Facultad de Ingeniería 09/11/11 Matemática Aplicada 2N Examen Final Temario E

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1 Universidad de San Carlos Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería 09// Matemática Aplicada 2 Temario E Prof. José Saquimux Aux. José Márquez TEMA. DE UA ED UTILIZADO EL PAR TRASFORMADO DE FOURIER La ecuación diferencial que gobierna la carga en el capacitor de un circuito serie RC cuando se le aplica una tensión es Si la tensión aplicada es /, usando transformada de Fourier y formulario de transformada inversa determine la carga en el capacitor en función del tiempo y esboce su gráfica. Aplicando la transformada de Fourier a la ecuación diferencial: / / Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier: / Sea Aplicando la propiedad de diferenciación en el tiempo de la transformada de Fourier: / Ahora, determinar la transformada de Fourier, se puede por definición o por formulario: / /!" $ / Por medio de la definición, utilizamos el escalón unitario de Heaviside que se define como: 0, (0 %, )0 * Entonces: / 0 / +" $ -/.+" $, / // -/.+" 0, // 0/ 2 3/45 63, 7 7/4589

2 Sustituyendo la trasformada en la ecuación diferencial: / : ; / / / <9 = 4 7 7/4589 > De la tabla de Pares transformados de Fourier, se A - AC? Aplicando la transformada inversa de Fourier a cada lado de la ecuación: - - B / AC Aplicando propiedades: - B / AC Entonces por formulario: D3 = 4 323/45 63 La gráfica para es;

3 TEMA 2. SERIE DE FOURIER Calcule la serie compleja de Fourier de la tensión periódica diente de sierra impar, EFG /H((H Período: I Debido a que la forma de onda posee únicamente simetría impar, = K K La serie compleja de Fourier: L M0 M +M" Coeficientes complejos: M +M" $ M +M" $ / O O A+M" "0 / M OH/ +M /OH A O A+M / M /O A+M OH +M +M OH/ +M M O AHOP+M +M Q/P +M / +M Q M AOR+M +M S/2R +M / +M S O 2 2 M 2 OAOcosOH/2sinOHO AHO/M /0 HO/M HO A = Y 8 /7Y Y La serie compleja queda: Z93L Y0 Para verificar, su grafica para /5(O(5 es: 8 /7Y Y 28Y93 3 [\]\ Y^K

4 TEMA 3. DERIVADA DE UA SERIE DE FOURIER La corriente en la bobina de autoinducción `0. henrios está dada por la serie trigonométrica de Fourier b 80 H AL O AcosO Determine la tensión en sus bornes y grafique el espectro de amplitud hasta la séptima armónica. La ecuación de la tensión en una inductancia se denota como: `$b $ ` $ $ d80 H AL O AcosO e0. 80 $ H AL O A $ coso 8 H AL O A/OsinO /8 H A L O sino Z3 /f9 g > L7 Y hijy93 Y07 k Y /f9 g > Y k Y f9 g > Y O q M H A H A 3H A H A 5H A 3H A 7H A

5 TEMA 4. TRASFORMADA DE FOURIER DE U PRODUCTO DE FUCIOES Se sabe que la transformada de un producto de dos funciones es igual a la convolucion de sus transformadas. Esto es, si rs y tu entonces la transformada del producto rt se puede calcular con la integral de convolución, rt uvs uws/w$w Aplique esta fórmula para calcular la trasformada del producto:? Denote r? y tcos, use su formulario para determinar sus transformadas, sustitúyalas en la integral de convolución y use la propiedad de muestreo de la funcion delta para evaluar la integral resultante. De la tabla de transformadas de Fourier: sr? A utcoshxx/ Sustituyendo en la integral de convolucion: rt Entonces: Sustituyendo: rt uws/w$w uwhxwxw/ s/w Hxwxw/ $w rt H xw $w H xw/ $w rt 2 xw $w 2 xw/ $w Ahora, la función impulso unitario trasladado se define como: xw/w, y, ww, 0, w^w, * La propiedad de muestreo de la función impulso unitario: xw/w, zw$wzw,

6 Aplicando, la propiedad de muestreo de la funcion impulso unitario: rt 2 B C {0-2 B C {0- rt 2 A 2 / A 3}3 \ \ 97 > \ > 9/7 > \ > Con fines de enseñanza, se muestran las gráficas para \7 s 2 A uhxx/ rt A / A

7 Universidad de San Carlos Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería 09// Matemática Aplicada 2 Temario O Prof. José Saquimux Aux. José Márquez TEMA. DE UA ED UTILIZADO EL PAR TRASFORMADO DE FOURIER Para determinar la temperatura I en el interior de una placa cuando se le aplica en una cara un flujo de calor decreciente, ~ Btu/h-pie 2, mientras que en la otra cara se disipa calor por convección a temperatura uniforme I, se plantea la ecuación diferencial,, ~ ( es una constante positiva que depende de cantidades físico-térmicas de la placa) Resuelva esta ecuación diferencial usando transformada de Fourier y formulario de transformada inversa, luego usando II ºs determine la temperatura I en función del tiempo y esboce su gráfica. Aplicar la transformada de Fourier a la ecuación diferencial:, ~, ~ Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier:, ~ Sea Θ Aplicando la propiedad de diferenciación en el tiempo: jωθ Θ, ~ Ahora, determinar la transformada de Fourier, se puede por definición o por formulario: ~ ~!" $ Por medio de la definición, utilizamos el escalón unitario de Heaviside que se define como: 0, (0 %, )0 * Entonces: ~ 0 ~ +" $ ~.+" $, ~ / ~.+" 0, / 0/ ,

8 Sustituyendo la trasformada en la ecuación diferencial: Θ Θ, Θ, 9< K 7 89 > De la tabla de Pares transformados de Fourier, se A - AC? Aplicando la transformada inversa de Fourier a cada lado de la ecuación: - Θ - B, AC Aplicando propiedades:, - B AC Entonces por formulario: 3< K La temperatura queda: II ºs La gráfica para, I es; ˆ3< K ˆ º

9 TEMA 2. SERIE DE FOURIER Calcule la serie trigonométrica de Fourier del suministro de calor periódico impar,, Š /zœb A, /H((H Período: I Debido a que la forma de onda posee únicamente simetría impar, contendrá únicamente coeficientes de sino para todo valor de O. Lq M 2 M 0Ž Coeficientes del seno: q M 2 H sino$, q M 2 H sino$ 2, H O AsinO/OcosO "0, La serie trigonométrica queda: q M 2 O A H sinoh/ohcosoh/sin0o0cos0 q M 2 O A H 0/OH/M /00 /2OH/M O A H q M /2/M O Z93L />/7Y hijy93 Y Y07 Para verificar, su grafica para (O(5 es:

10 TEMA 3. DERIVADA DE UA SERIE DE FOURIER Para la función periódica r r 80 H AL O AcosO Determine r y grafique el espectro de amplitud hasta la séptima armónica. La ecuación de la tensión en una inductancia se denota como: r $r $ r $ $ d80 H AL O AcosO e 80 $ H AL O A $ coso r 80 H AL O A/OsinO /80 H A L O sino 3 /fk9 g > L 7 Y hijy93 Y07 k Y /fk9 g > Y k Y fk9 g > Y O q M H A H A 3H A H A H A 3H A 7H A

11 TEMA 4. TRASFORMADA DE FOURIER DE U PRODUCTO DE FUCIOES Se sabe que la transformada de un producto de dos funciones es igual a la convolucion de sus transformadas. Esto es, si rs y tu entonces la transformada del producto rt se puede calcular con la integral de convolución, rt uvs uws/w$w Aplique esta fórmula para calcular la trasformada del producto:? Denote r? y tcos, use su formulario para determinar sus transformadas, sustitúyalas en la integral de convolución y use la propiedad de muestreo de la funcion delta para evaluar la integral resultante. De la tabla de transformadas de Fourier: sr? A utcoshxx/ Sustituyendo en la integral de convolucion: rt Entonces: Sustituyendo: rt uws/w$w uwhxwxw/ s/w Hxwxw/ $w rt H xw $w H xw/ $w rt 2 xw $w 2 xw/ $w Ahora, la función impulso unitario trasladado se define como: xw/w, y, ww, 0, w^w, * La propiedad de muestreo de la función impulso unitario: xw/w, zw$wzw,

12 Aplicando, la propiedad de muestreo de la funcion impulso unitario: rt 2 B C {0-2 B C {0- rt 2 A 2 / A 3}3 \ \ 97 > \ > 9/7 > \ > Con fines de enseñanza, se muestran las gráficas para \7 s 2 A uhxx/ rt A / A

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