contenid en el plno XY) X CASO º Dirección principl (contenid en el plno XY) Dirección principl (contenid en el plno XY) Y X c) Epresemos un vector culquier por ejemplo referenci: en cd triedro de CASO ª Vector 7

25 CAPÍULO - 7 Cso º : Vector 7 Dibujndo el Vector Vector en cd triedro se obtiene: Vector º Dirección principl (contenid en el plno XY) X Y Dirección principl (contenid en el plno XY) Dirección principl Dirección principl (contenid en el (contenid en el plno plno XY) XY) Vector º Y X Y como puede observrse mbos vectores tienen igul representción Conclusión: Aunque los triedros mtrices de trnsformción no coinciden los resultdos son idénticos pues ls direcciones en mbos csos son ls misms