Tema 3: Técnicas de contar

Transcripción

1 Tema 3: Técicas de cotar Objetivo específico: Dado u cojuto fiito podemos cotar sus elemetos si hacer la lista de dichos elemetos? Aplicacioes: Probabilidades (se cueta casos favorables y casos posibles) Cálculo de la complejidad o tiempo de ejecució de u algoritmo (úmero de operacioes medio o esperado que realiza u algoritmo)

2 Qué vamos a cotar? Todos los subcojutos de u cojuto de 10 elemetos. Los aagramas de la palabra CONTAR (CORNAT, CARNOT, ) Si 5 iños comparte 12 caicas idéticas. De cuátas maeras puede repartirse las caicas? Cuátos úmeros de 16 bits tiee exactamete cuatro 1?

3 Propiedades del cardial de u cojuto fiito Cardial de u cojuto fiito A es el úmero de elemetos de A y lo otamos por A Sea Ø,el cardial del cojuto vacio, Ø =0 Cardial de la diferecia: A B = A A B SiB A, A B = A B Pricipio de adició Pricipio del producto

4 Pricipio de adició Si A y B so cojutos fiitos, o vacíos y disjutos, (es decir, A B = ), etoces A B = A + B A B E ua clase se sabe que hay 6 persoas de o más de 18 años ( cojuto A) y 7 persoas de etre 19 y 22 años (cojuto B). cuátas persoas hay de o más de 22 años? Aplicado el pricipio de adició podemos cocluir que hay 6+7=13 persoas de o más de 22 años.

5 Ejemplos: Si sólo sabemos que hay 6 persoas de o más de 18 años (coj. A) y 7 persoas de etre 17 y 22 años (co. B), o somos capaces de dar el úmero exacto de persoas de meos de 22 años (porque A y B o so ahora disjutos) E la platilla de u equipo de fútbol, todos los jugadores so españoles o argetios. Diez so españoles, 5 so argetios. Cuátos jugadores so e total? Y qué pasa si hay 3 jugadores que tiee la doble acioalidad? (Pricipio Iclusió-Exclusió)

6 Pricipio de adició Decimos que los cojutos A 1,A 2,..,A so disjutos dos a dos, si cada par de estos cojutos so disjutos. Pricipio de la suma: Si los cojutos A 1,A 2,..,A so disjutos dos a dos, etoces el cardial de la uió de todos ellos es igual a la suma de los cardiales de cada uo de ellos.

7 Pricipio del producto Si u procedimieto se puede separar e dos etapas y si hay m posibles resultados para la primera etapa y para la seguda, etoces el úmero de formas distitas de realizar el procedimieto es el producto m Cuátas palabras de logitud 4 se puede formar co las letras a,c,s? E ua promoció de 50 estudiates, se reparte tres premios. Cuáles so todas las posibles reparticioes?

8 Pricipios de la suma y el producto E ocasioes hay que combiar ambos pricipios para resolver u problema: E cierto sistema iformático, ua cotraseña válida tiee etre 6 y 8 caracteres válidos. El primero tiee que ser u carácter alfabético, los siguietes so alfabéticos o uméricos. Hay 52 caracteres alfabéticos posibles A={a,b,c,d..z,A,B,C,D, Z} y 10 caracteres uméricos posibles N={0,1,2,3,4,.9}. Cuátas cotraseñas válidas hay?

9 Producto cartesiao. Cardial. Dados dos cojutos A y B, AxB es el cojuto de todos los pares ordeados (a,b) dode a perteece a A y b perteece a B. (a,b)=(c,d) si y sólo si a=c y b=d. Si A y B so fiitos, se tiee que AxB = A B U experimeto cosiste e lazar u solo dado y aotar el resultado; a cotiuació se laza ua moeda al aire y se aota el resultado. Determiar cuátos y cuáles so todos los posibles resultados del experimeto.

10 Aplicació. Tipos de aplicacioes. Ua correspodecia etre los cojutos A y B es cualquier subcojuto del producto cartesiao AxB. Ua aplicació etre los cojutos A y B es ua correspodecia tal que a cada elemeto del cojuto de partida A le correspode uo y sólo u elemeto del cojuto de llegada B y se deota por b=f(a).

11 Tipos de aplicacioes Ua aplicació f: A-->B se dice iyectiva cuado cada elemeto del cojuto de llegada B es image de cómo mucho u elemeto del cojuto de partida A.(A cada elemeto de B le llega como máximo ua flecha) Ua aplicació f: A-->B se dice sobreyectiva cuado cada elemeto del cojuto de llegada B es image de, al meos u elemeto del cojuto de partida A (A cada elemeto de B le llega como míimo ua flecha).

12 Biyecció y aplicació a técicas de cotar Ua aplicació se dice biyectiva cuado es iyectiva y sobreyectiva a la vez (cuado todo elemeto del cojuto de llegada B es image de uo y sólo u elemeto de A) Cotar los elemetos de u cojuto fiito A es establecer ua biyecció f de A e u cojuto de la forma {1,2,,}. Pricipio de la biyecció: si existe ua biyecció etre dos cojutos fiitos A y B etoces ambos tiee el mismo cardial (úmero de elemetos).

13 Ejemplos Sea los dos problemas siguietes: Cotar las maeras de repartir 12 caicas idéticas etre 5 iños. Cotar los úmeros de 16 bits co exactamete cuatro 1. A={maeras posibles de repartir 12 caicas etre 5 iños} B={ úmeros de 16 bits co exactamete cuatro 1}

14 Aplicació a técicas de cotar Cuátos subcojutos tiee el cojuto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}? Teorema: U cojuto de elemetos tiee exactamete dos elevado a elemetos. Cuátas aplicacioes hay de {1,2,3} e {1,2,3,4,5,6}?= Cuátas sucesioes de logitud 3 hay cuyos térmios puede valer {1,2,3,4,5,6}? Teorema: El úmero de aplicacioes de u cojuto fiito Y e u cojuto fiito X es X elevado a Y

15 Variacioes Variacioes: Sea Nm={1,2,,m} cojuto co m elemetos. El úmero de aplicacioes iyectivas de Nm e X recibe el ombre de variacioes (si repetició) de los elemetos del cojuto X co logitud m y se deota por V,m. Teorema: Si X =, el úmero de variacioes de elemetos de logitud m (tomadas de m e m) es x(-1)x(-2)x..x(-m+1) Ejemplo: Cuátos úmeros de tres cifras existe si cifras repetidas? V10,3=10x9x8=720

16 Variacioes co repetició Si se permite repetició, las aplicacioes que cosideramos so todas (o sólo las iyectivas), las otaremos por VR,m y su úmero es elevado a m. Ejemplo: Cuátos úmeros de cuatro cifras existe? De ellos, cuátos hay que sea múltiplos de 5?

17 Permutacioes Las permutacioes so u caso extremo de las variacioes e el que podemos escoger todos los elemetos del cojuto X, es decir, P=V,=! Cuátos úmeros de 3 cifras distitos se puede escribir co los dígitos {1,3,5}?

18 Pricipio del palomar Si 100 palomas vuela hacia los 99 idos de u palomar, etoces por lo meos e uo de los idos habrá dos o más palomas. Pricipio del palomar: Si A > B, etoces igua aplicació f de A e B es iyectiva, es decir, para toda aplicació f de A e B existe dos elemetos distitos del cojuto de partida A co la misma image por f.

19 Ejemplos Cualquier subcojuto de tamaño seis del cojuto S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} debe coteer dos elemetos que sume 11. Si e ua oficia hay 13 empleados, etoces al meos dos de ellos debe cumplir años e el mismo mes. Lorezo vuelve de la lavadería co 12 pares de calceties (cada par de distito color) e ua bolsa. Si sacamos calceties al azar de la bolsa, etoces debemos extraer a lo sumo 13 para obteer u par del mismo color.

20 Pricipio de distribució (del palomar geeralizado) Si A =>k B =km, etoces para toda aplicació f de A e B existe k+1 elemetos de A que tiee la misma image por f, o bie, si queremos repartir objetos e m cajas y >km, etoces al meos ua caja ha de recibir más de k objetos (k+1 objetos como míimo). Ejemplo: E Sevilla capital hay persoas y más de o so calvas. Si se sabe que adie tiee más de pelos, etoces etre las persoas o calvas hay por lo meos cuatro persoas que tiee el mismo úmero de cabellos.

21 Ejercicio Si A es u cojuto de 101 eteros positivos diferetes o superiores a 200 y elegidos al azar, existe al meos dos elemetos de A tales que uo de ellos divide al otro.

22 Pricipio de divisió Ua aplicació f:aà B es de grado combiatorio k, si todo elemeto de B tiee exactamete k atecedetes e A (i.e. para todo b de B existe a1, ak de a tales que f(a1)=f(a2)=.=f(ak)=b). Pricipio de divisió: Si f:aà B es de grado combiatorio k, etoces A =k B Ejemplo: cuátas maos de póker puede ser obteidas e u juego de 52 cartas?

23 Combiacioes Los subcojutos de k elemetos de u cojuto dado A ( A =) de maera que dos de ellos se cosidera distitos cuado cotiee algú elemeto distito, se llama combiacioes de elemetos tomadas de k e k. Los úmeros de combiacioes de elemetos tomados de k e k es el úmero combiatorio o biómico! C(, k) = C, k = C k = k = k! ( k)!

24 Permutacioes co repetició Teorema: el úmero de permutacioes co repetició de u cojuto de elemetos dode existe u grupo de 1 elemetos repetidos, otro de 2 elemetos repetidos, etc viee dado por PR;1,2,..k=! 1! 2! k! So otra aplicació del pricipio de divisió: De cuátas formas se puede permutar las letras de la palabra CASCARA?

25 Propiedades de los úmeros combiatorios o biómicos Propiedades: + = = = = k k k k k k para k para

26 Triágulo de Tartaglia o Pascal La última propiedad aterior os permite calcular los úmeros combiatorios de maera recursiva costruyedo: Cada fila i coicide co los coeficietes de los térmios del desarrollo del biomio de Newto de grado i.

27 Teorema del biomio de Newto ) ( y x y x k y x y x y x y x k k = + 0 1) ( = + + = Corolario Forma simplificada: el úmero combiatorio es el coeficiete de x^k e el desarrollo de (x+1)^ k

28 Combiacioes co repetició So las combiacioes e el caso de permitir que cualquiera de los elemetos aparezca e la selecció más de ua vez CR, k = + k 1 ( + k 1)! = k k! ( 1)! Ejemplo: Palabras de 5 letras co el alfabeto {a,b,c}, podemos represetarlas co ua cadea biaria co 5 (k) uos y 2 ceros (-1), que represeta la alteracia etre las 3 () letras que dispoemos. Así, aabcc se represetaría por

29 Combiacioes co repetició Luego las combiacioes co repetició so las maeras de distribuir k uos e ua cadea biaria de logitud +k-1, es decir, combiacioes de +k-1 tomadas de k e k. Ejemplo: De camio a casa, 7 estudiates se detiee e u restaurate de servicio rápido dode cada uo puede escoger etre: ua hamburguesa co queso, u perrito caliete, u bocadillo o u emparedado de pescado. Cuátos pedidos diferetes se puede hacer?