ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

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1 ESCUELA POLIÉCNICA NACIONAL ESCUELA DE CIENCIAS DAOS AÍPICOS Y FALANES, ANÁLISIS DE INERVENCIÓN Y DESESACIONALIZACIÓN DE SERIES CRONOLÓGICAS. APLICACIONES A DAOS DE UNA EMPRESA DE VENA DIRECA PROYECO PREVIO A LA OBENCIÓN DEL ÍULO DE INGENIERO MAEMÁICO MARÍA AUGUSA GÁNDARA BARRERA DIRECOR: DR. HOLGER CAPA SANOS Quio, Junio 005

2 i DECLARACIÓN Yo, María Augusa Gándara Barrera, declaro que el rabao aquí descrio es de mi auoría; que no ha sido previamene presenada para ningún grado o calificación profesional; y, que he consulado las referencias bibliográficas que se incluyen en ese documeno. La Escuela Poliécnica Nacional, puede hacer uso de los derechos correspondienes a ese rabao, según lo esablecido por la Ley de Propiedad Inelecual, por su Reglameno y por la normaividad insiucional vigene. María Augusa Gándara Barrera

3 ii CERIFICACIÓN Cerifico que el presene rabao fue desarrollado por María Augusa Gándara Barrera, bao mi supervisión. Dr. Holger Capa Sanos DIRECOR DEL PROYECO

4 iii AGRADECIMIENO Deseo agradecer: A Dios, por permiirme cumplir con ese sueño. A mis padres y hermanos, por su amor incondicional y su inmeorable apoyo. A mis amigas y amigos, por su cariño y comprensión. Al Dr. Holger Capa Sanos, por su ayuda y enseñanza consane. Al Gerene General de Yanbal Ecuador S.A., Sr. Rober Wason, por permiirme la uilización de los daos de su empresa y al Ing. César León, por su consane apoyo y amisad. A cada uno de los inegranes de la Dirección de Proyecos y Procesos de Yanbal Ecuador S.A., por haberme ayudado en odo lo que esuvo a su alcance. Gracias a odos.

5 iv CONENIDO CONENIDO...IV RESUMEN...XII PRESENACIÓN...XIV CAPIULO. DESESACIONALIZACIÓN DE SERIES EMPORALES..... INRODUCCIÓN..... OBENCIÓN DE LA ENDENCIA DE UNA SERIE PROCEDIMIENOS PARA OBENER UN RESUMEN DE LA ENDENCIA DE UNA SERIE OBSERVADA LA ENDENCIA LINEAL VALORES OBSERVADOS, VALORES DE ENDENCIAS Y RESIDUOS CÓMO ALISAR UNA SERIE? LOS PROCEDIMIENOS DE ALISADO UN PRIMER ENFOQUE LOS PROCEDIMIENOS DE ALISADO POR LAS MEDIAS MÓVILES PRINCIPIO DEL MÉODO RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL RECURRENE NÚCLEO DE UNA MEDIA MÓVIL RANSFORMACION DE UN RUIDO BLANCO POR UNA MEDIA MÓVIL MEDIAS ARIMÉICAS PONDERADAS NÚCLEO DE UNA MEDIA ARIMÉICA DE ORDEN M SERIES INVARIANES POR LA MEDIA ARIMÉICA PROCESO DE RANSFORMACIÓN DE UN RUIDO BLANCO LAS ÉCNICAS DE ALISADO POR LAS MEDIANAS MÓVILES EJEMPLO DEL ALISADO DE UNA SERIE POR LA ÉCNICA DE LAS MEDIANAS MÓVILES DE ORDEN RES EL RAAMIENO DE LOS VALORES EXREMOS LOS ALISADOS POR MEDIANAS MÓVILES DE ORDEN IMPAR LOS ALISADOS POR MEDIANAS MÓVILES DE ORDEN PAR LAS MEDIANAS MÓVILES ALAS Y BAJAS EL RE-ALISADO DE UNA SERIE PASOS REPEIDOS POR UN ALISADOR DE IPO APLICACIÓN DEL ALISADOR DE IPO 5R LA CORRECCIÓN DEL ALISADO POR EL MÉODO DE DOBLAJE LAS ÉCNICAS DE ALISADO POR LAS MEDIAS MÓVILES PONDERADAS Y LAS MEDIANAS MÓVILES PONDERADAS LA SELECCIÓN DEL MÉODO DE ALISADO APROPIADO DEERMINACIÓN DE LA COMPONENE ESACIONAL MÉODO DE RAZÓN A LA MEDIA MÓVIL MÉODO DE RAZÓN A LA ENDENCIA...47

6 v.3.3. MÉODO DE DIFERENCIA A LA MEDIA MÓVIL MÉODO DE DIFERENCIA A LA ENDENCIA MEODOLOGÍAS DE REMOCIÓN DE ESACIONALIDAD PARA VARIABLES ESACIONARIAS MÉODO DE REGRESIÓN MÉODOS DE LOS PROMEDIOS MÓVILES ESIMADORES DE LA ENDENCIA CICLO...54 CAPIULO. DAOS AÍPICOS Y ANÁLISIS DE INERVENCIÓN AÍPICOS ADIIVOS (AO) AUOCORRELACIÓN RESIDUOS PARÁMEROS DEL MODELO AÍPICOS INNOVAIVOS O INNOVACIONALES (IO) AUOCORRELACIÓN RESIDUOS PARÁMEROS DEL MODELO CAMBIOS DE NIVEL (LS) RESIDUOS AUOCORRELACIÓN AÍPICOS Y ANÁLISIS DE INERVENCIÓN PROCEDIMIENO PARA LA IDENIFICACIÓN DE AÍPICOS ESIMACIÓN DE LOS EFECOS DE LOS AÍPICOS PRUEBA PARA AÍPICOS OBSERVACIONES INFLUYENES OBSERVACIONES INFLUYENES Y AÍPICOS MÚLIPLES AÍPICOS EFECOS DE ENMASCARAMIENO PROCEDIMIENO PARA LA IDENIFICACIÓN DE AÍPICOS MÚLIPLES CONFUSIÓN ENRE LOS AÍPICOS INNOVAIVOS Y LOS CAMBIOS DE NIVEL BAJO H MEJORAS EN LAS ESIMACIONES DE LOS PARÁMEROS INICIALES ESIMACIÓN DE VALORES PERDIDOS INERPOLACIÓN ÓPIMA Y FUNCIÓN DE AUOCORRELACIÓN INVERSA ESIMACIÓN DE VALORES FALANES...89 CAPIULO 3. APLICACIONES A DAOS DE UNA EMPRESA DE VENA DIRECA INRODUCCIÓN AL MANEJO DE DEMERA APLICACIONES CON DEMERA INRODUCCIÓN AL MANEJO DE SAGRAPHICS APLICACIONES CON SAGRAPHICS 5...9

7 vi MÉODO DESCRIPIVO PREDICCIÓN AUOMÁICA DESESACIONALIZACIÓN PREDICCIÓN...8 CAPIULO 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES CONCLUSIONES RECOMENDACIONES...39 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS...43 ANEXO...45

8 vii ÍNDICE DE ABLAS abla.: Daos del número de Pedidos...7 abla.: Resulados de endencia con méodo de media móvil de orden 3... abla.3: Valores de para disinos valores de m...3 abla.4: Eemplo del alisado de una serie por medianas móviles de orden res5 abla.5: Resulados del alisado por las medianas móviles de orden res...6 abla.6: Resulados del alisado por las medianas y medias móviles de orden res...7 abla.7: écnicas de medianas móviles de orden impar....8 abla.8: Resulados serie se aplica la écnica de alisado 5R...38 abla.9: Resulados serie que aplica la écnica de alisado [3]....4 abla.: ipos de represenaciones para los diferenes aípicos...7 abla 3.: Daos de venas de Cosméico...05 abla 3.: Pruebas realizadas a residuos...3 abla 3.3: Pruebas a los modelos... 4 abla 3.4: Modelos válidos...33 abla 3.5: Resulados obenidos con Demera abla 3.6: Resulados obenidos con Sagraphics abla 3.7: Comparación de resulados...37

9 viii INDICE DE FIGURAS Figura.: Represenación de la serie...7 Figura.: Represenación de endencia linea...8 Figura.3: Acercamieno a la zona de alisamieno...0 Figura.4: Gráfico de comparación enre la serie y su endencia... Figura.5: Gráfico para los disinos valores de posiivos...5 Figura.6: endencias para los disinos valores de negaivos...6 Figura.7: Gráfico para los disinos valores de con raíces compleas..6 Figura.8: Gráfico para los disinos valores de h...9 Figura.9: Gráfico para m=... Figura.0: Gráfico de la función de auocorrelación...3 Figura.: Corrección de la diferencia por procedimieno de ipo "p"...3 Figura.: Corrección de la diferencia por procedimieno de ipo par...3 Figura.3: Méodo de raamieno de los valores exremos...34 Figura.4: Serie A acompañada de su curva de endencia por "5R"...39 Figura.5: Serie A acompañada de su curva de endencia por "[5]"...40 Figura.6: Comparación de disinos méodos de alisamieno...4 Figura.: Gráfico de un AO...60 Figura.: Gráfico de la serie original y la serie con aípico...6 Figura.3: Función de auocorrelación para ambas series...6

10 ix Figura.4: Gráfico de la serie original y de la serie con aípico...64 Figura.5: Gráfico de la función de auocorrelación para ambas series...64 Figura.6: Gráfico de un LS...66 Figura 3.: Represenación de una serie emporal no esacionaria...94 Figura 3.: Función de auocorrelación...94 Figura 3.3: Función de auocorrelación parcial...96 Figura 3.4: Panalla de lecura de daos Figura 3.5: Panalla de cálculos escogidos...07 Figura 3.6: Selección de niveles de significancia...08 Figura 3.7: Sección izquierda del panel de resulados...09 Figura 3.8: Sección superior derecha del panel...0 Figura 3.9: Sección inferior derecha del panel...0 Figura 3.0: Resulado de la desesacionalización de la serie... Figura 3.: Gráfico de la serie, su endencia y el ause esacional... Figura 3.: Gráfico de los residuales... Figura 3.3: Gráfico de Componenes Esacionales por mes... Figura 3.4: Gráfico de los aípicos por mes...3 Figura 3.5: Gráfico de los efecos agregados de los aípicos...4 Figura 3.6: Gráfico de los pronósicos calculados...4 Figura 3.7: Resulados del modelo obenido...5 Figura 3.8: Gráfico de las pruebas a los residuos...5 Figura 3.9: Previsiones calculadas para la serie...6 Figura 3.0: Panalla de selección de daos...9 Figura 3.: Panalla de salida de Méodos Descripivos...0 Figura 3.: Panalla de salida de predicción auomáica...0

11 x Figura 3.3: Opciones de Análisis... Figura 3.4: Opciones de daos... Figura 3.5: Opciones gráficas... Figura 3.6: Resumen del Análisis... Figura 3.7: Salida de pronósicos...3 Figura 3.8: Modelos uilizados...3 Figura 3.9: Auocorrelaciones esimadas de los residuos...4 Figura 3.30: Auocorrelaciones parciales esimadas de los residuos...4 Figura 3.3: Periodigrama de los residuos...5 Figura 3.3: Residuos de la serie...5 Figura 3.33: Gráfico de pronósicos...5 Figura 3.34: Informe de daos ausados esacionalmene...6 Figura 3.35: Gráfico de la endencia-ciclo de la serie...7 Figura 3.36: Indices de esacionalidad...7 Figura 3.37: Gráfico de la componene irregular...7 Figura 3.38: Gráfico de la serie ausada esacionalmene...8 Figura 3.39: Panalla de salida del méodo de predicción...8 Figura 3.40: Función de Auocorrelación parcial...9 Figura 3.4: Función de Auocorrelación...9 Figura 3.4: Auocorrelación residual SARIMA(0,0,0)(,0,)...30 Figura 3.43: Auocorrelación parcial residual SARIMA(0,0,0)(,0,)...30 Figura 3.44: Auocorrelación residual SARIMA(0,0,0)(0,0,)...3 Figura 3.45: Auocorrelación parcial residual SARIMA(0,0,0)(0,0,)...3 Figura 3.46: Auocorrelación residual SARIMA(0,0,0)(,0,0)...3 Figura 3.47: Auocorrelación parcial residual SARIMA(0,0,0)(,0,0)...3

12 xi Figura 3.48: Comparación de resulados con Demera Figura 3.49: Comparación de resulados con Sagraphics

13 xii RESUMEN El comporamieno de las venas en las empresas de vena direca esá influenciado por la exisencia de oferas y promociones por campañas de venas. Esas venas se realizan mediane caálogos de producos que son enregados a los disribuidores.. En algunas ocasiones, se quia de los caálogos cieros producos, debido a esraegias comerciales, lo que genera daos falanes y conradicorios en las series emporales. Esos daos producen malas esimaciones de modelos y por consiguiene malos pronósicos de venas. Se esudiaron diferenes aspecos que afecan a las series emporales, ales como: La desesacionalización de series emporales en sus diversas componenes: endencia-ciclo, esacionalidad y observaciones aípicas. Los ipos de daos aípicos: adiivos, innovaivos y cambios de nivel, incluyendo los diferenes efecos que producen en las series emporales; sea en los residuos, en la función de auocorrelación o, en la esimación de los parámeros. La esimación de daos falanes, aspeco muy imporane omando en cuena la gran canidad de series que esán afecadas por ésa caracerísica. El análisis de inervención, para modelar el efeco que un aípico provoca en una serie de iempo.

14 xiii Poseriormene se procedió a realizar las aplicaciones de los emas esudiados. Para eso, se solició la información a Yanbal Ecuador S.A., empresa que muy amablemene permiió uilizar sus daos hisóricos. Esa compañía se dedica a la producción y comercialización de cosméicos, bisuería y velas perfumadas. Cabe recalcar que los producos esudiados fueron escogidos con anerioridad al azar, por personal de la compañía. Debido a que es una empresa líder en el mercado, el peligro de espionae exisene, no permie que se puedan roular las series con sus nombres reales. Yanbal Ecuador S.A. iene alrededor de 000 producos cosméicos, razón por la cual, la búsqueda de meorar los pronósicos resula primordial. Ese aspeco preocupa a la Gerencia General, debido a que el aciero al esimado acual esá por debao del 5%. Las series escogidas fueron modeladas con los paquees esadísicos: Demera.0 y Sagraphics 5.. Cada uno de esos paquees llevó a los mismos resulados; sin embargo, las previsiones de ambos fueron muy disinas. Se omó como válidos los pronósicos realizados con Demera.0 debido a que posee más opciones de cálculos, así como ambién por sus acieros en los pronósicos. Finalmene, se obuvo un aciero promedio del 7%, considerado como un avance significaivo en la realización de pronósicos.

15 xiv PRESENACIÓN El presene Proyeco de iulación iene por obeo esudiar varios aspecos de las series emporales que deben ser analizadas anes de modelar cualquier serie emporal, para meorar la calidad de los pronósicos. Esos aspecos, muy comunes en las series de venas, provocan errores muy graves en las esimaciones de modelos y por consiguiene, en las previsiones que se obienen. Ese ipo de fenómeno ha provocado que los esimados esén compleamene fuera de conrol, en empresas que ienen desarrollos esadísicos incipienes.. Por al moivo, se han generado muchas pérdidas, sea por acumulación de invenario o, por coso de oporunidad. Acualmene en el mercado, las empresas de vena direca esán en auge, por lo que el correco maneo de los pronósicos ocupa un lugar muy imporane en los proyecos a coro y largo plazo, que en muchos casos son esraégicos. En reieradas ocasiones se promocionan charlas para los direcivos de las empresas, ofreciendo paquees esadísicos que con solo ingresar los daos, ya realizan las previsiones. Sin embargo, no se puede uilizar esos programas en el caso de Yanbal Ecuador S.A., debido a la exisencia de daos aípicos y falanes. Sin embargo, exisen oros paquees esadísicos que no son de maneo an simple, pero que deecan y esiman esos valores, por lo que se debe enrenar al personal en el maneo de esas herramienas. Se demosró a la Gerencia General, que exisen meores méodos para realizar pronósicos; algo que debe ser aplicado lo más prono posible, porque el aumeno en el ingreso de empresas de vena direca país es un hecho.

16 CAPIULO. DESESACIONALIZACIÓN DE SERIES EMPORALES.. INRODUCCIÓN Las series cronológicas son el resulado de la observación de un fenómeno dado en el ranscurso del iempo. Casi odas las disciplinas cieníficas deben observar y esudiar cieros fenómenos en el iempo sea para conocerlos o para conrolarlos. Una serie cronológica (llamada ambién serie emporal) es un conuno de observaciones que se disinguen por el papel paricular que desempeña el orden en el cual han sido recogidas. Desde hace mucho iempo arás fueron descubieras, pero se han ido desarrollando y analizando desde que fue posible uilizar una represenación gráfica de las mismas enre los siglos XVII y XIX, con lo cual se llegó a los primeros análisis de la información de esas observaciones pariculares. El análisis de la frecuencia de las series uvo mucha acogida en el campo asronómico y físico; poseriormene la descomposición de las series en érminos de componenes permiió la previsión. Finalmene, surgió el concepo de auocorrelación, que dio paso a los modelos auorregresivos que son aplicados acualmene en numerosas disciplinas cieníficas. La muliplicación de los campos de aplicación de los méodos de análisis de las series emporales conduo a la diversificación de obeivos asignados al esudio de esas series. Enre ellas se ienen los siguienes: Droesbeke [989],p.6. Hisoria de los méodos esadísicos de análisis, ver Droesbeke [989].

17 a) La descripción: se debe analizar una serie cronológica para comprender la información que apora la medición del fenómeno en el iempo; para eso se deben deerminar los diversos componenes de la serie emporal ales como: endencial cíclico, esacional e irregular, para comprender meor la nauraleza del fenómeno observado. b) El filrado: son méodos usados para ransformar la serie emporal, de manera al que se puedan eliminar cieras caracerísicas de la misma o, al conrario, de manera que se puedan evidenciar oras caracerísicas, conservando por eemplo deerminados valores exremos imporanes. c) La modelización esocásica: El obeivo de la modelización es expresar la manera en que se compora una variable aleaoria. Una primera manera de proceder consise en apoyarse en modelos de ipo modelos lineales generalizados. Es decir: X Si X X,..., X n ' es el vecor definido por las n variables aleaorias del proceso correspondiene a los n valores que resularon de la observación, el modelo se formula de la siguiene manera: X Ub. En ese caso b es un vecor de parámeros, U es una mariz de variables maemáicas y es un proceso aleaorio que, generalmene, se supone que sea de ipo gaussiano, de media nula y de mariz de varianza-covarianza consane e igual a. 3 d) La previsión: Dada una serie de observaciones x x,..., ^ x h, x, se raa de obener una esimación x h del valor, o previsión, en el insane omando en cuena el horizone h. Ese obeivo fue raado inicialmene por méodos de exrapolación, poseriormene se definieron oros méodos de predicción ales como los de alisado exponencial, méodos ARMA, ec. 3 [ El análisis de las series cronológicas y de las disribuciones de variables observadas a inervalos regulares, Ladiray Domenique, Laboraoire de Mèhodologie du raimen des dones, Revisa Mehodologica, Bélgica, 993]

18 3 e) Conrol: es la comparación de los valores obenidos con la previsión y los valores de referencia para esablecer la validez de los modelos uilizados y el posible meoramieno cuando los fenómenos son afecados por perurbaciones... OBENCIÓN DE LA ENDENCIA DE UNA SERIE radicionalmene, en la descomposición de series emporales, se idenifican los siguienes orígenes de las variaciones: ciclo, endencia, esacionalidad y observaciones aípicas. ENDENCIA: Son variaciones de largo período debidas principalmene a cambios demográficos, ecnológicos e insiucionales. Suele esimarse conunamene con las variaciones del ciclo económico que normalmene iene un comporamieno oscilaorio. CICLO (Variación cíclica) : Recoge las oscilaciones periódicas de ampliud superior a un año. Es decir, son movimienos irregulares alrededor de la endencia secular en donde, a diferencia de las variaciones esacionales, el período y la ampliud son variables. Esos movimienos corresponden a períodos de inensificación y depresión del fenómeno. ESACIONALIDAD (Variación esacional) : Se la aribuye al efeco de las acividades socioeconómicas de las esaciones climaológicas, fesividades religiosas y evenos insiucionales con fechas fias. Al igual que el ciclo económico iene un carácer oscilaorio y evoluciona en el iempo. AÍPICOS: Se deben a aconecimienos inesperados que no se repien con regularidad esadísica, ales como huelgas, inundaciones, fueres devaluaciones, ec. El movimieno de una serie cronológica se compone de la superposición de :

19 4 Un movimieno de raslación (endencia), Un movimieno vibraorio (variación esacional), E Un movimieno de oscilación (variación cíclica), C Un movimieno perurbador (variación aleaoria), A Se esablecen dos modelos de descomposición: (i) Modelo o esquema adiivo: se considera que la serie esá formada por la suma de ésas componenes, es decir, X E C A (ii) Modelo o esquema muliplicaivo: en ese caso se considera que * E * C A X * vienen expresados en anos por uno. y, salvo la endencia, los demás componenes Ese modelo admie varianes para recoger el supueso de que la componene aleaoria es independiene de las demás; por eemplo, la componene accidenal puede aparecer de forma adiiva: X * E * C A Para resolver el problema de cuál debe ser el esquema a uilizar en cada caso, si adiivo o muliplicaivo, habrá que efecuar un análisis previo de la serie por méodos gráficos y analíicos. (i) Méodo gráfico: Si las oscilaciones aumenan a lo largo de los períodos con una endencia creciene, puede creerse que acúa el esquema muliplicaivo; mienras que, si las oscilaciones son regulares, no expansivas a lo largo de la serie, puede concluirse que acúa un esquema adiivo. (ii) Méodo analíico: Se supone una serie emporal de varios años (p años) con observaciones mensuales (o bien, bimesrales, rimesrales, cuarimesrales, ec.):

20 5 X :; X :;...; X:; X:; X :;...; X:;...; X: p; X : p;...; X: p er. Año do. Año Año p Para cada mes se calculan las diferencias y cocienes en años consecuivos: X i: k d i: k X i: k X i: k, ci : k, i,,..., k,,... X i: k p años Se calculan las medias oales d, c correspondienes a i k y c, respecivamene, así como sus desviaciones ípicas d y c con el obeo de calcular el coeficiene de variación de Pearson. d ; i; k Ese coeficiene es una de las medidas de dispersión relaivas más significaivas y se define como el cociene enre la desviación ípica de los daos y la media ariméica. Como es una medida adimensional, permie comparar medias de disinas series. De esa manera, se comparan los coeficienes para las series de y : d i ; k c i; k CV d d d ; CV c c c Si CV Si CV d CV d CV c c, se oma como válido el esquema adiivo;, se oma como válido el esquema muliplicaivo. En las series que resulan de la acumulación de acividades diarias, ambién se observan los efecos causados por las variaciones de acividad según el largo del mes y el número de veces que cada día de la semana ocurre en el mes, o sea por la composición del mes, la cual cambia con los años. Ese ipo de variaciones ambién son eliminadas de las series emporales cuando se ausa por esacionalidad deando, en consecuencia, una serie ransformada en la cual sólo quedan las variaciones aribuibles a la endencia - ciclo, y los casos aípicos.

21 6 En la erminología de modelos de descomposición esrucural, se acosumbra llamar señal a la pare sisémica de la serie cronológica y ruido a la componene residual. El obeivo principal del ause esacional es alcanzar a inferir la fase del ciclo en la cual se encuenra la economía denro del año corriene y muy especialmene, idenifica el puno de reorno o de giro, es decir el puno en el cuál se pasa de un período de expansión a uno de recesión o viceversa. Para realizar eso, se necesia esandarizar la serie, eliminando la componene esacional conunamene con las variaciones por la composición del mes y fiesas móviles cuando ésas exisan. Sin embargo, exisen grandes dificulades en la idenificación y esimación de las componenes, especialmene de las que ienen casos aípicos. Esas variaciones aípicas impiden ver claramene la dirección de la endencia en el coro plazo; es decir, dan problemas para idenificar la fase del ciclo corriene de ese insane de la economía. En ese caso, es necesario uilizar buenos esimadores de endencia ciclo que aplicados a las series desesacionalizadas suavicen la presencia de la componene irregular y eliminen el impaco de los evenos aípicos.... PROCEDIMIENOS PARA OBENER UN RESUMEN DE LA ENDENCIA DE UNA SERIE OBSERVADA Se invesiga el desarrollo de la serie de pedidos por semana en una empresa de vena direca. Los pedidos son realizados los días ueves y viernes de cada semana y normalmene los pedidos incremenan en la cuara semana de cada mes debido a que los inermediarios desean cumplir con los obeivos que les ha propueso la empresa.

22 7 Se puede observar en la abla. los valores de los pedidos realizados en los res primeros meses de venas. A simple visa se puede observar que en la cuara semana de cada mes los pedidos se incremenan. SEMANA Pedidos por semana 0 SEM SEM SEM SEM SEM SEM SEM SEM SEM SEM 763 SEM 8548 SEM 86 abla.: Daos del número de Pedidos Fuene: Yanbal Ecuador S.A. Se puede realizar una primera lecura de la evolución durane el período de la serie a parir de la represenación gráfica de la misma Sem Sem Sem 3 Sem 4 Sem 5 Sem 6 Sem 7 Sem 8 Sem 9 Sem 0 Sem Sem Figura.: Represenación de la serie Fuene: Yanbal Ecuador S.A.

23 8... La endencia lineal Se uiliza una reca de ause con el procedimieno clásico de regresión lineal o reca de los mínimos cuadrados ordinarios. La Figura. muesra ésa reca de regresión. Como se observa el resumen de endencia dado por la regresión lineal suele ser poco maizado y por lo ano poco apropiado para dar cuena de las modificaciones de la endencia en el ranscurso de un período Serie observada Residuo Sem 8 Valor Sem endencia obenida por regresión lineal Sem Sem Sem 3 Sem 4 Sem 5 Sem 6 Sem 7 Sem 8 Sem 9 Sem 0 Sem Sem Figura.: Represenación de endencia lineal. Fuene: Yanbal Ecuador S.A. Se puede proponer un resumen empírico de la endencia de la serie observada. Por eemplo, si se raza con la mano una curva que pasa por lo más cerca posible de los punos que represenan los valores semanales observados, pero de manera al que no se quiebre. Se habrá consruido enonces oro resumen (una curva) que represena meor la endencia, durane el período.

24 9... Valores observados, valores de endencias y residuos Siempre que se reemplazan los valores observados por los valores de endencia (cualquiera que sea el procedimieno por el que se deermina esos valores), se esablece un deerminado residuo que equivale a la diferencia enre el valor observado y el valor esimado por el procedimieno adopado para resumir la endencia de la serie. Se puede formularlo diciendo que la búsqueda de la endencia de una serie nos lleva a la siguiene relación: Daos observados = Valores de endencia esimados + Residuos Un procedimieno que permie resumir la endencia de una serie será considerado meor que oro, cuando los residuos que produce son globalmene más reducidos que los que produce oro procedimieno. En el marco de los méodos clásicos de análisis de la información aporada por una serie cronológica, se considera que la serie de los residuos corresponde generalmene al componene accidenal de la información. En ese caso, se llama residuos del alisado, la serie que coniene el componene exra - endencial, que compora el componene accidenal, pero ambién evenualmene oros componenes (cíclico, esacional) Cómo alisar una serie? La operación que consise en producir un resumen que evidencie la endencia a lo largo del período de una serie es llamada alisado de la serie. Para producir ese resumen, es necesario deerminar los valores de endencia que corresponden a cada observación. Si se reúnen los punos así deerminados, se obiene la curva de endencia asociada a la serie observada. En la Figura.3, se hace un acercamieno de la zona cenral del razado de la serie observada, a fin de represenar meor una de las maneras de

25 0 deerminar los valores de endencia. sección... El procedimieno se explica en la Valor de la endencia 3º º º Valor Sem 6 Sem 7 Sem 8 Sem 9 Sem 0 Figura.3: Acercamieno a la zona de alisamieno Fuene: Yanbal Daa Warehouse... LOS PROCEDIMIENOS DE ALISADO... Un primer enfoque Para deerminar el valor de endencia que corresponde a la semana 7, se puede proceder de la forma siguiene: en una primera eapa, hay que calcular el valor promedio de los valores observados en la 6 y 7 semana (véase Figura.3, puno señalado por (º.)) y el de las semanas 7 y 8 (véase Figura.3, puno señalado por (º.)). En una segunda eapa, hay que calcular el promedio de los dos valores (º.) y (º.), el cual (véase Figura.3, puno señalado por (3º.)) será considerado como el valor de endencia que corresponde a la semana 7. En la Figura.3, puede observarse que el puno (º.) es el cenro del segmeno definido por los valores observados en 6 y 7, como el puno (º.) es el cenro del segmeno definido por los valores observados en 7 y 8. razando la reca definida por ambos punos, se deermina el valor esperado en 7 (3º.) Si se aplica esa écnica de alisado a la serie del número de pedidos, se obienen los resulados presenados en la abla.. Normalmene los

26 valores que corresponden a los valores de las exremidades de la serie se conservan. Semana Serie Observada endencia Residuos Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem abla.: Resulados de endencia con méodo de media móvil de orden 3. Fuene: Yanbal Ecuador S.A. En la Figura.4 se observa la curva de endencia así definida. 000 Número de Pedidos endencia obenida Serie observada Sem Sem Sem 3 Sem 4 Sem 5 Sem 6 Sem 7 Sem 8 Sem 9 Sem 0 Sem Sem Figura.4: Gráfico de comparación enre la serie y su endencia Fuene: Yanbal Ecuador S.A. Pero el alisado de la serie por el procedimieno de inerpolación lineal es insuficiene. La curva obenida da una represenación suficienemene lisa de la endencia de la serie observada en los inervalos en los que ésa presena fueres irregularidades, pero conserva punos de inflexión.

27 Además, ese procedimieno de alisado es seguramene meor que el que se usaba anes para esablecer la endencia de la serie esudiada por ause de una reca de regresión lineal, pero es de calidad inferior a la del procedimieno empírico anerior. Para meorar los resulados del alisado por qué limiarse a asociar a cada observación un valor de endencia definido como el promedio de dos valores consecuivos? Se podría, por eemplo, deerminar cada valor de endencia por la media ariméica de res, cuaro, cinco o p valores sucesivos cenrados en cada observación. Procediendo de esa forma, se emplearían las écnicas de alisado por medias móviles :... Los procedimienos de alisado por las medias móviles Para calcular los valores de endencia, las écnicas de alisado por medias móviles deerminan la esperanza maemáica (la media) de las observaciones incluidas en una venana de p observaciones sucesivas, cenradas en cada valor observado, De al manera que exisen medias móviles de orden par y de orden impar, según el número de observaciones incluidas. Las medias móviles de orden par deben ser corregidas, por ese moivo, es preferible uilizar la siguiene fórmula para medias móviles de orden 4: E X X X X X / / 4 En general las medias móviles son muy sensibles a la presencia de valores exremos lo cual será comprobado en la sección...3..

28 3... Principio Del Méodo Sea una serie X que admia una descomposición adiiva: X Z S u,..., Una manera simple de deerminar las componenes de la serie, por eemplo la endencia Z, consise en aplicarle la ransformación lineal f que conserve la endencia y cancele las oras componenes. * * * * Sean X Z, S, u la serie y las componenes de la serie ransformadas por, f, de la serie y componenes X, Z, S, u. Como f es lineal: X * Z * S * u * * * Por ora pare, f anula la esacionalidad y la perurbación: S 0, u 0 y * se conserva la endencia: Z. Z La mayor dificulad del méodo esá en la selección de la ransformación f. No se puede consruir una ransformación que preserve la endencia y que cancele oda la esacionalidad y residuos. La selección de la ransformación f no es auomáica y se la encuenra realizando un esudio previo y modelización de sus varias componenes y debe cumplir con los siguienes requisios: Los cálculos deben ser simples. La acualización debe ser fácil cuando incremena. El méodo debe ser esable. Las ransformaciones generalmene uilizadas son las medias móviles. * X es la suma ponderada de valores de X que esán alrededor de :

29 4 X * m X m... m X m m X m X * m X m Donde m i N y ; m m Z Una media móvil es una aplicación lineal del espacio en sí mismo y como oda aplicación lineal, iene sus caracerísicas básicas, como son sus vecores y valores propios y su núcleo. Para esimarlos es preferible escribir a la serie X en érminos del operador de reardos B. Sea B el operador de reardos, que a la serie X le hace corresponder la X serie ; la serie ransformada por las medias móviles se escribe: X * MX m B i m i X Una media móvil es una aplicación que se escribe como una combinación lineal finia de poencias posiivas y negaivas del operador de reardos: m M i B m Las medias móviles normalmene son cenradas: El operador M se puede escribir de la siguiene manera: M B m m m o ambién en érminos del operador en avance al polinomio al que: de donde: x m i m m m. B... m B m M B x... m x m F m F, definido por m F B y

30 5... Resolución De Una Ecuación Lineal Recurrene Sea la ecuación lineal recurrene de orden m : a 0 X a X... am X m 0 Las soluciones de al ecuación consiuyen un subespacio vecorial de dimensión m. Exisen soluciones de la forma X con C. El valor de debe saisfacer la ecuación caracerísica: a o a... a m m 0 Cuando la ecuación admie m raíces disinas,,...,,... m, se obiene: X,..., X,..., X m m La solución de la ecuación de recurrencia viene dada por: X m c X m c, c C Las raíces pueden ser reales o compleas: Si es real, la solución X y dependiendo de los valores de se endría uno de esos gráficos. Figura.5: Gráfico para los disinos valores de posiivos. Fuene: Cours de séries emporelles, Chrisian Gourieroux, Alain Monfor, Economica, 983

31 6 Figura.6: endencias para los disinos valores de negaivos. Fuene: Cours de séries emporelles, Chrisian Gourieroux, Alain Monfor, Economica, 983 i e Cuando la raíz es complea, con 0 y 0,, la ecuación caracerísica admie como solución el valor conugado _ i e. Las combinaciones reales de X X c pueden escribirse como: cos c sen Ese ipo de series son explosivas o de forma sinusoidal convergenes de acuerdo a la posición de comparadas con. Figura.7: Gráfico para los disinos valores de con raíces compleas Fuene: Cours de séries emporelles, Chrisian Gourieroux, Alain Monfor, Economica, 983 Donde un período igual a corresponde a un período de la serie inicial, y se inerprea como una componene esacional.

32 7 Cuando el período es muy largo, o como una endencia (o un ciclo). pequeño, la serie puede ser visa En el caso general las raíces de la ecuación caracerísica, pueden ser múliples. Puede ener J raíces disinas,...,,..., J, la solución general de:,...,,..., J con muliplicidad 0 X X... X 0 m m puede escribirse de la forma: X c c... c J... c c c... J J J c k C,,..., J; k,..., J J...3 Núcleo De Una Media Móvil El núcleo de una media móvil M (Noado Ker M ) es el conuno de odas las series emporales anuladas por la media: Es decir: : MX : m X m X m.. X m.. X m m 0 m 0 Por lo ano, los elemenos del núcleo son soluciones de la ecuación lineal de recurrencia....4 RANSFORMACION DE UN RUIDO BLANCO POR UNA MEDIA MÓVIL Se puede ransformar la perurbación u, suponiendo que las u son variables aleaorias cenradas, no correlacionadas, de la misma varianza. Un méodo que simplifica la ransformación son las medias móviles.

33 8 u * m u i im i Como las variables son cenradas, enonces: m * Eu Eu 0 i im i Correleograma de * u Si se analiza la varianza: * Vu * m i im La imporancia de la perurbación disminuye si. m i im La razón de reducción de la varianza residual es: * m i im Las variables ransformadas son correlacionadas enre sí. * covarianza enre u y * 0 u h h es igual a: Enonces la * * h Covu, u h m m i Eu i im m 0 m i ihm ih u h si h m caso conrario Esa covarianza no depende de y se anula si h m. Se obiene la correlación que depende de h: h h 0

34 9 Figura.8: Gráfico para los disinos valores de h. Fuene: Cours de séries emporelles, Chrisian Gourieroux, Alain Monfor, Economica, MEDIAS ARIMÉICAS PONDERADAS Los coeficienes i son la solución del problema de minimizar: m I m m i i im Min m i I m i debido a que conserva los polinomios de grado y suponiendo que decrece al máximo posible omando en cuena la perurbación, lo que conduce a: i m i X * X m X m X m... m...6 Núcleo De Una Media Ariméica De Orden m+ El polinomio asociado a la media móvil cenrada es:

35 0 m... m m m La ecuación caracerísica 0 admie como soluciones las m raíces que pueden ser de unicidad disina a. i e m,,..., m Los elemenos generadores del núcleo son de la forma: S m c cos c m sen m Esas son funciones periódicas de período m que en promedio se anulan en el período: m im S i 0 Dada una función esacional periódica de período impar, de media nula, siempre exise un promedio ariméico que permie anularla....7 Series Invarianes por La Media Ariméica Por consrucción, la media preserva las consanes, y al ser simérica conserva los polinomios de grado. Para los polinomios de grado esa propiedad no se cumple. Por eemplo: X X * m m i im

36 3 3 m m m m m m m i i m m m i m m i m m i Para la media ariméica de orden 5, el polinomio caracerísico asociado a la ecuación de recurrencia es: Como ese polinomio es divisible para, enonces: 3 5 Las raíces que son disinas de son: 5 3 y las series invarianes correspondienes son: X X 5 3, 5 3 Para apreciar el efeco de la media ariméica en oras funciones periódicas, se puede calcular la ganancia en esa media: i e, donde, 0. El valor i e mide el efeco de la ampliud en las funciones sinusoidales de período sen m sen m e e m e e m e e m e i i m im i im im i Esa función se anula para,..., k m k

37 Se debe enconrar las series que provienen del núcleo de la media móvil. Es decir, las series periódicas de frecuencia cercana a i serán muy reducidos a causa de la coninuidad de e k m que ambién. La modificación de la ampliud ambién depende del amaño de la media móvil.; en paricular, i se observa que si m iende al infinio, e iende a cero, ya que 0. Eso implica que si a una serie cualquiera se le aplica una media ariméica larga, iende a hacerla consane. Cuando la siguiene forma: e i i m, la función de e iene Figura.9: Gráfico para m = Fuene: Cours de séries emporelles, Chrisian Gourieroux, Alain Monfor, Economica, Proceso de ransformación de un Ruido Blanco La covarianza m h m h ihm m m La reducción de la varianza obenida para el ruido blanco es: * 0 m

38 3 La función de auocorrelación: h h 0 m h m 0 0 h m caso conrario El gráfico de la función de auocorrelación se presena a coninuación: h m+ h Figura.0: Gráfico de la función de auocorrelación Fuene: Cours de séries emporelles, Chrisian Gourieroux, Alain Monfor, Economica, 983 La auocorrelación de orden, inroduce regularidades ficicias de grandes períodos. Esos períodos esán dados por: m Arc cos Arc cos m m m ,4 9,7,8,9 4,5 5,7 abla.3: Valores de para disinos valores de m Fuene: Cours de séries emporelles, Chrisian Gourieroux, Alain Monfor, Economica, 983

39 Las écnicas de alisado por las medianas móviles Considere una serie cronológica A : A y ;,..., n Cuando se procede al alisado de una serie A, por eemplo, mediane la écnica de las medianas móviles de orden res 4, la serie E, que resume la endencia de A durane el período, se define por el conuno de los valores esperados. 3 Se podrá definir la serie E de la siguiene manera: E e ;,..., n. En el caso general de un procedimieno cualquiera de alisado, la serie E de endencia producida por definirá así: E e P ;,..., n. P Pcualquiera de alisado, se Se observa que si se produce por P, la serie E asociada a una serie A, se define la serie que resume la endencia de ésa y una serie R de residuos. Se puede enonces definir la serie R del siguiene modo: P R r ;,..., n. Por eemplo, en el caso del alisado de la serie A observada por el procedimieno [3], se iene la relación siguiene: 3 3 y e r ;,..., n. En esa expresión, e 3 medianay y, y ;,..., n 3, 3 r y e ;,.., n., mienras que:...3. Eemplo del alisado de una serie por la écnica de las medianas móviles de orden res Si se oma de nuevo la serie con la que rabaamos en la sección.. la cual se llamará serie A, y se calcula las series asociadas E y R por la écnica de las medianas móviles de orden res, se iene el siguiene resulado: 4 En adelane se designan los procedimienos de alisado por las medianas móviles por su orden, digamos un alisado de orden res será [3]. Cuando se rae de alisados por medias móviles será precedido por el signo =,, por eemplo el alisado de orden res deberá ser [=3].

40 5 Semana Serie Observada endencia(e) Residuos(R) Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem abla.4: Eemplo del alisado de una serie por medianas móviles de orden res Fuene: Yanbal Ecuador S.A. En la abla.4, se puede observar que cada valor 3 e de la serie E corresponda a la mediana de res valores observados: y, y, y. Pero es evidene que resula imposible aplicar esa regla de deerminación del valor de endencia en el caso del primer y del úlimo valor observado El raamieno de los valores exremos Si la serie observada del número de pedidos no sea A, sino que será una serie A que difiere de A en dos observaciones: En la segunda semana, el número de pedidos sería (y no 8.347) En la sépima semana, sería de (y no de 6.038) Ese ipo de aleraciones respeco a la serie original suelen ser provocadas por errores en la rascripción de los daos o bien son valores cieros que represenan punos exremos.

41 6 Ya que se quiere evidenciar la endencia del desarrollo del número de pedidos durane el período, se espera que el procedimieno de alisado uilizado, por una pare no se vea afecado por la presencia de valores anómalos, y por ora pare permanezca sensible a los valores que modifican punualmene el desarrollo del número de pedidos. La abla.5 presena los resulados del alisado por las medianas móviles de orden [3] de la serie A. Semana Serie Observada endencia Residuos Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem Sem abla.5: Resulados del alisado por las medianas móviles de orden res Fuene: Yanbal Ecuador S.A. Si se comparan esos resulados con los de la abla.5, se puede observar que: El alisado por [3] efecuó una corrección auomáica del valor anómalo. En efeco, el valor anómalo y de A le corresponde un valor de endencia no muy leano del valor de endencia que al valor normal de A. y Para apreciar la manera en que los disinos méodos de alisado reaccionan ane la presencia de valores anómalos, ambién se procede al alisado de la serie A por la écnica de las medias móviles de orden ( =3 ). La abla.6

42 7 presena los resulados de la serie A por el méodo =3, comparados con el resulado del alisado de la misma serie por el méodo [3]. Se puede observar en esa abla que en el caso del alisado por =3, la presencia de valores exremos (anómalos o no) acarrea una modificación significaiva de los valores de endencia vecinos. Semana Serie A Valores de Residuos Valores de Residuos endencia [3] endencia = abla.6: Resulados del alisado por las medianas y medias móviles de orden res Fuene: Yanbal Ecuador S.A. Se recomiendan los méodos de alisado por medianas móviles porque: Eliminan las perurbaciones debidas a los valores anómalos y eso, sin que sea necesario idenificarlos o emplear procedimienos de deección y de corrección. Conservan oda secuencia lineal observada. En paricular, los procedimienos de medianas móviles de orden impar conservan oda secuencia monóona, lineal o no. Son esas propiedades las que hacen que se conceda a esos insrumenos de análisis un lugar imporane enre el conuno de las écnicas de alisado de las series cronológicas.

43 Los alisados por medianas móviles de orden impar El número de valores observados consecuivos que se oman en cuena para deerminar el valor esperado al insane designa el orden de la écnica de alisado. Si se ordenan las écnicas por orden creciene, se aribuye un rango a los méodos de alisado. La abla.7 presena las écnicas de medianas móviles de orden impar, ordenadas en función de su rango y orden. Medianas móviles de orden impar Rango: (p) Orden: (p-) abla.7: écnicas de medianas móviles de orden impar. Fuene: El análisis de las series cronológicas y de las disribuciones de variables observadas a inervalos regulares, Ladiray Domenique, Revisa Mehodologica, Bélgica, 993. Si el méodo de alisado es de rango p y de orden p, ése asocia al valor observado Y el valor de endencia al insane designado como e, p el cual se define como la mediana de p valores observados cenrados en el valor. De ese modo, se definen los valores e de la serie E (asociada a la serie p observada A) por la expresión: e p mediana y y,..., y ; p, p,..., n p,..., p p

44 9 En efeco, esa manera de definir el valor de endencia asociada a un valor observado no puede aplicarse en el caso de los p valores siuados en las exremidades de la serie. Como se ha viso en el caso del alisado por [3], si se generalizan odos los procedimienos de alisado de orden impar, se pueden comprobar las relaciones: p p y e r ;,..., n Los alisados por medianas móviles de orden par Dado que la mediana de una serie con un número par de observaciones se define como el promedio de las exremidades de su inervalo mediano, la mediana móvil de orden p ambién se calcula como el promedio de los dos valores del cenro, cuando esán ordenados en orden creciene los p valores observados alrededor de. y Es por ello que los valores p e de la serie E (asociada a la serie observada A) son definidos por la expresión: e y y p ; p, p,..., n p Como el caso de las medianas móviles de orden impar, esa manera de definir el valor de endencia que corresponde a un valor observado no puede aplicarse en el caso de los p valores siuados en las exremidades de la serie. Ese procedimieno ambién presena oro inconveniene: la mediana calculada de esa forma no corresponde a un valor de sino a un valor

45 30 inermedio. En efeco, al valor y de una serie ordenada de p valores cenrados en, corresponde la mediana: e y y p ; p, p,..., n p 0,5 La Figura. ilusra ese inconveniene en el caso de la deerminación del valor esperado p e móviles pares, de rango (de orden 4). por un procedimieno de alisado de las medianas Se puede comprobar en ese gráfico que cuando se aplica la regla de cálculo de la mediana a los cuaro valores alrededor del valor y, el valor de endencia asociado a ésa es la mediana de los valores y ; y, es decir que: e 4 0,5 y y Para eviar ese inconveniene, hay que hacer seguir siempre el alisado de orden par de la serie A, por un nuevo alisado de orden de la serie E resulane, pero procurando desplazar las medianas en el oro senido. Hay que proceder enonces como lo indica el Esquema.. Serie observada y A Serie E e p asoc. a A Serie E y p p: 0,5 y e p: e por alisado de E p p 0,5 e 0,5 p Esquema.: Corrección de la diferencia por un procedimieno de ipo p

46 3 Figura.: Corrección de la diferencia por un procedimieno de ipo p Fuene: El análisis de las series cronológicas y de las disribuciones de variables observadas a inervalos regulares, Ladiray Domenique, Revisa Mehodologica, Bélgica, 993. En la Figura. se podrá comprobar la corrección necesaria de un alisado de orden par en el caso del eemplo presenado en la Figura.. Y y y y y y y y y y 4 e 0,5 4 e 0, ,5 0, Figura.: Corrección de la diferencia por un procedimieno de ipo par. Fuene: El análisis de las series cronológicas y de las disribuciones de variables observadas a inervalos regulares, Ladiray Domenique, Revisa Mehodologica, Bélgica, Las medianas móviles alas y baas El alisado de una serie por medianas móviles, en el caso en que sean de orden par, ambién pueden realizarse por medio de la écnica llamada de las medianas alas o de las medianas baas. Recordando las propiedades bien conocidas de los parámeros de posición cenral de una serie, resula

47 3 fácil comprender que se podría definir cada una de las medianas móviles de orden p de una serie, si se oma como valor de endencia no ano el promedio de los exremos del inervalo mediano, sino una de las exremidades de ese inervalo. Las medianas móviles baas Si se asigna al valor de endencia e p 0, 5 el más pequeño de dos valores y k ; k y, (donde y k perenece al inervalo mediano), se aplica la écnica llamada de las medianas móviles baas. Para designar ese méodo de alisado, se hace proceder el orden de las medianas móviles por el signo <. Por eemplo, el alisado por las medianas móviles baas de orden 4 se designará con: <4. Las medianas móviles alas Si se a signa al valor de endencia el más grande de dos p e 0, 5 valores y k ; yk, se aplica la écnica llamada de las medianas móviles alas. Para designar ese méodo de alisado, se hace proceder el orden de las medianas móviles del signo >. El alisado por las medianas móviles de orden 4, por eemplo, será designado con: >4. raándose de las medianas móviles de orden par, esos méodos de alisado han de ser uilizados seguidos por el re-alisado por las medianas móviles de orden, lo que permie hacer coincidir el valor esperado con un valor del índice.

48 33 raamieno de los punos erminales en el caso de las medianas móviles de orden impar La deerminación de los valores de endencia en las exremidades de la serie se realiza en dos eapas: Primera eapa Se reduce de un rango el orden impar del alisado, para aumenar el número de las medianas móviles aribuidas a los valores de la serie. Sea: y a el primer valor para el cual se pudo deerminar; por eemplo, la mediana móvil de orden y b mediana móvil de orden p =5, se obiene: p =5; el úlimo valor para el cual se pudo deerminar; por eemplo, la e p a e p b mediana y mediana y a b,..., y,..., y p a a p,..., yb,..., yb p p Pasando a un alisado de rango inferior p 3 e a p a a p3 igualmene: eb medianayb p,..., yb,..., yb p ;,..., p a mediana y y,..., y p p3 ea medianaya p,..., ya,..., ya ; p, se puede deerminar: Segunda eapa Se deermina el valor esperado asociado a la primera (y a la úlima) observación a parir de la exrapolación lineal de las medianas móviles ya y a asociadas a las observaciones e.

49 34 Es decir, que para deerminar los valores de endencia en los exremos de la serie, se prolonga la endencia esablecida mediane el alisado de orden p para el valor y y de orden p 3 para el valor. Asimismo, al oro a exremo de la serie, se prolonga la endencia esablecida mediane el alisado de orden p para el valor y b, y de orden p 3 para el valor y. y a b 4 3 reca E E { { D D z b reca 0 z a B { C C { 9 B A - A A + B - B B + Figura.3: Méodo de raamieno de los valores exremos. Fuene: El análisis de las series cronológicas y de las disribuciones de variables observadas a inervalos regulares, Ladiray Domenique, Revisa Mehodologica, Bélgica, 993. La Figura.3 resume el méodo de raamieno de los valores exremos en el caso de los méodos de alisado por las medianas móviles de orden impar. Se raa de deerminar el valor de z y de z que será aribuido al primer y a al úlimo valor de endencia respecivamene. La demosración de las relaciones que permien calcular esos valores recurre a propiedades geoméricas elemenales. b En la Figura.3, los punos C y ' C deerminan la reca a a la que ' perenecen. Los punos E y E definen la reca b. La longiud del segmeno A,C ' represena el valor de endencia, definido por el alisador p-,

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