Conceptos básicos y aspectos matemáticos sobre el análisis de raíces unitarias y cointegración. Carlos A. Rodríguez Ramos, Ph.D.

Transcripción

1 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis de raíces uniarias y coinegración Carlos A. Rodríguez Ramos, Ph.D. I. Inroducción: La unidad de la eoría y la prácica no se da sólo en la eoría, sino que subsise ambién en la prácica. Lukacs(969) p.47. El inicio de la meodología economérica radicional, la cual siena las bases de la economería moderna, puede ubicarse próimo a la fundación de la Sociedad de Economería en 930 y poseriormene a los rabajos de la Fundación de Cowles (Landreh y Colander, 998; Galindo, 995). Esa úlima se basó en el planeamieno de Trygve Havelmo en cuano al supueso de que el mejor enfoque de la economería es el probabilísico, en el cual las ecuaciones esrucurales ienen una mejor disribución del érmino de error (Landreh y Colander, 998). El desarrollo de la economería en los años cuarena y cincuenas esuvo acelerado, en gran pare, a la creación de nuevas écnicas y al inicio del uso de las compuadoras (Galindo,995). Se desarrollaron modelos de ecuaciones simuláneas con el propósio de simular y proyecar diversas series económicas y para análisis de la esrucura de la economía. Lo que se preendía era generar un afinamieno preciso. Es decir, ane cualquier evenualidad de ipo económico el modelo indica cual deberá ser el ipo de políica económica a realizarse (Landreh y Colander, 998; Mankiw, 990). A parir de la década de los seenas, esos modelos fueron alamene criicado ya que no pudieron eplicar, de manera precisa, los choques económicos ocurridos (Landreh y Colander, 998; Bashkara, 994). Eso generó un gran escepicismo y fala de credibilidad en los resulados economéricos. Lo anerior se radujo en un desencano, especialmene para propósios de políica económica (Galindo, 995). Se señalaba que la mayoría de los invesigadores se basaban en solamene buscar el mejor ajuse esadísico. Además, ane la disponibilidad limiada de los daos se crea la necesidad de uilizar susiuos, los cuales pueden ser o no los apropiados. Por úlimo, se ha señalado que rara vez en economía se realizan eperimenos conrolados, lo que ocasiona que cualquier confianza en el resulado sea desconocida y dependa de análisis subjeivos. Pero, la críica más conundene fue la Críica de Lucas desarrollada por el economisa Rober Lucas (97), de la Universidad de Chicago. Ese argumenó que las acciones individuales son función de las políicas esperadas; por lo que, la esrucura del modelo va a cambiar con las políicas empleadas. Pero, si la esrucura fundamenal del modelo cambia, ambién lo hará la políica a uilizar y el modelo ya no será el apropiado. Quiere decir que, es inadecuado uilizar los modelos economéricos para pronosicar los efecos de la políica económica fuura (Landreh y Colander, 998, Lucas, 97).

2 Carlos A. Rodríguez Como respuesa ane al siuación, esos problemas, desde el puno de visa economérico, se empezaron a resolver mediane el uso de modelos uniecuacionales. Luego, a principio de la década de los ochenas, se inrodujo el uso de modelos de vecores auorregresivos (VAR), los cuales preendían no imponer resricciones, a priori, a los daos (Sims, 980; Rodríguez, 00; Rodríguez, 00b). Más arde, Nelson y Plosser (98) demosraron que en una gran canidad de variables en los Esados Unidos muesran variaciones en su media o en su varianza y algunas en ambas. Es decir, no presenan momenos de primer y segundo orden consanes siendo ésos, frecuenemene, función del iempo (Rodríguez, 00). Así, se observa que esas variables presenan una endencia a aumenar a ravés del iempo y a acenuarse su variabilidad. Si el invesigador no considera ese fenómeno puede comeer diversos errores, enre ellos el de ipo espurio. El análisis de esacionariedad, por lo ano, es clave para odo el análisis poserior. La presencia de no esacionariedad en la media puede recogerse si se inroducen elemenos deerminisas en la especificación del proceso (Rodríguez, 00; Suriñach, Arís, López y Sansó, 995). Si la inroducción de esos elemenos deerminisas capura la no esacionariedad en media del proceso, la inferencia esándar es aplicable bajo los supuesos clásicos (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995). Por su pare, cuando la varianza es función del iempo eso puede ser dado por la eisencia de una raíz uniaria en el polinomio de la represenación auorregresiva del proceso (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Bhaskara, 994; Enders, 995). Ese ipo de endencia se conoce como esocásica. La imporancia que, para el análisis de un sisema económico dado y en la oma de decisiones de políica económica, iene el deerminar la eisencia de una raíz uniaria en el proceso auorregresivo y, dado eso, deerminar su orden de inegración, se pone de manifieso en las disinas respuesas de las variables ane choques no anicipados (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995). Si no se considera ese análisis se puede conducir a serios errores de especificación. También surge el problema de la sobre idenificación, la cual ocasiona una pérdida de eficiencia e invalidación de las pruebas al incluir un esquema de media móvil no inverible en los errores (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Novales, 997; Maddala y Kim, 998, Paerson, 000). El esudio de variables no esacionarias se puede analizar en un coneo mulivariable. Ya que, la eisencia de una similiud en el orden de inegración de las series puede mosrar una relación esable a ravés del iempo, lo que sugiere la posibilidad de que ambién se cumpla a largo plazo (Novales, 997; Bhargava, 996; Anerior al uso de esos modelos, la meodología economérica se basaba en el méodo de ecuaciones simuláneas (Charemza y Deadman, 993). La uilización de ese ipo de modelos iene en la economería una gran radición. Esa endencia en varianza que se analiza es la que es provocada por la eisencia de una raíz uniaria en el polinomio auorregresivo y no por la presencia de raíces en el polinomio auorregresivo denro del círculo unidad. A diferencia de las raíces uniarias ésas no desaparecen al aplicar el operador diferencia (-L).

3 3 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis Rodríguez, 00b). Ese puno fue en el que se basó Granger (98) para demosrar el concepo de coinegración y su equivalencia con el modelo de corrección de errores. 3 El análisis de coinegración es esencial cuando se iene una combinación de variables que presenen una similiud en el orden de inegración. Una similiud en el orden de inegración sugiere la necesidad de uilizar series que coinegren para obener esimadores insesgados y consisenes y resolver el problema de regresiones espurias (Rodríguez, 00; Rodríguez y Luciano, 00). En el caso en que eisa una relación de coinegración enre las series, se minimiza la varianza del residual en el espacio paramérico y los esimadores resulan ambién ser superconsisenes, ya que convergen a su verdadero valor (Rodríguez, 00a; Novales, 997; Galindo y Cardero, 998). Si la especificación de la eisencia de ese fenómeno es incorreca, se pueden comeer errores en la modelación económica, al acepar como válidas relaciones de ipo espurio, cuando se analizan las caracerísicas de las esimaciones obenidas en el proceso de inferencia (Bhargava, 986; Maddala, 996; Maddala y Kim, 998; Enders, 995). Es decir que, no llevar dicho análisis correcamene, en érminos de políica económica, puede conducir a conclusiones erróneas en érminos de la oma de decisiones (Rodríguez, 00). Ese planeamieno es clave en cualquier modelo economérico con series de iempo. El objeivo del presene rabajo es presenar ano el concepo de raíces uniarias y el de coinegración y cuales son las pruebas economéricas más uilizadas, para corroborar la presencia de esos fenómenos en el análisis de series de iempo. El rabajo se divide en cinco pares. En esas se presenan, de manera general, los concepos de esacionariedad e inegrabilidad de la serie así como algunas pruebas de raíces uniarias. Por úlimo se presena el concepo de coinegración. II. Esacionariedad e inegrabilidad La mayoría de los rabajos economéricos esán basados en el supueso de esacionariedad en las variables lo que quiere decir que su disribución de probabilidad no es función del iempo (Rodríguez, 00). Pero, se puede observar que en prácicamene odos los países la mayoría de las variables han sufrido variaciones ano en su media como en su varianza (Rodríguez, 00; Rodríguez, 00). Eso quiere decir que los momenos de primer y segundo orden no son consanes siendo esos, en muchas ocasiones, función del iempo. Esas variables presenan una endencia a aumenar a ravés del iempo, acenuándose su variabilidad. Si el invesigador no considera ese fenómeno puede comeer diversos errores, enre ellos el de ipo espurio. El análisis de esacionariedad por lo ano es clave para odo el análisis poserior. En el análisis de series de iempo se uiliza el concepo de esacionariedad en senido débil, o de segundo orden y se refieren al mismo como 3 Ese ipo de modelo analiza como los desajuses en el coro plazo se ajusan a la dinámica de largo plazo.

4 Carlos A. Rodríguez 4 esacionariedad (Bhaskara, 994). Eso es, al considerar una serie de iempo como la realización de un proceso esocásico (), esa es esacionaria en el senido débil si los momenos de primer y segundo orden no son función del iempo. Es decir: () () (3) E E [ ( i )] = E[ ( i + h) ] = [ ( )] = E[ ( + h) ] E i i µ = µ [ ( ] = [ ] = i ) ( j ) E ( i h) ( j h) µ ij Son consanes y no- función del iempo Una serie puede ser no esacionaria de acuerdo al comporamieno de su media y/o varianza. En el caso de la presencia de no esacionariedad en la media, esa es función del iempo(bhaskara, 994; Suriñach, Arís, López y Sansó, 995). Ese comporamieno puede recogerse si se inroducen elemenos deerminisas:. Tendencias lineales;. Tendencias polinómicas; 3. Tendencias segmenadas; 4. Variables mudas; en la especificación del proceso generador de daos (PGD). Si la inroducción de esos elemenos deerminisas capuran la no esacionariedad en media del proceso, la inferencia esándar es aplicable bajo los supuesos clásicos. En ese caso, los esimadores de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) endrán disribuciones asinóicas normales. Por su pare, cuando la varianza es función del iempo se genera un ipo de endencia conocida como esocásica. Eso origina que las disribuciones uilizadas en la inferencia esándar no sean aplicables. Esas pueden ser generadas por:. La presencia de raíces en el polinomio auorregresivo denro del círculo uniario. Esas no desaparecen al aplicar el operador de diferencias (-L);. La presencia de una raíz uniaria. El segundo puno puede verse mediane un paseo aleaorio: (4) = φ + ε φ ( φl) + ε = ε

5 5 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis Para que eisa una raíz uniaria el parámero de la ecuación (4) debe ser igual a uno. En ese caso cuando: = 0 = cons ane 0 = = φ + ε 0 = = φ + ε [ ] = φ φ + ε + ε 0 = φ + φε + ε 0 = 3 = φ + ε = φ 0 + φ ε + φε + ε 3 En érminos generales: i ( 5) = φ 0 + φ ε i i= 0 Analizando el érmino de error en (5) así como la varianza de se corrobora que lo que hace que cambie la varianza es el iempo. Por ejemplo, evaluando (5) en = y =3 e i desde 0 a se obiene: = 0 = φ + φ ε + φ ε + φ ε 0 = φ + ε + φε 0 0 = = φ + φ ε + φ ε + φ ε = φ + ε + φε + φ ε 0 3 Dado que el parámero es igual a uno y el érmino de error cambia a ravés del iempo: ( 6) Var( ) = σ

6 Carlos A. Rodríguez 6 En ese caso lo que hace que varíe la varianza es el iempo. Ese ipo de endencia se conoce como esocásica. Por lo que, reomando la ecuación (4) se obiene una nueva serie esacionaria en varianza: ε ( 7) = φ + ε φ = ε ( φl) = ε = ( φl) Como pudo verse en los párrafos aneriores, una endencia deerminísica es una cuya media es función del iempo y una esocásica es cuando lo es la varianza. Las propiedades que presenan las variables con un ipo u oro de endencia difieren. Eisen cuaro procesos generadores de daos (PGD) como ejemplo para cada una de las posibles combinaciones:. Ausencia de endencias - Suponga que el PGD de es generado por el proceso auorregresivo esacionario; = µ+ φ - + e con e ruido blanco [e ~N(0,σ )] y ( φ <). µ e ( 7) φ = µ + e ( φ L) = µ + e = + ( φ ) ( φ ) Su media y varianza esarán dados por: ( 8) E( ) = E ( + e ) = φ µ µ φ e ( 9) Var( ) = Var ( + e ) = φ µ σ φ Se puede ver que ambas son finias y no son función del iempo. Por lo que la esimación de mínimos cuadrados para el esimador será consisene pero sesgada por la presencia como regresor de la variable endógena rezagada, siendo su disribución asinóica normal.. Tendencia deerminísica - Sí, por ejemplo, el PGD de esa dado por un proceso auorregresivo esacionario sobre una endencia deerminísica; = α + β + δ - + ε con e ruido blanco y ( δ < ). ( 0) ( δ ) = α + β + ε ( δl) = α + β + ε = α β ε + + ( δl) ( δl) ( δl) Su media y varianza esarán dados por: () α β E( ) = + E( ) ( δ L) ( δ L) () σ ε σ ε Var( ) = βva( ) + = ( δ L) ( δ L)

7 7 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis En ese caso la varianza es independiene del iempo pero no así la media. La especificación de la endencia deerminísica para la esimación del modelo elimina compleamene el problema de la no esacionariedad en la media. Los parámeros esimados por MCO dan esimadores con las propiedades adecuadas (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995). A las variables que siguen ese proceso se les conoce como esacionarias sobre una endencia, por lo que no es necesario diferenciar la variable para llegar a la esacionariedad. Si se diferenciara la serie se obendrá un proceso con media móvil no inverible. 4 En ese caso la esimación por MCO de los parámeros será consisene pero no eficiene. 3. Tendencia esocásica - Si el PGD de es la suma del valor inicial mas odos los choques aleaorios, como en (4) y suponiendo que 0 = 0; su varianza esá dada por la ecuación (6) y el valor esperado es igual a cero. En ese caso, la varianza es función del iempo. La esimación por MCO será consisene pero sesgada endiendo a subesimar el valor poblacional de parámero. Ese esimador no se disribuye asinóicamene como una normal por lo que hay una disconinuidad en la disribución asinóica del parámero de MCO cuando vale. Eso impide la aplicación de la inferencia esándar sobre el parámero. 4. Tendencia deerminísica juno a la esocásica - Si el PGD de es = η ξ con ξ ruido blanco. Al susiuirse recursivamene y suponiendo que = 0, se obiene: ( 3) = 0 0 = η + + ξ 0 = η + + ξ = η + ( η + + ξ ) + ξ 0 = η + + ξ + ξ 0 = η + + ξ 3 3 = µ + ( η + + ξ + ξ ) + ξ = 3η + + ξ + ξ + ξ Cuando un proceso de medias móviles es inverible, eise una represenación auorregresiva, en la cual los valores pasados de la variable dependiene, reciben un peso menor cuando más alejados esén del iempo. Ese proceso es fundamenal, en especial para procesos de proyección. Por lo que se iene que inverir primero el proceso de medias móviles para obener su represenación auorregresiva.

8 En érminos generales: ( 4) = η + ξ i= 0 i Carlos A. Rodríguez 8 Analizando (4) en = y =3 e i desde cero hasa dos en = y desde cero hasa 3 res en =3 se obiene: = = η + ξ + ξ + ξ 0 = η + ξ + ξ + ξ 0 = 3 = 3η + ξ + ξ + ξ + ξ = 3η + ξ + ξ + ξ + ξ 3 0 La media y la varianza son: ( 5) E( ) = η ( 6) Var( ) = σ Tano la media como la varianza son función del iempo. Por lo que el proceso presena endencia en esas. Las variables que siguen un comporamieno similar se les denomina esacionarias por diferenciación. II.. Implicaciones de políica económica Uilizando como ejemplo, un paseo aleaorio como en (4) ( 4) = φ + ε el cual al susiuirse recursivamene se obiene: i ( 5) = φ 0 + φ ε i i= 0 Se pueden analizar las implicaciones de políica económica de acuerdo al valor absoluo del parámero de la ecuación. En el caso en el que el valor absoluo del parámero se encuenre enre 0 y uno (caso de esabilidad), la influencia del valor inicial ( 0 ) y de los choques pasados decaen a medida que aumena el amaño de la muesra. Por lo que, el presene es más imporane que el pasado y las medidas no anicipadas de políica económica (choques aleaorios) ienden a perder efeco, a ravés del iempo. Al ser el valor absoluo de la ecuación igual a uno (caso de una raíz uniaria), la influencia del valor inicial ( 0 ) y de los choques pasados y presenes ienen la misma imporancia, eniendo efecos permanenes en el nivel de la variable. Todas las medidas no anicipadas de políica económica afecan la evolución presene y fuura de la variable.

9 9 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis Cuando el valor absoluo del parámero es mayor a uno (caso eplosivo), la influencia del valor inicial ( 0 ) y de los choques pasados se vuelve cada vez más imporane a medida que el iempo pasa, implicando que el pasado es más imporane que el presene. Esa siuación no suele observarse en series económicas. II.. Procesos I(0), I() e I() Algunos modelos eóricos como el de Nelson y Plosser (98) sugieren la eisencia de raíces uniarias en las variables (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Enders, 995; Rodríguez, 00). Por lo que, muchas series macroeconómicas en érminos reales son I() y nominales son I() (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Enders, 995; Paerson, 000; Enders, 995; Bhaskara, 994). Un proceso I(0) iene las siguienes caracerísicas:. media consane y una endencia de la serie a volver ane cualquier desviación. Es decir, iende a flucuar sobre la media;. varianza finia e independiene del iempo; 3. los efecos de los choques son ransiorios y van decreciendo en el iempo. Un proceso I() se caraceriza por:.la serie no se maniene sobre un valor medio a ravés del iempo;. la varianza depende del iempo y iende a infinio cuando la variable ienda a infinio; 3. choques aleaorios ienen efecos permanenes en el proceso. Una serie I() presena básicamene las mismas caracerísicas que una I(). La presencia de raíces uniarias en la represenación auorregresiva del proceso provoca momenos de primer y segundo orden que cambian a ravés del iempo. Lo que hace que la inferencia clásica no sea uilizable ya que esa se basa en el supueso de esacionariedad. Por lo que se necesia probar la eisencia de una raíz uniaria en el PGD. III. Pruebas de raíz uniaria Una prueba alernaiva sobre esacionariedad que se ha empleado con frecuencia en los úlimos años se conoce como la prueba de raíz uniaria (Gujarai, 997). Esa prueba es sumamene imporane ya que el rechazo de la hipóesis nula de raíz uniaria en favor de alernaivas esacionarias iene inerpreaciones económicas imporanes, admiiendo la posibilidad de relaciones a largo plazo enre variables económicas. Además, en algunas aplicaciones es deseable probar no esacionariedad vs. alernaivas eplosivas (Bhargava, 986). La forma más fácil de inroducir esa prueba es considerando el siguiene modelo: (7) Y = Y - + u donde u es el érmino de error esocásico que sigue los supuesos clásicos, a saber: iene media cero, varianza consane, y no esá auocorrelacionado. Un érmino de error con ales propiedades es conocido ambién como ruido blanco.

10 Carlos A. Rodríguez 0 La ecuación es una regresión de primer orden, o AR(I), en la cual se relaciona el valor de Y en sobre - l. Si el coeficiene de Y -, es en realidad igual a, surge lo que se conoce como raíz uniaria (una siuación de no esacionariedad). Por consiguiene, si se efecúa la regresión (caminaa aleaoria): (7') Y = θy - + u y se encuenra que θ=, enonces se dice que la variable esocásica Y iene una raíz uniaria. La ecuación puede rescribirse como: (8) Y =(θ-)y - + u (8') = δy - + u donde δ=(θ-), es el operador de primera diferencia esacionaria. Si δ es igual a 0, se puede escribir (8) como: (9) Y = (Y-Y - ) = u. Esa ecuación indica que la primera diferencia de una serie de iempo de caminaa aleaoria es una esacionaria porque u es puramene aleaorio. Desde el puno de visa esadísico, eisen dos problemas (Maddala, 996; Novales, 997): el primero es con respeco a los méodos de eliminación de endencia que se emplean (regresión o diferencias). Según Maddala (996) los resulados de auocorrelación son espurios siempre que se elimine la endencia de una serie en diferencia esacionaria o se diferencie una serie de endencia esacionaria. El oro problema es que la disribución del esimado de mínimos cuadrados del parámero auorregresivo iene una disribución no esacionaria cuando eise una raíz uniaria. Para eso es preciso calcular la disribución en forma numérica en cada caso, dependiendo de las demás variables que se incluyen en la regresión. Eso represena la proliferación de las pruebas de raíces uniarias y las ablas asociadas (Maddala, 996). III.a. Dickey-Fuller (DF) y Dickey-Fuller aumenada(adf) Para analizar si una serie de iempo "Y", es no esacionaria, efecúese la regresión (7') y deermínese si θ es esadísicamene igual a o, en forma equivalene, esímese e invesigue sí δ=0 (Gujarai, 997; Johnson y DiNardo, 997; Pindyck y Rubinfeld, 997). El valor así obenido no sigue la disribución de Suden aun en muesras grandes (Gujarai, 997; Johnson y DiNardo, 997; Pindyck y Rubinfeld, 997; Pankraz, 995). Bajo la hipóesis nula de que θ=, el esadísico "" calculado convencionalmene se conoce como Γ, cuyos valores críicos han sido abulados por Dickey y Fuller con base en simulaciones de Mone Carlo (Gujarai, 997; Johnson y DiNardo, 997; Pindyck y Rubinfeld, 997; Paerson, 000). Esa prueba se conoce como la prueba Dickey-Fuller (DF). Si la hipóesis nula de que θ= es rechazada (la serie de iempo es esacionaria), se puede uilizar la prueba "" usual (de Suden) (Gujarai, 997; Johnson y DiNardo, 997; Pindyck y Rubinfeld, 997, Bahskara, 994).

11 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis Sin embargo, esas ablas no son oalmene adecuadas y han sido ampliadas por MacKinnon a ravés de simulaciones de Mone Carlo (Gujarai, 997; Johnson y DiNardo, 997). Si el valor absoluo calculado del esadísico Γ (es decir, Γ ) ecede los valores absoluos críicos de (DF) o de MacKinnon, DF, enonces no se rechaza la hipóesis de que la serie de iempo dada es esacionaria. Por el conrario, si ése es menor que el valor críico, la serie de iempo es no esacionaria. Además del esadísico eisen oras dos esadísicas de prueba (Maddala,996):. K() = T(θ - ), F(0, );. F(0, ) es la esadísica F usual bajo la prueba de hipóesis conjunas de que el parámero de la endencia es cero y α* es igual a uno. La prueba Dickey-Fuller se aplica a regresiones efecuadas en las siguienes formas: (8') Y = δy - + u (9) Y = β +δy - + u (0) Y = β +β +δy - + u donde "" es la variable de iempo o endencia. En cada caso, la hipóesis nula es que δ =, es decir, que hay una raíz uniaria. La diferencia enre (8') y las oras dos regresiones se encuenra en la inclusión del inercepo y el érmino de endencia. Si el érmino de error esá auocorrelacionado, se modifica (0) como sigue (Gujarai, 997; Johnson y DiNardo, 997): n i i= ( ) Y = β + β + δ Y + ϕ Y + ε i Se uilizan érminos en diferencia rezagados y se incluirán hasa que el érmino de error no enga auocorrelación. Esa prueba se conoce como Dickey-Fuller aumenada (ADF). Las pruebas de hipóesis serán las mismas que en la prueba DF. Dado que () incluye una consane, su significancia esadísica puede corroborarse al analizar el valor calculado del esadísico con los valores críicos de la disribución empírica βµ, presenados en el rabajo original de Dickey y Fuller (98). Por oro lado, la prueba de hipóesis conjuna en () que indica que el PGD es un paseo aleaorio se puede probar a ravés del esadísico F presenados ambién en el rabajo de Dickey y Fuller(98) y así sucesivamene para la significancia de los diversos parámeros. En ese caso para ener conocimieno del PGD y probar de manera más concisa la eisencia de una raíz uniaria se recomienda seguir los siguienes pasos (Bhaskara, 994) omando en consideración el cuadro esquemáico para las pruebas de raíces uniarias:. Esime la ecuación que aparece en la ecuación ();. Uilice el esadísico Φ 3, el cual aparece en el rabajo de Dickey y Fuller (98) para corroborar; H o :(β, β, δ )= (β, 0, ) vs. H A :(β, β, δ ) (β, 0, ). En el caso de que la hipóesis sea rechazada siga el paso 3. De no ser así vaya al paso 5;

12 Carlos A. Rodríguez 3. Pruebe que δ = uilizando el esadísico del primer paso, con los valores críicos de la abla normal esándar. En el caso de que la hipóesis no sea rechazada, se concluye que β 0 y δ =. Si se rechaza la hipóesis nula vaya al paso 4; 4. Uilice la prueba convencional para decidir si se debe omar a β como cero o no. En el caso en que δ y la hipóesis nula para β sea acepada se concluye que la serie es esacionaria sin endencia. Al ser la hipóesis nula rechazada se concluye que la serie es esacionaria con una endencia lineal. En ambos casos se puede probar la hipóesis concerniene al parámero β de manera convencional; 5. Dado que se acepa la hipóesis nula en el paso, se sabe que la serie iene una raíz uniaria, sin endencia pero con una posible consane. Para apoyar esa decisión uilice el esadísico para probar que δ =, asumiendo que β =0. El esadísico requerido es el mismo que en (3), pero se requiere valores críicos no-esándar. Esos son invarianes con respeco al valor de β. Asumiendo que ese esadísico provee la verificación que se busca, se procede al paso Realice la prueba Φ para (β, β, δ )= (0, 0, ). Si esa prueba permie concluir que β =0, se concluye que la serie es un paseo aleaorio sin endencia. De ora forma será un paseo aleaorio con endencia. En ambos casos vaya al paso #7; 7. Imponga la resricción de que β =0 y rae de resablecer la conclusión concerniene a δ y β usando (), pero sin endencia, y el esadísico Φ. para probar la hipóesis nula de una raíz uniaria y cero endencia. Cuadro Cuadro esquemáico para pruebas de raíces uniarias Esadísico Ecuación H o : H A : Disribución 3 Φ Φ Φ 3 y + e = y δ δ= δ< y + e = y + β δ δ= δ< y + e = y + β + β δ δ= δ< y + e = δ y + β + β y + e = δ y + β + β y + e = δ y + β (β, β, δ )= (β, 0, ) (β, β, δ )= (0, 0, ) (β, δ )= (0, ) (β, β, δ ) (β, 0, ) (β, β, δ ) (0, 0, ) (β, δ ) (0, ) F(8.5.)* arriba F(8.5.) cenro F(8.5.) abajo DF(VI)** DF(V) Supuesos requeridos para derivar los valores críicos δ= (β, δ )= (0, ) (β, β, δ )= (0, 0, ) (β, β, δ )= (0, 0, ) (β, β, δ )= (0, 0, ) DF(IV) (β, δ )= (0, ) *Indica que los valores críicos se encuenran en la pare de arriba del Cuadro 8.5. en Fuller (976); **Indica que los valores críicos se encuenran en el Cuadro VI en Dickey y Fuller (98). Las oras observaciones en esas columnas deben de inerprearse de la misma manera. III.b. Philips Perron Suponga que hay,,, T observaciones de una serie y y se esima una ecuación de regresión de la forma (Enders, 995; Phillips y Perron, 988): () y = α + β (-T/) +γ y - + u

13 3 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis donde α, β y γ son los coeficienes convencionales de mínimos cuadrados ordinarios. Peer Phillips y Pierre Perron en 988 derivaron una prueba esadísica para los coeficienes de la regresión bajo la hipóesis nula de que los daos son generados por: (3) y = y - + u donde u es al que E u = 0. Según Phillips y Perron, no es un requisio que el érmino de error no ese correlacionado u homogéneo. La prueba Phillips - Perron permie que los errores sean débilmene dependienes y disribuidos heerogéneamene. El esadísico de Phillips - Perron modifica las pruebas de Dickey - Fuller ya que permie un ajuse que conabiliza la heerogeneidad en el proceso de error. Usando los esadísicos α, β y γ las pruebas usuales para la hipóesis nula de que α = 0, β = 0 y γ = respecivamene, los esadísicos Phillips - Perron son (Enders, 995): (4) Z( γ ) = (S*/σ* Tω ) γ - (T 3 / D 0.5 σ* Tω )( σ* Tω - S* ) (5) Z( α ) = (S*/σ* Tω ) α - (T 3 / 4D 0.5 E σ* Tω )( σ* Tω - S* )(T -3 / Ey - ) (6) Z( β ) = (S*/σ* Tω ) β - (T 3 / D 0.5 σ* Tω )[T - E (y - - y - *) ] -/ (σ* Tω - S* [(/)T -3 / Σy - - T -5 / Σy - ) donde D es el deerminane de la mariz del regresor (X X); E = [T -6 D + (/)(T -3 / Σy - ) ] / ; S* es el error esándar de la regresión; σ* Tω = T - Σ T u + T - Σ s= Σ T =s+ u u -s ; ω es el número de las auocorrelaciones esimadas. Obsérvese que S* y σ* Tω son esimadores consisenes de σ u = lim T E(u T ) yσ = lim T E(T - S T ), donde S T = Σ u y odas las sumaorias corren sobre. Para la hipóesis conjuna de β = 0 y α=, se una el esadísico Z(N 3 ): (7) Z(φ 3 ) = (S*/σ Tω )φ 3 - (/ σ Tω)(σ Tω - S )[T(α - ) - (T 6 / 48 D )( σ Tω- S )]. Si no se incluye una endencia deerminísica la ecuación de regresión, la hipóesis de que γ= es probada usando: (8) Z(γ *) = (S/σ Tω )γ * - (/ σ Tω )(σ Tω - S )[T -6 Σ (y - - y - *) ] -/ donde: Y = T y n i= i III.c. Caso de más de una raíz uniaria Al analizar series rimesrales puede enconrarse más de una raíz uniaria, debido a la presencia de caracerísicas esaciónales. Esas caracerísicas se deben a que, por ejemplo, las decisiones omadas por los agenes económicos en deerminado rimesre pueden esar correlacionadas con las decisiones omadas en el mismo rimesre de años aneriores (Rodríguez, 00). En el caso en que los componenes esaciónales de una variable sean esocásicos, eise la probabilidad de la presencia de raíces uniarias ano en su comporamieno a largo plazo como en los efecos esaciónales (Rodríguez, 00).

14 Carlos A. Rodríguez 4 La presencia de raíces uniarias regulares y esaciónales en las series a esudiar pueden observarse en la prueba HEGY desarrollada por Hylleberg (990). Esa prueba se basa en que el crecimieno anual de cualquier serie de iempo con frecuencia rimesral puede ser descompuesa según el siguiene operador de rezagos: ( 9) ( L 4 ) = ( L)( + L)( il)( + il ) El érmino izquierdo de la ecuación es la diferencia en logarimos en cuaro periodos. Los érminos del lado derecho represenan la diferencia anual, la diferencia semesral y los úlimos dos érminos el componene rimesral. La venaja de usar esa relación esriba en que permie la esimación de una prueba de manera general con la capacidad de evaluar de manera simulánea varias hipóesis sobre la evolución de la variable. La ecuación anerior se puede epresar en su forma general como: ( 30) ( L 4 ) = ( α L)( + α L)( α 3iL)( + α 4iL) en la cual los alfas represenan parámeros. De acuerdo al valor de esos parámeros se puede deerminar la frecuencia de las raíces uniarias. En el caso en que α sea igual a uno la variable iene una raíz uniaria no esacional. Al ser α igual a uno eise una raíz uniaria semesral en la serie. Cuando α 3 y α 4 son iguales a uno la variable iene una raíz uniaria rimesral. La implemenación de esa prueba requiere definir las siguienes variables: 3 ( 3) = ( + L + L + L ) = ( 3) = ( L + L L ) = ( 33) 3 = 3 Esas variables se usan para esimar la siguiene ecuación por MCO: 4 ( 34) ( L ) = π π + π π + ε En la misma se acepa la hipóesis nula de la presencia de raíces uniarias esaciónales y regulares. Si no se rechaza la hipóesis nula de que π es igual a cero eise una raíz uniaria no esacional en la variable. Al no rechazarse la hipóesis nula de que π es igual a cero eise una raíz uniaria semesral en la variable. Sin embargo, si no se puede rechazar la hipóesis nula conjuna π 3 y π 4 son iguales a cero eise una raíz uniaria rimesral en la variable La prueba HEGY se analiza sin inercepo ni endencia (None), con inercepo (I only), con inercepo y variables mudas esaciónales (I,SD), con inercepo y endencia (I,Tr) y con inercepo, variables mudas esaciónales y endencia (I,SD,Tr). El propósio de ese ipo de esimación es para capurar la presencia de esacionalidad no esocásica. Dado que la prueba esá basada en la hipóesis de no esacionariedad, su capacidad es limiada para disinguir procesos esacionarios con auocorrelación cercana a uno. Sin embargo, al incluir rezagos de la variable dependiene permie conrolar la posible auocorrelación de los residuos. La presencia de una endencia, variables mudas

15 5 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis esacionales y una consane enriquece la hipóesis alernaiva, la cual, en ausencia de ésos, indica que la serie es un ruido blanco. IV. Coinegración Los supuesos economéricos indican que las variables ienen que ser esacionarias. Eso hace que los errores presenen cieras caracerísicas específicas. Pero, se ha demosrado que una combinación lineal de dos variables donde ambas son procesos esocásicos no esacionarios o caminaas aleaorias podría ser esacionaria. Quiere decir que la relación enre esas no es espuria, pueden ser esimadas por MCO y no hay que diferenciarlas (eviándose pérdida de información relevane). Es decir, esas variables ienen una relación de coinegración. Por ejemplo, al ener una ecuación lineal de dos variables no esacionarias: (35) Y = β + β X + u la cual se puede rescribir como: (35') u = Y -β - β X y si se encuenra que la combinación lineal (Y - β - β X ) es esacionaria, enonces se dice que las variables Y y X esán coinegradas (Enders, 995; Gujarai, 998; Maddala y Kim, 998). Inuiivamene se observa que cuando u es I(0), las endencias de ambas variables se eliminan al esar inegradas del mismo orden. Al ser una serie Y, I() y ora X ambién I(), ambas pueden esar coinegradas. En general, si Y es I(d) y X es ambién I(d), donde d es el mismo valor, esas dos series pueden esar coinegradas. Si ese es el caso, la regresión de las dos variables es significaiva (es decir, no es espuria); y no se pierde información valiosa de largo plazo, lo cual sucedería si se uilizaran sus primeras diferencias. IV.a. Orígenes del concepo de coinegración El concepo de coinegración es inroducido por Engel y Granger y su análisis formal esriba en que habrá un equilibrio a largo plazo enre un conjuno de variables cuando: (36) β + β + +β n n =0. Esa ecuación se puede rescribir como: β = (β, β,, β n ) y = (,,, n ), y el sisema esará en un equilibrio a largo plazo cuando β =0. La desviación del equilibrio a largo plazo se conoce como el de error (e ), así que: (37) e =β. Si el equilibrio es significaivo en la relación de las variables, enonces el error es esacionario. Engel y Granger proveen la siguiene definición de coinegración: Los componenes del vecor = (,,, n ) se dicen que esán coinegrados de orden d,b, denoado por ~CI(d,b) en el caso en que:. odos los componenes de son inegrados de orden d;

16 Carlos A. Rodríguez 6. eise un vecor β = (β, β,, β n ) en el cual la combinación linear β + β + +β n n es inegrada de orden (d-b), donde b>0. IV.b. Aspecos imporanes sobre la coinegración:. Si (β, β,, β n ) es un vecor de coinegración ambién cualquier escalar no igual a cero puede ser muliplicado por (β, β,, β n ) y ambién lo es;. Los parámeros de largo plazo (β s) se analizan al ser normalizados. Para normalizar el vecor de coinegración se muliplica la β cualquiera que sea por un # que haga que sea igual a uno. Es decir, para normalizar el vecor de coinegración con respeco a se selecciona un número(8) al que: λ = /β ; 3. Todas las variables deben esar inegradas del mismo orden. Aunque puede surgir el caso de que, por ejemplo; y son I() y 3 es I(). Si y son C(,) eise una combinación lineal de la forma β +β que es I(). Es posible que esas esén coinegradas con 3 y que la combinación lineal enre β + β + β 3 3 es esacionaria; 4. No odas las variables similarmene inegradas coinegran. Esa fala de coinegración implica que no hay una relación a largo plazo enre las variables; 5. En el caso en que las variables esén inegradas en un orden diferene esas no pueden esar coinegradas; 6. El uso del érmino equilibrio es usado de forma diferene por los eóricos y por los economerisas. Los eóricos económicos emplean el érmino al referirse a una igualdad enre las ransacciones deseadas y observadas. El uso economérico del érmino hace referencia a cualquier relación a largo plazo enre variables no esacionarias; 7. La eisencia del fenómeno de coinegración enre las variables de esudio, no requiere que la relación a largo plazo sea generada por las fuerzas del mercado o por el comporamieno de los individuos. Esa puede esar dada por causalidad, comporamienos de las variables o simplemene una relación de forma reducida enre esas con similar endencia; 8. Si iene n componenes, debe haber n- vecores de coinegración linealmene independienes. El número de vecores coinegrados se llama el rango de coinegración; 9. Mucha de la lieraura de coinegración se enfoca en el caso en el cual cada variable es I(). Pocas variables económicas son inegradas de orden mayor de uno; 0. Muchos auores uilizan el érmino coinegración para referirse cuando las variables son CI(,). Pero pueden surgir muchas oras posibilidades. Por ejemplo, un conjuno de variables I() pueden esar coinegradas de orden CI(,), así que eise una combinación lineal que es I().

17 7 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis IV.c. Meodologías de coinegración: IV.c.. Méodo de dos pasos Engle-Granger: Pariendo de la eoría económica se obiene de la siguiene relación: (38) Y=Xb; donde Y y X son series I() donde: Y es un vecor columna N que coniene las observaciones de la variable dependiene; X es una mariz Nk la cual muesra las N ecuaciones de las k- variables independienes; b es un vecor columna de parámeros con dimensión k.. Mínimos Cuadrados Ordinarios: (39) Y =Xb +e donde e es un vecor de residuales N. (40) Residuales de mínimos cuadrados: e = Y -b X Se realiza prueba de esacionariedad (gráfica + ADF). Dinámica y modelo de corrección de errores(mce): (4) Y =α 0 +δ(l) X +γ(l) Y + α e +v Simplifique (Wald, Prueba F) + pruebas de diagnósico en ECM (AIC, SCH, especificación incorreca) IV.c..a. Punos imporanes:. No hay dinámica en el modelo (los efecos de X sobre Y son conemporáneos);. Lo que prueba es posible coinegración; 3. La prueba ADF sobre los errores es incorreca. Una forma prácica de resolver el problema es con mínimos cuadrados no lineales y realizar cualquier prueba de coinegración que desee. IV.c..b Dinámica: Modelo de corrección de errores (MCE):. MCE analiza (de la relación a largo plazo), la dinámica de coro plazo y cuan rápido es el ajuse al largo plazo, ane cualquier desequilibrio provocado por choques no esperados.. Esa dinámica puede darse por relaciones económicas o por el manejo y problemas de esimación de daos. 3. En el largo plazo las variables son de órdenes de inegración similares (por lo general I()) y se espera que eisa, por lo menos, un vecor de coinegración. 4. Es por odo eso que se debe parir de un modelo general (meodología de le general a lo específico) el cual: a. Conenga fundameno eórico; b. Tenga suficienes rezagos para respuesas fleibles de Y a X ; c. No eisa correlación serial enre los errores;

18 Carlos A. Rodríguez 8 d. Reparamerize en un modelo sensible de corrección de errores. IV.c..c Reparamerización Una ecuación en niveles puede reparamerisarze en diferencias (que resulen en series I(0)) y en el error de coinegración el cual es una combinación lineal de variables I() (la cual se espera que sea una relación de coinegración). Ecuación en niveles: (4) Y =a Y - +a X +a 3 X - +ε IV.c..d. Reparamerización en un MCE Se resa Y - y se suma (a X - - a X - ) (43) Y -Y - = a Y - -Y - + a X +a 3 X - +ε + (a X - - a X - ) (44) Y = (a -)Y - + a (X - X - )+( a + a 3 ) X - +ε (45) Y =π Y - + π X + π 3 X - +ε π 3 = -π (-π 3 / π ) (46) Y =π Y - + π X - π (-π 3 / π )X - +ε Reagrupando: (47) Y = π X + π [Y-(-π 3 / π )X] - +ε MCE (esimación por mínimos cuadrados no lineales (MCNL)): (48) Y = π X + π [Y-βX] - +ε donde: π = a - π = a β = (-π 3 / π ) = -(a + a 3 )/ (a -) IV.c..e. Revisión de la reparamerización:. No cambia el número de parámeros ni de variables. Los parámeros esimados por MCO deben ser igual que los obenidos por MCNL Ej. π = a 3. ε será I(0) si las variables esán coinegradas. IV.d. Procedimieno de Johansen El procedimieno de Johansen permie conrasar simuláneamene el orden de inegración de las series así como la eisencia de vecores de coinegración, el cálculo de odos los vecores de coinegración sin imponer que sólo eise un vecor de coinegración y no verse afecado por las condiciones de endogeneidad de las variables envuelas en la relación de coinegración (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Enders, 995).

19 9 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis El procedimieno pare de un modelo de vecores auorregresivos VAR(p) sin resricciones. ( ) Y = µ + Π Y + K + Π + ν 49 T p Donde Y es un vecor columna (m), donde m represena el número de variables en el modelo, µ es un vecor de consanes y ν es un vecor de errores aleaorios con media cero y varianza consane. Ese modelo de vecores auorregresivos puede rescribirse de la siguiene manera: ( ) Y = µ + Γ Y + K + Γ Y + Π Y + ν 50 p p+ p donde: Γ = I + Π + K+ Π i =,, K, p i Π = I + Π + K+ Π i p La mariz Π mm coniene la información a largo plazo sobre la relación enre las variables. El modelo en (50) en un modelo de corrección de errores (MCE) en forma maricial. Ese MCE es bien parecido a la ecuación que se uiliza para la prueba ADF. No obsane, para que eisa un equilibrio el érmino ΠY -p en (50) debe ser I(0), implicando que la mariz Π recoge las relaciones de coinegración. Lo anerior puede verse en dealle considerando un VAR(): (5) =A - +µ donde: = un vecor n; µ = un vecor n; A = una mariz de parámeros (nn). Resando - a ambos lados de la ecuación se obiene: (5) - - = A µ (53) = -(I-A ) - +µ (54) = π - +µ donde: π = -(I-A ). Para deerminar la eisencia de una o varias relaciones de coinegración hay que analizar el rango de la mariz π.. Si el rango de la mariz es igual a cero: (55) = µ quiere decir que las variables son paseos aleaorios independienes y aunque presenen el mismo orden de inegración no esán coinegradas;. Si el rango es compleo, la solución a largo plazo se da por n ecuaciones independienes. Ya que cada ecuación es una resricción independiene de la solución a largo plazo de las variables. En ese caso las variables son esacionarias; 3. En casos inermedios, en los cuales el rango de π = r, eisen r vecores de coinegración. En el caso en que r =, eise un solo vecor de coinegración, dado por cualquier fila de π.

20 Carlos A. Rodríguez 0 Cada fila en la mariz π puede rescribirse como un MCE. De la primera fila del modelo: (56) = π - + π - + π π n n- +µ. Sacando π como facor común se puede obener una ecuación de la forma de un MCE: (57) = α ( - + β - + β β n n- )+ µ donde: α = π β ij =π j /π. ` Dada la eisencia de una relación de coinegración, en el largo plazo, se cumple: (58) - + β - + β β n n- = 0; en esa ecuación el vecor normalizado de coinegración es: (59) (, β, β 3,, β n ) y la velocidad de ajuse viene dado por α. Por lo que en érminos generales; π= αβ (se demosrará más adelane) IV.d.. Aplicación:. Teoría económica: y = logarimo del nivel de salarios; = logarimo del nivel de precios. En el largo plazo los salarios son proporcionales al nivel de precios. (60) y β =0 y posiblemene que β = (el salario real es consane).. Economería (respuesas rezagadas) IV.d..a. VAR y VEC 5 (6) y = δ y - + δ - + ζ (6) = δ y - + δ - + ζ Resando y - en la primera ecuación del VAR y - en la segunda: (63) y - y - = δ y - - y - + δ - + ζ (64) - - = δ y - + δ ζ (65) y = -(- δ ) y - + δ - + ζ (66) = δ y - - (- δ ) - + ζ (67) y = π y - + π - + ζ (68) = π y - + π - + ζ 5 VEC es un modelo de vecores auorregrevivos, en el cual cada ecuación es un MCE. Se conoce como Vecor Error Correcion Model y es equivalene a la ecuación (50).

21 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis donde: π = -(- δ ) π = δ π = δ π = - (- δ ) IV.d..b. Mariz de parámeros П: Π = π π π π IV.d..c. Prueba de la raza del procedimieno de Johansen y obención de los parámeros de largo plazo y de la velocidad de ajuse mediane máima verosimiliud Mediane máima verosimiliud, se genera una prueba para el rango de esa mariz (=r) a ravés la prueba de la raza. El esadísico es disribuido χ. 6 Además, el procedimieno de Johansen, esima los parámeros de largo plazo β, así como los de la velocidad de ajuse α y la mariz de varianza-covarianza Ω. En ese caso se presenará el caso más sencillo en el cual no se incluye érminos deerminisas. Basado en los siguienes supuesos: 4. La ecuación (50) es el PGD; 5. El vecor de consanes es cero (µ=0); 6. Y i-p Y 0 son dados; 7. ν ~N(0,σ ). La esimación de máima verosimiliud de П, puede obenerse a ravés de los siguienes pasos: a. Realice las siguienes dos ecuaciones por medio de mínimos cuadrados ordinarios: ( 69) Y = Γ Y, L, Γ Y + R 0 0 p p+ o ( 70) Y = Γ Y, L, Γ Y + R p p p+ p. Mediane R o y R p genere el produco residual S ij (mm): ( 7) S = ( / T) R R ij donde: i,j=0,p por ejemplo: n = ( 8) S = / n R R oo n = o i ' o ' j 6 Sin embargo, como se verá más adelane, los valores críicos no son esándar.

22 Carlos A. Rodríguez obeniendo así S pp, S oo, S po 3. Según Johansen (988), la esimación máimo verosímil de la mariz de vecores de coinegración (β) se obiene al imponerse la resricción: γ S pp γ=i, la cual se obiene a parir de los valores propios de (S p0 S 00 - S 0p ) respeco a S pp 7. Quiere decir, los valores propios, λ i =, m, al que: ( 83) λs S ( S ) S = 0 pp po oo op Como S pp es una mariz simérica y definida posiiva para T finio, puede rescribirse como ΓΛΓ, donde Λ es una mariz diagonal con los valores propios de S pp y Γ es una mariz orogonal la cual iene por columnas los vecores propios esandarizados de S pp. Por lo ano: ( 84) S = Γ λ Γ = PP donde: P = Γ λ 0. 5 P S P = I pp pp En el caso que P sea no singular: ( ) P ( λs S S S ) P = ( λ I P S S S P) 85 pp p p p p dado que el deerminane de un produco es el produco de los deerminanes: ( ) P λs S S S P λ I P S S S P 86 = pp p p = p p Por lo ano la solución de (83) puede obenerse calculando los valores propios dado: ( 87) λi A = 0 con A = P S p0s00 S0 p P Una vez se obienen los valores propios se ordenan de mayor a menor. De forma al que: λ >λ > λ n 4. Para corroborar la hipóesis nula de que eise como máimo r vecores de coinegración frene a que eisen m (r m), la prueba de razón de verosimiliud viene dada por: ( 88) ln Q = T ( λ i ) m i= r + la cual sigue una disribución la cual puede aproimarse por cχ (f) donde c= /f, y χ (f) iene una disribución χ con f=(m-r) grados de liberad (Johansen, 988; Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Bhaskara, 994). Ese esadísico se conoce como el esadísico de la raza (Johansen, 998; Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Paerson, 000; Bhaskara, 994; Enders, 995). 7 El problema de maimizar la función de verosimiliud concenrada en Π se reduce a enconrar las correlaciones canónicas enre Y y Y -p las cuales son corregidas por los efecos de la presencia de los valores rezagados de Y (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Paerson, 000), es decir, las relaciones canónicas enre R 0 y R p. Por lo que, es un problema de valores propios (Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Bhaskara, 994).

23 3 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis El siguiene esadísico es uno alernaivo para corroborar la significancia del r-ésimo valor propio mayor (λ r ) (Johansen, 998; Suriñach, Arís, López y Sansó, 995; Paerson, 000; Bhaskara, 994): ma ( 89) λr = T ln( λ ) Los valores críicos de ambos esadísicos se consiguen en los libros especializados de series de iempo. Cabe señalar que las disribuciones de los esadísicos son función de la canidad de relaciones de coinegración. 5. Una vez corroborado el rango de coinegración se obendrá una esimación de los parámeros de largo plazo. Con los valores caracerísicos λ >λ >λ 3 λ m y los siguienes vecores caracerísicos: V = ( V, V, K, V m ) Donde los vecores caracerísicos son normalizados usando: ( 90) V ' S V = I pp m Los esimadores de máima verosimiliud pueden obenerse direcamene del problema de los valores caracerísicos y son: ( 9) γ =, { V V KV } m ( mr ) ( 9) α ( mr ) = S op γ ( 93) Ω$ = S00 αα Es decir, que de acuerdo a (9), las columnas de γ son los vecores propios asociados a cada valor propio. De esa manera, la mariz de γ s se esima a parir de: 94) λs S S S γ ( ) 0 ( pp p p = En ese caso lo que se inena es enconrar las combinaciones lineales del vecor Y que esán correlacionados al máimo con Y. IV.d..c.. Posibles resulados de la prueba de la raza del procedimieno de Johansen (Puno 4):. Si el rango de П es igual a cero ambas variables son paseos aleaorios independienes y a pesar de que sean variables con el mismo orden de inegración no esán coinegradas. 8. Eso se puede ver analizando la eisencia de paseos aleaorios en las series (raíces uniarias en el polinomio auorregresivo que deermina el PGD); 9. Eaminando, mediane la prueba de la raza del procedimieno de Johansen, que odos los elemenos de la mariz П sean iguales a cero.. Si el rango de П es igual a ambas variables son esacionarias a. La ecuación en el MCE esa compuesa por series I(0); b. Eaminando, mediane la prueba de la raza del procedimieno de Johansen, que odos los elemenos de la mariz П no son iguales a cero.

24 Carlos A. Rodríguez 4 c. Si el rango de coinegración es igual, eise una sólo vecor de coinegración enre ambas variables, y en el largo plazo se cumple: y β =0. Quiere decir que ambas variables esán coinegradas. IV.d..c..a. Demosración del puno c: El puno c es el más difícil de demosrar (95) y = π y - + π - + ζ (96) = π y - + π - + ζ (97) y = α [y + (π / π ) ] - + ζ (98) y = α [y + (π / π ) ] - + ζ IV.d..c..b Prueba de la eisencia de un solo vecor de coinegración: (99) (π / π ) = (π / π ) (00) π = (π π / π ) Susiuye π en la mariz П: Π = π π π / π π π П = π π - (π π / π ) π = 0; rank(п) = Quiere decir que cuando el rank(п) =, la relación enre y y es única. IV.d..c..c Demosración del VEC dada la eisencia de un solo vecor de coinegración Puede deerminarse el VEC con la relación de coinegración enre y y de la forma: y β = 0 Susiuye π : (0) y = π y - + (π π / π ) - + ζ (0) = π y - + π - + ζ (03) y = π [y + (π / π )] - + ζ (04) = π [y + (π /π )] - + ζ β = (π /π ) (05) y = π [y + β] - + ζ (06) = π [y + β] - + ζ

25 5 Concepos básicos y aspecos maemáicos sobre el análisis IV.d..c..d. П = αβ, con un solo vecor de coinegración Demosración: π α = π [ ( / ) ] β = π π π αβ = π [ ( π / π ) ] Π = π π π / π π π IV.d..c..e. Consecuencias de la eisencia de una relación de coinegración en el VAR:. Eisencia de parámeros esables y errores ruido blanco ;. Los esimadores son eficienes; 3. si y y esán coinegradas, el reso de las pruebas son esándar. IV.d..c..f. Problemas: Basados en simulaciones de Mone Carlo los siguienes punos pueden generar problemas en los resulados de las pruebas:. Problemas en la selección de variables y de rezagos;. Problemas de especificación; 3. La presencia de Heerocedasicidad y no-normalidad. También eise oro problema significaivo el cual es asociado a la eisencia de múliples vecores de coinegración. Por ejemplo, asuma que iene 3 variables: salarios precios y bienes imporados y que el rank(п) =, enonces eise dos vecores de coinegración diferenes. En ese caso, eise un problema de inerpreación: cualquier combinación lineal de vecores pueden esar coinegradas. IV.d..c..g. Resricciones a los vecores de coinegración Sin embargo, dada la posibilidad de la eisencia de varios vecores de coinegración, una forma para idenificar si una o varias de las ecuaciones que se quieren esudiar en el sisema de ecuaciones iene una relación esable en el largo plazo es imponiendo la misma resricción lineal a cada vecor de coinegración. Por ejemplo, asuma que eisen