n Ordenada en el origen. Gráfica: Recta que pasa por el punto ( 0, Si m > 0 Estrictamente creciente Si m < 0 Estrictamente decreciente f(x) = mx+n

Transcripción

1 IES adre oveda (Guadi) UNIDAD 7 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES OLINÓMICAS FUNCIONES OLINÓMICAS DE RIMER GRADO Son de la orma: ( ) m n = + m endiente n Ordenada en el origen Gráica: Recta que pasa por el punto (, n ) Si m > Estrictamente creciente Si m < Estrictamente decreciente (, n) () = m+n (, n) () = m+n En ambos casos Dom ( ) = R, ( ) = R Rec No está acotada ni superior ni ineriormente (empre que m ) endiente m Indica el aumento o disminución de y cuando aumenta una unidad Recuerda que m y y = endo (, y ) y y y Q( ) α, y Q puntos de la recta y y Además, m = tg α Además, m es conocida y ( ), y es un punto de la recta, podemos obtener la ecuación de la recta en orma punto pendiente: ( ) y y = m + Dos unciones polinómicas de primer grado tienen gráicas paralelas tienen la misma pendiente ( además coincide la ordenada en el origen, serán coincidentes) Recuerda: Si n = () = m Función lineal o de proporcionalidad directa Su gráica es una recta que pasa por (,) Si m ; n ( ) = m + n Si m ( ) = n Función aín = Función constante (en este caso no es polinómica de primer grado) Su gráica es una recta paralela al eje de abscisas que pasa por (, n ) () = n (, n) En este caso: Dom ( ) = R Rec = n ( ) { } Departamento de Matemáticas Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

2 IES adre oveda (Guadi) Ejercicio : Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto (, ) Calcula la ecuación de una recta paralela a la anterior Representa ambas rectas Ejercicio : Escribe la ecuación de la recta que: a) asa por (, ) y Q (, ) b) Es paralela a = + y y pasa por (, ) Ejercicio : Un transportista de mercancías de gran tonelaje cobra 5 por usar el camión más por tonelada transportada Cuánto ha transportado por un viaje en el que ha cobrado 594? FUNCIONES CUADRÁTICAS O OLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO Son de la orma: ( ) = a + b + c con a, b, c R Dom = Gráica: arábola Mayor valor de a Más estilizada (cerrada) es la parábola Recuerda: a ( ) R Si a > Convea ( ) Si a < Cóncava ( ) Δ > Δ = Δ < Δ > Δ = Δ < Mínimo absoluto en el vértice Máimo absoluto en el vértice No acotada superiormente No acotada ineriormente Sí acotada ineriormente Sí acotada superiormente = Estudia su dominio, recorrido, monotonía, etremos y acotación º) Curvatura: a = > Convea ( ) D om( ) = R º) untos de corte con los ejes: = (, ) Eje OX: y = = = Q(, ) Eje OY: = ( ) = R(, ) º) Vértice: (Mínimo absoluto y relativo por ser convea) b b v = = = ; y v = = () = 4 V (, 4) a a Rec ( ) = [ 4, + ) Estr decreciente en (,); Estr creciente en (, + ) Acotada ineriormente (N=-4), pero no superiormente Ejemplo: Representa la unción ( ) Ejercicio : La altura de una pelota de tenis que es lanzada hacia arriba viene dada por la unción h() t = 45 t 49t a) Qué altura tiene a los segundos? b) Cuándo vuelve a pasar por la misma altura? c) Cuál es la altura máima que alcanza? d) Cuántos segundos tarda en regresar al suelo? e) Representa la trayectoria que describe la pelota Departamento de Matemáticas Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

3 IES adre oveda (Guadi) Ejercicio : El consumo de un vehículo en unción de la velocidad en kilómetros por hora, por cada kilómetros recorridos, viene dado por la epreón C ( ) = + a) A qué velocidad el consumo es menor? b) Entre qué velocidades el consumo no supera los 8 litros? C c) Representa gráicamente la unción ( ) FUNCIONES OLINÓMICAS DE GRADO SUERIOR Función polinómica de grado n: n n ( ) = an + an + + a + a + a con a i R a n ropiedades: Dom ( ) = R, Rec ( ) depende de cada unción Continua en R A lo sumo corta n veces al eje de abscisas El resto de propiedades son especíicas de cada unción y se estudiarán en guientes unidades Ejemplos de gráicas: Si a n > Si a n < n par n impar n par n impar EL ROBLEMA DE LA INTEROLACIÓN En bastantes ocaones las Ciencias Sociales y las Ciencias Eperimentales precisan obtener una unción que describa el comportamiento de cierto enómeno del que solo se conocen algunas parejas de valores (5)? (, 7), (5,?) ( 7, 6) ( ) ( 6, 8) Cómo obtenemos (5)? = 5 = 7 = 6 = Objetivo: Encontrar una unción que, pasando por esos puntos de la gráicas, se aproime a la unción real A esa unción se la llama unción de interpolación La unción de interpolación nos permite calcular, de modo aproimado, el valor de ( a) cualquier valor a Si a [, n ] por interpolación Si a [, n ] por etrapolación decimos que estamos interpolando el valor a y que ( a) decimos que estamos etrapolando el valor a y que ( a) para se ha obtenido se ha obtenido Nos vamos a limitar al caso de la interpolación polinómica (la unción interpoladora es un polinomio) lineal y cuadrática Departamento de Matemáticas Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

4 IES adre oveda (Guadi) INTEROLACIÓN LINEAL () (5) () De una unción conocemos solo dos de sus puntos (, ) y (8, 5), es decir: ()? () () ()= (8)=5 Qué valor toma la unción en =? Vamos a AROXIMAR la unción () mediante una unción lineal (recta): ( ) = m n + 8 que coincida con en esos puntos conocidos A este proceso se la llama interpolación lineal y al polinomio se le llama polinomio de interpolación lineal = +, entonces Como ( ) m n ( ) = m + n = m = 7 () 8 = 5 8m + n = 5 n = 7 or tanto ( ) = + ( ) = + 7 = ( ) Si en lugar de aproimar un valor [ a, b], etrapolación Departamento de Matemáticas 4 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro está uera de [ b] a,, entonces se llama Ejemplo : En una Univerdad, el año 99 se matricularon 4 alumnos y el año 997, Estimar, aproimadamente, cuantos se matricularon el año 994 y en el año Solución: ( ) = m + n ( 99) = 4 99m + n = 4 m = 56 ( 997) = 997m + n = n = 5 or tanto: ( ) = 56 5 ( 994) = = 5 alumnos aproimadamente Ejemplo : El número de trasplantes de riñón eectuados en España en el año 984 ue de 86, y en el año 986 ue de 8 Usando la interpolación lineal, determina el número aproimado de trasplantes que se eectuaron en el año 985 y en el año 98 Solución: ( ) = m + n or tanto ( ) ( 984) = m + n = 86 m = 7 ( 986) = 8 986m + n = 8 n = 4 96 ( 985) = = ( 98) = = 66 9 = En el año 985 se eectuaron, aproimadamente, 9 trasplantes de riñón y en el año 98 se eectuaron 66 Ejemplo : Se obtienen los guientes datos de una oicina del INEM: Inlación % 9 6 aro % 44 7

5 IES adre oveda (Guadi) Halla la tasa de paro en un momento en el que la tasa de inlación es del % Solución: ( 9) = 44 9m + n = 44 m = 4 ( ) = m + n ( 6) = 7 6m + n = 7 n = 5 8 = + = or tanto ( ) 4 58 ( ) 946% INTEROLACIÓN CUADRÁTICA B (, y ) C ( ) A(, y ), y ( ) ( ) En este caso conocemos tres puntos A (, y ), (, y ) C, y de la gráica de, es decir, ( ) = y, ( ) = y y ( ) = y B y ( ) Se va a interpolar mediante una parábola cuya epreón algebraica será una unción cuadrática: ( ) c = a + b + llamada polinomio de interpolación cuadrática Las unción () y su unción interpoladora (), coincidirán en los tres puntos conocidos En este caso surgirá un stema de tres ecuaciones con tres incógnitas: ( ) = y ( ) = y ( ) = y Ejemplo : Calcula la unción de interpolación cuadrática correspondiente a los valores de la tabla: 5 y y calcula su valor cuando = 4 Solución: ( ) = 4 ( ) = a + b + c () = 9 5 = 8 = a + b + c = 4 a = / 9a + b + c = 9 b = / () 5a + 5b + c = 8 c = or tanto ( ) ( ) = = ( 4) Ejemplo : Una saltadora de altura tiene las guientes marcas dependiendo de los años de entrenamiento: Años de entrenamiento 4 Marca (cm) 69 8? 99 Determina su marca aproimada a los años de entrenamiento Solución: ( ) = 69 a + b + c = 69 a = ( ) = a + b + c ( ) = 8 a + b = b = 5 ( 4) = = a b c = 55 or tanto ( ) = ( ) = = 9cm () 9cm Departamento de Matemáticas 5 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

6 IES adre oveda (Guadi) FUNCIONES RACIONALES Son de la orma: Ejemplos: 4 ( ) ( ) = con ( ), ( ) Q( ) Dom ( ) = R \{ R/ Q( ) = } a) ( ) b) g ( ) = Q unciones polinómicas = + g Dom ( ) = R \{, } ; Rec ( ) = R Dom ( g) = R + = [, + ) ; Rec ( g) = R + = (, + ) Sus propiedades son dierentes para cada unción CASO ARTICULAR: FUNCIONES DE ROORCIONALIDAD INVERSA: Son de la orma: k ( ) = con k R k Gráica: Hipérbola equilátera Ejemplos: a) ( ) = b) g( ) = c) h( ) = g h Observa: Si Si k > Ramas tuadas en el primer y tercer cuadrante k < Ramas tuadas en el segundo y cuarto cuadrante ropiedades: Dom ( ) = R \{, } Rec ( ) = R \{ } Si k > Estrictamente decreciente en ( ) (, + ) Si k < Estrictamente creciente en (, ) (, + ) No tiene etremos absolutos ni relativos No está acotada ni superior ni ineriormente Impar (metría respecto al origen) y = es una asíntota horizontal = es una asíntota vertical untos de la gráica:, () = k (, k) ( k) = Q( k,) = k R, k k = S k, ( ) ( ) ( ) ( ) Departamento de Matemáticas 6 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

7 IES adre oveda (Guadi) También tienen como gráica una hipérbola las unciones racionales del tipo: a + b ( ) = Dom ( ) = R \{ d / c} Asíntota vertical: = d / c c + d = a / c Asíntota horizontal: y = a / c Rec ( ) R \{ } Aunque tendremos que tener en cuenta algunos casos como el ejemplo b) Ejemplos: 5 a) () = b) Dada la unción ( ) 4 FUNCIONES IRRACIONALES Son de la orma: Dom ( ) = R \{ } Rec ( ) = R \{ } Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = Estrictamente decreciente en: (, ) (, + ) No acotada ni superior ni ineriormente No presenta etremos absolutos ni relativos No es impar 5 Fíjate: ( ) = = + Qué observas? 6 g = su gráica es una hipérbola? or qué? ( ) = n g( ) con ( ) g polinómica o racional Si n es par Dom ( ) = { Dom( g) / g( ) } Si n es impar Dom ( ) = Dom( g) Ejemplos: a) () = ( ) = R + Dom = [, + ) b) g ( ) = + Dom ( g) = R () g() - - g Rec ( ) = R + = [, + ) Rec ( g) = R Departamento de Matemáticas 7 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

8 IES adre oveda (Guadi) 5 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Están deinidas por varias epreones algebraicas Ejemplo : Representa estas unciones deinidas a trozos < ( ) = ( ) = ( ) = + a) ( ) = < Dom ( ) = R F() = F()= - F() = (, ) Rec ( ) = b) g ( ) = + + < < 4 4 g ( ) = + + g ( ) = g ( ) = 4 Dom (g) = R G() = G() = g rimer trozo: Arco de parábola º) Curvatura: a = > Convea ( ) º) untos de corte con los ejes: Eje OX: y = + + = = (, ) ( Coincide con el vértice) Eje OY: = g( ) = Q(,) (Fin arco parábola) º) Vértice: b b v = = = ; = g = g( ) = V, a a c) h ( ) = y v ( ) [,) [, ] (, 7) Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráica y estudia su dominio y recorrido Rec (g) [ + ) =, h Departamento de Matemáticas 8 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

9 IES adre oveda (Guadi) Ejemplo : La guiente gráica representa el consumo eléctrico (en miles de KWh) de un restaurante en unción de la hora del día Determina su epreón analítica Solución: ( ) = < < 8 8 < 4 4 < < < 4 OTRAS FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: a) Función parte entera E() Función parte entera E() b) Función parte decimal c) Función gno D() = -E() Dom(E)= R ; Rec(E)= Z E ( ) = < < < < < < < 4 Dom(D)= R ; Rec(D)= [,) eriódica con T = + + D ( ) = < < < < < Dom(Sig)= R ; Rec(Sig)= {,,} Sig( ) Sig ( ) = < = > 6 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Se deine la unción valor absoluto como la unción deinida a trozos: ( ) = = < ()= Dom ( Rec ( ) = R ) =, [ + ) Departamento de Matemáticas 9 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

10 IES adre oveda (Guadi) Ejemplo : Representa y epresa como unción deinida a trozos: a ) () = 4 ()= -4 Se representa: y = 4 b ) () = Se representa y = ()= -5+4 º) Curvatura: a = > Convea ( ) º) untos de corte con los ejes: Eje OX: ( ) =, y = 5 + 4= = 4 Q( 4, ) Eje OY: = R(, 4) º) Vértice: b 5 v = = = 5; y 5 v = = 5 a ( ) = R; Rec ( ) =, + V ( 5, 5) ó 4 = < < 4 Dom [ ) Como unción a trozos queda: ( ) y = Corte con eje OX: ( no se ha obtenido en la tabla) y = 4 = = (,) Como unción a trozos queda: + 4 < Dom ( ) = R; Rec ( ) = [, + ) ( ) = 4 c ) () = Comprueba que en el caso c) se obtiene esta gráica ()= FUNCIONES EXONENCIALES Son de la orma: ( ) a Ejemplos: a) ( ) = y g( ) = con a R; a > y a = b) () = y g( ) = () /4 / 4 8 () 4 / /4 /8 g() /9 / 9 7 g() 9 / /9 /7 Departamento de Matemáticas Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

11 IES adre oveda (Guadi) a > g()= ()= ()=(/) g()=(/) < a < = y g( ) Fíjate: Las gráicas de () a = son métricas respecto al eje OY a g() = (/) () = ropiedades: Dom ( ) = R, Rec ( ) = (, + ) Su gráica pasa por los puntos:, a = ( ), es decir, ( ) = o Q (, a), es decir, ( ) = a = a R (, / a), es decir, ( ) = a = / a Convea en R No tiene etremos absolutos ni relativos Está acotada ineriormente por N=, pero no está acotada superiormente Si a > es estrictamente creciente en R Si < a < es estrictamente decreciente en R Su gráica no presenta metrías Es continua en R y = es una asíntota horizontal Una unción eponencial muy especial: ( ) = e ( ) e = Función eponencial de base e Recuerda que: e = 7888 asa por:, Q, e R, / e ( ); ( ); ( ) Departamento de Matemáticas Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

12 IES adre oveda (Guadi) 8 FUNCIONES LOGARÍTMICAS Son de la orma: Ejemplos: log ( ) log = con a R; a > y a a a) ( ) = y ( ) = log b) ( ) = y g( ) = g log log 4 8 / /4 () / /9 g() / /4 () / /9 g() a > ()=log g()=log < a < Fíjate: Las gráicas de ( ) = log y g( ) a = log son métricas respecto al eje OX a g()=log / ()=log / g()=log ()=log / ropiedades: Dom ( ) = (, + ), Re c( ) = R Su gráica pasa por los puntos:, log = ( ), es decir, ( ) = a Q ( a,), es decir, ( a) = log a a = R ( / a, ), es decir, ( / a) = log / a = a No tiene etremos absolutos ni relativos No está acotada, ni superior ni ineriormente Si > Si < Su gráica no presenta metrías Es continua en (, + ) = es una asíntota vertical a es estrictamente creciente y cóncava en (, + ) < a es estrictamente decreciente y convea en (, + ) Departamento de Matemáticas Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

13 IES adre oveda (Guadi) Observación: ( ) = a y g( ) log = son unciones inversas a or tanto, sus gráicas son métricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante a > < a < g = - g = - Una unción logarítmica muy especial: ()=ln ( ) ln = Función logaritmo neperiano Recuerda que: ln = loge asa por:, e, R / e, ( ); Q ( ); ( ) 9 FUNCIONES CIRCULARES O TRIGONOMÉTRICAS 9 FUNCIÓN SENO π π π sen () Si obtenemos una tabla de valores: π Dado un ángulo, se deine su seno, sen () =Valor de la ordenada del punto Variando el ángulo, el punto se mueve por la esera unidad A cada ángulo le corresponde una determinada ordenada comprendida entre - y = ( Obtenemos así la unción seno: ( ) sen ) π /4 π / π /4 π π / π () / / - ()=sen ropiedades () = sen : Dom ( ) = R; Re c ( ) = [, ] eriódica con T = π rad Monotonía y curvatura en [, π ) Estr creciente en: (, π / ) ( π /, π ) Estr decreciente en: π /, π / ( ) Convea en: ( π, π ) Cóncava en: (, π ) Máimo absoluto y relativo en: = π / con valor ( π / ) = Mínimo absoluto y relativo en: =π / π / = Función impar, continua y acotada M=; N=- con valor ( ) Departamento de Matemáticas Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

14 IES adre oveda (Guadi) 9 FUNCIÓN COSENO π π π Dado un ángulo, se deine su coseno, cos () =Valor de la abscisa del punto Variando el ángulo, el punto se mueve por la esera π unidad A cada ángulo le corresponde una determinada cos () abscisa comprendida entre - y Si obtenemos una tabla de valores: = ( Obtenemos así la unción coseno: ( ) cos ) π /4 π / π /4 π π / π ()=cos () / - / - ()=cos Obtén el resto de propiedades como en la unción seno Esta unción () = cos es periódica de periodo T = π 9 FUNCIÓN TANGENTE π π π cos () tg () Si obtenemos una tabla de valores: π Dado un ángulo, se deine su tangente, sen () tg ( ) = sen cos Variando el ángulo, el punto se mueve por la esera unidad A cada ángulo le corresponde una determinada tangente salvo en algunos casos ngulares Obtenemos así la unción tangente: ( ) tg = π /4 π / π /4 π 5π /4 π / 7π /4 π ()=tg() / - / - ropiedades () =tg : π Dom ( ) = R \ + k π / k Ζ Rec ( ) = R eriódica con T = π rad Estudia el resto de sus propiedades ()=tg Departamento de Matemáticas 4 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

15 IES adre oveda (Guadi) Análogamente se pueden obtener las gráicas de la unciones cosecante, secante y cotangente: ( ) = cosec = ( ) = sec = sen cos = tg ( ) = cotg o también ( ) cos = cotg = sen Observa las gráicas anteriores y estudia sus propiedades OTRAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES TRASLACIONES VERTICALES ( ) k > Traslación vertical de k unidades en la gráica de en sentido potivo ( hacia arriba ) + k k < Traslación vertical de k unidades en la gráica de en sentido negativo ( hacia abajo ) Ejemplos: a) Observa las gráicas de la derecha obtenidas al trasladar la unción () ( ) = ( ) + 4 g Traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba () = () h Traslación vertical de dos unidades hacia abajo g() = () + 4 () h() = () - Departamento de Matemáticas 5 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

16 IES adre oveda (Guadi) b) Observa ahora estas gráicas obtenidas por traslación de la unción () = sen ( ) = ( ) + g( ) = sen + g Traslación vertical de dos unidades hacia arriba ( ) = ( ) h( ) = sen h Traslación vertical de tres unidades hacia abajo g() = sen + () = sen h() = sen - TRASLACIONES HORIZONTALES k > Traslación horizontal de k unidades en la gráica de en sentido negativo ( hacia la izquierda ) ( + k ) k < Traslación horizontal de k unidades en la gráica de en sentido potivo ( hacia la derecha ) Ejemplos: a) resta atención a estas gráicas obtenidas por traslación horizontal de () ( ) = ( ) g Traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha ( ) = ( + 4) h Traslación horizontal de cuatro unidades hacia la izquierda () h() = ( +4) g() = ( - ) b) Fíjate ahora en estas traslaciones de la unción () = sen ( ) = ( + π / ) g( ) = sen( + π / ) g Traslación horizontal de π/ unidades hacia la izquierda ( ) = ( π ) h( ) = sen( π ) h Traslación horizontal de π unidades hacia la derecha Departamento de Matemáticas 6 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro

17 IES adre oveda (Guadi) Observa: g( ) = sen( + π / ) = cos g() = sen ( + π/ ) () = sen h() = sen (-π) COMOSICIÓN DE TRASLACIONES ( + k ) + k Traslación horizontal de k unidades (hacia la izquierda k > o hacia la derecha k < ), junto con otra traslación vertical de k unidades (hacia arriba k o hacia abajo k ) > Ejemplo: Representar ( ) = ( ) g + 4 a partir de la unción ( ) = < g () = ( ) + 4 Traslación horizontal de dos unidades hacia la derecha Traslación vertical de cuatro unidades hacia arriba () (-) + 4 (-) 4 SIMETRÍAS a) Funciones opuestas: Representación de () a partir de () () () y - () son métricas respecto al eje OX - () b) Representación de (-) a partir de () (-) () () y (-) son métricas respecto al eje OY Fíjate: Si es par, coincidirán ambas gráicas Departamento de Matemáticas 7 Bloque II: Anális de Funciones roesor: Ramón Lorente Navarro