z a3 Ecuaciones continuas de la recta: eliminando el parámetro de (2) = = u u u

Transcripción

1 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Coodenadas o componentes de un vecto Sean dos puntos ( a, a ) y ( ) uuu uuu vecto son: = ( b a, b a, b a ) b, b, b del espacio. Entonces las coodenadas o componentes del uuu uuu uuu uuu. Dos vectoes, CD son equivalentes ( = CD ) si tienen las mismas coodenadas o componentes. l conjunto de todos los vectoes con las mismas coodenadas lo llamaemos vecto libe y lo denotaemos genéicamente mediante u. El vecto nulo es aquel que tiene u, u, u, entonces el vecto opuesto, u, tiene coodenadas coodenadas (0, 0, 0). Si u tiene coodenadas ( ) ( u, u, u ). Si u y v son dos vectoes con coodenadas u, u y ( v, v, v ) entonces el vecto suma u + v tiene coodenadas ( u v v, u v ) poducto de un númeo po el vecto u, λ u tiene coodenadas ( λu, λu, λ u ). División de un segmento en n pates iguales Sea un segmento de extemos ( a, a ) y ( b, b, b ), espectivamente, y dado un númeo λ el Coodenadas de un punto C que dividen al segmento en dos pates iguales: a + b a + b a + b C = a + (b a ), a + (b a ), a + (b a ) =,, Coodenadas de dos puntos C y D que dividen al segmento en tes pates iguales: C = a + (b a ), a + (b a ), a + (b a ) D = a + (b a ), a + (b a ), a + (b a ) Coodenadas de tes puntos C, D y E que dividen al segmento en cuato pates iguales: C = a + (b a ), a + (b a ), a + (b a ) D = a + (b a ), a + (b a ), a + (b a ) E = a + (b a ), a + (b a ), a + (b a ) Y así sucesivamente paa dividi un segmento en n pates iguales.. Vecto diecto de una ecta y ecuaciones de la ecta Dada una ecta se llama vecto diecto de la ecta a un vecto libe u que tenga la diección de la ecta. Supongamos que de una ecta conocemos un punto ( a, a ) y un vecto diecto u = ( u, u ). Supongamos también que P(x, y, z) es un punto cualquiea de dicha ecta. Entonces: Ecuación vectoial de la ecta: P = λu x a, y a, z a = λ u, u, u () uuu x a = λ u x = a + λu Ecuaciones paaméticas de la ecta: de () se deduce que y a = λu y = a + λu z a u = λ z = a + λu x a y a z a Ecuaciones continuas de la ecta: eliminando el paámeto de () = = u u u Nota: si alguna de las coodenadas del vecto es nula, también podemos escibi las ecuaciones continuas de la ecta. Entonces apaeceá un ceo en algún denominado. unque apaentemente esto no tenga sentido, lo intepetaemos no como un cociente, sino como una popocionalidad, en la que el poducto de medios es igual al poducto de extemos. Ello supone que el numeado coespondiente se anula. Ecuación de una ecta conociendo dos puntos: si conocemos dos puntos uuu u = = ( b a, b a, b a ) () a, a, a y ( b, b, b ) x a y a z a, y entonces la ecuación es = = b a b a b a

2 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 4. Ecuaciones de un plano Un plano queda definido si conocemos un punto ( a, a ) peteneciente a él y dos vectoes u = ( u, u ) y v = ( ) v, v, v de u diección difeente contenidos en él. Tomando un punto P(x, y, z) cualquiea v uuu del plano, el vecto P debeá se combinación lineal de los vectoes u y v, es deci, debeán existi unos escalaes λ y µ tales que: Ecuación vectoial del plano: P = λ u + µ v x a, y a, z a = λ u, u, u + µ v, v, v () uuu x a = λ u + µ v x = a + λ u + µ v Ecuaciones paaméticas del plano: de () y a = λ u + µ v y = a + λ u + µ v (4) z a u v = λ + µ z = a + λ u + µ v Ecuación implícita, geneal o catesiana de un plano: consideando (4) como un sistema de tes ecuaciones con dos incógnitas (λ y µ), debe ocui, paa que halla soluciones y así el plano tenga sentido, u v u v x a que el ango de las matices u v (matiz de los coeficientes) y u v y a (matiz ampliada) u v u v z a v, v, v son linealmente independientes). sea el mismo (ango = pues u = u, u, u y v = Entonces el deteminante de la matiz ampliada debe se igual a ceo: deteminante también se puede escibi así: x a y a z a u v x a u v y a = 0. Este u v z a u u u = 0 (5). Desaollando este deteminante v v v se obtiene la ecuación implícita, geneal o catesiana del plano: x + y + Cz + D = 0 Ecuación de un plano conociendo tes puntos: dados tes puntos no alineados ( a, a ), uuu uuu u = = b a, b a, b a v = C = c a, c a, c a ( b, b, b ) y ( ) Entonces po (5) oden: C c, c, c x a y a z a y b a b a b a = 0, deteminante que vale los mismo que este oto de cuato c a c a c a x a y a z a 0 b a b a b a 0 = 0 y sumando la cuata fila a las otas tes tenemos la ecuación del c a c a c a 0 a a a plano que pasa po, y C, expesada po medio de un deteminante: 5. Posiciones elativas de dos ectas x y z b b b = 0 c c c a a a Sea deteminada po ( a, a ) y u = ( u, u ) y s deteminada po ( b, b, b ) y v = ( ). v, v, v. Coincidentes: tienen todos sus puntos comunes Paalelas: no tienen ningún punto en común, y además existe un plano que contiene a ambas ectas. Secantes: tienen un punto en común. Se cuzan: no tienen ningún punto en común y no existe ningún plano que contenga a ambas ectas. P

3 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 5.. Rectas coincidentes En este caso u y v tienen la misma diección. demás el vecto uuu tiene la misma diección que los anteioes. Po tanto, la condición paa que dos ectas sean coincidentes es: u u u u u u ango = ango v v v v v v = b a b a b a u v s 5.. Rectas paalelas En este caso los vectoes u y v uuu también tienen la misma diección. Peo la diección de es distinta de la de u y v. sí pues, la condición paa que dos ectas sean paalelas es: u u u u u u ango = ; ango v v v v v v = s b a b a b a 5.. Rectas secantes En este caso los vectoes u y v uuu tienen distinta diección. demás, el vecto está contenido en el plano deteminado po u y v. Entonces, la condición paa que dos ectas sean secantes es: u u u u u u ango = ango v v v v v v = b a b a b a u v v u s 5.4. Rectas que se cuzan En este caso las diecciones de los vectoes u y v son distintas, uuu peo el vecto no está contenido en el plano deteminado po u y v (no puede pues obtenese como combinación lineal de u y v ). sí pues, la condición paa que dos ectas se cucen es: u u u u u u ango = ; ango v v v v v v = b a b a b a s v u 6. Posiciones elativas de una ecta y un plano x = a + λu Escibamos la ecta en paaméticas : y = a + λ u y el plano en ecuación implícita : x + y + Cz + D = 0 z = a + λ u Si un punto de la ecta petenece también al plano, entonces, al sustitui sus coodenadas en la ecuación geneal a + λ u + a + λ u + C a + λ u + D = 0, es deci: x + y + Cz + D = 0, ésta debe satisfacese: ( ) ( ) ( ) ( a + a + Ca + D) + λ ( u + u + Cu + D) = 0 ( a + a + Ca + D) (6) λ = ( u + u + Cu + D) Los valoes de λ que cumplen esta ecuación deteminan los puntos de la ecta que petenecen también al plano. Recta contenida en el plano: si todos los puntos de la ecta petenecen al plano. Recta y plano paalelos: si no tienen ningún punto en común. Recta y plano secantes: si tienen un punto en común.

4 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio 6.. Recta contenida en el plano En este caso todos los puntos de la ecta petenecen también al plano, lo cual significa que todo valo λ es solución de la anteio ecuación (6). Paa que esto sea posible ha de se: u + u + Cu + D = 0 ; a + a + Ca + D = Recta y plano paalelos En este caso ningún punto de la ecta petenece al plano, lo cual significa que no hay ningún valo de λ que sea solución de la ecuación (6). Paa que esto ocua ha de se: u + u + Cu + D = 0 ; a + a + Ca + D 0 Pedo Casto Otega 6.. Recta y plano secantes En este caso un único punto de la ecta petenece al plano, lo cual significa que hay un único valo de λ que es solución de la anteio ecuación (6). Paa que esto ocua ha de se: u + u + Cu + D 0 7. Posiciones elativas de dos planos Dos planos x + y + Cz + D = 0 y ' 'x + ' y + C'z + D' = 0 en el espacio pueden adopta una de las siguientes posiciones elativas: Planos coincidentes: son los que tienen todos sus puntos comunes. Planos paalelos: son los que no tienen ningún punto en común. Planos secantes: son los que tienen una ecta común. x + y + Cz + D = 0 Los puntos petenecientes a ambos planos son las soluciones del sistema (7), luego 'x + 'y + C'z + D' = 0 la posición elativa vendá deteminada po el caácte del mencionado sistema y po tanto de los angos espectivos de la matiz de los coeficientes y de la matiz ampliada. 7.. Planos coincidentes En este caso las ecuaciones del sistema (7) deben se equivalentes (popocionales) y los angos de ambas matices son iguales a : ango C ' ' C' = ango C D ' ' C' D' = Obsévese que esta condición es equivalente a esta ota: C D ' = = = ' ' C' D' 7.. Planos paalelos Si el ango de la matiz de los coeficientes es y el de la matiz ampliada es, es sistema (7) es incompatible y los planos seán paalelos: ango C ' ' C' = ; ango C D ' ' C' D' = Condición que es equivalente a esta ota: = = C D ' ' C' D' 7.. Planos secantes En este caso basta con que el ango de la matiz de los coeficientes sea igual a : ango C ' ' C' = La ecta solución vendá dada po las infinitas soluciones del sistema (7). ' ' 4

5 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 8. Ecuaciones implícitas de una ecta Según se ha visto en el apatado anteio, dos planos secantes se cotan en una ecta. Po tanto, el conjunto de las dos ecuaciones del sistema (7) pueden considease como las ecuaciones de una ecta. Llamaemos a éstas x + y + Cz + D = 0 ecuaciones implícitas de la ecta : 'x + 'y + C'z + D' = Paso de ecuaciones continuas a foma implícita x a y a z a Si tenemos una ecta en foma continua = =, paa pasa a foma implícita basta multiplica u u u en cuz las dos igualdades: 8.. Paso de foma implícita a continua u x a = u y a ux uy + ua ua = 0 u y a = u z a uy uz + u a ua = 0 x + y + Cz + D = 0 Se pocede esolviendo el sistema fomado po las ecuaciones implícitas:. Veámoslo 'x + 'y + C'z + D' = 0 con un ejemplo: x y x 6 = 0 x y = λ + 6 Sea la ecta. Llamamos z = λ. Sumando ambas ecuaciones se obtiene x + y + z = 0 x + y = λ + λ 4x = λ + 8 x = +. Sustituyendo en la segunda ecuación: λ y = λ + y = λ λ y = λ λ 5λ Po tanto las soluciones son (x, y, z) = +,, λ, y de aquí podemos escibi la ecta en foma su 4 4 λ 5λ 5 vectoial; (x, y, z) = (, 0, 0) +,, λ = (, 0, 0) + λ,,, de donde se deduce que un punto de la ecta es (, 0, 0) y un vecto diecto es v 5 =,, y también lo seá uno popocional a éste: 4 4 u = (, 5, 4) (multiplicamos po el denominado común y así pescindimos de facciones en la ecuación continua). sí pues la ecuación continua es: x y z = = Haz de planos Dada una ecta en el espacio, el conjunto de planos que pasan po ella se llama haz de planos de aista. Si la ecta está dada en foma implícita x + y + Cz + D = 0, el haz de planos se obtiene al da a λ y µ todos los 'x + 'y + C'z + D' = 0 valoes posibles, excepto λ = 0 y µ = 0 simultáneamente, en la expesión: λ ( x + y + Cz + D) + µ ( 'x + ' y + C'z + D' ) = 0 El empleo del haz de planos facilita la esolución de algunos poblemas. Po ejemplo: x y + = 0 Halla la ecuación del plano que contiene a la ecta y pasa po x z = 0 el punto (,, 6). El plano buscado seá de la foma: λ(x y + ) + µ(x z) = 0. Si pasa po el punto (,, 6) estas coodenadas deben satisface la ecuación del plano, luego: λ( + + ) + µ(6 + 6) = 0 6λ + µ = 0 λ + µ = 0. usquemos unos valoes de λ y µ que cumplan esta última expesión, po ejemplo, λ = y µ =. Po lo tanto, el plano buscado seá (x y + ) (x z) = 0 y + z + = 0 5

6 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 0. Poducto escala de dos vectoes Dado un vecto libe u del espacio, se llama módulo de u a su longitud, y lo epesentaemos po u. Se llama poducto escala de dos vectoes u y v, y se epesenta u v a la expesión: u v = u v cos donde es el meno ángulo fomado po los vectoes u y v u v u v 0.. Popiedades del poducto escala a) Conmutativa: u v = v u b) Distibutiva especto de la suma: u ( v + w ) = u v + u w c) sociativa mixta: k( u v ) = (k u ) v = u (k v ), donde k d) Si dos vectoes son pependiculaes su poducto escala es ceo: u v u v = 0 e) Si el poducto escala de dos vectoes es ceo, y los vectoes son ambos no nulos, entonces los vectoes son pependiculaes: u v = 0 ; u, v 0 u v f) Si las coodenadas de u y v son, espectivamente, ( u, u, u ) y ( v, v, v ) se puede expesa de la siguiente manea: u v = uv + u v + uv 0.. Expesión del módulo de un vecto utilizando el poducto escala, entonces el poducto escala El módulo de un vecto es igual a la aíz cuadada positiva del poducto escala de dicho vecto po sí mismo: u = + u u Utilizando f) y la expesión anteio: u = + u + u + u Se llama vecto unitaio o nomal a aquel cuyo módulo vale. Nomaliza un vecto u es enconta un vecto v unitaio que tenga la misma diección y sentido que u. Paa obtene v, basta multiplica u po el inveso de su módulo: v = u u. Poducto vectoial de dos vectoes Dados dos vectoes libes u y v, se llama poducto vectoial de u po v al vecto que: Tiene po módulo u v sen, donde es el meno ángulo fomado po los vectoes. Tiene la diección de la pependicula al plano deteminado po u y v Tiene el sentido de gia desde u hacia v (egla del sacacochos). El poducto vectoial de u y v se epesenta así: u v... Popiedades del poducto vectoial a) nticonmutativa: u v = ( v u ) b) Distibutiva especto a la suma: u ( v + w ) = u v + u w c) sociativa mixta: k( u v ) = (k u ) v = u (k v ), donde k d) Si u y v tienen la misma diección u v = 0, entonces el poducto i j k vectoial se obtiene al desaolla la pimea fila del deteminante: u v = u u u, donde i, j y k v v v e) Si las coodenadas de u y v son, espectivamente, ( u, u ) y ( v, v, v ) son, espectivamente los vectoes (, 0, 0), (0,, 0) y (0, 0, ). El conjunto { i, j, k } es un sistema de efeencia otonomal (conjunto de tes vectoes de módulo uno pependiculaes dos a dos). Po tanto u v = u v u v i u v u v j + u v u v k 6

7 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Poducto mixto de tes vectoes Dados tes vectoes u, v y w se llama poducto mixto de dichos vectoes al númeo obtenido así: u ( v w ) El poducto mixto se denota así ( u, v, w ). Si las coodenadas de los vectoes son u = ( u, u ), v = ( v, v, v ) y w = ( w, w, w ), entonces el poducto mixto es el valo del deteminante: u u u u, v, w = v v v w w w. Ángulo de dos vectoes El coseno del ángulo fomado po los vectoes u = ( u, u, u ) y v = ( v, v, v ) u v uv + u v + uv cos = = u v u + u + u v + v + v Se toma como ángulo el meno de los fomado po los vectoes u y v. vale:.. Cosenos diectoes de un vecto Dado un vecto u = ( u, u, u ) se llaman cosenos diectoes de este vecto a los cosenos de los ángulos que foma este vecto con los vectoes i, j, k. Llamemos a estos ángulos, espectivamente,, y. Entonces, como las coodenadas de i son (, 0, 0), i u u + 0v + 0v se tiene cos = = i u u + u + u cos = u u + u + u u. nálogamente cos = u + u + u u cos =. Obsévese pues que los cosenos diectoes coinciden con las coodenadas del vecto u + u + u v nomalizado de u : u u u v = u = ( u, u ) =,, = u u + u + u u + u + u u + u + u u + u + u = cos, cos cos. Obsévese también que cos + cos + cos = u i u k j u u 4. Vecto pependicula a un plano Un vecto libe u es pependicula a un plano cuando u es pependicula a cualquie vecto contenido en. Dado el plano de ecuación x + y + Cz + D = 0, se tiene que u = (,, C) son las coodenadas de un vecto pependicula al plano: u = (,, C). La compobación es fácil: se toman dos puntos ( ) P( p, p, p ) del plano. Entonces: M m, m, m y uuu u MP =,, C p m, p m, p m = p m + p m + C p m = uuu = = =, pues M, P. Como u MP = 0 u. ( ) ( ) ( ) ( ) ( p p Cp ) ( m m Cm ) D ( D) 0 M u P 7

8 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 5. Ángulo de dos ectas El ángulo fomado po dos ectas y s es el mismo que el que foman sus vectoes diectoes. Supongamos uv + u v + uv que éstos son, espectivamente u = ( u, u ) y v = ( v, v, v ) cos =. u + u + u v + v + v Es posible que este valo salga positivo o negativo. En el pime caso el ángulo obtenido es agudo, y en el segundo es obtuso. Si queemos que el ángulo sea siempe agudo, entonces escibiemos: uv + u v + uv cos = u + u + u v + v + v u s En paticula, dos ectas seán pependiculaes cuando cos = 0, es deci, cuando v uv + uv + uv = 0 : s u v u v = 0 uv + uv + uv = 0 6. Ángulo de dos planos Dados dos planos y ', el ángulo fomado po ambos es el que foman dos vectoes contenidos en cada uno de los planos espectivos que sean pependiculaes a la ecta intesección de los dos planos, es deci, el ángulo de los dos planos es el fomado po los vectoes v y v' de la figua. Si u y u ' son dos vectoes pependiculaes a cada uno de los planos espectivos, podemos obseva que el ángulo que foman u y u ' es el mismo que el de v y v'. u ' u ' v ' ' v v Po lo tanto, si las ecuaciones de ambos planos son x + y + Cz + D = 0 y ' 'x + ' y + C'z + D' = 0, entonces los vectoes u = (,, C) y u ' = (', ', C') son pependiculaes a los planos espectivos, luego: ' + ' + CC' cos = (obsévese que tomamos valo absoluto paa obtene el ángulo agudo). + + C ' + ' + C' En paticula dos planos seán pependiculaes cuando cos = 0, es deci, cuando ' + ' + CC' = 0 : ' u u ' u u ' = 0 ' + ' + CC' = 0 7. Ángulo de ecta y plano Dada una ecta y un plano, el ángulo fomado po ambos es aquel que foman y ', donde ' es la poyección otogonal de sobe. La ecta ' se obtiene como intesección de con el plano que contiene a la ecta y es pependicula a. Si v y v ' son vectoes diectoes de y ', el ángulo fomado po y es el que foman v y v '. Si u es un vecto pependicula a, ese ángulo es complementaio del fomado po u y v. Po lo tanto, si las ecuaciones continuas de la ecta son x a y a z a = =, y la ecuación implícita del plano es v v v x + y + Cz + D = 0, tenemos: sen = cos, luego: v + v + Cv sen = + + C v + v + v u v v ' ' 8

9 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 8. Distancia ente dos puntos Dados dos puntos ( a, a ) y ( ) uuu vecto = ( b a, b a, b a ) b, b, b en el espacio, su distancia, d(, ), es igual al módulo del. Po lo tanto: uuu d, = = + b a + b a + b a 9. Ecuación nomal de un plano Ya sabemos que dado un plano de ecuación x + y + Cz + D = 0, el vecto u = (,, C) es pependicula al plano. Si además este vecto es unitaio (de módulo ), decimos que la anteio ecuación es la ecuación nomal del plano. Paa pasa de la foma implícita a la foma nomal basta que nomalicemos el vecto u C = (,, C) dividiendo ente su módulo:,,, que son + + C + + C + + C pecisamente los cosenos diectoes del vecto u (véase el apatado.). sí pues la ecuación nomal del cos x cos y cos z p 0 cos, cos, cos son los cosenos diectoes plano es: ( ) + ( ) + ( ) + =, donde D de un vecto pependicula al plano y p = (veemos en el apatado siguiente que esta cantidad + + C epesenta en valo absoluto la distancia del oigen de coodenadas al plano) 0. Distancia de un punto a un plano Dados un punto P y un plano, se llama distancia de P a, d(p, ), a la distancia de P a M, donde M es el punto de intesección de con la ecta que pasa po P y es pependicula a. Si el punto P tiene coodenadas p, p, p y el plano tiene ecuación implícita x + y + Cz + D = 0, la distancia de P a vale: d P, = p + p + Cp + D + + C P u Demostación: d(p, ) uuu M Supongamos M( m, m, m ), MP = ( p m, p m, p m ) plano. Obviamente d( P, ) = MP uuu uuu. Peo, po un lado, u MP = ( p m ) + ( p m ) + C( p m ) oto, u MP uuu = u MP uuu cos = + + C MP uuu ( ± ) (el ángulo que foman u uuu y MP es 0º ó 80º). uuu Entonces, igualando ambas expesiones: ± + + C MP = ( p m ) + ( p m ) + C( p m ) uuu ( p m ) + ( p m ) + C( p m ) p + p + Cp ( m + m + Cm ) y u = (,, C) el vecto pependicula al y, po MP = ± = ±. Peo M, po + + C + + C uuu p + p + Cp + D lo que m + m + Cm + D = 0 m + m + Cm = D MP = ± y como la + + C uuu p + p + Cp + D distancia es siempe un númeo no negativo, MP = d(p, ) = + + C u 9

10 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega. Distancia ente dos planos paalelos Dados dos planos paalelos y ', se define la distancia ente ambos, d(, '), como la distancia de un punto cualquiea de uno de ellos al oto. P ' Supongamos que los planos tienen ecuaciones implícitas x + y + Cz + D = 0 y ' 'x + ' y + C'z + D' = 0. Entonces, po d(, ') se paalelos, podemos simplifica una de las dos ecuaciones, po ejemplo la de ', po un númeo adecuado y obtendemos una ecuación del tipo ' x y Cz D'' 0 P p, p, p ', entonces la distancia ente los planos es =. Si tomamos un punto d, ' = p + p + Cp + D + + C deci, p p Cp D'' (ve apatado anteio) y como P ', se cumple p + p + Cp + D'' = 0, es D D'' + + =, y queda definitivamente: d (, ') = + + C. Distancia de un punto a una ecta Dados un punto P y una ecta, se llama distancia de P a, d(p, ), a la distancia de P a M, donde M es el punto de intesección de con el plano que pasa po P y es pependicula a. Si P( p, p, p ) y la ecta tiene x a y a z a ecuaciones continuas = =, entonces la distancia de P a vale: u u u d(p, ) = ( p a, p a, p a ) ( u, u, u ) u + u + u Demostación: Supongamos M( m, m, m ), u = ( u, u ) el vecto diecto de la ecta y uuu P el vecto que une un punto cualquiea de la ecta con el punto P: uuu P = ( p a, p a, p a ). Hagamos el poducto vectoial de ambos uuu uuu vectoes y hallemos su módulo: P u = P u sen. En la figua se uuu obseva que la distancia buscada es d(p, ) = P sen, y sustituyendo en la uuu expesión anteio tenemos P u = d(p, ) u, luego uuu P u ( p a, p a, p a ) ( u, u ) d(p, ) = = u u + u + u. Distancia ente una ecta y un plano paalelos Se define esta distancia como la distancia de un punto cualquiea de la ecta al plano. sí si la ecta tiene x a y a z a ecuaciones continuas = = y el plano tiene ecuación implícita x + y + Cz + D = 0, u u u entonces aplicando la fómula de la distancia de un punto a un plano tenemos: d(, ) a + a + Ca + D = + + C 4. Distancia ente dos ectas paalelas Se define esta distancia como la distancia de un punto de cualquiea de una ecta a la ota. sí, si las ectas x a y a z a x b y b z b tienen ecuaciones continuas: = = y s = = (obsévese que, po se u u u u u u paalelas, tienen el mismo vecto diecto), basta aplica la fómula de la distancia del punto segunda ecta. d(p, ) P M u a, a, a a la 0

11 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 5. Distancia ente dos ectas que se cuzan Paa halla la distancia ente dos ectas y s que se cuzan, d(, s), hay que hace lleva a cabo una constucción consideando los t siguientes planos: M ' '' : plano que pasa po s y es paalelo a. ': plano que pasa po s y es pependicula a '': plano que pasa po y es pependicula a La intesección de los planos ' y '' es una ecta t. Po la constucción ealizada esta ecta es pependicula simultáneamente a y s, y además cota a amabas ectas. Esta ecta t se llama N pependicula común a y s. Se llama distancia ente las ectas que se cuzan y s a la distancia ente los puntos M y N en que la pependicula común cota a y s: d(, s) = d(m, N) Si tomamos dos puntos cualesquiea de ambas ectas, que sean difeentes de M y N, y hallamos la distancia ente ellos, el númeo s obtenido seá mayo que la distancia ente M y N. Peo la distancia ente y s es la mínima distancia ente ambas. Obsévese que la distancia ente las ectas y s coincide con la distancia de un punto cualquiea de al plano. claemos este caso con un pa de ejemplos: x y z + x y + z = 0. Halla la distancia ente las ectas = = y s x + z = 0 Solución: Hallemos el plano que pasa po s y es paalelo a. Paa ello escibamos la ecuación del haz de planos de aista s: λ(x y + z ) + µ(x + z) = 0 (λ + µ)x λy + (λ + µ)z λ = 0. Paa que un plano de este haz sea paalelo a la ecta se debe cumpli que el vecto pependicula al plano (λ + µ, λ, λ + µ) sea pependicula al vecto diecto de : (,, ), es deci, que el poducto escala de ambos sea ceo: (λ + µ) + ( λ) + (λ + µ) ( ) = 0 λ µ = 0. Paa que esta última igualdad se cumpla basta elegi λ =, µ =, luego el plano es x y z = 0. La distancia buscada coincide po tanto con la distancia + ( ) 0 + ( ) ( ) + ( ) del punto P(, 0, ) de al plano : d(, s) = d( P, ) = = = + ( ) + ( ). Halla la pependicula común a las ectas y s del ejemplo anteio. Solución: Ya hemos hallado el plano x y z = 0. Hallemos el plano '. Ya sabemos po el ejecicio anteio que el haz de planos de aista s es (λ + µ)x λy + (λ + µ)z λ = 0. Paa que un plano de este haz sea pependicula a se debe cumpli que los vectoes pependiculaes a ambos planos sean pependiculaes, es deci: (λ + µ) + ( λ) ( ) + (λ + µ) ( ) = 0 λ µ = 0. Paa que esta igualdad se cumpla basta elegi, po ejemplo, λ =, µ =. Entonces el plano ' es: 4x y + 5z = 0. x 6 = y x y 6 = 0 Hallemos el plano ''. Las ecuaciones implícitas de la ecta son: el y = z + y + z + = 0 haz de planos de aista es λ(x y 6) +µ(y + z + ) = 0 λx + ( λ + µ)y + µz + ( 6λ + µ) = 0 Paa que un plano de este haz sea pependicula a se debe cumpli (de manea semejante al punto anteio): λ + ( λ + µ) ( ) + µ ( ) = 0 λ µ = 0. Paa que esta igualdad se cumpla basta elegi, po ejemplo, λ =, µ =. Po tanto el plano '' es: x + z 4 = 0, es deci, x + z = 0 La ecta t (pependicula común a y s) es la intesección de ' y '', luego tiene ecuaciones implícitas: 4x y + 5z = 0 x + z = 0

12 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 6. Áea de un tiángulo, llamemos S al áea del tiángulo cuyos vétices son,, C y u al vecto u i j k uuu uuu = C = b a b a b a. Entonces: c a c a c a Dados tes puntos del espacio ( a, a ), ( b, b, b ) y C( c, c, c ) uuu uuu S = C Demostación: El áea del tiángulo C vale: uuu uuu uuu uuu CH = C sen = C sen = C 7. Áea de un paalelogamo Dado un paalelogamo CD en el espacio, supongamos que las coodenadas de tes vétices son ( a, a ), ( b, b, b ) y C( c, c, c ). Llamemos, al igual que en el apatado anteio, S al áea del paalelogamo y u i j k uuu uuu D C = C = b a b a b a. c a c a c a Entonces: uuu uuu S = C Demostación: Un paalelogamo se puede descompone en dos tiángulos iguales tazando la diagonal. asta con aplica la fómula del áea del tiángulo del apatado anteio. 8. Volumen de un tetaedo Sean ( a, a ), ( b, b, b ), C( c, c, c ) y ( ) D d, d, d cuato puntos del espacio. l unilos ente sí de todas las maneas posibles, deteminan un tetaedo cuyo volumen V es igual a la sexta pate del valo b a b a b a uuu uuu uuu absoluto del poducto mixto (, C D), es deci V = c a c a c a 6 d a d a d a Demostación: El volumen del tetaedo es la tecea pate del áea de la base po la altua V = ( Áea CD) h = ( Áea CD) sen ( Áea CD) cos uuu uuu uuu = = = C D cos = 6 b a b a b a uuu uuu uuu uuu uuu uuu = ( C D) = (, C D) = c a c a c a d a d a d a Según el oden en que tomemos los vectoes ese deteminante puede sali positivo o negativo. Po lo tanto, paa que el volumen sea positivo, en la fómula pondemos el valo absoluto del deteminante. C H uuu uuu C D D h C

13 Geometía. Puntos, ectas y planos en el espacio. Poblemas méticos en el espacio Pedo Casto Otega 9. Volumen de un paalelepípedo Un paalelepípedo es un pisma cuyas bases son paalelogamos. El volumen de un paalelepípedo es igual al áea de la base multiplicada po la altua. Podemos toma como base cualquiea de las caas, y en este caso la altua seá la distancia existente ente los planos que contienen a dos bases opuestas. Dados cuato puntos del espacio ( a, a ), ( b, b, b ), C( c, c, c ) y D( d, d, d ), podemos ealiza la constucción de la figua paa obtene un paalelepípedo. Su volumen V es el valo absoluto del poducto mixto b a b a b a uuu uuu uuu, es deci: V = c a c a c a d a d a d a (, C D) Demostación: El paalelepípedo CEDHFG puede descomponese en dos pismas tiangulaes CDHF y CEDHFG, los cuales tienen el mismo volumen, po tene la misma base y la misma altua. demás, el pisma CDHF tiene la misma base y la misma altua que el tetaedo CD, luego su volumen es tes veces mayo. Po lo tanto el volumen del paalelepípedo es seis veces mayo que el volumen del tetaedo CD. asta aplica la fómula del volumen del tetaedo. D H C F E G