Transformaciones isométricas

Transcripción

1 Tema 4: Geometría Contenido: Criterios de congruencia de triángulos Nivel: 1 Medio Transformaciones isométricas 1. Transformaciones isométricas Una transformación isométrica es un movimiento en que se conserva la medida de los lados de los ángulos de una figura. Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es imagen de la primera, y por lo tanto congruente a la original. Las transformaciones isométricas pueden ser: la traslación, el giro o rotación, la reflexión en torno a un eje y la reflexión en torno a un punto o una combinación entre ellas Traslación Si movemos paralelamente una cierta figura en una dirección, lo que estamos efectuando es una traslación en una magnitud, dirección y sentido. Observa que la traslación queda completamente determinada si conocemos el vector del movimiento (su magnitud de traslado, sentido y dirección), ya que se obtiene la imagen de cada uno de los puntos de la figura. Traslación en un sistema cartesiano. Si el punto P = (a, b) lo trasladamos en el vector transforma en el punto P = (a + u, b + v). = (u, v) se

2 Ejemplo: En qué posición queda el punto A= (-3,4) si lo trasladamos en el vector = (5,6)? El punto A = (-3,4) se traslada al punto A = (-3 + 5, 4 + 6), entonces su imagen es A = (2,10). Propiedades de la traslación Supongamos que el segmento vector de la figura se ha trasladado en la dirección del Entonces se cumplen las siguientes propiedades: (1) AB Imagen B A (2) La figura ABB A es un paralelogramo. Las propiedades anteriores se pueden demostrar a través de la congruencia de los triángulos ABA y B A B Giro o rotación Si giramos una figura en torno a un punto O, obtenemos una figura congruente a la original. Observa que el giro queda determinado si conocemos el punto que utilizaremos como centro de rotación O y el ángulo de giro αimagen. Los ángulos positivos se medirán en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj, y si el ángulo es negativo, el giro se realizará en el mismo sentido de los punteros del reloj. Por ejemplo: negativo Ángulo positivoimagen Ángulo

3 Rotación en un sistema cartesiano a) Rotación en 90 El punto P = (x, y) se transforma en el punto P = (-y, x) Observa que se ha girado los 90º en sentido contrario a los punteros del reloj. b) Rotación en -90º Una rotación del punto P desde el origen en -90º corresponde según vemos, al punto P. Observa que el giro se realizó en el mismo sentido de los punteros del reloj. c) Rotación en 180 El punto P = (x, y) se transforma en el punto P = (-x,-y) Recuerda que en los puntos del sistema de coordenadas siempre se ubica la abscisa del eje X y luego la ordenada del eje Y. El ángulo POP es extendido (180º) d) Rotación en 270 El punto P = (x, y) se transforma en el punto P = (y,-x). Observa que la rotación en 270º desde el origen equivale a un giro en -90º desde el mismo origen.

4 Propiedades de la rotación Supongamos que el segmento de la figura se ha rotado en torno al punto O en un ángulo de 60º, obteniendo su imagen A B. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: (1) AB A B (2) 1.3. Reflexión en torno a un eje Sea una recta L y un punto A que no esté contenido en ella. La reflexión del punto A en torno a la recta L es un punto A que es su imagen, de modo que se cumple lo siguiente. (1) (2) AP PA Observaciones: - Si el punto A está en la recta L, su imagen es el mismo punto. (coinciden) - Se dice que A es el simétrico de A respecto a la recta L. Propiedades de la reflexión en torno a un eje Supongamos que el segmento de la figura se ha reflejado en torno a la recta L, transformándose en el segmento. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

5 (1) AB A B (2) AA // BB (3) L es la simetral de y (4) L es el eje de simetría del cuadrilátero AA B B (5) Al reflejar una figura en torno a un eje, se obtiene una figura congruente, produciéndose una simetría axial (axial línea recta). Reflexión en torno a un eje en un sistema cartesiano Reflexión en torno al eje X: El punto P(x, y) se transforma en el punto P (x,-y). Reflexión en torno al eje Y: El punto P(x,y) se transforma en el punto P (-x,y). Ejemplo: Qué coordenadas tiene el punto A = (-3,4) si se refleja en torno al eje X y después en torno al eje Y? Si A se refleja en torno al eje x: A = (-3,4) queda en A = (-3,-4) Si A se refleja en torno al eje y: A = (-3,-4) queda en A = (3,-4) Respuesta: (3,-4) 1.4. Reflexión respecto a un punto Supongamos que tenemos un punto P y un punto O diferente de P. La reflexión de P en torno de O es un punto P que cumple con lo siguiente: (1) O, P y P son colineales (2) OP OP

6 Propiedades de la reflexión en torno a un punto Supongamos que el segmento de la figura se ha reflejado en torno al punto O, transformándose en el segmento que es su imagen. Entonces, se tienen las siguientes propiedades: (1) AB A B (2) La figura A B A B es un paralelogramo Observaciones: - Al efectuar una reflexión a un segmento en torno a un punto, se obtiene un segmento paralelo y congruente. - Si un punto coincide con el centro de reflexión, su imagen es el mismo punto. - Al reflejar una figura en torno a un punto, se obtiene una figura congruente, produciéndose una simetría central en torno al punto. Reflexión en torno al origen en un sistema cartesiano Reflejar un punto en torno al origen es equivalente a efectuar un giro en 180 en torno a este punto, por lo tanto, la reflexión de P(x, y) en 180 es el punto P (-x,-y). Te invitamos a obtener mayor información acerca del tema en forma interactiva y entretenida. Te sugerimos: Simetría central Y para reforzar los temas de congruencia y figuras isométricas: Congruencia y transformaciones isométricas

7 2 Teselaciones Teselar un plano es cubrirlo con figuras geométricas de modo que no se superpongan ni dejen espacio entre ellas. Este es el trabajo que se realiza en la construcción de terrazas, pisos y muros cubiertos de azulejos o cerámicas. 2.1.Teselaciones regulares Si se tesela con polígonos regulares de un mismo tipo, se llama teselación regular. Ejemplos de teselaciones regulares: Sólo podrás teselar el plano con a) triángulos equiláteros, b) cuadrados y c) hexágonos regulares: a) Triángulos equiláteros b) Cuadrados c) Hexágonos regulares 2.2 Teselaciones semirregulares Si se tesela un plano con polígonos regulares de diferente tipo, esta teselación se llama teselación semirregular o combinada. Ejemplos de teselaciones semirregulares: a) con hexágonos y triángulos equiláteros: b) con octógonos y cuadrados: Al unir los vértices de cada figura se deberá completar los 360º con la suma de sus ángulos interiores.

8 2.3. Teselaciones con polígonos no regulares Ejemplos de teselaciones con polígonos no regulares: Con rectángulos: Con paralelógramos: En todas las teselaciones las figuras se obtienen a partir de las figuras base, aplicándoles una transformación isométrica. Por ejemplo, si en la última figura partimos de un paralelogramo inicial, los demás se obtienen aplicándoles una traslación.