REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

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1 Matmáticas II Rgla d L Hôpital REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad.. Dada la función: 8 f ( ) 6 a) ( punto) Encontrar los puntos d discontinuidad d f. Dtrminar razonadamnt si alguna d las discontinuidads s vitabl. b) ( puntos) Estudiar si f tin alguna asíntota vrtical. a) La función s discontinua cuando 6 o. La discontinuidad pud vitars si ist it. En la discontinuidad no pud vitars pus la función no tin it n s punto: 8 6 ( L H ) En, como 6, la discontinuidad pud 6 6 vitars, dfinindo f ( ) 8 b) La rcta s asíntota vrtical d la función pus. Admás, pud 6 obsrvars qu si, f() + ; y si +, f(). c). Calcular los siguints its: a) (, puntos) b) (, puntos) arctg a) [ ] (dividindo por ) José María Martínz Mdiano

2 Matmáticas II Rgla d L Hôpital b) arctg [ (/ /)] [ ] arctg L H L H (dividindo por ) L H L H 3. Calcular: cos cos sn cos 3 (por L Hôpital) Sa la función 4 sn f ( ) sn3 Dtrminar l dominio d f ( punto) indicar si f tin it finito n algún punto qu no sa d su dominio. (, puntos) La función no stá dfinida cuando sn 3 3 k k/3. Por tanto, Dom(f) R {k/3, k Z} Es posibl qu tnga it finito n, único punto dond también s anula l numrador. Vamos: 4 sn sn3 4 cos ( ) L H 3cos3 6 3 En l punto la función tin it finito, y val. José María Martínz Mdiano

3 Matmáticas II Rgla d L Hôpital 3. Calcúls ln( ) lim. Lo harmos aplicando la rgla d L Hôpital. ln( ) ln( ) lim ( L H ) lim ( L H ) lim / 6. Calcúls l valor d tg(). tg(6 ) / Lo calcularmos aplicando la rgla d L Hôpital. tg() ( tg / tg(6) ( L H ) / ( tg ()) (6)) Calcula l it: sn cos El siguint it lo harmos aplicando la rgla d L Hôpital. sn sn cos ( L H ) cos sn cos cos sn ( L H ) cos ln(cos( )) 8. Calcúls l valor d lim. Lo harmos aplicando la rgla d L Hôpital. sn() ln(cos( )) cos() tag() lim ( L H ) lim lim ( tag ()) 4 ( L H ) lim José María Martínz Mdiano

4 Matmáticas II Rgla d L Hôpital 4 sn( ) 9. Calcúlns los valors d para los cuals lim. cos ( ) Lo calcularmos aplicando la rgla d L Hôpital. sn( ) cos( ) lim cos ( ) ( L H ) lim cos( )( sn) ( L H ) lim cos( ) 4sn( ( sn ( ) cos ( )) Como l it db valr s tndrá: ). Halla los puntos d discontinuidad d la función Nota: stá prsado n radians. tg( ) y La función s discontinua los puntos n los qu no sté dfinida, qu son: y k. tg( ) En la discontinuidad s vitabl, pus. tg( ) tg ( ) En fcto: L H En k, k Z, porqu la tg() no stá dfinida. En todos sos puntos la discontinuidad no pud vitars.. Calcular l it:. ln ln. [ ] ln. ( )ln Aplicando L Hôpital, s tin: ln ln.. ( ) ln ln ( ) /. José María Martínz Mdiano

5 Matmáticas II Rgla d L Hôpital. Calcular. ln( ) [ ] ln( ) ln( ) ln( ) Aplicando L Hôpital, s tin: ln( ) ln( ) 3. Calcula ln ln( ) ( ) ( ) ln / ln [ ] ( ` ) L H 4. Calcular 4 /. Aplicarmos logaritmos y la rgla d L Hôpital (L H). 4 / 4 / ln( ) 4 / 4 ln ln 8 4ln( ) (L H) 8 D dond, 4 / 8 José María Martínz Mdiano

6 Matmáticas II Rgla d L Hôpital 6. S considra la función f ( ) ln si. a) Qué valor hay qu asignar a para qu la función sa continua? b) La función obtnida s drivabl n? a) Srá continua cuando f () ln Est it indtrminado s rsulv por L Hôpital. f () ln [ ] ln / / ( / ) ( ) La función continua s: ln, si f ( ), si b) La función pud dfinirs a trozos así: ln( ) f ( ) ln ln( ) f ( )? ln Cuando la función drivada, tanto por la izquirda como por la drcha, tind a. En conscuncia, no s drivabl n s punto. Por tanto, la función drivada s f ( ) ln si 6. Calcula l it: (cos ) / sn (cos ). / sn Aplicarmos logaritmos y la rgla d L Hôpital. ln (cos ) / sn / sn ln(cos ) ln(cos ) sn La última indtrminación s transforma n. ln(cos ) sn (aplicando L H) sn cos sn cos cos El it pdido val: (cos ) / sn / José María Martínz Mdiano

7 Matmáticas II Rgla d L Hôpital 7 7. Calcular: (cos sn) / Es una forma indtrminada: Aplicando logaritmos s tin: Por tanto, (cos sn) / [ ] / (cos sn) ln(cos sn) / ln (cos sn) ln sn cos ln(cos sn) (aplicando L Hôpital) cos sn (cos sn) / 8. Dtrmina, si s posibl, los valors dl parámtro k R para qu la función dfinida por si f ( ), sa continua n. ( k) si Para qu la función sa continua n s ncsario qu los its latrals n s punto coincidan con f (), cuyo valor s k. Por la drcha, f ( ) ( k) ( k) k Por la izquirda s tin un it indtrminado qu hay qu rsolvr con ayuda d la rgla d L Hôpital. f ( ) (L H) (L H) 4 4 Por tanto, db cumplirs qu k 4 k José María Martínz Mdiano

8 Matmáticas II Rgla d L Hôpital 8 9. a). Continuidad latral d una función n un punto. b) Analic la continuidad, n l punto, d la función dada por si f ( ) cos si a) Una función f() s continua n l punto a f ( ) f ( a) a Las continuidads latrals s dfinn así: f() s continua n l punto a por la izquirda f ( ) f ( a ) a f() s continua n l punto a por la drcha f ( ) f ( a ) a Para qu una función sa continua n a s ncsario qu los its latrals istan y san iguals. b) Por la izquirda: f ( ) ln ln (aplicando la rgla d L Hôpital) Por la drcha: f ( ) cos( ) Como sos its no coincidn, la función no s continua n. José María Martínz Mdiano

9 Matmáticas II Rgla d L Hôpital 9. Calcula: a) cos sn b) cos sn a) sn (aplicando L Hôpital) sn cos cos cos cos snsn (L H) b) (Transformamos) ( / ) / También s pud hacr aplicando logaritmos y la rgla d L Hôpital. Así: ln ln ln ln / (L H). Por tanto: José María Martínz Mdiano

10 Matmáticas II Rgla d L Hôpital ( ). Buscad los trmos rlativos d la función f ( ) (4 puntos). Calculad f () y f () ( puntos). Hacd una gráfica aproimada d sta función (4 puntos). La drivada s: ( ) ( ) ( ) f ( ) La drivada s anula n ±. Si <, f () < f() dcrc. Si < <, f () > f() crc. Por tanto n hay un mínimo rlativo. Si >, f () < f() dcrc. Por tanto, n hay un máimo rlativo. ( ) ( ) ( ) ( L H ) y s una asíntota horizontal d la curva. Algunos valors d la curva son: (, ); (, ); (, ); (, 4/); (, 9/ ); (3, 6/ 3 ); Su gráfica aproimada s: José María Martínz Mdiano

11 Matmáticas II Rgla d L Hôpital. Calcula, si istn, los siguints its: tg( ) sn( ), sn( ) ; a a a (con a > ) En los trs casos s trata d formas indtrminadas. tg( ) Para hacr sn( ) ln [ ] aplicamos its tg ( ) tg ( ) sn( ) lnsn( ) tg lnsn( ) [ ] ln sn( ) cos (aplicando L Hôpital) sn cos cos sn sn cos sn sn cos sn sn tg ( ) sn( ) Por tanto, sn( ), sn( ) La función f ( ) sn( ), Los its latrals valn: sn( ) sn( ) cos Por la izquirda: ( ) L H. sn( ) sn( ) cos Por la drcha: ( ) L H. Como los its latrals no coincidn no ist l it cuando. a a a a a a a a a a José María Martínz Mdiano

12 Matmáticas II Rgla d L Hôpital José María Martínz Mdiano 3. Halla los siguints its: sn / 3 sn /. Para rsolvr sta indtrminación aplicamos logaritmos. sn sn sn ln ln ln / / [ ] ln sn (ahora, aplicando la rgla d L Hôpital) cos sn. Por tanto, / sn 3 (aplicando la rgla d L Hôpital) 3 4 3

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