Tema 8: SERIES TEMPORALES

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1 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE Tema 8: ERIE TEMPORALE. Concepo y componenes de una serie emporal. Definiremos una serie emporal como cualquier conjuno de N observaciones cuaniaivas realizadas sobre una misma variable unidimensional y ordenadas en el iempo. Habiualmene esá ordenación en el iempo se esablecerá por medio de inervalos de igual ampliud. Por ano, nos referiremos siempre a series emporales de ipo discreo y univarianes y se represenarán por el símbolo de la variable observada con el subíndice que indicará el periodo del iempo en el que se realiza la observación, o con el subíndice señalando i el año y j el periodo denro del año correspondiene. para,,..., N (periodos) para i,,..., n (años) j,,..., k si k 4 (rimesres), si k (meses) De cara al esudio que vamos a exponer, es de desacar que la ordenación en el iempo, anes mencionada, es lo que caraceriza a una serie emporal y la disingue de una muesra cualquiera de amaño N. Los elemenos consecuivos de una serie emporal se caracerizarán por una fuere dependencia o auocorrelación, que nos impedirá considerarla como una muesra aleaoria simple. Los méodos esadísicos de análisis de series emporales inenarán capar las caracerísicas dinámicas de los fenómenos que las generan, necesiando desarrollar insrumenos apropiados para eso, disinos de los uilizados por la inferencia esadísica a parir de muesras aleaorias simples. El primer paso a dar en el esudio de una serie emporal concrea es su represenación gráfica, que nos puede revelar deerminadas propiedades que posea la serie y guiarnos en la elección de los méodos más adecuados para su análisis poserior. Como ejemplo proponemos el de la serie mensual de vehículos mariculados enre enero de 964 y sepiembre de 994, cuya gráfica aparece en el siguiene cuadro: nº mariculados serie mensual de nº de vehículos mariculados meses Esa serie es la que con el nombre de MTURIMO aparece en el archivo ERMEN de la base de daos A. recogida en el libro Análisis de daos de E. Uriel Ed. AC (995), donde a su vez se ha omado de una publicación mensual del Miniserio de Economía y Hacienda.

2 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión) A la visa de esa represenación gráfica podemos exponer las principales caracerísicas de una serie emporal. Componenes de una serie emporal Tradicionalmene se ha supueso que en la formación y deerminación de los sucesivos valores observados de una serie ha podido influir cuaro clases de movimienos o variaciones que reciben el nombre de componenes no observadas de la serie, y son: - Tendencia: Movimieno a largo plazo que señala la evolución general del conjuno de daos que forman la serie emporal. En la gráfica que nos sirve de ejemplo se puede observar una endencia creciene del número de auomóviles mariculados, debido, principalmene, al crecimieno general de la economía. La represenaremos por T ó T. - Ciclo o variación cíclica: Es la componene que capa, si exisen, cieras oscilaciones periódicas, normalmene a medio plazo, sobre la endencia. A veces, debido a la ampliud del ciclo o a la poca duración de la serie, es difícil disinguirlo de la endencia. En la series económicas se supone que recoge las variaciones provocadas por las sucesivas siuaciones de prosperidad o de crisis. En el ejemplo de la serie de mariculaciones se puede observar un primer ciclo, más amplio, desde el inicio en 964 hasa 986 con un máximo en 978, y oro ciclo, más coro, desde 986 hasa 993 con un máximo en 989. e represenará por C ó por C. - Componene esacional o variación esacional: En ella se recogen las variaciones a coro plazo que, habiualmene, con periodo anual se producen en una serie emporal, deecándose un comporamieno casi homogéneo de los daos denro de cada año o periodo que se considere. En las series económicas las causas de esas variaciones pueden ser: cambios climáicos, vacaciones, oras cosumbres sociales, ec.... En el ejemplo se puede observar que, en cada año, se inicia con el menor valor, adquiriendo las cifras más alas, relaivamene, en los meses de julio y diciembre. La represenaremos por ó por. - Componene erráica o érmino de error: Recoge odo aquello no explicado por las aneriores componenes sisemáicas. e puede represenar por una variable aleaoria con media nula, varianza consane y sin auocorrelación. u símbolo será r ó r. Las res primeras componenes raan de capar movimienos regulares y sisemáicos que se producen en la evolución de la serie emporal, así que el objeo de su esudio será la búsqueda de deerminadas funciones analíicas, índices u oras formas definidas que puedan represenar a cada componene. Mienras que sobre el érmino de error se harán diversas hipóesis acerca de su comporamieno aleaorio. Los méodos de análisis de series emporales a ravés de sus componenes se empezaron a desarrollar a parir de 9 y consideran que los valores observados de la variable se forman por la inervención de los cuaro componenes. Es decir F(T, C,, r )

3 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE Esas componenes podrán inervenir bajo uno de los siguienes esquemas, generalmene acepados: - Esquema adiivo: T + C + + r - Esquema muliplicaivo: T C r - Esquema mixo: T C + r Cualquier méodo de descomposición de una serie emporal raará de aislar e idenificar a sus componenes y deberá adverir previamene bajo que supueso de esquema de inervención rabaja. En un esquema muliplicaivo o mixo las componenes sisemáicas acúan como facores influyendo el nivel alcanzado por una sobre el alcance de las oras, de al forma que bajo ese esquema las correcciones de los efecos de las componenes se deberán hacer por cociene. Mienras que bajo un esquema adiivo, en el que no se producen esas ineracciones, la serie emporal se ajusará, en sus componenes, por diferencias. Nóese que de un esquema muliplicaivo se podrá pasar a un esquema adiivo por medio de una ransformación logarímica de la siguiene forma: T C r Log LogT + LogC + Log + Logr Con el objeo de mejorar nuesro conocimieno sobre las caracerísicas de una serie emporal, o con cieros fines específicos, se suelen aplicar sobre los valores originales de la serie cieras ransformaciones maemáicas. Las más imporanes son: - ransformación diferencia: Δ - -. La serie resulane represenará a las variaciones periódicas experimenadas por la variable. e suele aplicar para eliminar efecos de una fuere endencia. i los valores que enran en la diferencia no son consecuivos, endremos: Δ h - -h. - ransformación logarímica: Log. e aplican logarimos neperianos a los daos originales. e suele uilizar para reducir una creciene variabilidad de los valores respeco a su nivel medio (heerocedasicidad). - ransformación conjuna: ΔLog Log - Log -. Acumula los dos efecos aneriores y su resulado iene la virud de ser la aproximación lineal de la asa de variación: - - Δ Log Log - Log- Log - En muchos casos se uiliza esa ransformación para obener una serie de caracerísicas esacionarias, sin endencia creciene o decreciene y sin aleraciones en la dispersión de los valores respeco a su nivel medio (homocedasicidad). En lo que sigue vamos a rabajar con series en las que no es posible disinguir el ciclo de la endencia y, por ano, expondremos únicamene méodos de análisis de la endencia y de la variación esacional

4 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión). Esudio de la endencia. upondremos que no exise esacionalidad (por ejemplo, una serie anual) o que ha sido eliminada y, por ano, la serie con la que rabajamos esá desesacionalizada. Los dos esquemas posibles son: - Esquema adiivo o mixo: T + r - Esquema muliplicaivo: T r Expondremos dos méodos, el de ajuse de una función del iempo y el que uiliza las denominadas medias móviles. Ajuse de una función del iempo En ese méodo se idenifica la endencia con una función del iempo deerminada en la forma pero con parámeros desconocidos que hay que esimar, siendo el procedimieno de los mínimos cuadrados el más uilizado. La elección de la forma se hará a parir de la gráfica de la serie, esudiando que ipo de función se ajusa mejor al desarrollo descrio en ella, o a parir de la verificación de deerminados supuesos de crecimieno y evolución de los daos. Únicamene esudiaremos los dos casos más simples, el de endencia lineal y el de endencia exponencial. Tendencia lineal: T β + β En ese caso se supone que el crecimieno o decrecimieno de los daos de la serie se produce con una variación consane. Eso se puede comprobar obeniendo la serie ransformada Δ - -, de primeras diferencias, y verificar que el resulado es una serie esacionaria con valores muy parecidos unos a oros. i es así, el esquema adecuado sería el adiivo, quedando: β + β + r, con,,..., N Que supone un modelo de regresión lineal simple donde la variable exógena es el iempo y los parámeros se esimarán por M.C.O. resulando: β y β y b b T * b + b El coeficiene de deerminación, R, nos servirá como medida de la bondad de ajuse de la endencia esimada a la evolución emporal de los daos de la serie. En ese caso se podrá calcular de la siguiene forma: R 4

5 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE Tendencia exponencial: T e β + β El supueso, en ese caso, es que los daos evolucionan a una asa de variación consane. Eso se podrá confirmar obeniendo la serie ransformada ΔLog, que como ya vimos supone una aproximación lineal de la asa de variación, y verificar, como en el caso anerior, que el resulado es una serie esacionaria con valores casi consanes. i comprobamos eso, el esquema más apropiado sería el muliplicaivo, quedando: e β e + β u, para,..., N donde u N[ ; σ ] e independienes Tomando logarimos neperianos se obiene el correspondiene modelo de regresión lineal simple que se podrá esimar por M.C.O.: Log β + β + u, con,,..., N Resulando: L β L b L β b L con R L y T * e b + b Medias Móviles El objeivo de la uilización de medias móviles es el alisado o suavizado de la serie. La obención de las medias móviles supone el cálculo de medias ariméicas consecuivas, uilizando los daos sucesivos de la serie emporal, odas con el mismo número de daos pero reirando el primero de la media anerior e incorporando el dao siguiene. El número de daos que enran en el cálculo de cada media se denomina longiud o amaño de las medias móviles y para su elaboración disinguiremos medias móviles de longiud impar de las de longiud par. Cuando la longiud de las medias móviles es impar (l h+) su valor se asigna al momeno de iempo cenral, siendo el primer dao el siuado en -h y el úlimo el que corresponde al insane +h, y se dice que la serie de medias móviles esá cenrada. Veamos, como ejemplo, las fórmulas de cálculo de las res primeras medias móviles de longiud 3 (h+3 h) de una serie cualquiera: medias móviles (se pierde) (3) (3) (3) y así sucesivamene... 5

6 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión) e observa que la serie de medias móviles no se inicia en el primer periodo sino que se pierde un periodo al principio y se perderá oro al final, pero sus valores resulan direcamene siuados en los periodos cenrales de cálculo (, 3, 4,... ). Una expresión general de una media móvil de longiud impar sería la siguiene: (h + ) para h+, h+,..., N-h - h + - h h Donde se observa que no se obienen daos para los h primeros periodos y para los h úlimos, perdiéndose en oal h daos. El resulado será una nueva serie de N-h valores más suave que la original y, por ano, más represenaiva de la endencia general de los daos al haberse suprimido las aleraciones y variaciones más imporanes. i la longiud fuese par (l h) los valores de las medias móviles no quedan direcamene cenrados, dado que no exise periodo cenral, sino que quedarán siuados enre dos periodos. Para cenrar la serie de medias móviles se deberá proceder a un nuevo cálculo de medias móviles de longiud y esos nuevos valores si que resularían cenrados en los periodos de observación de la serie. Lo vemos primero con un ejemplo que uiliza las primeras observaciones de una serie emporal cualquiera para el cálculo de medias móviles de longiud 4. + h medias móviles simples medias móviles cenradas (se pierde) (se pierde) ,5 (4) 4 (,5) (3,5) (4x) ,5 (4) y así sucesivamene A la expresión uilizada de la media móvil cenrada se llega de la siguiene forma: ,5 (4) + 3,5 (4) (4x)

7 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE iendo, por ano, la expresión general de una media móvil cenrada de longiud par, igual a h, la siguiene: - h + - h h (hx) h para h+, h+,..., N-h Como en el caso anerior se observa que se han perdido h periodos (los h primeros y los h úlimos) y que el resulado es un conjuno de N-h valores que consiuye una serie más alisada que la original y suscepible de represenar a la endencia de la misma. La longiud ( l h+ ó l h) de las medias móviles se deberá corresponder con el número de periodos que forme el inervalo de iempo que incluye al conjuno de oscilaciones y variaciones que reieradamene se repie a lo largo de la serie. En el siguiene gráfico aparece, juno a la serie original de daos mensuales correspondiene al ejemplo propueso de vehículos mariculados enre 964 y 994, una línea en ono más claro que represena a la serie de medias móviles cenradas de longiud igual a meses. Obsérvese como esa úlima línea aenúa basane las irregularidades que se perciben en la serie original, pudiéndose omar sus valores como esimaciones de la endencia. serie mensual y m. moviles(x) Nº Maric. M.Mov.(x) nº auos meses 7

8 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión) 3. Esudio de la esacionalidad. Méodo de desesacionalización. En ese epígrafe nos vamos a limiar a desarrollar un méodo de desesacionalización para el caso de exisencia de esacionalidad bajo el esquema mixo y sin posibilidad de disinguir el ciclo de la endencia. Uilizando la noación con doble subíndice, i para indicar el año y j para el periodo o fracción denro del año, supondremos, por ano, que cada observación de la serie emporal se ha formado de la siguiene forma: T + r con i,..., n (años) y j,..., k (fracciones denro del año) El méodo de la razón a la media móvil consise en deerminar para cada periodo o fracción denro del año un índice de variación esacional, que represene la variación media, sobre el valor de endencia de la serie, debida a ese periodo. La serie se podrá desesacionalizar dividiendo los daos correspondienes a cada periodo por su índice. El supueso que necesiamos, apare del esquema mixo y la no disinción del componene cíclico, es que las variaciones esacionales para cada periodo se manengan esables a lo largo de los años en que se haya observado la serie. Los pasos para aplicar ese méodo son los siguienes: ) e obienen las medias móviles cenradas de longiud igual a k, número de periodos denro del año (si son meses: k, si son bimesres: k 6, si son rimesres: k 4, si son cuarimesres: k 3 y si son semesres: k ), perdiéndose un número igual de observaciones al principio y al final de la serie ( k/ si k es par o (k-)/ si k es impar). uponiendo que k es par, se calcularían las siguienes medias móviles: (k ) para (i,j) (,k/+),..., (n,k/) MM Es decir, de ener n daos de cada periodo o fracción denro del año y en oal, por ano, n k daos, pasamos, al obener las medias móviles, a ener n- daos para cada periodo y en oal (n-) k daos. Las medias móviles calculadas se pueden considerar como esimaciones de los valores de la endencia: MM T. ) e calculan los índices bruos de variación esacional dividiendo las cifras originales de la serie enre los valores obenidos de las medias móviles cenradas. + r IBVE para (i,j) (,k/+),..., (n,k/) MM MM e deberá comprobar que, para cada periodo j, los n- índices bruos obenidos no ienen cifras muy dispares, pudiéndose acepar el supueso de esabilidad de las variaciones esacionales a lo largo de los años observados. 8

9 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE 3) Para cada periodo j se promedian los n- índices bruos calculados, obeniéndose k índices de variación esacional no normalizados que represenamos por. j j n- i IBVE n - n - n- i MM n - n- i + n - n- i r MM El segundo sumando puede considerarse prácicamene nulo, al ser el promedio de los érminos de error de cada periodo, expresados en porcenaje de la media móvil MM, a lo largo de los n- años, quedándonos los k índices no normalizados. j n- i IBVE n - n- n - para j,...,k i 4) e normalizan los k índices obenidos con el objeivo de que su media sea igual a ó, lo que es lo mismo, su suma sea igual a k. De forma que las variaciones al alza se compensen con las variaciones a la baja, respeco a la endencia de la serie. Para la normalización se calcula primero la media de los k índices. Obeniendo los índices de variación esacional al dividir cada k j j IVE j para j,...,k k j j enre su media : 5) Para finalizar el proceso se desesacionaliza la serie original dividiendo cada dao por su correspondiene índice de variación esacional, es decir, cada i enre IVE, cada i enre IVE, y así hasa cada ik que se dividirían enre su índice IVE k. Los valores desesacionalizados serían: D para i,..., n y j,..., k IVE j Una serie emporal desesacionalizada represena la evolución que hubieran enido los daos de la variable si no exisieran los facores que influyen en la esacionalidad, es decir, si en cada periodo del año no se diera ninguna caracerísica que lo diferenciara de los demás. upone, por ano, un insrumeno muy valioso para el conocimieno del comporamieno a medio plazo de los fenómenos económicos que se desarrollan en el iempo, al reirar la influencia de los facores esacionales que la modifican a coro plazo. Un ejemplo del méodo de desesacionalización expueso aparece en la resolución del ejercicio nº 3 que se incluye como apéndice. 9

10 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión) 4. Tasas de variación en daos emporales. Dada una magniud que se observa en el iempo dando lugar a la serie emporal represenada por los valores, para,,..., N, se denomina asa de variación a la medida de la variación relaiva experimenada por dicha magniud desde el periodo h hasa el periodo, siendo h la ampliud del inervalo de iempo en que se mide la variación. i para su cálculo se emplease un único valor para cada periodo la fórmula para su obención sería: T h Δh -h - -h -h -h - Esa expresión iene su aproximación lineal por medio de una ransformación logarímica, como ya vimos en el primer epígrafe de ese ema. La aproximación será ano mejor cuano menores sean las cifras de las asas. T - -h h Δ hlog Log - Log-h -h Las asas de variación consiuyen un insrumeno fundamenal para el esudio y esimación del crecimieno de las magniudes económicas. Nosoros aquí vamos a exponer las caracerísicas más elemenales de los ipos de asas que más se uilizan en los análisis de coyunura, suponiendo una magniud económica observada mensualmene. Como ejemplo vamos a uilizar la serie ficicia de venas mensuales de la empresa B del ejercicio nº 3, cuya gráfica es: 5 venas mensuales venas meses Tasa de variación inermensual: T Es la que nos muesra el crecimieno básico de la serie. u expresión de cálculo es: T

11 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE - us valores son muy voláiles al reflejar las variaciones a coro plazo en las que influyen diversos facores que a medio y largo plazo desaparecen o disminuyen sus efecos. - Amplia las flucuaciones que se producen a coro plazo, es decir las más erráicas. - e suele asignar al mes el valor de la asa inermensual. En la siguiene gráfica aparecen las asas inermensuales correspondienes a la serie de las cifras de venas del ejemplo del ejercicio nº 3.,4 asas inermensuales asas T,, -, -,4 meses Aunque represenan el crecimieno original de la serie, su excesiva variabilidad hace que se busquen oras asas de variación con ampliud mayor. En el caso de series mensuales serán asas anuales las que se consideren más apropiadas para represenar la evolución del crecimieno de las magniudes que represenan. T Tasa de variación ineranual: Represena la variación relaiva experimenada por la variable enre dos meses que disan enre sí un año. u expresión será: T uaviza las variaciones esacionales al comparar, siempre, meses con las mismas caracerísicas. - e puede comprobar que amplia las flucuaciones a medio plazo (de periodo enre 4 y 7 meses), mienras que suaviza las oscilaciones con periodo superior 7 meses. - La serie de asas T, asignada al úlimo mes, resula desfasada o rerasada, en sus oscilaciones, respeco a la serie de crecimienos básicos, por lo que se puede pasar a cenrarla asignándola al mes u expresión se puede igualar a una suma ponderada de las asas inermensuales obenidas a lo largo del año.

12 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión) Los valores de esas asas ineranuales calculados con los daos del ejemplo se pueden ver en el siguiene gráfico.,5 Tasas ineranuales asas T,,,5,, meses Tasa de variación ineranual de medias móviles: Represena la asa de variación de la media de doce meses respeco a la media de los doce meses aneriores. u expresión es: T Esa asa amplia, ambién, las flucuaciones a medio plazo (de periodo enre,4 y 68 meses), mienras que aenúa las oscilaciones con periodo superior 68 meses y las de menos de,4 meses, incluidas las esacionales, como se puede ver en el ejemplo. - La serie de asas T, asignada al úlimo mes, resula desfasada o rerasada, en sus oscilaciones, respeco a la serie de crecimienos básicos, por lo que se puede pasar a cenrarla asignándola al mes -. T -3 Las asas T del ejemplo aparecen en el siguiene gráfico., Tasas ineranuales T,,5 asas,, meses

13 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE Tasas ineranuales cenradas Las asas ineranuales definidas se cenran con las siguienes expresiones que, siendo las mismas que las expuesas aneriormene, corrigen la posición del periodo al que se asigna el valor de la asa. T (cenrada) y T (cenrada) Las gráficas correspondienes a las asas ineranuales cenradas del ejemplo son las que aparecen a coninuación.,5 asas ineranuales cenradas, asas,5,, meses, Tasas T, cenradas,5 asas,, meses 3

14 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión) EJERCICIO DE ERIE TEMPORALE. Dada la siguiene serie anual del PIB español, en billones de peseas cons. de 986: año: PIB(bill. Ps. 86) 3,3 3,3 34,5 35,9 37,6 39, 39,9 4,8 39,7 4,54 4,66 4,57 º: Dibuje la gráfica de la serie emporal. º: Obenga las medias móviles cenradas º) de longiud 3 y º) de longiud 4. 3º: Esime la Tendencia lineal que se ajusa a la serie dada. 4º: Añada a la primera gráfica los resulados obenidos en los aparados aneriores.. La empresa A ha obenido las siguienes cifras de beneficios anuales, en millones de peseas, durane el periodo : año: Bº : º: Dibuje la gráfica de la serie emporal. º: Deduzca, razonadamene, el modelo más adecuado de Tendencia. 3º: Esime el modelo de Tendencia elegido. 3. Calcule los índices consanes de variación esacional para cada mes por el méodo de la razón a la media móvil y uilícelos para obener la serie desesacionalizada de las venas mensuales de la empresa B, a parir de los daos que aparecen, expresados en millones de peseas, en la siguiene abla. Venas mensuales de la empresa B ENE FEB MAR ABR MA JUN JUL AGO EP OCT NOV DIC Año 3,99 4,8 47,3 5,45 64,7 75,84 9,7 73,7 56,78 5,86 47,88 9,76 Año 34,85 48,8 57,55 6,78 76,9 9,93 3,46 84,6 65,43 6,58 55,9 35, Año ,4 65,3 74, 88,5 3,33, 99,6 74,97 68,6 6,35 39,5 Año 4 48,7 63,87 74,66 8,7 98,3 6,67 34,7 9,36 85,87 76,99 7,54 44,33 Año 5 53,97 73,93 8,43 9,9 9,74 9, 5,93 3,43 95,74 85,88 77,8 47,86 4

15 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE 4. A parir de la serie rimesral del número de vehículos mariculados, en ciera Comunidad Auónoma, que aparece en la siguiene abla, calcule los índices consanes de variación esacional de cada rimesre por el méodo de la razón a la media móvil y desesacionalice la serie. Efecúe una gráfica conjuna de la serie original y de la serie desesacionalizada. TRIM. TRIM. TRIM. 3 TRIM Dada la siguiene serie emporal: : º: Dibuje su gráfica y, a parir de ella, deduzca la longiud que han de ener las medias móviles para represenar de forma más adecuada su endencia. º: Obenga dichas medias móviles cenradas e incorpórelas al gráfico, comenando el resulado. 6. A parir de la serie cuarimesral de daos que aparece en la siguiene abla, calcule los índices consanes de variación esacional de cada cuarimesre por el méodo de la razón a la media móvil y desesacionalice la serie. CUAT. CUAT. CUAT (realice los cálculos aproximando con los dos primeros decimales que se obengan) 5

16 Deparameno de Esadísica e Invesigación Operaiva II (Méodos de Decisión) Daos de la resolución del ejercicio 3: erie de venas mensuales de la empresa B Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago ep Oc Nov Dic año 3,99 4,8 47,3 5,45 64,7 75,84 9,7 73,7 56,78 5,86 47,88 9,76 año 34,85 48,8 57,55 6,78 76,9 9,93 3,5 84,6 65,43 6,58 55,9 35, año ,4 65,3 74, 88,5 3,3, 99,6 74,97 68,6 6,35 39,5 año 4 48,7 63,87 74,66 8,7 98,3 6,7 34,3 9,4 85,87 76,99 7,54 44,33 año 5 53,97 73,93 8,43 9,9 9,7 9, 5,9 3,4 95,74 85,88 77,8 47,86 Medias móviles cenradas de longiud (x) Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago ep Oc Nov Dic año 55, 55,63 56,35 57,6 58,3 59,4 año 6,6 6,58 6,39 63, 63,98 64,54 65, 65,76 66,4 67, 68,9 69,8 año 3 7,36 7,7 7,75 73, ,45 74,87 75,43 76,5 76,84 77,53 78,5 año 4 79,64 8,63 8,49 8,9 83,3 83,6 84,3 84,67 85,4 86,3 87,9 88,9 año 5 89,4 9,69 9,68 9,47 93,7 93,44 Índices bruos de variación esacional Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago ep Oc Nov Dic año,643,37,8,888,8,5 año,575,784,9,993,9,44,589,78,985,96,8,58 año 3,6,78,897,,96,388,66,3,984,893,84,53 año 4,6,79,96,986,84,395,598,9,5,893,8,53 año 5,64,85,899,5,79,383 sumas:,4 3,73 3,634 3,995 4,75 5,59 6,436 5,7 3,983 3,59 3,67,5 Índices de variación esacional no normalizados medias:,6,793,99,999,88,398,69,3,996,898,87,54 Media:, Índices de variación esacional índices,6,793,98,998,86,396,68,3,995,897,86,53 erie desesacionalizada de venas mensuales de la empresa B Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago ep Oc Nov Dic año 53,33 5,9 5,3 5,56 54,8 54,3 56,44 56,33 57,8 56,7 58,67 59,4 año 58, 6,9 63,4 6,9 64, 65,83 64,36 64,63 65,77 68,66 68,53 69,78 año 3 7,69 7,7 7,86 74,37 74, ,79 76,58 75,36 76,5 76,4 78,5 año 4 8,9 8,59 8,4 8,34 8,85 83,55 83,53 84,8 86,3 85,84 87,67 88, año 5 89,98 93,8 9,8 93, 9,49 9,5 93,89 94,89 96,4 95,76 94,46 95, 6

17 Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE 6 VENTA MENUALE ERIE DEETACIONALIZADA 4 VALORE MEE venas mensuales erie Deses. 7

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