Centro de Masa. Sólido Rígido

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1 Centro de Masa Sóldo Rígdo

2 El centro de masa de un sstema de partículas es un punto en el cual parecería estar concentrada toda la masa del sstema. En un sstema formado por partículas dscretas el centro de masa se calcula medante la sguente fórmula: y m 1 r 1 r 2 m 2 r r CM m r CM mr mr = = m M r n m n x z

3 Centro de masa de un objeto extenddo El centro de masa de un objeto extenddo se calcula medante la ntegral: y m 1 r CM = rdm M r El centro de masa de cualquer objeto smétrco se ubca sobre el eje de smetría y sobre cualquer plano de smetría. z r CM x

4 Movmento de un sstema de partículas S se derva respecto al tempo el centro de masa de un sstema de partícula se obtene la velocdad del centro de masa: v v CM CM = = drcm dt m M = v 1 M m dr dt El momento total del sstema es: Mv v = p = p CM = m tot

5 La aceleracón del centro de masa es: a CM dvcm 1 dv 1 = = m = ma dt M dt M De la segunada ley de Newton: Ma a = CM = m F Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton: F = Ma = ext CM dp dt tot El centro de masa se mueve como una partícula magnara de masa M bajo la nfluenca de la fuerza externa resultante sobre el sstema.

6 N F =1 = F R = m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3 + = Ma? N =1 m a = Ma CC x CM = 1 M m x

7 x CM = 1 M m x O ben m x = Mx CC Entonces dd m dd = m v = M dd CC dd = Mv CC dv m dd = m a = M dv CC dd = Ma CC

8 Cuando una fuerza actúa sobre un sstema de partículas, este se comporta de forma que el centro de masas se mueve como s toda la masa del sstema de partículas estuvese concentrada en él rg = m M r dr g dt = 1 M m d r dt vg = m M v g dv dt = 1 M m d v dt ag = m M a Para un sstema de partículas m 1, m 2,..., m, cada una de ellas estaría sometda a fuerzas ejercdas por las demás, por lo que se denomnan fuerzas nternas y fuerzas del exteror del sstema F nt Por la 2ª ley de Newton F = F nt + F ext = m a F ext Un objeto lanzado puede moverse de manera compleja, pero su centro de masas descrbe una parábola Por el prncpo de accón y reaccón Σ 0 F = F ext = m a F ext = M a F nt = G

9 El centro de masas es un punto G que se comporta como una partícula materal, en la que se concentra toda la masa del sstema, tal que su vector de poscón cumple que: rg M g r m r m = r rg = ( M = Σ m ) M z m 1 x g = m M x r 1 G y z g g = = m M m M y z m 2 r 2 r 3 rg r 4 m 4 y En los sstemas contnuos y homogéneos, el centro de masas concde con el centro de smetría del sstema x m 3

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11 1 Centro de masas Z L O Z C X C C Sstema C Y C Y L Defncón: r CM = m r m X L Sstema L Coord. cartesanas: Objetos dscretos: x CM = m x m y CM = m y m z CM = m z m Objetos contnuos: x CM = dm x dm y ycm = zcm dm dm = dm z dm

12 r CM = m r m y m 3 m 4 m 2 r 4 m 5 m 1 r 1 r 6 m 6 x

13 ( ext ) R F = 0 Ma CM 0 r CM ( t) = m r m = m r M sstema CM S la F R que actúa sobre el sstema es gual 0, entonces el Centro de Masa del Sstema se mueve con v= cte, o está en reposo ext F R = 0 V CM = cte P sst = cte

14 Ejemplo. Se tenen 3 masas guales en los vértces de un trángulo rectángulo. Calcular el vector C.M. y y h d a x x

15 para una dstrbucón contnua de masa: y m r r CM z r x CM = 1 M rdm

16 x CM y CM = = m x m m y m y m x CC = 0 y CC = 0 y -x x x m -y x CC = y CC = mm + m( x) 2m mm + m( y) 2m = 0 = 0

17 Se toman los tres cuadrláteros marcados, se calcula su centro de smetría medante el corte de sus dagonales y se concentra en dchos puntos la masa de cada placa, que se expresa en funcón de la densdad superfcal de masa σ r 1 r 2 r 3 = 1,5 = 3,5 = 3,5 + 2 j + 0,5 + 3,5 j j m 1 = σ S 1 = 12 σ m 2 = σ S 2 = σ m 3 = σ S 3 = σ r G = m M r = 12σ (1,5 + 2 j ) + σ (3,5 + 14σ 0,5 j ) + σ (3,5 + 3,5 j ) = 1,8 + 2 j r G = 1,8 + 2 j

18 Objetos contnuos: x CM = dm x dm y ycm = zcm dm dm = dm z dm y y x x

19 Centro de masas Ej. Objetos dscretos: 4 g (-8,2) 3 g 5 g (11,9) (10,-3) Ej. Objetos contnuos: Ej. Objetos contnuos: Ej. Objetos contnuos: 3 m 2 m 4 m

20 Smetras y y x - Dsco (S) = R 2R Placa (P) x Placa Compuesta (C)

21 F eee = F 1 + F 2 = 0 F 1 F 2 V = 0?

22 Rotacón

23 Momento de una Fuerza (Torque) El análss del Momento de una fuerza es el análogo rotaconal de las leyes de Newton. Stuacón Equlbro (Sst. Inercal) Fuera del equlbro Lneal Las fuerzas pueden estar en equlbo o fuera del equlbro. Rotacón: los momentos pueden estar equlbrados o desequlbrados. El sstema está en reposo o se mueve con v=cte. El sstema está en reposo. NO se mueve en círculos. El objeto posee aceleracon, se mueve en la dreccon de la fuerza externa neta (resultante). El objeto posee aceleracon angular, rotando alrededor de un eje en la dreccon del momento externo neto (resultante).

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25 τ = F. r. senθ τ = r. F. cosθ = 0 τ = r. F. senθ τ = xf y yf x τ = r F

26 τ = r F A B = B A

27 τ rrr = τ = r F = 0 F x = 0 τ z = 0 F y = 0

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32 A.

33 Momento angular o cnétco

34 Defncón de momento angular o cnétco Consderemos una partícula de masa m, con un vector de poscón r y que se mueve con una cantdad de movmento p = mv z L p O r y x L = r p El momento angular nstantáneo L de la partícula relatvo al orgen O se defne como el producto vectoral de su vector poscón nstantáneo y del momento lneal nstantáneo

35 Defncón de momento angular o cnétco Tanto el módulo, la dreccón como el sentdo del momento angular dependen del orgen que se elja Dreccón: perpendcular al plano formado por Sentdo: regla de la mano derecha Módulo: y Undades SI: kg m 2 /s

36 Vector L : Casos partculares cuando r p (son paralelos). Es decr, cuando la partícula se mueve a lo largo de una línea recta que pasa por el orgen tene un momento angular nulo con respecto a ese orgen es máxma cuando r p (es perpendcular a). En ese momento la partícula se mueve exactamente gual que s estuvera en el borde de una rueda que gra alrededor del orgen en el plano defndo por r y p (movmento crcular). Módulo Dreccón y sentdo

37 Conservacón del momento angular dl dt = d r p dt = = dr dt p + r dp dt dl dt = τ En general, s sobre la partícula actuase más de una fuerza = v p + r F = τ Ecuacón análoga para las rotacones de las segunda ley de Newton para las traslacones Esta ecuacón es válda: - sólo s los momentos de todas las fuerzas nvolucradas y el momento angular se mden con respecto al msmo orgen. -válda para cualquer orgen fjo en un sstema de referenca nercal.

38 Conservacón del momento angular dl dt = τ S Esto se verfca s: La fuerza se anula La fuerza es paralela a la poscón (caso, por ejemplo, de la partícula lbre) (fuerzas centrales) (ley de Gravtacón Unversal)

39 Analogías entre rotacones y traslacones Traslacones Rotacones Una fuerza neta sobre una partícula produce un cambo en el momento lneal de la msma Un torque neto sobre una partícula produce un cambo en el momento angular de la msma Una fuerza neta actuando sobre una partícula es gual a la razón de cambo temporal del momento lneal de la partícula Una torque neto actuando sobre una partícula es gual a la razón de cambo temporal del momento angular de la partícula

40 Momento angular de una partícula en un movmento crcular Supongamos una partícula que se mueve en el plano xy en un movmento crcular de rado r. Hallar la magntud y dreccón de su momento angular con respecto al orgen O s su velocdad lneal es v. Como el momento lneal de la partícula está en constante cambo (en dreccón, no en magntud), podríamos pensar que el momento angular de la partícula tambén camba de manera contínua con el tempo Sn embargo este no es el caso Magntud Dreccón Perpendcular al plano de la pantalla y salendo haca fuera (regla de la mano derecha) Una partícula en un movmento crcular unforme tene un momento angular constante con respecto a un eje que pase por el centro de la trayectora

41 Momento angular total de un sstema de partículas El momento angular total de un sstema de partículas con respecto a un determnado punto se defne como la suma vectoral de los momento angulares de las partículas ndvduales con respecto a ese punto. En un sstema contnuo habría que reemplazar la suma por una ntegral

42 Momento angular total de un sstema de partículas A pror, para cada partícula tendríamos que calcular el torque asocado con: - fuerzas nternas entre las partículas que componen el sstema - fuerzas externas Sn embargo, debdo al prncpo de accón y reaccón, el torque neto debdo a las fuerzas nternas se anula. Se puede conclur que el momento angular total de un sstema de partículas puede varar con el tempo s y sólo s exste un torque neto debdo a las fuerzas externas que actúan sobre el sstema

43 Momento angular total de un sstema de partículas EL torque neto (con respecto a un eje que pase por un orgen en un sstema de referenca nercal) debdo a las fuerzas externas que actúan sobre un sstema es gual al rtmo de varacón del momento angular total del sstema con respecto a dcho orgen

44 Momento angular de un sóldo rígdo en rotacón Consderemos una placa que rota alrededor de un eje perpendcular y que concde con el eje z de un sstema de coordenadas Cada partícula del objeto rota en el plano xy alrededor del eje z con una celerdad angular ω. El momento angular de una partícula de masa m que rota en torno al eje z es Y el momento angular del sstema angular (que en este caso partcular sólo tene componente a lo largo de z)

45 Momento angular de un sóldo rígdo en rotacón Y el momento angular del sstema angular (que en este caso partcular sólo tene componente a lo largo de z) Donde se ha defndo el momento de nerca del objeto con respecto al eje z como En este caso partcular, el momento angular tene la msma dreccón que la velocdad angular

46 Momento angular de un sóldo rígdo en rotacón En general, la expresón no sempre es válda. S un objeto rígdo rota alrededor de un eje arbtraro, el momento angular y la velocdad angular podrían apuntar en dreccones dferentes. En este caso, el momento de nerca no puede ser tratado como un escalar. Estrctamente hablando, se aplca sólo en el caso de un sóldo rígdo de cualquer forma que rota con respecto a uno de los tres ejes mutuamente perpendculares (denomnados ejes prncpales de nerca) y que pasan por su centro de masa.

47 Ecuacón del movmento para la rotacón de un sóldo rígdo Supongamos que el eje de rotacón del sóldo concde con uno de sus ejes prncpales, de modo que el momento angular tene la msma dreccón que la velocdad angular Dervando esta expresón con respecto al tempo S asummos que el momento de nerca no camba con el tempo

48 Ecuacón del movmento para la rotacón de un sóldo rígdo Supongamos que el eje de rotacón del sóldo no concde con uno de sus ejes prncpales, de modo que el momento angular tene la msma dreccón que la velocdad angular Pero como el momento angular ya no es paralelo a la velocdad angular, ésta no tene por qué ser constante

49 Conservacón del momento angular El momento angular total de un sstema es contante, tanto en dreccón como en módulo s el torque resultante debdo a las fuerzas externas se anula Tercera ley de conservacón: en un sstema aslado se conserva: - energía total - el momento lneal - el momento angular El prncpo de conservacón del momento angular es un resultado general que se puede aplcar a cualquer sstema aslado. El momento angular de un sstema aslado se conserva tanto s el sstema es un cuerpo rígdo como s no lo es.

50 Conservacón del momento angular El momento angular total de un sstema es contante, tanto en dreccón como en módulo s el torque resultante debdo a las fuerzas externas se anula Para un sstema aslado consstente en un conjunto de partículas, la ley de conservacón se escrbe como

51 Conservacón del momento angular S la masa de un sstema aslado que rota sufre un redstrbucón, el momento de nerca camba Como la magntud del momento angular del sstema es L = Iω La ley de conservacón del momento angular requere que el producto de I por ω permanezca constante I ω = I f ω f = cte. Es decr, para un sstema aslado, un cambo en I requere un cambo en ω Esta expresón es válda para: - una rotacón en torno a un eje fjo. - una rotacón alrededor de un eje que pase por el centro de masas de un sstema que rota. Lo únco que se requere es que el torque neto de la fuerza externa se anule

52 Comparacón de los movmentos lneales y movmentos rotaconales

53 Dnámca del Sóldo Rígdo El presente documento de clase sobre dnámca del soldo rígdo está basado en los contendos volcados en la excelente págna web del curso de Físca I del Prof. Javer Junquera ( ), de la Unversdad de Cantabra, con las adaptacones del caso al presente curso de Ingenería ITI.

54 Sóldo Rígdo Movmento del sóldo rígdo Momento angular del sóldo rígdo Momento de nerca Rotacón de sóldos Objetos rodantes Equlbro del sóldo rígdo Analogía entre cnemátca y dnámca lneal y angular.

55 Defncón de traslacón, rotacón y vbracón Traslacón: las poscones de todas las partículas del cuerpo se desplazan una msma cantdad. Rotacón: el movmento de cambo de orentacón de un sóldo extenso de forma que, dado un punto cualquera del msmo, este permanece a una dstanca constante de un punto fjo. Vbracón: osclacón en torno a una poscón de equlbro

56 Partícula en un movmento de rotacón. Supongamos una partícula que gra sobre sí msma. La manera más fácl de descrbr su poscón en ese movmento de rotacón es descrbendo su orentacón con respecto a alguna dreccón de referenca fja. Podemos utlzar un ángulo, meddo a partr de una dreccón de referenca, como una medda de la poscón de rotacón o poscón angular.

57 Partícula en un movmento de rotacón. Supongamos un objeto plano que gra alrededor de un eje fjo perpendcular al objeto y que pasa por un punto O. La partícula ndcada por el punto negro se encuentra a una dstanca fja r del orgen y gra alrededor de O descrbendo un círculo de rado r. Todas las partículas del objeto descrben un movmento crcular alrededor de O. Hay una estrecha relacón entre el movmento de rotacón del objeto y el movmento de una partícula a lo largo de una trayectora crcular.

58 Partícula en un movmento de rotacón. Coordenadas polares. Resulta convenente representar la poscón de una partícula medantes sus coordenadas polares Se elge como centro del sstema de coordenadas polares un punto que conda con el centro de las trayectoras crculares de las partículas En este sstema de referenca, la únca coordenada de una determnada partícula que camba con el tempo es θ, permanecendo r constante A medda que un partícula del objeto se mueve a lo largo del círculo de rado r desde el eje x postvo (θ = 0) hasta el punto P, se está movendo a lo largo de un arco de longtud s, que está relaconado con el ángulo θ por la expresón

59 Partícula con movmento crcular: defncón de radán Un radán representa el ángulo central en una crcunferenca que subtende un arco cuya longtud es gual a la del rado. Su símbolo es rad. Equvalenca entre grados y radanes Grados Radanes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

60 Partícula con movmento crcular: defncón de velocdades angulares Mentras la partícula se mueve desde A hasta B en un tempo Δt = t f t, el vector correspondente al rado barre el ángulo ΔΔ = θ f θ que equvale al desplazamento angular durante ese ntervalo de tempo

61 Vector velocdad angular Vector velocdad angular Módulo: celerdad angular Dreccón: perpendcular al plano del movmento Sentdo: tornllo a derechas Como Podemos escrbr Dervando el vector velocdad, obtenemos la aceleracón

62 Cnemátca de rotacón: cuerpo rígdo con aceleracón angular constante En el caso de movmento de rotacón alrededor de un eje fjo, el movmento acelerado más smple es el movmento bajo aceleracón angular constante Y además Podemos ntegrar esta expresón drectamente para calcular la velocdad angular fnal

63 Cnemátca de rotacón: cuerpo rígdo con aceleracón angular constante Integrando una vez más obtenemos el ángulo en funcón del tempo

64 Cnemátca de rotacón: cuerpo rígdo con aceleracón angular constante S elmnamos el tempo de Y elmnando la aceleracón angular

65 Cnemátca de rotacón: cuerpo rígdo con aceleracón angular constante Las expresones cnemátcas para el movmento de rotacón bajo aceleracón angular constante tenen la msma forma matemátca que las del movmento de traslacón bajo aceleracón de traslacón constante, susttuyendo

66 Relacones entre las magntudes de rotacón y traslacón Cuando un cuerpo rígdo gra alrededor de un eje fjo, cada partícula del cuerpo se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de gro Una partícula de un cuerpo rígdo en rotacón se mueve en un círculo de rado r alrededor del eje z Dado que la partícula se mueve en una trayectora crcular, su vector velocdad es sempre perpendcular a la trayectora (la llamamos velocdad tangencal)

67 Relacones entre las magntudes de rotacón y traslacón El módulo de la velocdad tangencal vene dado por Donde s es la dstanca recorrda por la partícula a lo largo de la trayectora crcular El módulo de la velocdad tangencal de la partícula es gual a la dstanca de la partícula al eje de gro multplcada por la velocdad angular de la partícula

68 Relacones entre las magntudes de rotacón y traslacón Cuando un cuerpo rígdo gra alrededor de un eje fjo, cada partícula del cuerpo se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de gro Una partícula de un cuerpo rígdo en rotacón se mueve en un círculo de rado r alrededor del eje z El módulo de la velocdad tangencal de la partícula es gual a la dstanca de la partícula al eje de gro multplcada por la velocdad angular de la partícula Aunque cada punto del sóldo rígdo tenga la msma velocdad angular, no todos los puntos tenen la msma velocdad tangencal, puesto que r camba de punto a punto. La velocdad tangencal de un punto en un objeto que rota aumenta según nos separamos del eje de gro

69 Relacones entre las magntudes de rotacón y traslacón Podemos establecer una relacón entre la aceleracón angular de la partícula y su aceleracón tangencal a t, cuya componente es tangente a la trayectora del movmento La componente tangencal de la aceleracón de traslacón de una partícula que expermenta un movmento crcular es gual a la dstanca de la partícula al eje de gro multplcada por la aceleracón angular

70 Relacones entre las magntudes de rotacón y traslacón Pero la aceleracón de traslacón tambén tene una componente centrípeta Aceleracón de traslacón total Módulo de la aceleracón de traslacón total

71 Energía cnétca rotaconal Supongamos que podemos consderar el objeto como un conjunto de partículas que rotan alrededor del eje z con una celerdad angular Cada una de esas partículas tene una energía cnétca caracterzada por su masa y el módulo de su velocdad tangencal Todas las partículas tenen la msma celerdad angular, PERO las celerdades tangencales ndvduales dependerán de su dstanca al eje de rotacón La energía cnétca total del sóldo rígdo vendrá dada por la suma de las energías cnétcas de todas las partículas que lo componen

72 Momento Energía cnétca de Inerca rotaconal El momento de nerca se defne como n I = m r 2 =1 Tene por dmensones ML 2, sendo sus undades en el SI (kg m 2 )

73 Energía cnétca rotaconal La energía cnétca rotaconal toma el valor La energía cnétca rotaconal no es una nueva forma de energía. Smplemente se trata de energía cnétca ordnara (se ha calculado como la suma de la energía cnétca de las partículas contendas en el sóldo rígdo). Sn embargo, la nueva expresón matemátca es más convenente cuando tratamos con rotacones (sempre que sepamos como calcular el momento de nerca) Ahora, en el lado correspondente al almacenamento, dentro de la ecuacón de conservacón de la energía, deberemos ahora consderar que el térmno de la energía cnétca es la suma de los cambos tanto en la energía cnétca de traslacón como de rotacón.

74 Energía cnétca rotaconal La energía cnétca total de un cuerpo que rota es la suma de la energía cnétca de rotacón y la energía cnétca traslaconal del centro de masas S las fuerzas que actúan sobre un sstema son conservatvas, la energía mecánca del sstema se conserva (es una constante)

75 Analogía entre la energía cnétca asocada con las rotacones y la energía cnétca asocada con movmento lneal La energía cnétca de traslacón La energía cnétca rotaconal K = 1 2 mv2 K = 1 2 Iω2 El papel de m v lo juega I ω Esto va a ocurrr cada vez que comparemos una ecuacón del movmento lneal con su correspondente análogo en el movmento rotaconal El momento de nerca es una medda de la resstenca de un objeto a cambar su estado de movmento rotaconal

76 Analogías y dferencas entre masa y momento de nerca Masa Momento de nerca Analogías Es una medda de la resstenca de un objeto a cambar su estado de movmento lneal Es una medda de la resstenca de un objeto a cambar su estado de movmento rotaconal Dferencas Es una propedad ntrínseca del objeto (asumendo velocdades no relatvstas) Depende de la eleccón del eje de rotacón (no hay un valor únco del momento de nerca de un objeto). No sólo depende de la masa, sno de cómo está dstrbuda la masa alrededor del eje de gro. Es un escalar Es un tensor

77 Cálculo del momento de nerca en un sstema dscreto Sstema dscreto Ejemplo: cuatro pequeñas esferas están undas a las cuatro esqunas de un marco de masa desprecable que está stuado sobre el plano xy. S la rotacón se produce alrededor del eje y con celerdad angular ω, calcular: - el momento de nerca I y con respecto al eje y - la energía cnétca de rotacón con respecto a dcho eje. Las dos esferas de masa m que están stuadas en el eje y no contrbuyen a I y Las dos esferas de masa m no se mueven alrededor del eje y y, por tanto, no tenen energía cnétca

78 Cálculo del momento de nerca en un sstema dscreto Sstema dscreto Ejemplo: cuatro pequeñas esferas están undas a las cuatro esqunas de un marco de masa desprecable que está stuado sobre el plano xy. S la rotacón se produce alrededor del eje z con celerdad angular ω, calcular: - el momento de nerca I z con respecto al eje z - la energía cnétca de rotacón con respecto a dcho eje. Dado que r representa la dstanca perpendcular al eje de gro El momento de nerca y la energía cnétca de rotacón asocada a una celerdad angular determnada camba con respecto al eje de gro

79 Cálculos de momentos de nerca Sstema dscreto Sstema contnuo Placa plana

80 Cálculo del momento de nerca en un sstema contnuo En el caso de un objeto contnuo: 1. Se dvde el objeto en muchos elementos nfntesmales de masa 2. Aproxmamos el momento de nerca del sóldo contnuo a partr de la expresón para un sstema dscreto donde r 2 es el cuadrado de la dstanca entre el elemento de masa fnta y el eje de gro 3. Tomamos el límte de la suma cuando. En este caso, la suma se converte en una ntegral. 4. Generalmente es más fácl calcular momentos de nerca en térmnos de volumen de los elementos, más que en sus masas. Podemos hacer la transformacón ya que S el sstema es homogéneo ρ es contante y la ntegral se puede evaluar para una geometría dada.

81 Momentos de nerca de dferentes sóldos rígdos con respecto a determnados ejes

82 Teorema de Stener Los momentos de nerca de sóldos rígdos con una geometría smple (alta smetría) son relatvamente fácles de calcular s el eje de rotacón concde con un eje de smetría. Sn embargo, los cálculos de momentos de nerca con respecto a un eje arbtraro puede ser engorroso, ncluso para sóldos con alta smetría. El Teorema de Stener (o teorema del eje-paralelo) a menudo smplfcan los cálculos. Premsa: Supongamos que conocemos el momento de nerca con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto, Teorema: Entonces podemos conocer el momento de nerca con respecto a cualquer otro eje paralelo al prmero y que se encuentra a una dstanca D

83 Teorema de Stener: demostracón Supongamos que un objeto rota en el plano xy alrededor del eje z. Supongamos además que las coordenadas del centro de masas son x CC e y CC Tomemos un elemento de masa dd stuado en las coordenadas x, y. La dstanca desde este elemento al eje de rotacón (eje z) es r = x 2 + y 2. Y el momento de nerca con respecto al eje z vale

84 Teorema de Stener: demostracón Tomemos un elemento de masa dd stuado en las coordenadas x, y. S ahora escogemos un sstema de coordenadas con orgen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán xx, yy.

85 PARTE II MECÁNICA: APLICACIONES 5. Osclacones mecáncas smples. Osclacones armóncas. Osclacones lbres, amortguadas, forzadas. Resonanca. 6. Elastcdad. Tensones y deformacones. Ley de Hooke. Módulos elástcos. 7. Mecánca de Fludos. Introduccón: fludos deales, conceptos báscos. Estátca: prncpos de Pascal y Arquímedes. Dnámca: ecuacón de Bernoull y aplcacones.

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