Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria

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1 Aplicaciones de la Probabilidad en la Indusria Cuara pare Final Dr Enrique Villa Diharce CIMAT, Guanajuao, México Verano de probabilidad y esadísica CIMAT Guanajuao,Go Julio 010

2 Reglas para deección de señales de alarma En algún momeno se propuso agregar a las caras mecanismos de deección de señales fuera de conrol, más rápidamene El manual de Wesern Elecric (1956) sugirió un conjuno de reglas de decisión para deecar parones no aleaorios en las caras de conrol El problema con la adición de esas reglas de deección de señales fuera de conrol, es que aumena basane el número de falsas alarmas y puede ser muy complicado esar revisando frecuenemene el proceso para enconrar las causas de las señales

3 PRUEBA 1 Un puno fuera de los límies de conrol LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A - PRUEBA Nueve punos consecuivos odos por arriba o por abajo de la linea cenral LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A - PRUEBA 3 Seis punos consecuivos con un ascenso o d esc enso c o nsa ne LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A - PRUEBA 4Caorce punos alernandose hacia abajo y arriba LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A - PRUEBA 5 Dos de res punos consecuivos en la zona A LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A - PRUEBA 6Cuaro de cinco punos consecuivos en la zona B o más allá de ella LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A - PRUEBA 7 Quince punos consecuivos en la zona C (por abajo y arriba de la linea cenral) LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A - PRUEBA 8 Ocho punos consecuivos en ambos lados de la linea cenral con ningún puno en la zona C LSC LC LIC A+ B+ C+ C- B - A -

4 Se muesran las zonas y sus probabilidades normales de que un puno caiga en cada una de ellas

5 Ahora se darán las probabilidades de que esas pruebas nos den una falsa alarma cuando los punos sean variables aleaorias normales Las probabilidades correspondienes a esos Gráficos que son los siguienes Prueba 1: Probabilidad 0007 Prueba : Probabilidad (1/) Prueba 3: Probabilidad /6! Prueba 4: Probabilidad Prueba 5: Probabilidad Prueba 6: Probabilidad Prueba 7: Probabilidad (06868) Prueba 8: Probabilidad (03173)

6 Programa, elaborado en R, para calcular pro simulación la probabilidad de falsa alarma por señal de endencia ESTIMACIÓN DE LAS SEÑALES POR TENDENCIA nn < FUERA1 <- rep(0,nn-6); FUERA <- rep(0,nn-6); FUERA3 <- rep(0,nn-6); FUERA4 <- rep(0,nn-6) FUERA5 <- rep(0,nn-6); DAT <- rnorm(nn); for (i in 1:(nn-6)) { if (DAT[i] < DAT[i+1]) FUERA1[i] <- 1 if (DAT[i+1] < DAT[i+]) FUERA[i] <- 1 if (DAT[i+] < DAT[i+3]) FUERA3[i] <- 1 if (DAT[i+3] < DAT[i+4]) FUERA4[i] <- 1 if (DAT[i+4] < DAT[i+5]) FUERA5[i] <- 1 } FUERA <- 0 for (i in 1:(nn-6)) { if (FUERA1[i]*FUERA[i]*FUERA3[i]*FUERA4[i]* FUERA5[i] > 0) FUERA <- FUERA +1 } *FUERA/(nn-6)

7 ARL combinado La consideración de un número grande de reglas de deección de fuera de conrol, aumena noablemene el número esperado de falsas alarmas Suponiendo que las reglas acúan de forma independiene, y considerando 1α 1- αi Tenemos que, 1 α α 1 Probabilidad de no salir de conrol Probabilidad de no salir de conrol, por la regla i1,,,n n i 1 n i 1 (1 (1 α α i i ) ) Susiuyendo las probabilidades de salir de conrol para las diferenes reglas enemos que la probabilidad de salir, de acuerdo a una o mas de las reglas es,

8 ARL combinado α 1 (1 007)( )(1 0077)( ) ( )( )(1 0036)(1 0001) 0564 Por lo que la longiud promedio de corrida es, ARL 1 / α 1/ Ese es un valor sumamene pequeño, por lo ano si se consideran reglas de fuera de conrol adicionales a la de Shewhar, habría que seleccionar un número reducido, que enga senido

9 Caras de Shewhar para observaciones individuales Las caras caras de Shewhar para observaciones individuales se usan cuando los daos no se pueden agrupar de una manera naural Eso ocurre cuando la inspección o medición de las unidades es muy cososa o demanda mucho iempo También uilizamos esas caras cuando los procesos son de ipo coninuo Algunos ejemplos son: Procesos quimicos Indusria de bebidas alcoholicas, en las que debe pasar desde 1 hasa más de 100 horas para ener resulados de los procesos de fermenación y desilación Algunas canidades adminisraivas, cuyas mediciones se obienen cada día, cada semana o más Por ejemplo: mediciones de rendimieno, desperdicio, de consumo de agua, energía elécrica, ec

10 Caras de Shewhar para observaciones individuales En la cara de observaciones individuales, se grafica direcamene la observación, que suponemos iene disribución normal, con media y desviación ípica σ Los límies de conrol de esa cara son de la forma µ ± 3σ En ese caso esimamos la desviación uilizando los rangos móviles de orden, que se forman omando parejas de observaciones sucesivas y calculando su rango, como se muesra a coninuación, µ i Rango 3 6

11 Caras de Shewhar para observaciones individuales En ese caso, la desviación ípica se esima como, d σ R / d R /118 La consane ya es conocida, solo que aquí consideramos que es función del amaño muesral n Además de la cara de observaciones individuales, podemos consruir ambién la cara de medias móviles para moniorear la variación del proceso Los límies de ambas caras son los siguienes: Límies de la cara de observaciones individuales LC LCI LCS 3R / R /118 Límies de la cara de medias móviles LC LCI LCS R 0 367R

12 Caras de Shewhar para observaciones individuales Ejemplo En un proceso indusrial de riuración, se oma una muesra de 40 componenes y se miden sus diámeros en mm Los daos se muesran en la siguiene abla Tabla Diámero en mm de 40 componenes En la siguiene figura enemos la gráfica de probabilidad normal, en donde podemos apreciar que la disribución normal aproxima bien a la disribución de los daos, por lo que podemos la cara de observaciones individuales a esos daos

13 Figura Gráfica de probabilidad normal de los diámeros

14 Figura Caras de observaciones individuales y rangos móviles para los diameros

15 Caras de Shewhar para observaciones individuales La figura anerior enemos las caras de observaciones individuales y rangos móviles En esas caras observamos que el proceso esa en conrol

16 Caras EWMA Caras de medias móviles con ponderación exponencial Esa cara es una alernaiva a la cara Shewhar cuando queremos deecar cambios pequeños El esquema de conrol EWMA se basa en la siguiene esadisica: Z + ( 1 ) Z 1, 1,, Donde parida es una consane de suavizamieno El puno de, usualmene es usualmene el valor objeivo 0 < <1 Z 0 puede ser el valor observado individualmene del proceso o la media muesral de una muesra omada al iempo La esadísica EWMA es un promedio ponderado de odas las observaciones aneriores

17 Caras EWMA Coninuando de esa manera, vemos que el EWMA es una combinación lineal de las observaciones de la forma: Donde los pesos de las observaciones pasadas decaen exponencialmene, como en una serie geomérica ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ] ) (1 )[ ( Z Z Z Z ) (1 ) 1 ( Z Z j j j +

18 Caras EWMA Cuando las son vaiid con varianza común, se iene que V ( Z ) [1 + (1 ) [1 (1 ) [1 (1 ) 1 (1 ) + (1 ) ] σ ] σ Esa varianza converge rápidamene a su valor asinóico Es decir, cuando, σ Z σ σ Usualmene aneriormene 4 σ + + (1 ) ( 1) ] σ se calcula a parir de la cara R, como ya vimos

19 Caras EWMA Por lo anerior, enemos que la esadísica que usamos en esa cara, la varianza crece inicialmene y se aproxima rapidamene a su valor asinóico, por lo ano los límies de conrol de la cara EWMA ienen una disancia a la linea cenral, creciene y en un momeno dado se esabiliza Los límies de esa cara son: LC LCI LCS 3σ + 3σ [1 (1 ) [1 (1 ) ] ]

20 Ejemplo Se generan aleaoriamene 40 observaciones con una disribución normal con media µ y varianza 1 Las primeras 0 observaciones se generan con media igual a cero, la cual se considera como la disribución bajo conrol Las ulimas 0 observaciones se generan con una media igual a 5, y simulan el proceso fuera de conrol En la Figura 1, enemos la gráfica de la cara EWMA con el parámero de suavizamieno igual 0 En esa cara vemos claramene la señal de fuera de conrol a parir de la observación número 5 Una vez que el primer puno cruza el limie de conrol superior, oros ambién lo hacen En la Figura, enémos la cara EWMA, con el parámero de suavizamieno igual a 08, en ese caso, la observación número

21 Ejemplo cruza el limie superior, pero los siguiene punos ya no lo hacen Esa cara da una evidencia muy pobre del cambio de nivel de la media del proceso, a diferencia de la cara EWMA de la Figura 1, en donde noamos una fuere evidencia de del cambio de la media del proceso hacia arriba La diferencia en esas dos caras EWMA es el valor del parámero de suavizamieno Valores pequeños de ese parámero, permien deecar cambios pequeños en la media del proceso más facilmene En la Figura 3, enemos la cara de conrol para daos individuales, en ese caso, no hay punos que crucen el límie de conrol superior, aunque si se manienen en la pare superior de la cara

22 Caras EWMA Figura 1 Cara EWMA con parámero 0

23 Caras EWMA Figura Cara EWMA con parámero 08

24 Caras EWMA Figura 3 Cara de observaciones individuales

25 FIN

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