PREDICCIÓN DE LA DEMANDA TURÍSTICA EN LA REGIÓN NORTE DE PORTUGAL RESUMEN

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1 PREDICCIÓN DE LA DEMANDA TURÍSTICA EN LA REGIÓN NORTE DE PORTUGAL RESUMEN Paula Odee Fernandes* - pof@ipb.p Luis Borges González** - borge@eco.uva.es Francisco José Terroso Cepeda* - cepeda@ipb.p * - ESTiG - Insiuo Poliécnico de Bragança, Porugal. ** - Faculad de Ciencias Económicas y Empresariales, Universidad de Valladolid, España. Al igual que oros países, en Porugal el urismo es una acividad que genera riqueza y valor añadido y cada día va asumiendo un papel cada vez más relevane en el seno de su economía. Por ano, la predicción de la demanda urísica debe de formar pare inegrane de la gesión diaria de cualquier empresa/organización, pública o privada, paricularmene ligadas a ese secor, cuesionando y debaiendo las hipóesis subyacenes a las predicciones realizadas y uilizando los conocimienos ariculados con odo el análisis del proceso de gesión. En ese conexo, resula imporane efecuar un esudio de predicción encaminado no sólo a deerminar la evolución de la demanda urísica para la Región Nore de Porugal, sino ambién a comparar los modelos desarrollados y que pueden ser suscepibles de ser uilizados como insrumenos de predicción de la demanda urísica. La meodología con lo que se llevo a cabo ese análisis fue la de Box-Jenkins, aplicada sobre la serie Pernocaciones Mensuales en la Región Nore de Porugal, regisradas en el período de Enero de 1987 a Diciembre de 2002, pueso que es una de las variables que mejor explica la demanda efeciva. Se consaó que modelo ARIMA ( 0,1,1 ) ( 0,1,1 ), obenido con la meodología aplicada, fue el que preseno calidades esadísicas saisfacorias, que mejor se ajuso al comporamieno de la serie de referencia y que permiió realizar previsiones de la demanda urísica para la Región Nore de Porugal, en cada una de las meodologías. Palabras Clave: Esacionariedad, Esacionalidad, Modelos ARIMA y Predicción. 1

2 1. INTRODUCCIÓN El esudio de la demanda urísica es fundamenal para la organización de los secores y enidades relacionadas con el urismo para que puedan desarrollar medidas esraégicas que sean capaces de obener el máximo rendimieno de las siuaciones emergenes. Por ello, dedicamos ese arículo a esudiar y predecir el comporamieno de la demanda urísica para la Región Nore de Porugal. La meodología con lo que vamos a llevar a cabo ese esudio es la de Box-Jenkins aplicada sobre la serie Pernocaciones Mensuales en la Región Nore de Porugal, pueso que es una de las variables que mejor explica la demanda efeciva. Para la meodología se realizará un análisis emporal de referencia, recurriendo al conocimieno de sus valores en el pasado. Ese análisis iene como objeivo principal obener el modelo que mejor se ajuse al comporamieno de la serie en análisis y uilizarlo para hacer predicciones. Con el fin de evaluar las predicciones del modelo, se ha reservado una pare de los daos para poder medir la calidad de cada predicción. 2. MODELO UNIVARIANTE DE BOX-JENKINS Box y Jenkins han desarrollado modelos esadísicos que ienen en cuena la dependencia exisene enre los daos. Cada observación en un insane de iempo se modeliza como una función lineal de los valores aneriores. El análisis consise en la obención de un modelo explício. Esos modelos se conocen con el nombre genérico de ARIMA (Auoregressive Inegraed Moving Average), auorregresivo inegrado de media móvil, el cual deriva de sus res componenes: auorregresivo (AR), inegrado (I) y de medias móviles (MA). El modelo ARIMA permie describir un valor como una función lineal de daos aneriores y errores debidos a la casualidad. Puede incluir, además, un componene cíclico o esacional. El objeivo que se persigue es la obención, a parir de unos daos, un modelo adecuado al comporamieno de los daos y que sea lo más parsimonioso posible. Es decir, debe de conener odos los elemenos necesarios para describir los daos, pero los mínimos posibles para describir el fenómeno. Box y Jenkins, recomiendan un mínimo de 50 observaciones en la serie emporal (Mureira e al., 1993; Makridakis & Hibon, 1997). Siguiendo esa meodología, es posible enconrar diferenes modelos algebraicos que explican el comporamieno de los daos y que son adecuados para realizar predicciones a coro plazo, incluyendo el caso de series que conengan variaciones esacionales (Wi & Wi, 1995; Greene, 2000). El proceso de esudio y de análisis de una serie emporal comprende por ano una serie de fases que comienza con el esudio de la esacionalidad de los daos, o su ransformación si fuera necesario. A coninuación, eniendo en cuena el eorema de descomposición de Wold 1 (1938), podemos sineizar que la meodología de Box-Jenkins consise en la búsqueda de dos polinomios de reardos, uno que acúa sobre las observaciones y que denominamos pare 1 Ese resulado esablece que cualquier proceso esocásico esacionario puede ser represenado de manera única como la suma de dos procesos muuamene incorrelacionados, siendo el primero deerminisa y el segundo un proceso lineal ( MA ( ) ). Y = D + X, el proceso lineal X se define a parir de un ruido blanco como: X = µ + ψ e donde 2 ψ i <. i -i i= 0 i= 0 2

3 auorregresiva del modelo, y oro que acúa sobre un proceso de ruido blanco y que se denomina componene de medias móviles. Debido al esquema seguido en el planeamieno del modelo y su resolución operaiva, esos méodos permien la incorporación de análisis de carácer esacional, el aislamieno de la componene endencia e, incluso, profundizar las inerrelaciones enre esas componenes que se inegran en la evolución de las series en esudio (Parra & Domingo, 1987; Chu, 1998). La modelización de una serie emporal, por ano, consise en derivar un Modelo ARIMA que se ajuse al conjuno de daos dados. Las fases para llevar a cabo esa area, propuesas por G. Box y G. Jenkins en 1970, son las siguienes (Mureira e al., 1993; Kohzadi e al., 1996; Makridakis & Hibon, 1997; Johnson & DiNardo; 2000): A coninuación se va describir series emporales esacionarias bajo el enfoque de Box-Jenkins. El proceso básico sobre el que se basa oda la eoría es el de ruido blanco y a parir de él se consruyen los diferenes modelos ARMA. Un proceso Y se considera generado por un modelo ARMA ( p,q ), si puede expresarse como: Y = φ y + φ y φ y + e θ e θ e... θ e [1] p p q q siendo e un ruido blanco, es decir una variable aleaoria de media cero y varianza consane. El reso de los elemenos son los parámeros del modelo. La expresión anerior se puede escribir en función de un polinomio de reardos (siendo B el operador de reardos), en la forma: donde, φ ( B) Y θ ( ) = B e [2] p q ( ) 2 p φ B = 1 φ B φ B... φ B [3] p 1 2 p y ( ) 2 q θ B = 1 θ B θ B... θ B [4] q 1 2 q La esacionariedad exige que cumpla un doble requisio en la prácica: una media aproximadamene consane en el iempo y una varianza o dispersión ambién consane. Es decir, que si se divide una serie en subperíodos arbirarios, la media y la varianza sean aproximadamene iguales en cada uno de ellos. En forma gráfica, una media consane supone la no exisencia de endencia (una línea paralela al eje de las abcisas). Una varianza consane corresponde a un gráfico donde las oscilaciones alrededor de la media son semejanes, lo que écnicamene es conocido como homocedasicidad (Pulido, 1989). En un modelo ARMA las condiciones de esacionariedad dependen sólo de la pare { p } auorregresiva del modelo. Las raíces del polinomio de reardos de orden p, φ ( B), deben esar fuera del círculo de radio uniario. Por oro lado, las condiciones de inveribilidad (el MA ) afecan sólo a la pare de media móvil del modelo se puede represenar como un ( ) modelo, y requieren la misma condición para las raíces del polinomio de reardos de orden q, { θ q ( B) }. Las condiciones de esacionariedad y de inveribilidad son independienes. Por ano, el proceso ARMA ( p,q ) es esacionario si lo es su componene auorregresiva, y es inverible si lo es su componene de medias móviles. 3

4 Los modelos ARMA ( p,q ), según se desprende de su definición, son modelos esacionarios. Sin embargo, muchas series económicas, como se desprende de su represenación gráfica, presenan endencia, creciene la mayor pare de las veces, o decreciene. Una de las formas más elemenales para eliminar la endencia consise en aplicar diferencias sucesivas sobre la serie original. Si después de omar una diferencias, la serie aún no es esacionaria en media se sigue diferenciando hasa obener una serie que sea esacionaria en media. La serie se ransformará en la forma: ( 1 ) d d Y B Y W = = [5] de forma que el proceso W es esacionario. Ya se ha comenado una forma sencilla de eliminar la endencia mediane la diferenciación sucesiva de la serie original. Sin embargo, esa ransformación no elimina el fenómeno de la heerocedasicidad, que la varianza no permanezca consane. Esa caracerísica, muy esudiada en economería y que presenan muchas series, es imprescindible corregirla para que la serie sea esacionaria. La solución viene dada por una ransformación de los daos, la ransformación de Box-Cox, que es (Mureira e al., 1993): Y ( λ ) λ Y 1, para λ 0 = λ ln Y, para λ = 0 En la prácica, es la ransformación logarímica la que, en la gran mayoría de las circunsancias, ransforma las series en homocedásicas. El modelo ARIMA ( p,d,q ), donde: p corresponde al orden del proceso auorregresivo (AR), d es el número de diferencias o inegraciones y q corresponde al orden del proceso de medias móviles (MA), puede escribirse como: p ( 1 1 )( 1 ) d q φ φ = ( 1 θ1 θ ) o de forma abreviada: φ B B B Y B B e [7] d ( ) θ ( ) p q p q B Y = B e [8] Ora posible fuene de no esacionariedad en las series económicas reales la consiuye la esacionalidad, fundamenalmene cuando los daos se corresponden con una frecuencia mayor que la anual (daos mensuales o rimesrales). Las series de ese ipo, presenan picos que aumenan o disminuyen los valores de la serie siempre en los mismos periodos. Ese comporamieno se elimina omando diferencias esacionales. La serie ransformada será igual a: s ( 1 ) d d s B Y W = = [9] donde W sigue un modelo ARMA ( p,q ). Las aplicaciones de los modelos ARIMA se suelen realizar con daos rimesrales, mensuales o incluso semanales, diarios u horarios. Es decir, en un conexo a coro plazo. A ales efecos, los modelos ARIMA raan de capar el comporamieno esacional de una manera idénica al raamieno de la componene regular (o no esacional) de la serie. [6] 4

5 En las aplicaciones no es frecuene rabajar con un solo modelo ARIMA ( p,d,q ), sino con un produco de los modelos: ARIMA ( p,d,q)( P,D,Q) s donde el primero corresponde a la pare regular y el segundo a la esacional. En general, un modelo compleo ARIMA ( p,d,q)( P,D,Q) s corresponde a cualquiera de las siguienes expresiones: φ S d S D S ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) θ ( ) ( ) B Φ B B B Y = B Θ B e [10] p P q Q o φ S d D S ( ) ( ) θ ( ) ( ) B Φ B Y = B Θ B e [11] p P q Q Aún, el modelo [10] es suscepible de ampliación con m polinomios auorregresivos esacionales y n polinomios de medias móviles esacionales, capaz de describir una siuación en que exisan componenes esacionales o cíclicas con disinos períodos, adopando la siguiene expresión: φ m m* Si d Si Di ( ) Pi ( ) ( 1 ) ( 1 pb B B B ) Y i= 1 i= 1 Φ = n Si = θ0 + θq( B) ΘQi( B ) e. i= 1 Las fases para derivar un Modelo ARIMA que se ajuse al conjuno de daos dados, propuesas por G. Box y G. Jenkins en 1970, son las siguienes (Mureira e al., 1993; Kohzadi e al., 1996; Makridakis & Hibon, 1997; Johnson & DiNardo; 2000): 1ª Idenificación del modelo, a ravés de una muesra suficienemene grande de daos relaivamene recienes. Eso es, deerminar el ipo de modelo más adecuado para la serie objeo de esudio; 2ª Esimación: esimación de sus parámeros, una vez bien especificado el modelo. 3ª Validación: evaluación del ajuse anes referido y, si es necesario, inenar enconrar un nuevo modelo que describa mejor el fenómeno en causa. Los modelos que superan la eapa anerior pueden ser uilizados para uno de los fines básicos de la meodología de Box-Jenkins que es la obención de predicciones. Si en cada una de las úlimas dos eapas el modelo esimado no resula saisfacorio, es necesario volver a la fase de idenificación y recorrer nuevamene las fases del méodo, que esquemáicamene viene relejado en la Figura 1. [] 5

6 Fase I Idenificación Serie Temporal Daos Converir, si necesario, la Serie en Esacionaria Idenificación del Modelo y Deerminacion de p, q, P y Q Fase II Esimación y Validación Cálculo de los Parámeros (φ, Φ, θ y Θ) Evaluación del Diagnósico (Es el modelo adecuado?) No Si Fase III Aplicación Uilizar el Modelo para Predecir Figura 1: Esquema General de la Meodología de Box-Jenkins. Fuene: Adapado de MAKRIDAKIS y HIBON; (1997:149). 3. DEMANDA TURÍSTICA EN LA REGIÓN NORTE DE PORTUGAL 3.1. Presenación y Esacionariedad de la Serie A lo largo del análisis que a coninuación se presena, la serie Pernocaciones Mensuales de la Región Nore de Porugal pasará a designarse por SO (Serie Original). En la primera fase de idenificación, el primer paso es comprobar la esacionariedad de los daos, o en su defeco, realizar ransformaciones que convieran la serie en esacionaria. El primer paso, es una represenación gráfica de la serie SO, obenida en el Insiuo Nacional de Esadísica (INE) Porugués. Los daos esán recogidos en el Anexo A - Tabla A.1, y la Figura 2 se corresponde con su represenación gráfica. 6

7 Nº de Pernocaciones Ene_87 Jul_87 Ene_88 Jul_88 Ene_89 Jul_89 Ene_90 Jul_90 Ene_91 Jul_91 Ene_92 Jul_92 Ene_93 Jul_93 Ene_94 Jul_94 Ene_95 Jul_95 Ene_96 Jul_96 Ene_97 Jul_97 Ene_98 Jul_98 Ene_99 Jul_99 Ene_00 Jul_00 Ene_01 Jul_01 Ene_02 Jul_02 Ene_03 Jul_03 Meses Figura 2: Cronograma de la serie SO, para el período de 1987:01 a 2003:. La observación de la Figura 2 denoa un ligero crecimieno en la endencia de la serie, un posible crecimieno en el amaño de las oscilaciones y la clara exisencia de un componene esacional ( picos regularmene espaciados en el iempo, máximos en los meses de Verano y mínimos en los meses de Invierno). Es decir, los valores de las pernocaciones vienen en función de la época del año. Para asegurar la esabilidad de la varianza en la serie, se consruyo el gráfico de Media-Rango, con las medias frene a las desviaciones ípicas de los daos de cada año. Su represenación en la Figura 3 confirma el crecimieno de la varianza. Desviación Típica Media Figura 3: Grafico Media-Rango. Con el fin de esabilizar la variancia de la serie SO, se ha ransformado la serie original LSO = ln SO. La serie resulane sigue siendo de aplicando el logarimo naural, ( ) manifiesamene no esacionaria pero más esable en variancia, noándose aún una endencia creciene y la exisencia de movimienos periódicos (ver Figura 4). Por ello, en la coninuación LSO y el período de del esudio, el análisis endrá como base la serie original ransformada [ ] 1987:01 a 2002:. 7

8 Ajusamieno del Nº de Pernocaciones 13,5 13,0,5,0 11,5 11,0 Ene_87 Jul_87 Ene_88 Jul_88 Ene_89 Jul_89 Ene_90 Jul_90 Ene_91 Jul_91 Ene_92 Jul_92 Ene_93 Jul_93 Ene_94 Jul_94 Ene_95 Jul_95 Ene_96 Jul_96 Ene_97 Jul_97 Ene_98 Jul_98 Ene_99 Jul_99 Ene_00 Jul_00 Ene_01 Jul_01 Ene_02 Jul_02 Ene_03 Jul_03 Meses Figura 4: Cronograma de la serie LSO, para el período de 1987:01 a 2003:. Después del análisis de las FAC 2 y FAP 3 esimadas de la serie, se llega a conclusiones semejanes a la anerior. La FAC (Figura 5), oma la forma de una sinusoide amorecida, no decreciendo hacia cero a medida que K aumena, lo que confirma que se esá ane un proceso no esacionario. La esacionalidad ambién es evidene en la observación de la FAC, que presena auocorrelaciones posiivas elevadas para valores de K múliples de. Los picos ocurren odos los años en los meses de Agoso, sugiriendo una esacionalidad de período, pueso que se rabaja con valores mensuales. 1 0,6 0,2-0,2-0, reardos Figura 5: FAC esimada de la serie LSO. El paso siguiene, para remover la endencia y la componene esacional, es omar diferencias. Tales ransformaciones, a pesar de que conserven la esrucura general de la serie, ejercen efecos considerables sobre el conjuno de daos que pueden permiir su esudio más cómodo, alerando su escala (evenualmene disminuyendo su ampliud), aenuando asimerías, eliminando posibles ouliers, disminuyendo residuos y alcanzando, finalmene, los objeivos en causa: esabilizando varianzas y linealizando endencias (Oero; 1993). 2 Función de Auocorrelación. 3 Función de Auocorrelación Parcial. 8

9 Se consiguió converir la serie en esacionaria, ano en media como en varianza, después de Y Y Y B Y y de una diferencia la aplicación de una diferenciación simple, = = ( ) Y Y Y B Y. Es decir, se omaron diferencias sucesivas y s esacional = = ( 1 ) s s 1 1 diferencias enre las observaciones separadas por el periodo esacional (, dado que la información es mensual), ransformándose la serie original en una nueva serie. El resulado de la nueva serie, que servirá de base para esudiar las fases sucesivas, es: B B LSO, cuyo cronograma viene reflejado en la Figura 6. ( 1 )( 1 ) Es conveniene minimizar las diferenciaciones de los daos para eviar el efeco de la sobre-diferenciación 4, pues diferenciar origina aumeno de la varianza del error de la predicción (Mureira e al., 1993; González, 1999). 0,28 Pernocaciones 0,18 0,08-0,02-0, -0,22-0, Figura 6: Cronograma de la serie ( 1 )( 1 ) B B LSO Idenificación del Modelo El proceso de idenificación esá basado ano en la FAC como en la FAP. Cada modelo lineal esacionario consruido eóricamene, iene asociado una función de auocorrelación y una función de auocorrelación parcial asociada a diferenes reardos. Los gráficos correspondienes a esas funciones eóricas de disinos modelos, en general, se corresponden solamene con la pare regular de la serie, aunque son fácilmene generalizables a la pare esacional (Oero, 1993; Pulido, 1989), y se pueden enconrar en numerosas fuenes, enre ellas las ciadas aneriormene. En la Tabla 1, se presena el comporamieno de los coeficienes en las funciones FAC y FAP en los procesos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q) que van ayudar a idenificar el modelo, sabiendo ambién que el comporamieno de las FAC y FAP en los procesos esacionarios ienden hacia cero a medida que aumenan los reardos. 4 También designado por overdifferencing. 9

10 Tabla 1: Cuadro resumen del comporamieno de las FAC y FAP en procesos AR, MA y ARMA. PROCESO FAC FAP AR(p) MA(q) ARMA(p,q) Exponenciales aenuados u ondas sinusoidales, odos los coeficienes son no nulos que decrecen con el reardo. Los q primeros coeficienes significaivos solamene y los resanes cero. Decrecimieno para cero de forma exponencial u ondas sinusoidales amoriguadas. Los p primeros coeficienes significaivos solamene y los resanes cero. Exponenciales aenuados u ondas sinusoidales, odos los coeficienes son no nulos que decrecen con el reardo. Decrecimieno para cero de forma exponencial u ondas sinusoidales amoriguadas. Fuene: Adapado de MURTEIRA e al.; (1993:100). La idenificación de las componenes esacional y no esacional, se realiza separadamene, recurriendo a la información presenada en la Tabla 1. Observando las funciones de auocorrelación y auocorrelación parcial esimadas de la serie del esudio, Figuras 7 y 8, respecivamene, hay que decidir: a) los orden de la componene regular (p,q), basándose en la evolución de los primeros coeficienes ( lags, K=1,2,3, ) ; b) el orden de la componene esacional (P,Q) observando el comporamieno de los coeficienes para los reardos esacionales: y 24 ( lags, K=S,2S,3S, ). 1 0,6 0,2-0,2-0, reardos Figura 7: FAC esimada de la serie después de la diferenciación simple y esacional. El análisis de las FAC y FAP (Figuras 7 y 8, respecivamene) esimadas de la serie esacionaria, considerando un inervalo de confianza al 95%, parecen sugerir un proceso, para la componene no esacional, ARMA (0,1) ya que la primera esimación de la FAC es significaiva, decayendo bruscamene para cero a parir del primer reardo y los valores iniciales de la FAP son significaivos y decayendo de una forma exponencial. 10

11 1 0,6 0,2-0,2-0, reardos Figura 8: FAP esimada de la serie después de la diferenciación simple y esacional. Con relación a la componene esacional, las FAC y FAP esimadas, sugieren igualmene un proceso ARMA (0,1) esacional (SARMA), aendiendo a los valores de la FAC esimada en el reardo y 24 (el primero es significaivo, mienras que el segundo no lo es), y los valores de la FAP para los mismos reardos, ambos significaivos. Por ano, el modelo sugerido es del ipo ARIMA 0,1,1 0,1,1, que será designado por Modelo M 1. Sin embargo, exisen oros ( ) ( ) modelos similares que pueden enrar en compeencia con el anerior, por lo que se va a ener ARIMA 1,1,1 1,1,1 y en cuena ambién en el esudio los modelos ( ) ( ) ARIMA ( 1,1,1 ) ( 0,1,1 ), que designaremos Modelos M 2 y M 3, respecivamene. Esos modelos, deben ser considerados como los mejores candidaos para ajusar el comporamieno de la serie. Para elegir enre ellos, se aplican los crierios de selección que veremos a coninuación Esimación, Validación y Selección del Modelo Una vez idenificados los modelos ARIMA, que mejor se han ajusado a la serie, hay que deerminar los valores de los parámeros de las funciones lineales que los definen. El méodo uilizado para la esimación de los parámeros φ e θ es el de mínimos cuadráicos, obeniéndose los siguienes resulados: Tabla 2: Esimaciones obenidas para los coeficienes de los modelos. MODELOS PARÁMETROS RETARDOS COEFICIENTE DESVIACIÓN TÍPICA RATIO P-VALUE M 1 Medias Móviles 1 0, , ,5704 0, Medias Móviles 0, , ,1643 0, MEDIA DE VARIANCIA LOS DE LOS RESIDUOS RESIDUOS -0, , M 2 M 3 Auorregresivo 1 0, ,1691 1, , Medias Móviles 1 0, , , , Auorregresivo -0, , ,6003 0, Medias Móviles 0, , , , Auorregresivo 1 0, , , , Medias Móviles 1 0, , ,3191 0, Medias Móviles 0, , ,3855 0, , , , ,

12 Cada uno de los modelos esimados vienen dados por las siguienes expresiones: ( )( ) M 1 = LSO = 1 0,628237B 1 0,769101B e [13] 2 ( 1 0,13061 )( 1 0, ) ( 1 0, )( 1 0,64362 ) M = B + B LSO = 3 = B B e ( 1 0, ) ( 1 0, )( 1 0, ) M = B LSO = B B e [15] El análisis del significado esadísico de los coeficienes esimados para el modelo M 1, revela que los mismos son significaivamene diferenes de cero, a un nivel de significación del 5%. Es decir, los -raios, en valor absoluo son superiores a 1,96 para cada parámero esimado por ano ambos coeficienes son esadísicamene significaivos y deben permanecer en el modelo (ver Tabla 2). Cuano a los modelos M 2 y M 3, se comprueba que los coeficienes asociados a la componene AR(1) no permien rechazar la hipóesis de nulidad del parámero eórico; es decir, los valores del esadísico, 1,15901 y 1,77011, para los modelos M 2 y M 3, respecivamene, son insuficienes para rechazar su posible nulidad eórica, concluyéndose que esos coeficienes no son esadísicamene significaivos, por lo que, y eniendo presene el principio de parsimonia, ales parámeros se deberían excluir de los modelos. En cuano a la posibilidad de que los modelos sean inveribles, analizando los res modelos, las componenes (no esacional y esacional), verifican las condiciones de inversión, pueso que los esimadores de los parámeros de las componenes de medias móviles son, en módulo, inferiores a la unidad. Por nauraleza los procesos auorregresivos son inveribles. Se consaa aún que dado que cualquier proceso de medias móviles es esacionario y esándose en presencia de valores esimados para el proceso auorregresivo, en los res modelos, lejos de la fronera de la no esacionariedad, no es necesario diferenciar nuevamene la serie para concluir su esacionariedad. El análisis de la mariz de las correlaciones de los coeficienes de un modelo puede ser indicaivo sobre la necesidad de rechazar el mismo. En efeco, aunque los parámeros sean significaivos, serán inadecuados si exise una fuere correlación enre ellos, lo que afeca a la esabilidad del modelo, ornándolo inadecuado para la predicción (Mureira e al., 1993). [14] Tabla 3: Mariz de correlaciones enre los parámeros, para cada uno de los modelos. M 1=ARIMA ( 0,1,1 ) ( 0,1,1 ) M ( ) ( ) 2=ARIMA 1,1,1 1,1,1 M =ARIMA ( 1,1,1 ) ( 0,1,1 ) 3 MA(1) MA() MA(1) 1-0,05198 MA() 1 AR(1) MA(1) AR() MA() AR(1) 1 0, , ,14842 MA(1) 1 0, ,08039 AR() 1 0,69854 MA() 1 AR(1) MA(1) MA() AR(1) 1 0, ,16772 MA(1) 1 0,10451 MA() 1 Observando la mariz de correlaciones (Tabla 3) enre los parámeros y, pueso que sólo correlaciones superiores, en valor absoluo, a 0,7 señalan parámeros fueremene correlacionados se concluye que: exise poca correlación enre ellos para el modelo M 1, conduciendo a la indicación de que es un modelo adecuado para describir el comporamieno

13 fuuro de la serie emporal; lo mismo ya no se verifica para los modelos M 2 y M 3, donde exise una fuere correlación enre los esimadores AR(1) y MA(1), AR() y MA() y enre los esimadores AR(1) y MA(1), para los M 2 y M 3, respecivamene. Esas correlaciones elevadas sugieren la mala calidad de los mismos, llevando a la conclusión de que los modelos no son los más apropiados para describir el comporamieno fuuro de la serie emporal, por lo que ya se rechazan una vez que los esimadores de los parámeros de los modelos ponen en causa la esabilidad de los mismos, no se someiendo a las siguienes análisis. De noar que, no se ha realizado un análisis de redundancia en esos modelos, ya que la hipóesis de que los parámeros omen el valor 1 esa muy alejada de los coeficienes esimados. Los modelos con redundancias o casi redundancias son inesables, dando origen a esimaciones de poca calidad y son conrarios al principio de parsimonia (Almargo, 1979). Así, por lo presenado y analizado aneriormene, a coninuación se sigue con el esudio del modelo M 1, para observar su comporamieno en el reso de los crierios que aun resan por analizar. Una vez evaluada la calidad esadísica del modelo M 1, se va analizar la calidad global del ajuse esudiando los respecivos residuos. Si el modelo explica correcamene la serie, los residuos esimados ienen que ener un comporamieno análogo al de un ruido blanco (whie noise). La Figura 9, represena el gráfico de los residuos del modelo M 1. Se observa que se aprecian algunos aípicos en los años 1992, 1997, 2001 y También se observan flucuaciones de un año para oro, en los meses de Marzo y Abril. Ese comporamieno es debido, al menos en pare, al efeco de la fesividad correspondiene a la Semana Sana. 0,2 0,1 0-0,1-0, Figura 9: Gráfico de los residuos de M 1. Por lo que respeca a los residuos correspondienes a Julio y Agoso de 1992, su comporamieno puede esar jusificado por la Guerra del Golfo y el correspondiene a los mismos meses de 1997, se pueden fundamenar ano en la inesabilidad del mercado Ruso como en el conflico de los Balcanes. Enre Mayo y Noviembre de 2001, el comporamieno de los residuos correspondienes, puede esar jusificado por el hecho de que la ciudad de Oporo haya sio la capial europea de la culura, lo que produjo un aumeno de los urisas, ano nacionales como exranjeros, debido a los evenos culurales que uvieron lugar con moivo de al celebración. En Diciembre de 2001, el casco hisórico de la ciudad de Guimarães y el Alo Douro Vinhaeiro, fueron clasificados por la UNESCO como Parimonio Culural Mundial, lo que sin duda desperó 13

14 la curiosidad de los urisas, esencialmene exranjeros, y llevo a desplazarse a mayor número de ellos a esos desinos urísicos. Ese aumeno de la demanda urísica se vio reflejado en el año siguiene. Algunas exposiciones inernacionales y cumbres inernacionales (por ejemplo, la Organización para la Seguridad y Cooperación en Europa), realizadas en la ciudad de Oporo en el año 2002, fueron palco de polos de aracción urísica y promoción urísica conllevando a que los paricipanes, además de permanecer por más iempo en el lugar que visiaban, se desplazaran a oras regiones limírofes. A parir del año 2000, una apuesa en una mayor promoción de la Región Nore y su imagen como desino de calidad, diferenciada y compeiiva, frene a oras regiones y/o países, se ha viso reflejada en el comporamieno del urisa nacional y exranjero, conduciéndolo a permanecer más en el lugar que visia. Esa promoción y divulgación por pare de las insiuciones compeenes se fundamena esencialmene en la radición, la aresanía, la culura, la hisoria, la gasronomía, enre oras. También ha enido su efeco el incremeno en la divulgación de algunos desinos urísicos de exrema imporancia para la región, como por ejemplo el Parque Naural del Douro Inernacional y el Alo Douro Vinhaeiro, la exisencia de deerminadas iniciaivas culurales, recreaivas y fiesas populares, en la promoción de ferias comerciales emáicas, que ha su vez han conribuido en la divulgación de algunos producos regionales, ec. Una vez comprobada la adecuación de los residuos del modelo M 1, se ha llevado a cabo el análisis global de los residuos por medio del esadísico de Box-Pierce para diferenes valores de los reardos. Observando los resulados de Tabla 4, comprobamos que los residuos obenidos para el modelo M 1 esimado permien acepar la hipóesis de ruido blanco, pues el valor de los p-value asociados al conrase de Box-Pierce son elevados y basane alejados del cero. Tabla 4: Valores del Esadísico de Box-Pierce. MODELOS Q() [P-VALUE] Q(24) [P-VALUE] Q(36) [P-VALUE] M 1=ARIMA ( 0,1,1 ) ( 0,1,1) 7,74667 [0,653566] 13,5432 [0,916898] 27,1464 [0,791668] Para erminar de consruir el análisis, se ha recurrido a los crierios que miden la canidad de información, concreamene a los crierios AIC 5 (-509,673) y BIC 6 (-503,298). Con efeco, los valores para los dos crierios son aproximados, concluyéndose que los mismos poseen comporamieno análogo. En resumen, eniendo en cuena los diferenes aspecos y crierios analizados para la evaluación de los disinos modelos, fue el M 1, como ya se consaó, el que presena las mejores caracerísicas eniendo en cuena que: ( ) ˆ σ AIC q = n.ln + 2q, Akaike Informaion Crierion. a ˆ σ y BIC ( q) = n.ln ˆ σ a + q( 1+ ln n) + q.ln 1, Bayesian Informaion Crierion. 2 q ˆ σ a 14

15 a) los esimadores son significaivamene diferenes de cero; b) las correlaciones enre los esimadores presenan valores razonables, pudiendo considerarse el modelo como esable, no así para los oros dos; c) los valores del esadísico de Box-Pierce permien acepar la hipóesis de que los residuos se comporan como un ruido blanco; d) finalmene, el modelo esimado y seleccionado podemos represenarlo como: ( 1 )( 1 ) = ( 1 0, )( 1 0, ) B B LSO B B e 1= 10,5704 = 18,1643 es decir, los valores de la variable analizada, con sus ponderaciones indicadas, esán influenciados por sus desfases en los periodos 1, y 13, así como de los residuos o errores en los mismos desfases y en el período acual. Se puede aún escribir de la siguiene forma: LSO LSO( ) LSO( 1) LSO( 13) 0, e( ) 0, e( 1) + 0, e( 13) + e = + Sin embargo, la prueba concluyene del modelo elegido para capar el comporamieno de una serie es la predicción, en la cual se deermina la efecividad del esudio realizado y se efecuará en la sección siguiene. [16] [17] 4. PREDICCIÓN DE LA DEMANDA TURÍSTICA EN LA REGIÓN NORTE DE PORTUGAL Una vez seleccionado el modelo, ARIMA ( 0,1,1 ) ( 0,1,1 ), que cumple saisfacoriamene los crierios esadísicos de evaluación esablecidos y que mejor se adhiere a la evolución de las Pernocaciones mensuales en el Nore de Porugal regisradas en el período de Enero de 1987 a Diciembre de 2002, el paso siguiene es uilizarlo en realizar predicciones. Las predicciones del modelo ARIMA, en función de los daos, vienen dadas por medio de la función de predicción: * Y ( m) { Y+ m / Y, Y 1, Y 2, } * El cálculo de la predicción Y ( ) =Ε. [18] m puede hacerse de forma recursiva uilizando el modelo ARIMA esimado, de forma que si el modelo se escribe (Mureira e al., 1993): d = φ d + + φ d + e θ e θ e, [19] 1 1 p p 1 1 q q donde d es la diferencia de orden d de Y (supueso Y no esacionaria y converible en * esacionaria mediane un proceso de diferenciaciones). Para calcular la predicción Y ( m ), se comienza calculando la esimación de d ( 1) como la esperanza condicionada de d( + 1). Poseriormene se calcula la esimación de d ( 2), ambién con la esperanza condicionada, y así sucesivamene hasa calcular la esimación de d ( m ). Una vez que se ienen las predicciones de la serie d, se puede obener una predicción dey, eniendo en cuena que Y( + m) Y( ) = d( + m). [20] 15

16 Con ella se han obenido los resulados de las predicciones para el año En la Tabla 5, se presenan las predicciones y los respecivos límies inferior y superior del inervalo de confianza al 95% consruido para el modelo ARIMA. También se presena, el error relaivo absoluo de las predicciones, en porcenaje. Tabla 5: Predicciones de las Pernocaciones y el error relaivo absoluo de las predicciones en %, para el período de 2003:01 a 2003:. MESES LÍMITE INFERIOR ARIMA LÍMITE SUPERIOR MAPE Enero ,0% Febrero ,6% Marzo ,2% Abril ,2% Mayo ,2% Junio ,6% Julio ,1% Agoso ,9% Sepiembre ,6% Ocubre ,0% Noviembre ,8% Diciembre ,4% MAPE ,9% Noa: a) Error Porcenual Absoluo Medio MAPE = 1 n Y Y n 1 Y =. Goh y Law (2002), ciando a Lewis, señalan en relación a las precisión de las predicciones: cuando los errores relaivos absoluos de las predicciones sean inferiores a un 10%, se considera una precisión elevada ; enre 10 y 20%, se considera buena ; enre 20 y 50% se considera razonable ; y superiores a 50%, imprecisas/poco fiables. De acuerdo con esa clasificación, exisen algunos errores relaivos absoluos superiores a 10% (los meses de Enero, Marzo y Junio); sin embargo, puede decirse que las predicciones pueden considerarse como fiables, dado que se regisra una aplasadora mayoría de los errores relaivos absoluos inferiores a 10%. 5. CONCLUSIÓN El objeivo principal de ese arículo, ha sido desarrollar un modelo lineal que permiiera efecuar predicciones de la demanda urísica, para la Región Nore de Porugal. También se inenó, con la meodología adopada, buscar una relación enre una modelización eórica sólida y el esudio prácico de la serie Pernocaciones Mensuales de la Región Nore de Porugal. Algunas de las desviaciones más noables esán concenradas en algunos meses. Eso es debido a cieros facores, que ya fueron comenados aneriormene, como el carácer móvil de la Semana Sana. Algunos aconecimienos en el Nore de España, como por ejemplo el 16

17 Xacobeo en Galicia, o la candidaura de Porugal al EUROPEO 2004 de fúbol, ienen sus repercusiones, ano en los urisas porugueses como en exranjeros, que aprovechan pare de su iempo para dedicarlo a conocer el nore de Porugal. Exisen ambién oros facores como, por ejemplo, la inesabilidad del mercado del Oriene Medio y de la Europa del Ese, que ha llevado a que algunos urisas nacionales permanecieran en Porugal y arayendo a urisas exranjeros a disfruar de la radición, parimonio culural y arquiecónico, hisoria, gasronomía, ec, de la Región Nore de Porugal. Así, lo que se ha preendido en esa invesigación, más que la obención de un modelo idenificado e invariable, ha sido definir un méodo que pudiera ener ciera flexibilidad una vez consruido, de forma que sea capaz de incorporar fácilmene nueva información disponible y hacer nuevas predicciones fuuras. 6. BIBLIOGRAFÍA ALMARGO, José; (1979); Aplicaciones del enfoque Box-Jenkins a series del Turismo Español ; Cuadernos Económicos de Información Comercial Española; N.º11/, pp.53/107. CHU, Fong-Lin; (1998); Forecasing Touris Arrivals: nonlinear sine wave or ARIMA? ; Journal of Travel Research; Vol. 36; pp.79/84. GOH, Carey and LAW, Rob; (2002); Modeling and forecasing ourism demand for arrivals wih sochasic nonsaionary seasonaliy and inervenion ; Tourism Managemen; N.º23, pp.499/510. GREENE, William H.; (2000); Economerics Analysis ; Prenice-Hall, Inc; Fourh Ediion; USA. JOHNSTON, Jack e DINARDO, John; (2000); Méodos Economéricos ; Ediora McGraw-Hill de Porugal, Lda. KOHZADI, Nowrouz; BOYD, Milon; KERMANSHAHI, Bahman and KAASTRA, Iebeling; (1996); A comparison of arificial neural nework and ime series models for forecasing commodiy prices ; Neurocompuing; N.º10, pp.169/181. MAKRIDAKIS, Spyros and HIBON, Michèle; (1997); ARMA Models and he Box-Jenkins Mehodology ; Journal of Forecasing; Vol. 16; pp.147/163. MURTEIRA, Beno J.F.; MÜLLER, Daniel A. e TURKMAN, K. Feridun; (1993); Análise de sucessões cronológicas ; McGraw-Hill; Lisboa. OTERO, José Mª; (1993); Economería - series emporales y predicción ; Ediorial AC; Madrid. PARRA, S. B. y DOMINGO, J. U.; (1987); Análisis de series emporales de urismo de la Comunidad Valenciana ; Esadísica Española; N.º114, pp.111/132. PULIDO, Anonio; (1989); Predicción Económica y Empresarial ; Ediciones Pirámide; Madrid. WITT, Sephen F. and WITT, Chrisine A.; (1995); Forecasing ourism demand: a review of empirical research ; Inernaional Journal of Forecasing; N.º11, pp.447/475. WOLD, Herman; (1938); A sudy in he analysis of Saionary Time Series ; Almqvis and Wiksell; Upsala; 2d. Ed

18 ANEXO A Tabla A.1: Valores de la Serie Original, para el período enre 1987:01 y 1995:. AÑOS MESES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE TOTAL Fuene: Elaboración Propia, basada en los daos del INE. Tabla A.1: Valores de la Serie Original, para el período enre 1996:01 y 2003:. AÑOS MESES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE TOTAL Fuene: Elaboración Propia, basada en los daos del INE. 18