UN ESTUDIO COMPARATIVO DE ALGUNOS ESTIMADORES DEL ÍNDICE DE VALOR EXTREMO ** RESUMEN

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1 UN ESTUDIO COMPARATIVO DE ALGUNOS ESTIMADORES DEL ÍNDICE DE VALOR EXTREMO ** RESUMEN Presetamos aálisis comparativo de maera teórica y practica de algos métodos elegidos para estimar el ídice de valor etremo (IVE) para distribcioes tipo-pareto. Como era de esperarse, los resltados de la simlació mestra qe o eiste método óptimo. Si embargo la técica eteded GPD (EGPD) ofrece mejoras comparado al estimador de Hill. Tambié aplicamos los métodos elegidos al caso Daish Fire data para obteer s ídice de valor etremo y estimador de catil alto. Palabras clave: Teoría de Valor Etremo (EVT), Ídice de Valor Etremo (IVE), estimador de Hill, Eteded GPD (EGPD). ABSTRACT We preset a theoretical ad practical comparative aalysis of varios selected methods to estimate the etreme vale ide for Pareto-type distribtios. As it was epected, the simlatio reslts show that there is o best method. However, eteded GPD (EGPD) method offers improvemets compared to the Hill estimator. We also apply the selected methods to the Daish Fire data i order to obtai its etreme vale ide ad a high qatile estimator. Keywords: Etreme Vale Theory (EVT), Etreme Vale Ide (EVI), Hill estimator, Eteded GPD (EGPD). JEL Classificatio: C5, C6, G32 ** Adrés Mora, profesor ivestigador del Colegio de Estdios Speriores de Admiistració (CESA), Correo electróico:

2 Itrodcció La reglació modera de admiistració de riesgos reqiere estimados de pérdidas poteciales co altos iveles de cofiabilidad. Así qe es ecesario modelos matemáticos sofisticados y herramietas comptacioales. Es etoces qe srge la teoría del valor etremo (EVT, por ss siglas e iglés) como a disciplia estadística, el cal desarrolla técicas y modelos para describir los resltados iesperados, aormales o etremos. EVT ha sido aplicado e áreas de igeiería y recietemete se ha covertido e herramieta fdametal e aplicacioes para fiazas y segros. Esta teoría brida modelos para etrapolar datos observados a iveles o observados, debido a qe los valores etremos so escasos. De esta maera o pede decir qe EVT se efoca e el aálisis de las colas de la distribció de pérdidas para medir grades pérdidas qe o so ta frecetes. Eiste dos clases de modelos para tratar valores etremos: bloc maima (máimos por bloqe) y POT (picos sobre el mbral). El método POT es la técica más sada para aalizar la cola de a fció de distribció. Estas dos técicas está basadas e modelos distribcioales obteidas a partir de teorías asitóticas. El problema a resolver es la estimació de los parámetros de estas distribcioes límites, e particlar el parámetro de forma (tambié llamado el ídice de valor etremo, ξ) el cal determia el comportamieto de los valores etremos. Determiar el mbral e el método POT, colleva a trade-off etre sesgo y variaza e la estimació de los parámetros de la fció de distribció qe se asme para ajstar los valores etremos. Al sar métodos basados e catiles (por ejemplo el estimador de Hill), tambié depede de la elecció apropiada de estadísticos ordeados speriores. Elegir el mbral óptimo (e el método POT) colleva al mismo problema de elegir el mero óptimo de estadísticos ordeados speriores (e el estimador de Hill). Si se tiliza el método bloc maima, sesgo se preseta co bloqes my peqeños y variaza e el caso cotrario. De esta maera, la estimació del ídice de valor etremo se covierte e problema importate para estimar de maera cofiable catiles altos como a medida de riesgo sigiedo la técica EVT. Si embargo, la selecció de (o del mbral) para estimar el ídice de valor etremo o es a tarea fácil. El propósito de este docmeto, es etoces, revisar algos métodos escogidos para estimar el IVE, co el fi de mitigar los problemas ateriormete mecioados. El efoqe de EVT e este trabajo está pricipalmete basado e Beirlat et al. (2004) y el Capítlo 7 de McNeil et al. (2005). El docmeto está orgaizado como sige: el Capítlo describe brevemete el marco coceptal de EVT. El Capítlo 2 revisa los estimadores elegidos para modelos tipo-pareto. El Capítlo 3 preseta y cometa los resltados de las simlacioes calclado los estimadores elegidos a varias fcioes de distribció. E el Capítlo 4 se preseta los resltados de los métodos aplicados a caso, Daish Fire data. Fialmete el Capítlo 5 coclye el docmeto.

3 Marco Coceptal Esta secció está basada e el Capítlo 7 de McNeil et al. (2005), la cal itrodce los pricipales métodos revisadas e la literatra e estimació de catiles para datos qe preseta distribcioes co colas espesas: - Bloc Maima - Método POT. Bloc Maima El método de bloc maima está basado e el comportamieto límite de los máimos ormalizados de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribidas (iid). La scesió de estas variables aleatorias iid pede ser pérdidas fiacieras o por siiestros e el área de segros... Distribció de Valor Etremo Geeralizada (GEV) Covergecia de smas. El rol de la distribció de valor etremo geeralizada (GEV, por ss siglas e iglés) e teoría de etremos es aálogo a la distribció ormal e el teorema de límite cetral para smas de variables aleatorias. Asmiedo qe las variables aleatorias sbyacetes X, X 2, so variables aleatorias iid co a variaza fiita y sea S = X + + X la sma de las primeras variables aleatorias, la versió estádar del teorema del límite cetral se pede epresar como: lim P S b a, R, Dode Φ deota la fció de distribció ormal estádar. La ormalizació apropiada sa scesioes de costates ormalizadas (a ) y (b ) defiidas por a = E(X ) y b = var(x ). Covergecia de máimos. La teoría del valor etremo (EVT, por ss siglas e iglés) se refiere a distribcioes límites para máimos ormalizados M = ma (X,, X ) de variables aleatorias iid, deomiados bloc maima (máimos por bloqe). Las úicas distribcioes límite o degeerativas posibles para máimos por bloqe ormalizados so la familia de valor etremo geeralizado (GEV). La sigiete defiició se pede ecotrar e la Defiició 7. de McNeil et al. (2005): Defiició (distribció GEV). La fció de distribció de la distribció GEV estádar está dada por:

4 H ep ep ep si si 0, 0 Dode +ξ > 0 Ua familia de tres parámetros es obteida defiiedo H ξ,μ,σ := H ξ (( μ) / σ) para parámetro de localizació R y parámetro de escala σ > 0. El parámetro ξ es coocido como el parámetro de forma de la distribció GEV y H ξ defie tipo de distribció, es decir, a familia de distribcioes específica depediedo de los parámetros de localizació y escala. Cado ξ > 0 la distribció GEV es a distribció Fréchet, cado ξ = 0 ésta es a distribció Gmbel, cado ξ < 0 ésta es a distribció Weibll. La distribció Weibll es a distribció de cola corta co pto fial a la derecha. El pto fial de a distribció se deota por F = sp { R : F () < }. Por lo cotrario, las distribcioes Gmbel y Fréchet tiee ptos fiales a la derecha ifiitos, pero el decaimieto de la cola de la distribció Fréchet es mcho más leto qe el de la distribció Gmbel. El rol de la distribció GEV e el estdio de máimos es formalizado por la sigiete defiició y teorema: Defiició 2 (domiio máimo de atracció). Si lim P M d c lim F c d H se cmple para alga fció de distribció o degeerativa H y scesioes de costates reales (d ) y (c ), etoces F perteece al domiio máimo de atracció de H y se deota como F MDA(H) MDA represeta las siglas e iglés de domiio máimo de atracció. La scesió de costates c > 0 para todo valor de. Y por otació P (M ) = F (). El sigiete teorema correspode al Teorema 7.3 de McNeil (2005). Teorema 3 (Fischer-Tippet, Gedeo). Si F MDA(H) para alga fció de distribció o degeerativa H, etoces H debe ser a distribció del tipo H ξ, es decir, a distribció GEV Ua versió más formal de este teorema y bosqejo de la preba se ecetra e el Teorema de Embrechts et al. (997). Más detalles se pede ecotrar e Resic

5 (987). McNeil et al. (2005) defie fció de distribció o degeerativa como a distribció límite la cal o está cocetrada e pto e particlar...2 El Domiio Máimo de Atracció Fréchet Todas las fcioes de distribció cotia comúmete sadas e admiistració de riesgos perteece al MDA(H ξ ), para algú valor de ξ. E esta secció cosideraremos solo el caso Fréchet, es decir, cado ξ > 0. Para los casos Gmbel y Weibll remitimos al lector a McNeil et al. (2005) y las referecias allí coteidas. La sigiete defiició y teorema correspode a la Defiició 7.7 (i) y Teorema 7.8 de McNeil et al. (2005) respectivamete: Defiició 4 (fció de variació leta). Ua fció positiva, Lebesge-medible L e (0, ) es de variació leta e si: lim L L, 0. Ejemplos de fcioes de variació leta está las costates, logarítmicas, potecias de logaritmos y fcioes de logaritmos iterados. Teorema 5 (MDA Fréchet, Gedeo). Para ξ > 0, F MDA H F L Para alga fció de variació leta L e La preba de este teorema se pede ecotrar e Embrechts et al. (997). Estas distribcioes so las más estdiadas e EVT y e este docmeto os efocaremos e la estimació de ξ > 0. Las colas de estas distribcioes decae como a fció de potecia y la tasa de decaimieto α = / ξ es deomiado el ídice de la cola de la distribció. ξ se deomia el parámetro de ídice de valor etremo (IVE)...3 Distribcioes tipo-pareto (colas espesas) Ua distribció tipo-pareto o de colas espesas es a distribció F la cal satisface: (.) F L,, 0,

6 dode L es a fció de variació leta para todo > 0. Distribcioes tipo-pareto tambié se deomia distribcioes co cola de Pareto. Ejemplos de estas distribcioes so Pareto, gamma iversa, t-stdet, loggamma, F y Brr...4 El método Bloc Maima Spoga qe teemos datos de a distribció sbyacete F descoocida y qe los datos pede ser divididos e m bloqes de tamaño. Asmimos qe la distribció etrema de estros datos, de hecho se distribye GEV co algos parámetros descoocidos ξ, μ, σ. Podemos estimar estos parámetros sado máima verosimilitd (las observacioes de los máimos por bloqe se asme ser idepedietes). Pero la selecció del tamaño del bloqe geera trade-off etre sesgo y variaza. Bloqes peqeños geera sesgo y bloqes my grades geera alta variaza e la estimació de los parámetros. Vea el Ejemplo 7.2 de McNeil et al. (2005) de a aplicació del método bloc maima a datos fiacieros..2 Picos Sobre Umbral (POT) El método POT por ss siglas e iglés, es útil para grades observacioes las cales ecede mbral alto. Este método es más útil qe bloc maima e aplicacioes prácticas, debido al so más eficiete de los datos e valores etremos (McNeil (999))..2. Distribció Geeralizada de Pareto (GPD) GPD es a fció de distribció de dos parámetros co la sigiete represetació: G, ep si si 0, 0 dode β > 0, y 0 cado ξ 0; y 0 β/ξ cado ξ < 0. Los parámetros ξ y β so los parámetros de forma y escala respectivamete. Cado ξ > 0, la distribció G ξ,β es la distribció estricta de Pareto. Cado ξ = 0 teemos la distribció epoecial y cado ξ < 0 teemos la distribció de Pareto tipo II. E térmios de domiio de atracció teemos qe G ξ,β MDA(H ξ ) para todo ξ R. El caso cado ξ > 0 correspode a distribcioes de colas espesas y se pede verificar qe los mometos E [X j ] = para j / ξ. Las sigietes defiicioes y teorema correspode a las Defiicioes 7.7, 7.8 y Teorema 7.20 de McNeil (2005) respectivamete:

7 Defiició 6 (distribció de ecesos sobre mbral ). Sea X a variable aleatoria co fció de distribció F. La distribció de ecesos sobre el mbral tiee a fció de distribció dada por: F P X X F F F, Para 0 < F, dode F es el pto fial a la derecha de F Esta distribció es tambié coocida como la distribció codicioal de los ecesos o la distribció de las pérdidas e eceso. Defiició 7 (fció de eceso medio). La fció de eceso medio (mef) de a variable aleatoria X co a media fiita está dada por: e () = E (X X > ) La mef es tambié coocida como la fció de vida residal media. Teorema 8 (Picads-Balema-de Haa). Podemos ecotrar a fció positivamedible β () tal qe: lim sp F G, F 0 F 0, sí y solo sí F MDA(H ξ ), ξ R Detalles adicioales de este teorema se pede ecotrar e Embrechts et al. (997). El teorema dice qe para a fció de distribció sbyacete F qe está e el domiio de atracció de la distribció de valor etremo geeralizada, cado el mbral se icremeta progresivamete, la distribció de ecesos F coverge a a distribció geeralizada de Pareto (GPD). Además el parámetro de forma del modelo GPD para los ecesos es el mismo parámetro de forma de la distribció GEV para los máimos. Para poder aplicar el método POT se reqiere del sigiete spesto (ver Spesto 7.2 de McNeil et al. (2005)): Sea F a distribció de pérdidas co pto fial a la derecha F se asme qe para algú mbral alto, teemos F () = G ξ, β () para 0 < F y algú ξ R y β > 0. Esto es, asma qe F MDA(H ξ ), así qe para algú mbral alto escogido adecadamete, podemos modelar F mediate a GPD..2.2 El método POT Dado os datos de pérdida X,, X de a fció de distribció (descoocida) F, úmero aleatorio N de pérdidas ecederá estro mbral ; ombramos estos datos

8 ~ ~ ~ como: X,, X N. Para cada o de estos ecesos calclamos la catidad Y j X j de las pérdidas e eceso. Deseamos estimar los parámetros de modelo GPD ajstado esta distribció a los N pérdidas e eceso. Estimamos estos parámetros sado máima verosimilitd (se asme qe los datos e eceso so idepedietes). Pero la selecció del mbral geera trade-off etre sesgo y variaza e la estimació. Valores my bajos del mbral geera sesgo e la estimació, mietras qe valores my altos del mbral geera alta variaza e la estimació. Vea el Ejemplo 7.23 de McNeil et al. (2005) de a aplicació del método POT a caso de segros, el caso Daish fire loss data, el cal retomaremos e el Capítlo 4 de este docmeto. El Ejemplo 7.24 de McNeil et al. (2005) aplica POT a datos fiacieros. E el caso Daish data calclaremos tambié altos catiles como medidas de riesgo. Las sigietes defiicioes correspode a la defiició 2.0 y 2.5 de McNeil et al. (2005): Defiició 9 (Vale at Ris - VaR). Dado algú ivel de cofiabilidad α (0, ). El VaR de portafolio al ivel de cofiabilidad α está dado por el úmero más peqeño l, tal qe la probabilidad de qe la pérdida L eceda l o es más grade qe ( α). Formalmete, VaR if l R : P L l if l R : FL l. E térmios probabilísticos, VaR es simplemete catil de la distribció de pérdidas. Defiició 0 (Epected Shortfall ES). Para a pérdida L co E( L ) < co fció de distribció F L, el epected shortfall a ivel de cofiabilidad α (0, ) se defie como: ES q F L d, Dode q FL FL es la fció catil de F L E otras palabras, para fcioes de distribció cotias, el epected shortfall es el valor esperado de las pérdidas dado qe éstas speraro catil a ivel α (o el VaR α ).

9 Estimació del Ídice de Valor Etremo (IVE) ξ El método GPD o es la úica aproimació para estimar los parámetros, e específico el parámetro de forma, de la cola de a distribció. Otro método es el coocido efoqe de Hill qe se describe e la próima secció. 2. El estimador de Hill El estimador de Hill es el estimador más poplar de ídice de valor etremo (IVE) el cal está restrigido al caso cado ξ > 0. Es decir, qe es aplicable para distribcioes qe perteece al MDA de Fréchet (ver Teorema 5 de este docmeto). Dado estadísticos ordeados X, X 2, X, el estimador de Hill toma la sigiete forma: (2.) ˆ H, l X j, l X,,,,, j dode X -, pede ser visto como el mbral. Los valores por ecima del mbral se deota como X j+, y j toma valores,, ( =,, ). Embrechts et al. (997) mestra varios métodos para obteer el estimador de Hill. Beirlat et al. (2004), tambié obtiee el estimador de Hill mediate pto de vista de catiles, pto de vista de probabilidad y otros efoqes. Por lo geeral se sa el gráfico de Hill para estimar ξ, el cal es gráfico de verss, y se escoge el estimado del ídice de valor etremo dode el gráfico es estable para algú valor de o my peqeño i my grade. Usalmete vemos alta variabilidad e el gráfico para valores peqeños de. Esto se debe a qe hay my pocas observacioes de datos etremos (pérdidas) y gra diferecia etre ellos. Si escogemos valor grade de, dode se mestra casi todos los datos, se pede otar sesgo e el gráfico de Hill. La sigiete Figra mestra ejemplo del gráfico de Hill para 5000 datos iid de a distribció de Pareto (α = ) co ξ =. ˆ H,

10 i i Estimates of etreme vale ide Estimates of etreme vale ide Figra. Gráfico de Hill para 5000 datos iid (izqierda) de a distribció de Pareto (α = ) co ξ = ; y s versió epadida (derecha) hasta 600 estadísticos ordeados. La líea horizotal mestra el verdadero valor de ξ. El estimador de Hill parece dar a bea aproimació del verdadero valor de ξ para el ejemplo aterior. De acerdo a Drees et al. (2000): I fact, the traditioal Hill plot is most effective oly whe the delyig distribtio is Pareto or very close to Pareto. For the Pareto distribtio oe epects the Hill plot to be close to γ for the right side of the plot, sice the Hill estimator is the maimm lielihood estimator i the Pareto model. E s artíclo, ellos deota el IVE como γ. Esta coclsió se pede observar e la Figra. De hecho para datos iid, el estimador de Hill es (débilmete) cosistete para ξ. Si,, y / 0, etoces: ˆ H, P Pero, fcioa el estimador de Hill e la realidad? La sigiete Figra es tomada del artíclo de Matthys y Beirlat (2000); y represeta los estimados mediate el efoqe de Hill para caídas e porcetaje del S&P 500. El periodo de observació es Eero de 980 a Octbre 6 de 987. Ver Embrechts et al. (997) para más detalles de propiedades del estimador de Hill.

11 i i i Figra 2. Gráfico de Hill para las caídas del S&P 500. Fete: Matthys y Beirlat (2000). Para este ejemplo real o es claro qe valor de escoger para estimar el ídice de valor etremo. Para peqeños valores de otamos gra variaza del estimador, pero si es relativamete alto, observamos sesgo sigificativo e la estimació del IVE. La sigiete Figra mestra otros ejemplos co fcioes coocidas: Estimates of etreme vale ide Estimates of etreme vale ide Estimates of etreme vale ide

12 i i i Estimates of etreme vale ide Estimates of etreme vale ide Estimates of etreme vale ide Figra 3. Gráficos de Hill para 5000 datos iid de algas distribcioes tipo-pareto co IVE = (arriba); y s versió epadida (abajo). La líea horizotal idica el verdadero valor de IVE. E los ateriores ejemplos los gráficos de Hill o so útiles para escoger y por cosigiete o podemos teer estimado cofiable de ξ. Los datos e la Figra 3 correspode a las sigietes fcioes de spervivecia ( F()): /ξ ( ) (izqierda) /ξ ( / log ) (cetro) /ξ ( / log ) (derecha) La fció de spervivecia de la distribció de Pareto es /ξ, dode la fció de variació leta L, es igal a (ver secció..3 de este docmeto). El problema cetral radica e qe a distribció tipo-pareto o sigifica qe la cola es eactamete como la de a distribció de Pareto, debido a qe la fció de variació leta o es costate. Como se mecioó al comiezo del docmeto el problema de escoger e el gráfico de Hill es el mismo problema de escoger el mbral para el método POT. Co respecto a la selecció del mbral, Embrechts y Nešlehová (Notas de clase) coclye: - la tasa de covergecia depede de F, e particlar de la fció de variació leta L, e a maera complicada y pede ser my leta (este pto se eplicará más abajo cado hablemos del parámetro de segdo orde). - L o es visible directamete de los datos. - La selecció del mbral es my difícil. Trade-off etre sesgo y variaza se da por lo geeral.

13 Lo qe se observa o solo e la Figra 3 (dode se cooce L) pero tambié e la Figra 2 (dode o se cooce L) para el caso de las caídas del S&P. Etoces, cómo solcioar el problema de trade-off etre sesgo y variaza? Algos atores ha propesto savizar el gráfico de Hill. La idea es mitigar el problema de alta volatilidad observada e el gráfico de Hill (para valores relativamete peqeños de ). Bajo codicioes de variació reglar de segdo orde, el estimador de Hill es asitóticamete ormal co variaza asitótica ξ 2 para datos iid. Esta codició dice: Para ξ > 0, ρ 0, c R lim t L t L t A t c, Dode A (t) 0, t. Para más detalles, refiérase a Embrechts et al. (997) y las referecias allí coteidas. El parámetro ρ es deomiado el parámetro de segdo orde y mide la velocidad de covergecia e EVT. La codició de variació reglar de segdo orde tiee dos objetivos: () establecer la ormalidad asitótica de los estimadores de IVE y (2) estdiar las tasas de covergecia a distribcioes de valor etremo. Como veremos más adelate, ρ jega papel importate e la estimació de ξ. Otros atores ha itetado redcir el ivel de sesgo observado e el gráfico de Hill. Nestra primera revisió es el estimador de average Hill propesto por Resic y Stărică (997), qiees redce la variaza asitótica del estimador de Hill, pero o sesgo. Etoces revisaremos tambié el método de Zipf, segido por a técica de redcció de sesgo (modelo EGPD) pero qe ameta e variaza co respecto al estimador de Hill. Por lo tato, cál es el mejor método a sar para estimar el IVE si eiste? Esta es la pregta qe trataremos de resolver e el todo el docmeto. A cotiació se preseta a breve descripció de tres métodos alterativos para la estimació del ídice de valor etremo (IVE). 2.2 El estimador average Hill U método para resolver el problema de alta variabilidad e el gráfico de Hill es propesto por Resic y Stărică (997). La idea cosiste e promediar los valores del estimador de Hill correspodiete a diferetes valores p de los estadísticos ordeados. Los estadísticos ordeados so los datos de a mestra aleatoria ordeados de meor a mayor.

14 alpha alpha El modelo es: c ˆ avh ˆ H,, c p,,,, c p, Dode c >, y ˆ H p, correspode al estimador de Hill. El estimador average Hill fcioa bie cado los datos represetados e el gráfico de Hill ehibe alta volatilidad pero o cado se preseta alto sesgo, como se observa e el pael derecho la sigiete Figra. Thres hold Thres hold Order Statistics Order Statistics Figra 4. Estimador de Hill (líea egra) y average Hill (líea verde) para 5000 datos iid de a distribció Pareto ( F() = /ξ ) co α = 2 (izqierda), y para F() = /ξ ( / log ) co α = (derecha); α = /ξ y c = 2 para ambos casos. La líea horizotal represeta el verdadero valor de α. La variable c pede ser iterpretado como el parámetro promediador de los valores del estimador de Hill. U resltado importate es qe la variaza del estimador average Hill decrece co el valor de c. Adicioalmete, eiste a redcció de la variaza co respecto al estimador de Hill, por ejemplo si c = 2, la variaza del estimador average Hill es 0.653ξ 2 (pesto qe la variaza está dado por 2ξ 2 /c [ (log c)/c]) es decir, a redcció del 34.7% de la variaza co respecto al del estimador de Hill. Por cosigiete, se desearía escoger valor de c ta grade como sea posible para redcir la variaza de este estimador. Si embargo al icremetar el valor de c se obtiee a redcció de datos a ser graficados dificltado así la selecció del valor verdadero del IVE. Como a solció a este problema, Resic y Stărică propoe tilizar c etre 0. y 0.2, dode es el tamaño de los datos.

15 2.3 El estimador de Zipf Ua herramieta gráfica my útil para aálisis descriptivo de datos es el QQ-plot (Qatile-Qatile plot). Esta herramieta es útil para determiar si a serie de datos de tamaño proviee de a població co a distribció paramétrica específica. Si los catiles de a distribció paramétrica está liealmete relacioados co los catiles de los datos de a mestra e el QQ-plot, se obtiee ajste de los datos de la mestra a dicha distribció paramétrica. La distribció ormal se ha empleado e mchas aplicacioes estadísticas. Pero los datos fiacieros (y de segros) por lo geeral ehibe colas espesas qe o so adecadamete modelados por a distribció ormal. Para este tipo de datos es mejor sar el Pareto-Qatile plot (tambié deomiado el Zipf plot) qe se costrye tilizado los sigietes valores para los ejes {,y}: (2.2) log,log X j, j,,. j Si los datos (X.) sige a distribció estricta de Pareto, la crva obteida sigiedo (2.2), e el Pareto-Qatile plot se aproima a a líea recta. Además s pediete es aproimadamete igal a ξ. Si los datos sige (.) la crva graficada e el Pareto- Qatile plot es aproimadamete lieal pero para valores peqeños de j. La pediete de la líea resltate de aplicar míimos cadrados a los ptos obteidos de (2.2) es estimador deomiado el estimador-qq (Kratz y Resic (996)). Pesto qe Zipf só este estimador desde fiales de la década de los 20 s, el estimadorqq tambié es coocido como el estimador de Zipf. Schltze y Steiebach (996) tambié propsiero el mismo estimador sado procedimieto similar (ver Csörgő y Viharos (998)). El modelo es: log log X j, log log X j, ˆ Z j j j j j,,,, 2 2 log log j j j j.

16 i i El estimador de Zipf es cosistete si y / 0. Bajo otras codicioes de segdo orde e F() y restriccioes sobre (), este estimador es asitóticamete ormal co media asitótica ξ y variaza asitótica 2ξ 2, (ver Kratz y Resic (996)). Por cosigiete el estimador de Hill preseta meor variaza qe el estimador de Zipf. Si embargo a vetaja del estimador de Zipf co respecto al estimador de Hill es qe los residos de la crva obteida e el Pareto-Qatile plot cotiee iformació qe potecialmete podría ser sado para mitigar el sesgo e los estimados cado las colas de la distribció empírica de los datos o sige a distribció Pareto. La sigiete Figra mestra a comparació del estimador de Zipf y Hill para datos simlados de a distribció Pareto: Estimates of etreme vale ide Estimates of etreme vale ide Figra 5. Estimador de Hill (izqierda) y estimador de Zipf (derecha) para 5000 datos iid de a distribció Pareto (α = ). La líea horizotal represeta el verdadero valor de ξ. 2.4 El método de la Distribció Geeralizada de Pareto etedido (EGPD) La defiició de a distribció tipo-pareto (ver secció..3 de este docmeto) pede ser re-escrita como: lim F F /, Para calqier >, y esta pede ser iterpretada como:

17 (2.3) P X X /, Para valores grades de y >. La relació (2.3) dice qe podemos aproimar la distribció de los ecesos relativos codicioados e X i > (de ahora e adelate, la distribció codicioal de los ecesos relativos) a a distribció estricta de Pareto. La distribció codicioal de los ecesos relativos e el caso de las distribcioes tipo- Pareto satisface: L (2.4) P X X, L Para todo y L siedo a fció de variació leta. Pesto qe L() / L() para todo > 0 (ver Defiició 4 de este docmeto), obteemos (2.3) a partir de (2.4). Codició 0. Eiste a costate real ρ < 0 y a fció b qe satisface b() 0, cado, tal qe para todo, L L (2.5), cado b Para más detalles vea la Secció 3.2. de Bigham et al. (987) Reemplazado el térmio L L de (2.5) e (2.4) obteemos: P X X b o b, cado. Elimiado el térmio remaete, es decir o(b()), y estableciedo δ = b() / ρ, obteemos

18 (2.6) P X X : F.,, El rago de los parámetros es /ξρ δ <, ξ > 0 y ρ < 0. La ecació (2.6) pede ser visto como a mezcla de dos distribcioes de Pareto dode el parámetro poderador δ pede ser egativo (pesto qe ρ es egativo). Cado δ = 0, se obtiee el modelo estricto de Pareto para los ecesos relativos. Cado ρ = la distribció codicioal de los ecesos relativos asitóticamete eqivale al modelo de distribció geeralizada de Pareto (GPD). De esta mezcla de dos distribcioes de Pareto se obtiee evo estimador para el IVE mediate máima verosimilitd. Esta eva aproimació de la mezcla de distribcioes se deomia el modelo de distribció de Pareto geeralizada etedida (EGPD). Tato ξ como δ se estima mediate máima verosimilitd co a previa estimació de ρ. Se refiere al lector al Remar 3.2 de Beirlat et al. (2005) y las referecias allí coteidas para detalles de estimació etera de ρ. Este modelo es difícilmete idetificable cado ρ es my cercao a cero. La variaza asitótica de este evo estimador es igal a: 2 2. La sigiete Figra compara los estimados de Hill y modelo EGPD para datos simlados de a distribció t co tres grados de libertad (ρ = 2/3). El gráfico para el evo estimador lce más estable alrededor del verdadero valor de ξ qe para el estimador de Hill e este caso.

19 i i Estimates of etreme vale ide Estimates of etreme vale ide Figra 6. Estimador de Hill (izqierda) y modelo EGPD (derecha) para 000 datos iid de a distribció t-stdet co ν = 3. La líea horizotal represeta el verdadero valor de ξ. 2.5 La selecció de El gráfico {, ˆ, } es a herramieta adecada para escoger y así decidir el estimado de ξ. Si embargo, la selecció óptima de para escoger el verdadero valor del IVE o es a tarea fácil como se vio ateriormete. Eiste varios métodos adaptativos para escoger ; vea por ejemplo la Secció 4.7 de Beirlat et al. (2004) y las referecias allí coteidas. U método pede ser miimizar el error cadrático medio asitótico (AMSE, por ss siglas e iglés) del estimador de Hill, qe está dado por: AMSE ˆ H, A var ˆ H, 2 b ABias, 2. ˆ H, La idea es estimar ξ mediate el estimador de Hill (vea por ejemplo la Secció 4 de Beirlat et al. (999)), dode:

20 ˆ arg mi ˆ 2 bˆ, ; 0 ˆ 2, ˆ, bˆ y ˆ deota los estimadores de máima verosimilitd de ξ, b y ρ respectivamete, posiblemete obteidos mediate EGPD o por otro método alterativo. E el Capítlo 4, aplicaremos los métodos para estimar el IVE al caso de Daish fire data. Segiremos la idea de Reiss y Thomas (997) para escoger gráficamete. Para úmero itermedio, eiste balace etre variaza y sesgo del estimador, etoces platea (o meseta) se velve visible e el gráfico de Hill. Etoces bscaremos a regió estable e los gráficos aplicado los diferetes métodos para estimar el IVE y decidir cál es el valor de ξ e tal platea. E el sigiete capítlo realizaremos a simlació para probar los métodos de estimació del IVE a fcioes de distribció comúmete sadas e admiistració de riesgos para simlar datos de pérdidas.

21 Simlació E esta secció comparamos el desempeño de los métodos ateriormete revisados sado simlació Mote Carlo. Los estimadores sados e la simlació so: El estimador average Hill, El estimador de Zipf, El método EGPD. Se escogiero catro tipos de datos co distribcioes dode ξ > 0 y dos tipos de datos co distribcioes dode ξ = 0; ver Tabla 3.. Tambié podemos clasificar las distribcioes de acerdo al parámetro de segdo orde ρ (parámetro qe mide la velocidad de covergecia e EVT): Casos complicados dode ρ (, 0); (distribció t-stdet co ν = 3,4,8), Casos my complicados dode ρ = 0; (distribcioes logormal, Weibll y loggamma), Casos ormales dode ρ < ; (distribcioes Cachy estádar y Pareto). Esta clasificació correspode a los casos e qe el estimador de Hill pede fcioar bie o o y deseamos saber cál es el comportamieto de los tres estimadores alterativos. Tabla 3.. Distribcioes sadas e la simlació Distribcioes Parámetros EVI, ξ ρ t - Stdet ν = 3, 4, 8 /3, /4, /8 2/3, /2, /4 Logormal (μ, σ) = (0,) 0 0 Weibll τ = Loggamma (α, β) = (, 2); (,0) ; 0 Cachy estádar 2 Pareto α = /ξ.2,.,.0, 0.7, 0.5, 0.3 Para cada a de estas distribcioes, se geeraro 000 mestras de tamaño 000. El desempeño de cada estimador se evalúa e térmios de la raíz del error cadrático medio relativo (RRMSE, por ss siglas e iglés) basado e los estadísticos ordeados

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