y A sen t T T dy d v A sen t A cos t v A cos( t ) A 1 sen ( t ) A A sen ( t ) A y

Transcripción

1 Moimientos periódicos Los moimientos periódicos son aquellos en los que cada cierto tiempo se repiten los alores de posición, elocidad y aceleración. A ese interalo de tiempo se le llama periodo. El moimiento circular uniforme, el moimiento de oscilación de un péndulo y el de ibración de un muelle son moimientos periódicos. Moimiento Armónico Simple Se llama así porque puede epresarse por medio de funciones armónicas: seno o coseno. y = elongación A = amplitud = pulsación (t+) = fase y = fase inicial Supongamos un cuerpo puntual que describe un moimiento circular uniforme en una circunferencia de radio A, la proyección de ese punto sobre el eje ertical describe un moimiento armónico simple. La ecuación de ese moimiento es: y A sen A sen t si comenzamos a medir el tiempo cuando el ángulo recorrido es cero. Si el ángulo recorrido al comenzar a contar el tiempo es la ecuación se conierte en y A sen t, en donde: distancia a la que se encuentra el cuerpo desde la posición de equilibrio. alor máimo de la elongación = radio de la circunferencia. elocidad angular con la que se describe el moimiento circular. alor del ángulo en un momento determinado. ángulo con el que se inicia el moimiento. El periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa (tiempo que separa las dos posiciones más próimas que ibran de la misma forma) T T La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, f 1 T y se mide en s-1 o Hz. La elocidad con la que ibra el punto en un momento determinado se calcula deriando la elongación con respecto al tiempo: que también se puede escribir como: A dy d A sen t A cos t dt dt A cos( t ) A 1 sen ( t ) A A sen ( t ) A y La elocidad de ibración es mínima (se anula) en los puntos etremos y es máima en el centro Fco Jaier Corral

2 Moimientos periódicos La aceleración con la que ibra el punto es la deriada de la elocidad: d dt d dt a A cos t A sen t y La aceleración de ibración es mínima (se anula) en el centro y es máima en los etremos. Si representamos gráficamente los alores de la elongación, la elocidad y la aceleración frente al tiempo se obtienen las siguientes gráficas cuando la fase inicial es cero. Vemos que la elocidad alcanza los alores máimos cuando la elongación es cero y se anula cuando es máima. Con la aceleración ocurre lo contrario. elocidad elongación aceleración t Oscilador Armónico: Muelle COMPRESON EQULBRO ESTRAMENTO Si sobre un muelle de longitud L ejercemos una fuerza F, el alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza F (Ley de Hooke). Cuanto mayor sea la fuerza mayor será el alargamiento, siempre que no sobrepasemos el límite de elasticidad (cuando deja de actuar la fuerza el muelle recupera su longitud inicial). La fuerza con la que el muelle recupera la posición inicial es la misma con la que se estira pero de sentido contrario F k L L k F 0 k es la constante elástica del muelle; nos indica la fortaleza del mismo. Con qué periodo ibra un muelle cuando se estira y a continuación se suelta? Describe un moimiento ibratorio en el que la elongación es : F k ma a T m m T k Energía de un oscilador armónico k k 4 m La energía potencial de un muelle es el trabajo necesario para estirar el muelle desde la posición de equilibrio hasta una distancia. 1 EP W F d k d k Fco Jaier Corral

3 Moimientos periódicos La energía cinética es: EC m m A cos t k A 1 sen t k A La energía total del oscilador será la suma de las dos: ETOTAL EC EP ka k k A Si representamos gráficamente el alor de las energías frente a la elongación, tenemos: E TOTAL E POTENCAL -A +A Máima compresión Máimo estiramiento E CNETCA Péndulo Está formado por un punto material sujeto por un hilo inetensible y sin masa que oscila en un plano alrededor de la posición de equilibrio describiendo ángulos pequeños. En esas condiciones sen tg, los tres infinitésimos son equialentes. La fuerza del peso se descompone en dos: una se compensa con la tensión del hilo y la otra genera el moimiento: F mg sen el arco recorrido hasta llegar a la posición de equilibrio es L sen L, que coincide con la elongación si el ángulo es muy pequeño: P=mg F mg sen mg m a a g a L 4 L g L L T T g g L Vemos que el periodo de la no depende del alor de la masa; solo depende de la longitud del hilo. La elocidad y la energía cinética del péndulo son máimas en la posición ertical, y nulas en los etremos. La aceleración y la energía potencial son máimas en los etremos y nulas en el centro Fco Jaier Corral

4 Moimientos periódicos La energía potencial en los etremos es: P E mgh mg L L cos mgl 1cos L cos La energía total se mantiene constante, luego la elocidad en el L punto más bajo es: h 1 EC m mgl 1cos EP gl 1cos Moimiento ondulatorio Una onda es una perturbación que se traslada a lo largo de un medio. Cualquier punto al que llega una onda ibra de la misma forma que el punto en el que se origina pero un tiempo t más tarde; el tiempo que tarda la perturbación en llegar a ese punto. Clasificación de las ondas: De acuerdo con el medio en el que se propagan pueden ser: Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Ej: el sonido. Ondas electromagnéticas: No necesitan medio para propagarse. Se pueden propagar en el acío y todas se propagan con la misma elocidad. Ej: la luz Según la dirección de propagación: Ondas transersales: La dirección de ibración de los puntos y la de propagación de la onda son perpendiculares. Ej: las ondas producidas en un estanque. Ondas longitudinales: La dirección de ibración y la de propagación son coincidentes. Ej: el sonido. Ecuación del moimiento ondulatorio: Si la onda se propaga con una elocidad constante tardará un tiempo t en llegar a un punto que está a una distancia del origen: T P t' A la distancia entre dos puntos consecutios que están O ibrando de la misma forma se le llama longitud de onda λ. El tiempo transcurrido desde una posición hasta la otra es el periodo. t y A sent t A sent A sen t A sen T T T t A sen A sent k T Fco Jaier Corral

5 Moimientos periódicos en donde se llama pulsación y k es el número de ondas k T La elocidad de propagación de la onda es T k y A sen t k es periódica en el tiempo y en el La ecuación del moimiento ondulatorio espacio. Cada ez que pasa un tiempo igual al periodo, el alor de las magnitudes se repite y cada ez que se recorre una distancia igual a la longitud de onda los alores se repiten. Si deriamos respecto al tiempo: Si deriamos respecto al espacio: t y A sen t k y A cost k t y t a A sen t k A y Si diidimos entre sí las segundas deriadas, tenemos: y y A k y k t y A sen t k y A k cos t k y t A y y y A k sen t k A k y nterferencias Se denomina interferencia a la coincidencia de dos ondas en un punto en el tiempo y en el espacio. Cuando un punto es alcanzado por dos ondas su 1 1 Si recordamos que: elongación es la suma de las producidas por cada onda. Vamos a er el caso más sencillo de interferencias. Supongamos dos puntos 1 y en los P que se están produciendo dos ondas idénticas con misma amplitud y misma frecuencia: y A sen t k y A sen t k 1 1 El punto P ibrará de acuerdo con la suma de las dos: y y y A sen t k A sen t k P 1 1 A B A B sena senb sen cos tenemos que: t-k 1 t-k t-k 1 t+k yp A sent-k 1 sent-k Asen cos A sen t k cosk A cosk sen t k el punto P ibra de acuerdo con la ecuación de una onda en la que la amplitud aría en función de los alores de 1 y Fco Jaier Corral

6 nterferencia constructia Se dice que en un punto hay interferencia constructia si la amplitud alcanza el alor máimo; las dos amplitudes se suman. Se produce interferencia constructia en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino ( - 1 ) es igual a un número entero de longitudes de onda. nterferencia destructia Se dice que en un punto hay interferencia destructia si la amplitud alcanza el alor nulo, se anula el coseno y las amplitudes se restan. Se produce interferencia destructia en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino ( - 1 ) es igual a un número impar de Moimientos periódicos 1 n n 1 1 cosk 1; k n 1 1 n cosk 0; k n 1 1 n 1 semilongitudes de onda. Ondas estacionarias Se trata de un tipo especial de interferencia. Supongamos una cuerda, fija en los etremos, por la que se propaga una onda. La onda rebota en el etremo de la cuerda y todos los puntos de la misma ibran como consecuencia de la interferencia de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios. y1 A sen t k y A sen t k P P y A sen t k A sen t k t k t k t k t k A sen cos y A cos(k) sen( t) VENTRES NODOS El resultado es una onda que no es del mismo tipo que las que la producen. No hay término ( t k) y cada punto de la cuerda ibra con una amplitud determinada que es constante para ese punto. No depende del tiempo Fco Jaier Corral

7 Moimientos periódicos Hay puntos que no ibran nunca, los nodos. La distancia entre dos nodos consecutios es λ/. Hay puntos que ibran al máimo, los ientres. La distancia entre dos ientres consecutios es λ/. Entre dos ientres siempre hay un nodo y iceersa. Efecto Doppler Supongamos un punto E, en reposo, que está emitiendo una onda O E O 1 con una frecuencia determinada. Tanto el obserador 1 como el reciben la onda con la misma frecuencia con la que se produce. Si el emisor se muee hacia la derecha mientras emite ondas, llegan al obserador 1 más juntas con lo que disminuye λ y aumenta la frecuencia. El obserador, del que se aleja el emisor, recibe las ondas más O E O 1 separadas, con mayor λ y con menor frecuencia. Al cambio de frecuencia producido cuando aría la distancia entre el emisor de ondas y el obserador se denomina efecto Doppler. Si el emisor se acerca al obserador: MVTO REPOSO EMSORT f f f ONDA ONDA EMSOR MVTO REPOSO REPOSO f f f ONDA ONDA EMSOR ONDA MVTO MVTO REPOSO ONDA EMSOR Si el emisor se aleja del obserador, la elocidad del emisor tiene el signo contrario y la frecuencia será: f MVTO ONDA ONDA Se pueden hacer razonamientos similares para el caso en que se muean a la ez el emisor y el obserador: f MVTO ONDA ONDA EMSOR f OBSERVADOR En donde las elocidades son positias si se produce un acercamiento y negatias si se produce un alejamiento. Si se trata de una onda sonora, el sonido se hace más agudo (mayor frecuencia o menor longitud de onda) cuando se acerca el emisor y más grae (menor frecuencia o mayor longitud de onda) cuando se aleja del obserador. EMSOR REPOSO f REPOSO f REPOSO Fco Jaier Corral

8 Moimientos periódicos Emisor en reposo EMSOR =0 Emisor en moimiento EMSOR < ONDA Emisor en moimiento EMSOR = ONDA ONDA t EMSOR t Si el emisor se desplaza con una elocidad mayor que la de propagación de la onda se produce una onda de choque representada por la línea de puntos que es tangente a todas las ondas. Por esta razón los barcos dejan una estela en forma de V cuando se desplazan. En el caso del sonido la onda de choque tiene forma cónica y el ángulo θ es tal que: ONDAt 1 EMSOR sen ; m EMSORt m ONDA Donde m es el número de Mach que es la relación entre la elocidad del emisor y de la onda. Para el caso de un aión y del sonido indica la elocidad de un aión en función de la del sonido en el aire (Mach1=340 m/s). El efecto Doppler también se obsera en el caso de ondas luminosas y nos permite saber si un objeto celeste con luz propia se acerca hacia nosotros (se produce un desplazamiento hacia el azul; menor longitud de onda) o si se aleja de nosotros en cuyo caso se produce un desplazamiento hacia el rojo (mayor longitud de onda) Fco Jaier Corral

9 Atenuación Moimientos periódicos La intensidad de un moimiento ondulatorio es la energía que atraiesa una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación por unidad de tiempo E P 4r t 4r La energía de la onda es proporcional a la amplitud: Si tenemos dos puntos, la relación entre las intensidades es: 1 r r 1 1 A 1 A A1 r y comparando las dos: A r 1 A r 1 1 r A Supongamos una onda esférica. La energía en las esferas de radio r 1 y r tiene que ser la misma, pero una tiene más puntos que otra: 1 1 E E 1 A r k A 4 r k A 4 r A r A r A r1 La amplitud de la onda y la distancia al foco emisor son inersamente proporcionales con lo que la onda se a atenuando a medida que nos alejamos del foco. Absorción Supongamos una onda sonora de intensidad 0 que atraiesa una 0 F pared de un material que tiene un coeficiente de absorción. La intensidad después de atraesar la pared será menor y depende del material del que esté hecha la pared, del espesor de la pared y de la intensidad de la onda: d d F d L F d d Ln F 0e d Niel de intensidad sonora. El niel de intensidad de una onda sonora se define como 10 log en donde es el alor de la intensidad e 0 el alor de la frecuencia umbral, la más baja que se puede oír, 10-1 Wm -. Se mide en decibelios db. La intensidad máima que el oído humano puede tolerar, sin sensación dolorosa, es de 130 db que corresponde con W m log 13 log Fco Jaier Corral

10 Principio de Huygens n 1 n i A C i A i r C r D B B r D Cualquier punto que es alcanzado por una onda se conierte en emisor secundario de ondas y el nueo frente de ondas es la enolente de todas las ondas. Permite eplicar la refleión y la refracción de ondas. Moimientos periódicos La refleión es el cambio de dirección que se produce en una onda cuando choca con una superficie. Las líneas azules representan el frente de ondas. Los triángulos ABC y ABD son rectángulos, comparten el lado AB y tienen sus ángulos iguales, luego los ángulos i y r son iguales. La ley de la refleión dice que los ángulos de incidencia y de refleión son iguales. La refracción es el cambio de elocidad que se produce en una onda cuando pasa de un medio a otro. La elocidad de la onda en el medio es menor que en el medio 1. Se define el índice de refracción como el cociente ARE nmedo 1 MEDO n 1 y n son los índices de refracción de cada medio. En el triángulo ABD, sen i BD t En el triángulo ACD, senr AD AD 1 ARE AD AD seni 1 n1 n n1seni AC t senr ARE n1 n n senr Fco Jaier Corral