Factorizando : ( x 3)( x 2) 0

Transcripción

1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante : Si, entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son: Si, entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica ), pues: y las soluciones son: Una ecuación de segundo grado, se resuelve aplicando factorización, cuando la ecuación sea rápidamente factorizable o mediante la fórmula general. Por ejemplo resolver la ecuación por factorización: Factorizando : ( 3)( ) Ingeniero Julio Núñez Cheng 1

2 Resolver la ecuación aplicando la Fórmula general: 15 0 b b 4ac a (1) (1)( 15) 1 Tener presente que el coeficiente de b cambia de signo al aplicar la fórmula general. Métodos de Resolución 1) Factorización.- Según la regla del aspa simple, se iguala cada factor a cero. ) Fórmula.- Se sustituye el valor numérico de los coeficientes en la fórmula: Ecuación Completa Ecuación Incompleta Ecuación Incompleta a + b + c = 0 a + b = 0 a + c = 0 Problemas 1. La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 166. Hallar dichos números. Sea : : Primer Número ( 1) : Segundo entero con sec utivo. ( ): Tercer entero con sec utivo. Luego : ( 1) ( ) 194 Efectuando operaciones y simplificando : Re solviendo la ecuación : Ingeniero Julio Núñez Cheng

3 . Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Pedro. Edad actual Edad hace 13 años 13 Edad dentro de 11 años 11 Según el enunciado : ( 13) 11 De donde : 1 3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones de la finca Semiperímetro 55 ( mitad del perímetro) Base Altura 55 Según el enunciado : El área es 750 ( base por altura) (55 ) De donde : Ingeniero Julio Núñez Cheng 3

4 4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 4 m² Á r ea d el tr iá n g u lo : b a s e a ltu ra A (3 )( 4 ) º C a teto 3 6 º C a teto º H ip o ten u s a Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m² Ingeniero Julio Núñez Cheng 4

5 Ancho que rodea al jardín : Área del jardín : 5034 Área total : área del jardín área del ca min o Luego : Área del ca min o área total área del jardín Área del ca min o 540 Área total (50 )(34 ) Área del jardín (50)(34) 540 (50 )(34 ) (50)(34) Efectuando operaciones y simplificando : Dividiendo entre 4 a la ecuación Factorizando : ( 45)( 3) 0 Igualando a cerocada tér min o : El ancho del ca min o es 3 metros Ingeniero Julio Núñez Cheng 5

6 AUTOEVALUACIÓN Resolver las ecuaciones y los problemas: 1. ( + 6) ( - 6) = 13. ( + 11) ( - 11) = 3 3. ( - 3) - ( + 5) = (4-1) ( + 3) = ( + 3)( - 1) ) Se quiere hacer una caja de 50 cm 3 de volumen con una cartulina cuadrada. Para hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de cm. de lado. Cuánto mide el lado de la cartulina cuadrada? 9) Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su semiperímetro es 5m y su área es 150m. 10) La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual. 11) Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 80 m y la suma de los catetos es 46 m. 1) El área de un rectángulo es 360 m y el largo ecede al ancho en dos unidades. Calcula el perímetro del rectángulo. 13) Determinar las longitudes de los lados de un rectángulo si el lado mayor ecede en 10 cm. al menor y la diagonal mide 50 cm. 14) Una persona compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. Cuántos objetos compró? 15) Calcular la altura y la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 m y la altura es m. más larga que la base. 16) Determina los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que las dimensiones de los tres corresponden a números naturales consecutivos. Ingeniero Julio Núñez Cheng 6

7 17) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 5 metros y la suma de los catetos es 35 metros Cuánto miden los catetos? 18) La suma de los perímetros de dos cuadrados es 40 m. y la suma de sus áreas es 5 m. Cuánto mide el lado de cada cuadrado? 19) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 71 cm. y el área del triángulo es 330 cm. Cuánto miden los catetos? 0) El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 60 m. y la diferencia de las proyecciones sobre la hipotenusa es 1 m. Calcular los otros dos lados del triángulo. 1) En un triángulo la base mide 15 m. más que el doble de la altura. Calcular la base y la altura, sabiendo que el área del triángulo es 301 m. ) Alguien regala 55 soles para repartirlos entre los niños del nivel cuarto básico de una escuela. Como 5 niños estaban ausentes, cada uno de los niños presentes obtuvo 0,50 soles más. De cuántos niños se componía el nivel cuarto? Ingeniero Julio Núñez Cheng 7

8 SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN 1. Solución: = 7. Solución: = 1 3. Solución: = - 6/3 4. Solución: = - 8/7 5. Solución : Solución : 3, 08 0, Solución : 4 8. Solución: = 9 cm 9. Solución : 15 m 10m Solución : 10 años 11. Solución : Cateto 30 m Cateto 16m hipotenusa 34 m 1. Perímetro: 76 m Solución : L arg o 40 cm Ancho 30 cm 14. Solución: 0 objetos (costo de cada uno 15) 15. Altura: 9,31 m base: 7,31 m 16. Dimensiones: 3, 4 y Solución : Cateto 15 m Cateto 0m Solución : Cateto 60 cm Cateto 11 cm 1 0. Solución : Cateto 45 m Hipotenusa 75 m 1. Solución : Altura 14 m Base 43 m. Solución : 175 niños ( cada uno recibe 3 soles ) Ingeniero Julio Núñez Cheng 8