ANÁLISIS DE DUALIDAD. M. En C. Eduardo Bustos Farías

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1 ANÁLISIS DE DUALIDAD M. En C. Eduardo Bustos Farías 1

2 LA TEORÍA DE LA DUALIDAD El método simplex además de resolver un problema de PL llegando a una solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones. La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal, llamado precisamente dual. 2

3 La relación entre el problema dual y su asociado, es decir el problema original llamado primal, presenta varias utilidades: 1. Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la PL. 2. El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de PL, por ejemplo: más restricciones que variables. 3. El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de PL. 3

4 Cómo convertir un problema primal a dual? Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma: 1. Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización y viceversa. 2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de disponibilidad en el problema dual. 3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual. 4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual. 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. 6. Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual. 4

5 En forma general 5

6 Dualidad MAX Z= 3X 1 + 4X 2 2X 3 Variables duales S. a: 4X 1 12X 2 + 3X 3 < 12 Y 1 2X 1 + 3X 2 + X 3 < 6 Y 2 5X 1 + X 2 6X 3 < -40 Y 3 3X 1 4X 2 2X 3 < 10 Y 4 X 1 > 0, X 2 > 0, X 3 >0 Min Z = 12Y 1 + 6Y 2 40Y Y 4 S. a: 4Y 1 2Y 2 5Y 3 + 3Y 4 >= 3 12Y 1 + 3Y 2 + Y 3-4Y 4 >= 4 3Y 1 + Y 2 6Y 3 2Y 4 >= -2 Y 1 > 0, Y 2 > 0, Y 3 > 0, Y 4 > 0 6

7 EJEMPLOS Si el problema primal es: MAX Z= 45X1 + 17X2 + 55X3 Sujeto a: X1 + X2 + X X1 + 8X2 + 10X X1+ 7X X Xj 0 7

8 El problema dual será: MAX Z= 45X1 + 17X2 + 55X3 Sujeto a: X1 + X2 + X X1 + 8X2 + 10X X1+ 7X X Xj 0 MIN Z= 200Y Y Y3 Sujeto a: Y1 + 9Y2 + 10Y3 45 Y1 + 8Y2 + 7Y3 17 Y1 + 10Y2 + 21Y3 55 Yj 0 8

9 Ejemplo Problema primal: MIN Z= 19X1 + 18X2 Sujeto a: X1 + 5X2 100 X1 + 3X2 200 X1 50 X2 35 Xj 0 9

10 Solución Problema primal: MIN Z= 19X1 + 18X2 Sujeto a: X1 + 5X2 100 X1 + 3X2 200 X1 50 X2 35 Xj 0 Problema dual: MAX Z=100Y Y2 + 50Y3 + 35Y4 Sujeto a: Y1 + Y2 + Y3 19 5Y1 + 3Y2 + + Y4 18 Yj 0 10

11 RESUMEN DE LA RELACIÓN DE LOS PROBLEMAS PRIMAL Y DUAL: PRIMAL DUAL Maximizar Z Minimizar Z Restricción bi Restricción bi Restricción = bi Variable i no restringida Minimizar Z Maximizar Z Restricción Ci Restricción Ci Variable i no restringida Restricción = Ci 11

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16 Análisis de Sensibilidad M. En C. Eduardo Bustos Farías 16

17 Qué es el análisis de sensibilidad? El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma en la que se afecta la solución óptima al presentarse cambios en los coeficientes de un programa lineal. Utilizando éste análisis podemos responder a preguntas como las siguientes: Cómo afectará a la solución óptima un cambio en uno de los coeficientes de la función objetivo? Cómo afectará a la solución óptima un cambio en el valor del segundo elemento de una restricción? 17

18 ANÁLISIS DE POSTOPTIMALIDAD Dado que el análisis de sensibilidad se ocupa de la forma en que los cambios anteriores afectan a la solución óptima, el análisis no comienza hasta que se obtiene, precisamente, la solución óptima al problema de programación lineal original. Por esto último al análisis de sensibilidad con frecuencia se le denomina análisis de postoptimalidad. Así pues, pese al cambio en alguno de los parámetros de la formulación original que dan paso a un nuevo problema, no será necesario volver a resolver el problema desde el principio. 18

19 ENTORNO DINÁMICO DE LOS NEGOCIOS La principal razón de la importancia del análisis de sensibilidad para quienes toman las decisiones es que los problemas reales ocurren en un medio ambiente dinámico. Los precios de las materias primas varían, la demanda fluctúa, las empresas sustituyen maquinaria y mano de obra, etc. Si se ha utilizado un modelo de programación lineal en un entorno de este tipo (dinámico), puede esperarse que con el paso del tiempo algunos de los coeficientes cambian. Los administradores desearán determinar la forma en que esos cambios afectan a la solución óptima del problema de programación lineal original. 19

20 CAMBIOS EN EL PL ORIGINAL El nuevo problema puede diferir del original en uno o varios de los siguientes aspectos: 1. Cambios en la disponibilidad de recursos (vector b). 2. Cambios en los costos unitarios o utilidades (vector c). 3. Cambios en los coeficientes tecnológicos (matriz aij) 20

21 PREDICCIÓN DE LAS CONDICIONES FUTURAS El trabajo del equipo de investigación de operaciones apenas comienza cuando se ha aplicado con éxito el método simplex para identificar una solución óptima del modelo. Los valores de los parámetros que se usan en el modelo casi siempre son sólo estimaciones basadas en una predicción de las condiciones futuras. 21

22 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones con frecuencia son bastante imperfectos o no existen, así que los parámetros de la formulación original pueden representar poco más que estimaciones optimistas o pesimistas que protegen los intereses de los estimadores. 22

23 IMPORTANCIA DEL ANÁLISIS Por estas razones es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima proporcionada por el método símplex el hecho de que los parámetros tomaran otros valores posibles. En general, habrá algunos parámetros a los que se les puede asignar cualquier valor razonable sin que afecten la optimalidad de esta solución. Sin embargo, también habrá parámetros con valores probables que lleven a una nueva solución óptima. Esta situación es particularmente seria, si la solución original adquiere valores sustancialmente inferiores en la función objetivo, o quizá no factibles. 23

24 PARÁMETROS SENSIBLES Por lo anterior, un objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambia. 24

25 INFORMACIÓN PRODUCTO DEL ANÁLISIS La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero, identifica los parámetros más importantes, con lo que se puede poder un cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles. Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles, ésta es una señal inminente de que es necesario cambiar la solución. 25

26 El análisis de sensibilidad prácticamente elimina el esfuerzo computacional El análisis de sensibilidad requeriría un esfuerzo computacional exorbitante si fuera necesario volver a aplicar el método símplex desde el principio para investigar cada cambio en el valor de un parámetro. Por fortuna, la esencia fundamental del análisis de sensibilidad prácticamente elimina el esfuerzo computacional. 26

27 Resumen del procedimiento para análisis de sensibilidad. 1. Revisión del modelo: se hacen los cambios deseados en el modelo que se va a investigar. 2. Revisión de la tabla símplex final: se emplea la idea fundamental para determinar los cambios que resultan en la tabla símplex final. 3. Conversión a la forma apropiada: se convierte esta tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual aplicando (según sea necesario) eliminación de Gauss. 27

28 Resumen del procedimiento para análisis de sensibilidad. 4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución verificando que todas las variables básicas sigan teniendo valores no negativos en la columna del lado derecho. 5. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es óptima (si es factible), comprobando que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón 0 sigan siendo no negativos. 6. Reoptimización: si esta solución no pasa cualquiera de las pruebas, se puede obtener (si se desea) la nueva solución óptima partiendo de la tabla actual como tabla símplex inicial (haciendo las conversiones necesarias) para el método símplex o el símplex dual. 28

29 Análisis de Sensibilidad del coeficiente del lado derecho Cualquier cambio en el lado derecho (bj) de una restricción activa cambiará la solución óptima. Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la holgura o o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima. 29

30 CAMBIOS EN LA DISPONIBILIDAD DE RECURSOS (VECTOR b). Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho nos interesa responder las siguientes preguntas : Manteniendo todos los otros coeficientes, en cuánto cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad? Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida? 30

31 Ejemplo 1. Agro Tech ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 31

32 AGRO TECH La última vez que vimos el problema de Ia Agro-Tech Inc., estábamos tratando de determinar Ia mezcla de producción de los fertilizantes y que fuera mas redituable. El primero se vendía en $71.50 por tonelada y el segundo en $69. En el proceso de planeación, había tenia que trabajar dentro de Ia estructura de Ia disponibilidad de las materias primas escasas que se usan en Ia producción de los fertilizantes. 32

33 Recordemos que las materias primas eran nitrato, fosfato y potasio. Los precios de éstas eran $200, $80 y $160 por tonelada, respectivamente; y había disponibles 1100, 1800 y 2000 toneladas de los recursos correspondientes. Utilizando esta información, junto con el precio de $10 por tonelada de cantidades ilimitadas de relleno y un precio de $15 Ia tonelada por concepto de mezclado, se calcularon contribuciones a las utilidades do $18.50 por tonelada del y $20.00 por tonelada del

34 Después, se planteó el problema en forma de programación lineal con dos variables y tres restricciones y se resolvió a través del método simplex. 34

35 Los resultados de este planteamiento y su solución óptima fueron que Ia política óptima consistiría en fabricar 8000 toneladas de y 14,000 toneladas del La producción y venta de estas cantidades dan como resultado una contribución de $428,000 a las utilidades de Ia Agro-Tech Inc. 35

36 Este mes hay un problema nuevo. Aunque las disponibilidades y costos de las materias primas han permanecido iguales, Ia compañía desea considerar Ia fabricación de un tercer producto, un fertilizante 5-5-5, que puede venderse en $60 Ia tonelada. Ahora, hay que considerar tres productos, en vez de dos, en su decisión sobre producción. Dada que la Agro-Tech no tiene pedidos atrasados o comprometidos que deba surtir para cualquiera de los productos, se desea fabricar Ia combinación de fertilizantes que proporcione Ia contribución máxima a las utilidades. 36

37 Para plantear el problema, se ha decidido emplear los siguientes símbolos X1 = toneladas de que deben fabricarse X2 = toneladas de que deben fabricarse X3 = toneladas de que deben fabricarse 37

38 Utilizando ei precio de venta de $60 por tonelada y Ia mezcla de ingredientes (5-5-5) para el tercer producto, su contribución a las utilidades es de $14.50 por tonelada. Dado que no se han añadido restricciones adicionales, se planteó el problema de Ia siguiente manera: MAXIMIZAR: Z= 18.5x x x 3 SUJETO A: 0.05x x x 3 <= x x x 3 <= x x x 3 <= 2000 x 1,x 2,,, x 3 >= 0 38

39 TABLA SIMPLEX INICIAL POR WINQSB 39

40 Utilizando el método simplex para resolver el problema anterior, se obtiene Ia tabla óptima que se muestra a continuación. 40

41 Tabla óptima 41

42 TABLA ÓPTIMA POR WINQSB Definiciones: C Las variables básicas son aquellas donde j Z Las variables no básicas son aquellas en donde C j Z j 0 j 0 42

43 Al examinar Ia solución, se observa que es exactamente igual a la del problema original con dos productos; es decir, Ia compañía debe fabricar 8,000 toneladas del fertilizante y 14,000 toneladas del Las utilidades esperadas serían de nuevo $428,000. Este resultado asombró un poco porque Ia solución significa que el programa de producción puede quedar sin modificarse, pero no Ie resulta irrazonable aceptar Ia solución. 43

44 Sin embargo, existen otros departamentos en Ia Agro-Tech que podrían afectar Ia decisión de quedarse con el programa de producción que ya se tiene. Al departamento de mercadotecnia de Ia Agro-Tech, Ie preocupa el hecho de que, si se acepta Ia solución obtenida, no se fabricaría nada del nuevo fertilizante El departamento de mercadotecnia acepta que Ia solución de programación lineal para el problema proporcione Ia mezcla de producción con utilidades máximas, pero también sabe que fabricar el nuevo fertilizante es de importancia por razones de mercadotecnia. 44

45 No se puede obligar ai departamento de producción a sacrificar utilidades para fabricar alguna cantidad del 5-5-5, pero tiene Ia capacidad de aumentar su precio de venta para que resulte lo suficientemente redituable para quedar incluido en Ia mezcla óptima de producción para el mes siguiente. Por ello, nos gustaría saber cuánto tendría que aumentarse el precio para hacer que Ia producción del resulte redituable. 45

46 Al mismo tiempo que el departamento de mercadotecnia está considerando aumentar ei precio del 5-5-5, el departamento de compras de Ia Agro-Tech, está considerando un posible cambio en las materias primas. TaI vez ei mes siguiente se reduzca Ia disponibilidad de nitrato. No se está seguro de cuál será Ia magnitud de Ia reducción y, por ello, no puede proporcionarle a producción un valor que pueda utilizar para planear Ia producción. 46

47 Otro cambio que se está considerando es una posible reducción en ei precio del Los vendedores informan que una compañía de Ia competencia ha reducido su precio para ofrecer el mismo fertilizante y, como resultado, Ia Agro-Tech debe considerar reducir su precio para enfrentar Ia competencia. 47

48 Desde el punto de vista general de Ia compañía, debe volverse a examinar Ia decisión de continuar fabricando sólo dos fertilizantes para incluir en el análisis las cuestiones planteadas por los departamentos de mercadotecnia y compras. Puede utilizarse ei análisis de sensibilidad para continuar estudiando el problema. 48

49 CAMBIO EN EL COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO DE UNA VARIABLE NO BÁSICA 49

50 Se comienza el análisis considerando el impacto de cambiar el valor de las utilidades (coeficiente de la función objetivo) para una de las variables que de momento no es básica. El ejemplo se refiere al caso en el que se considera el nuevo fertilizante Recuerde que ai departamento de mercadotecnia le gustaría saber cuánto debe aumentar el precio del con el objeto de hacerlo lo suficientemente redituable para que quede incluido en la mezcla óptima de productos de programación lineal. 50

51 Recuerde también que una variable no básica es aquella cuya contribución neta a las utilidades (es decir, cj- zj) en la tabla óptima es no positiva. Las utilidades que se obtendrían al fabricar cualquier cantidad de una variable no básica son menores o iguales que las utilidades a las que sería necesario renunciar. Revisando la tabla óptima, se observa que las variables x 3, S 1 y S2 son no básicas. 51

52 TABLA ÓPTIMA POR WINQSB Definiciones: C Las variables básicas son aquellas donde j Z Las variables no básicas son aquellas en donde C j Z j 0 j 0 52

53 Desde un punto de vista gráfico, un cambio en el valor de las utilidades para cuaiquier variable equivale a un cambio en Ia pendiente de las Iíneas de isoutilidad que se utilizan para encontrar Ia solución óptima. Para observar Ia forma en que esto funciona, considere Ia solución gráfica hipotética de un problema de PL que se muestra en Ia figura siguiente. 53

54 54

55 En la figura anterior, la solución óptima original ocurre en el punto D con Ia función objetivo 1. En el punto D, x 1 es básica y X 2 es no básica. Sin embargo, si se aumenta la utilidad de x 2 la pendiente de Ia función objetivo cambia porque se necesitan menos unidades de x 2 para obtener iguales utilidades que con una unidad de x 1. Si la utilidad de x 2 aumenta lo suficiente, entonces la función objetivo se convertiría en la línea punteada identificada con el número 2. Para esta función objetivo, la solución óptima es el punto C, y tanto x 1 como x 2 son básicas. 55

56 La sensibilidad de Ia solución óptima a cambios de los coeficientes de Ia función objetivo puede determinarse añadiendo una cantidad Δj ai coeficiente que se tiene de la función objetivo, cj. Por ello, el nuevo coeficiente de Ia función objetivo es _ Cj = Δj + Cj 56

57 Es posible determinar qué tan grande puede ser a partir del requerimiento de optimidad de que (cj - zj) sea cero a negativo para un problema de maximización. Para el coeficiente modificado cj, esto significa que cj zj <= 0. La sensibilidad se mide a través del valor de Δj puesto que indica el intervalo de costos sobre los cuales la solución óptima existente seguirá siendo óptima. 57

58 Considerando x 3, recuerde que al departamento de mercadotecnia Ie gustaría determinar Ia magnitud del aumento en el precio que se requeriría para fabricar el fertilizante Puede responderse esta pregunta determinando Δ3 (y c3) para Ia variable x 3. Se comienza el proceso añadiendo un coeficiente Δ3 ai coeficiente c 3 asociado con x 3 en Ia tabia. 58

59 La tabla 5-2 muestra la tabla modificada. Antes de que x 3 se pueda volver básica, el valor (cj - zj) asociado con x 3 debe volverse no negativo. Expresada en términos de los valores reales de Ia tabla, esto significa que Δ3 4.0>= 0 59

60 TABLA

61 Despejando Δ3, se tiene que Δ3 >= 4.0. Puesto que C3= C 3 + Δ3, C3 = Δ3 Sustituyendo Δ3 >= 4.0 se obtiene C3 >=

62 RESUMEN Δ 4 0 Δ 4 Δ + C Δ + C

63 63

64 Esto indica que si el precio de x 3 se elevara un poco más de los $4.00, es decir, si su contribución a las utilidades fuera mayor que $18.50, entonces la producción de x 3 se volvería más redituable que la mezcla actual de producción de 8,000 de x1 y 14,000 de x 2. Si el precio se aumentara exactamente $4.00, se llegaría a un punto de decisión en el que podría fabricarse x 3, pero no se obtendrían utilidades adicionales. Se obtendrían los mismos $428,000 de utilidades para esta solución óptima alternativa. 64

65 Para responder a la pregunta del departamento de mercadotecnia con respecto al aumento en el precio del producto 3, no es necesario llevar a cabo un análisis del cambio en el coeficiente de las otras variables no básicas, s1 y s2. Sin embargo, si se desea, puede utilizarse el análisis anterior para cada una de estas variables. 65

66 Si la utilidad de la variable no básica disminuye, no hay cambio en la solución óptima; o si la contribución a las utilidades aumenta en una cantidad inferior al valor Icj -zjipara la variable, no habrá cambio en la solución óptima. SóIo si la contribución a las utilidades aumenta en una cantidad que sea mayor que el valor actual de Icj - zji cambia la solución óptima. 66

67 Puede verse en forma intuitiva que esto es lo que debe ocurrir. Una variable no básica no se encuentra en la solución óptima porque las utilidades que se obtienen al fabricar ese producto son inferiores a lo que se perdería por hacerlo. Para cambiar esta relación, es necesario aumentar la contribución del producto a las utilidades hasta que sean iguales a mayores que lo que se perdería por fabricarlo. 67

68 Cambio en el coeficiente de la función objetivo de las variables básicas 68

69 Para mantener la solución actual óptima, debe asegurarse que ningún valor Cj Zj se vuelva positivo. Despejamos una desigualdad para cada uno de los valores no básicos. Para x1: x3 : 4 Δ 0; Δ 4 S1 : Δ 0; Δ 8.5 S 2 : Δ 0; < Δ 1.5 = Se forma un intervalo con los valores más restrictivos: 4 Δ Δ + C Δ + C

70 Para x2: x S S : 4 0Δ 0; : Δ 0; : 30 20Δ 0; Δ 17 Δ Δ Δ + C 18.5 Δ + C

71 71

72 72

73 Cálculo del intervalo de variación de los recursos 73

74 Cálculo del intervalo de variación de los recursos. Recurso Δ 0; Δ 0; 500 3Δ 0; Δ 200 Δ 700 Δ MAXIMIZAR: Z=18.5x1 + 20x x3 SUJETO A: 200 Δ Δ + r 900 Δ + r x1,x2,,,x3 >= x x x3 <= x x2+0.05x3 <= x x2+0.05x3 <=

75 Recurso Δ 0; Δ 0; Δ 0; Δ 400 Δ 700 Δ 500 MAXIMIZAR: Z=18.5x1 + 20x x3 SUJETO A: 500 Δ 400 x1,x2,,,x3 >= x x x3 <= x x2+0.05x3 <= x x2+0.05x3 <= Δ + Δ + r 2 r

76 Recurso Δ 0; Δ 0; Δ 500; Δ + r MAXIMIZAR: SUJETO A: x1,x2,,,x3 >= 0 Z=18.5x1 + 20x x3 0.05x x x3 <= x x2+0.05x3 <= x x2+0.05x3 <=

77 77

78 ANALISIS DE SENSIBILIDAD CON WINQSB 78

79 Cambios en los valores de las variables básicas y en el valor óptimo z modificando la disponibilidad de los recursos 79

80 80

81 81

82 Ejercicio Una compañía produce chamarras y bolsas de cuero. Una chamarra necesita 8 metros cuadrados de cuero y la bolsa solo tres; el tiempo de trabajo invertido es de 12 y 4 horas, respectivamente. El precio de compra del cuero es de $ 8 por m2 y el costo por hora del trabajo se estima en $15. La disponibilidad semanal de cuero y trabajo está limitada a 1200 m2 y 1800 horas. La compañía vende las chamarras y las bolsas a $350 y $120, respectivamente. El objetivo es determinar el plan de horario que maximice la ganancia neta. La compañía esta considerando aumentar la producción. Cuál es el precio de compra máximo que la compañía debería pagar por el cuero? y por la hora de trabajo? 82

83 SOLUCIÓN 83

84 VARIABLES DE DECISIÓN X1=Número de chamarras fabricadas por semana. X2=Número de bolsas fabricadas por semana. Z=C1X1+C2X2 FUNCIÓN OBJETIVO C1=350-(8)(8)-(15)(12)= =106 C2=120-(8)(3)-(15)(4)= =36 84

85 PRIMAL 85

86 86

87 TABLAS SIMPLEX DEL PRIMAL 87

88 88

89 DUAL 89

90 90

91 TABLAS SIMPLEX DEL DUAL 91

92 92

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